资源简介

4.5 函数的应用（二）
目标导航
1.了解函数的零点、方程的解与图象交点三者之间的联系.
2.会借助函数零点存在定理判断函数的零点所在的大致区间.
3.能借助函数单调性及图象判断零点个数．
4.了解二分法的原理及其适用条件.
5.掌握二分法的实施步骤.
6.体会二分法中蕴含的逐步逼近与程序化思想．
7.能利用已知函数模型求解实际问题.
8.能自建确定性函数模型解决实际问题.
9.了解建立拟合函数模型的步骤，并了解检验和调整的必要性．
知识解读
知识点一　函数的零点
1．概念：对于一般函数y＝f(x)，我们把使 的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
2．函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的根的关系：
知识点二　函数零点存在定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条 的曲线，且有 ，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得 ，这个c也就是方程f(x)＝0的解．
知识点三　二分法
对于在区间[a，b]上图象连续不断且 的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间 ，使所得区间的两个端点 ，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
知识点四　用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤
1．确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0.
2．求区间(a，b)的中点c.
3．计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间
(1)若f(c)＝0(此时x0＝c)，则c就是函数的零点．
(2)若f(a)·f(c)<0(此时x0∈(a，c))，则令b＝c.
(3)若f(c)·f(b)<0(此时x0∈(c，b))，则令a＝c.
4．判断是否达到精确度ε：若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤2～4.
以上步骤可简化为：定区间，找中点，中值计算两边看；同号去，异号算，零点落在异号间；周而复始怎么办？精确度上来判断．
知识点五　几类已知函数模型
函数模型 函数解析式
一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
反比例函数模型 f(x)＝＋b(k，b为常数且k≠0)
二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
指数型函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
对数型函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
幂函数型模型 f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)
知识点六　应用函数模型解决问题的基本过程
1．审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型．
2．建模——将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型．
3．求模——求解数学模型，得出数学模型．
4．还原——将数学结论还原为实际问题．
跟踪训练
一、单选题
1．已知函数，，的零点分别为，，，则，，的大小顺序为（ ）
A． B．
C． D．
2．若函数唯一的一个零点同时在区间，，内，那么下列命题中正确的是（ ）
A．函数在区间内有零点
B．函数在区间或内有零点
C．函数在区间上无零点
D．函数在区间内无零点
3．已知函数，若且，则（ ）
A． B． C． D．随值变化
4．若函数有两个零点，则整数a的值共有（ ）
A．7个 B．8个 C．9个 D．17个
5．已知函数，若存在实数，满足且，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知函数（），．若，在上有三个零点，则 a 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数，则函数的零点个数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
8．已知函数，若方程有4个不同的根，，，，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知函数，若关于的方程有四个不同的实数解，它们从小到大依次记为，则（ ）
A． B．
C． D．
10．已知函数（，且）有两个零点，则（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
11．已知函数，的零点分别为α，β，给出以下结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
12．定义在上的函数满足在上单调递增，，且图象关于点对称，则下列选项正确的是（ ）
A．
B．
C．在上单调
D．函数在上可能有2023个零点
三、填空题
13．用二分法求函数在区间上的零点，要求精确度为时，所需二分区间的次数最少为______．
14．表示不超过的最大整数，例如，．已知是方程的根，则_______．
15．若满足，满足，则________ .
16．关于的方程在区间内有两个不等实根，则实数的取值范围是_____．
四、解答题
17．已知函数是偶函数.当时，.
(1)求函数在上的解析式；
(2)若函数在区间上单调，求实数a的取值范围；
(3)已知，试讨论的零点个数，并求对应的m的取值范围.
18．已知是一元二次方程的两个实数根.
(1)是否存在实数，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；
(2)求使的值为整数的实数的整数值.
19．已知函数是偶函数.
(1)当，函数存在零点，求实数的取值范围；
(2)设函数，若函数与的图象只有一个公共点，求实数的取值范围.
20．已知函数，.
(1)若，求函数在的值域；
(2)若， 求的值；
(3)令，已知函数在区间有零点，求实数k的取值范围.
4.5 函数的应用（二）
目标导航
1.了解函数的零点、方程的解与图象交点三者之间的联系.
2.会借助函数零点存在定理判断函数的零点所在的大致区间.
3.能借助函数单调性及图象判断零点个数．
4.了解二分法的原理及其适用条件.
5.掌握二分法的实施步骤.
6.体会二分法中蕴含的逐步逼近与程序化思想．
7.能利用已知函数模型求解实际问题.
8.能自建确定性函数模型解决实际问题.
9.了解建立拟合函数模型的步骤，并了解检验和调整的必要性．
知识解读
知识点一　函数的零点
1．概念：对于一般函数y＝f(x)，我们把使 的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
2．函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的根的关系：
【答案】f(x)＝0
知识点二　函数零点存在定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条 的曲线，且有 ，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得 ，这个c也就是方程f(x)＝0的解．
【答案】连续不断 f(a)f(b)<0 f(c)＝0
知识点三　二分法
对于在区间[a，b]上图象连续不断且 的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间 ，使所得区间的两个端点 ，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
【答案】f(a)·f(b)<0 一分为二 逐步逼近零点
知识点四　用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤
1．确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0.
2．求区间(a，b)的中点c.
3．计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间
(1)若f(c)＝0(此时x0＝c)，则c就是函数的零点．
(2)若f(a)·f(c)<0(此时x0∈(a，c))，则令b＝c.
(3)若f(c)·f(b)<0(此时x0∈(c，b))，则令a＝c.
4．判断是否达到精确度ε：若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤2～4.
以上步骤可简化为：定区间，找中点，中值计算两边看；同号去，异号算，零点落在异号间；周而复始怎么办？精确度上来判断．
知识点五　几类已知函数模型
函数模型 函数解析式
一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
反比例函数模型 f(x)＝＋b(k，b为常数且k≠0)
二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
指数型函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
对数型函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
幂函数型模型 f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)
知识点六　应用函数模型解决问题的基本过程
1．审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型．
2．建模——将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型．
3．求模——求解数学模型，得出数学模型．
4．还原——将数学结论还原为实际问题．
跟踪训练
一、单选题
1．已知函数，，的零点分别为，，，则，，的大小顺序为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】依题意可将函数的零点转化为函数、、与的交点的横坐标，画出函数图象，结合图象即可判断；
【详解】解：依题意令，即，
同理可得，，
则函数的零点转化为、、与的交点的横坐标，
在平面直角坐标系上画出函数图象如下：
由图可得，，，即.
故选：D
2．若函数唯一的一个零点同时在区间，，内，那么下列命题中正确的是（ ）
A．函数在区间内有零点
B．函数在区间或内有零点
C．函数在区间上无零点
D．函数在区间内无零点
【答案】C
【分析】题目中所给的零点所在区间的交集为，但零点与的大小未知，结合选项可得答案．
【详解】由题意，函数唯一的一个零点在内，则函数在上无零点，但零点与的大小未知，排除A，B ，D选项，故选：C
3．已知函数，若且，则（ ）
A． B． C． D．随值变化
【答案】B
【分析】作出函数的图象得其对称轴是，由对称性可得结论．
【详解】函数的图象如下图所示：
由图可知，函数的图象关于直线对称，
又，且，
则．
故选：B
4．若函数有两个零点，则整数a的值共有（ ）
A．7个 B．8个 C．9个 D．17个
【答案】A
【分析】先判断出函数在R有两个零点为和，由a的范围求出符合题意的整数a.
【详解】因为方程在R上有且仅有一解，
所以要使函数在R有两个零点,
只需在R上有且仅有一个解,同时该解不能为.
因为在R上值域为(0,+∞），因此要满足即有解,只需a>0.
又因为在R上单调递增,因此当a>0时, 在R上有且仅有一个解.
因为且a>0,所以整数a可以为1,2,3,4,5,6,7,8,9,其中当a=3或a=9时, .
因此满足条件的a为1,2,4,5,6,7,8共7个.
故选：A
5．已知函数，若存在实数，满足且，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】分段函数及根的个数问题采用图象辅助解题是常用手段，通过画出函数图象，得到，得，则所求式子即关于的函数求值域问题，根据复合函数求值域的方法求出值域即可．
【详解】分别画出与的图象，如图所示
所以，，得，
则，
令，，得，
又，对称轴为，所以在上单调递增，由于则的取值范围为；故选：B
6．已知函数（），．若，在上有三个零点，则 a 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分，，讨论可得，可得1为的一个零点，函数在上有两个零点，然后利用二次函数的性质即得.
【详解】①当时，因为，所以1为一个零点，
又，因为，所以，
所以，
所以1为的一个零点．
②当时，，，
所以在上无零点．
③当时，，在上无零点，
所以．在上的零点个数是在上的零点个数，
因为，．
函数在上有两个零点，即函数在上有两个零点，
所以，，又，
即时，在上有两个零点；
综上，a 的取值范围为.
故选：A.
7．已知函数，则函数的零点个数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【分析】令，，则，分别作出函数和直线的图象，得到，，再分别作出函数和直线的图象，得到方程和方程的根的个数，进而得到函数的零点个数.
【详解】令，，则，即，
分别作出函数和直线的图象，如图所示，
由图象可得有两个交点，横坐标设为，，
则，，
对于，分别作出函数和直线的图象，如图所示，
由图象可得，
当时，即方程有两个不相等的根，
当时，函数和直线有三个交点，
即方程有三个不相等的根，
综上可得的实根个数为，
即函数的零点个数是5.
故选：B.
8．已知函数，若方程有4个不同的根，，，，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】作出函数与的图像，得到关于对称，化简条件，利用对勾函数的性质可求解.
【详解】作函数与的图像如下：
方程有4个不同的根，，，，且，
可知关于对称，即，且，
则，即，则
即，则；
当得或，则；；
故，；
则函数，在上为减函数，在上为增函数；
故取得最小值为，而当时，函数值最大值为.
即函数取值范围是.
故选：D.
【点睛】本题主要考查了分段函数的运用，主要考查函数的单调性的运用，运用数形结合的思想方法是解题的关键，属于难题.
二、多选题
9．已知函数，若关于的方程有四个不同的实数解，它们从小到大依次记为，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】CD
【分析】将方程有四个不同解可确定与有四个不同交点，在平面直角坐标系中作出图象，利用数形结合的方式可求得的范围，知A错误；根据对称性可知B错误；当时，由可求得，由此可得的范围，知C正确；利用基本不等式可求得，由可求得，由此可知D正确.
【详解】关于的方程有四个不同的实数解，等价于与有四个不同交点，
在平面直角坐标系中，作出与如下图所示，
由图形可知：，A错误；
关于对称，，B错误；
当时，令，解得：，，C正确；
，，，
，，
，，又，
，D正确.
故选：CD.
【点睛】关键点点睛：本题考查根据方程根的个数求解参数范围的问题，解题关键是能够将方程根的个数问题转化为两函数的交点个数问题，采用数形结合的方式，结合函数的对称性来依次进行求解.
10．已知函数（，且）有两个零点，则（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
【答案】ABD
【分析】令可得、为的两个零点，讨论、，结合指数的性质判断各项的正误.
【详解】令，则或，
所以、为的两个零点；
当时，，则，，B、D正确；
当时，，则，但不一定成立，A正确，C错误；
故选：ABD
11．已知函数，的零点分别为α，β，给出以下结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABCD
【分析】函数的图象关于直线对称，是函数和的图象与函数的图象的交点的横坐标，则有，．，直接变形判断AB，利用基本不等式判断C，由零点存在定理判断，构造函数，确定单调性，再计算函数值，利用单调性判断D．
【详解】因为函数的图象关于直线对称，
是函数和的图象与函数的图象的交点的横坐标，
因此已知，．
又，，即，
因而A、B均正确．
又，当且仅当即时等号成立，
但，
因而，上式等号不成立，
所以．C正确．
记，，
因此
而函数在区间范围内单调递增，
所以，所以D正确．
故选：ABCD．
12．定义在上的函数满足在上单调递增，，且图象关于点对称，则下列选项正确的是（ ）
A．
B．
C．在上单调
D．函数在上可能有2023个零点
【答案】AC
【分析】由，且图象关于点对称，得到的周期为4，结合满足在上单调递增，结合周期性与对称性得到在单调递减，分别判定选项即可.
【详解】所以的对称轴为，且，又图象关于点对称，则，所以，，所以，所以，所以的周期为4，所以为的对称中心，所以奇函数，且定义域为，所以，所以A正确；
根据周期性，且,又对称轴为，所以，且函数满足在上单调递增，所以，所以，所以B错误；
函数满足在上单调递增，且周期为4，所以函数满足在上单调递增，又图象关于点对称，所以在单调递增，又对称轴为，所以在单调递减，且在单调递减，且，所以在单调递减，所以C正确；
对于D，在上有且仅有2个零点，且周期为4，在上有且仅有1010个零点，在上有且仅有2个零点，函数在上可能有1012个零点，所以D错误.
故选：AC.
三、填空题
13．用二分法求函数在区间上的零点，要求精确度为时，所需二分区间的次数最少为______．
【答案】7
【分析】二分法每一次操作都会让区间缩小一半长度.
【详解】根据题意，原来区间的长度等于，
每经过二分法的一次操作，区间长度变为原来的一半，
则经过次操作后，区间的长度为，若，
即；故最少为次.
故答案为：7.
14．表示不超过的最大整数，例如，．已知是方程的根，则_______．
【答案】4
【分析】根据零点的存在性定理求得的范围，再根据的定义即可得出答案.
【详解】解：设，，
因为函数在都是增函数，
所以函数单调递增，
又是方程的根，所以只有一个根，
，
所以，
所以.
故答案为：4.
15．若满足，满足，则________ .
【答案】2
【分析】根据题意，转化为时函数与的交点横坐标，时函数与的交点横坐标，结合函数与的对称性，即可求解.
【详解】设，
因为满足，满足，
所以时函数与的交点横坐标，时函数与的交点横坐标，
由于函数与互为反函数，其图象关于直线对称，
所以两图象与直线的交点也关于对称，如图所示，
又由，解得，所以，可得.
故答案为：.
16．关于的方程在区间内有两个不等实根，则实数的取值范围是_____．
【答案】
【分析】利用一元二次方程实根分布列出不等式组，再求解作答.
【详解】关于的方程在区间内有两个不等实根，令，
则有，解得，
所以实数的取值范围是.
故答案为：
四、解答题
17．已知函数是偶函数.当时，.
(1)求函数在上的解析式；
(2)若函数在区间上单调，求实数a的取值范围；
(3)已知，试讨论的零点个数，并求对应的m的取值范围.
【答案】(1)
(2)或
(3)答案见解析
【分析】（1）根据偶函数的定义求解即可.
（2）根据（1）做出图像，数形结合.
（3）根据（1）做出图像，数形结合.
【详解】(1)设，则
∴
∵为偶函数
∴
综上，有
(2)由（1）作出的图像如图：
因为函数在区间上具有单调性，
由图可得或，解得或；
故实数的取值范围是或.
(3)由（1）作出的图像如图：
由图像可知：
当时，有两个零点；
当时，有四个零点；
当时，有六个零点；
当时，有三个零点；
当时，没有零点.
18．已知是一元二次方程的两个实数根.
(1)是否存在实数，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；
(2)求使的值为整数的实数的整数值.
【答案】(1)存在，
(2)
【分析】（1）利用反证法先假设存在实数，使得成立，根据一元二次方程有两个实数根可得，因此原假设不成立，故不存在；
（2）根据题意，可得能被整除，即可求出的值.
【详解】(1)假设存在实数，使得成立，
一元二次方程的两个实数根，
，(不要忽略判别式的要求)，
由韦达定理得，
，
但，
不存在实数，使得成立.
(2)，
要使其值是整数，只需要能被整除，
故，即，
，
.
19．已知函数是偶函数.
(1)当，函数存在零点，求实数的取值范围；
(2)设函数，若函数与的图象只有一个公共点，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用偶数数的定义，即可求出实数的值，从而得到的解析式；令，得，构造函数，将问题转化为直线与函数的图象有交点，从而求出实数的取值范围；
（2）依题意等价于关于的方程只有一个解，令，讨论的正根即可．
【详解】(1)解：是偶函数，，
即对任意恒成立，
，
．
即，
因为函数有零点，即方程有实数根．
令，则函数与直线有交点，
，
又，，
，所以，即的取值范围是．
(2)解：因为，
又函数与的图象只有一个公共点，
则关于的方程只有一个解，
所以，
令，得，
①当，即时，此方程的解为，不满足题意，
②当，即时，此时，又，，
所以此方程有一正一负根，故满足题意，
③当，即时，由方程只有一正根，则需，
解得，
综合①②③得，实数的取值范围为：．
20．已知函数，.
(1)若，求函数在的值域；
(2)若， 求的值；
(3)令，已知函数在区间有零点，求实数k的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用指对恒等式化简得，利用二次函数的性质求值域.
（2）通过验证，利用倒序相加法求值.
（3）设，，则方程等价于，故有零点，即求的值域.
【详解】(1)若
，
当上函数为增函数，
则函数的最大值为，函数的最小值为，则函数的值域为.
(2)若，则，
则，
设
则
两式相加得，即，则
故.
(3)令
，
设，当，则，则函数等价为，
若函数在区间有零点，
则等价为在上有零点，
即在上有解，
即在上有解，
即，
设，则，则，则在上递增，
则当时，，当时，，
∴，即，即实数k的取值范围是

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