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5.2 三角函数的概念
目标导航
1.理解三角函数的概念，会求给定角的三角函数值.
2.掌握任意角三角函数在各象限的符号.
3.掌握三角函数诱导公式一并会应用．
4.理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用.
5.会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明．
知识解读
知识点一　任意角的三角函数的定义
条件 如图，设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆交于点P(x，y)
定义 正弦 点P的 叫做α的正弦函数，记作sin α，即y＝
余弦 点P的 叫做α的余弦函数，记作cos α，即x＝
正切 点P的纵坐标与横坐标的比值叫做α的正切，记作tan α，即＝
三角函数 正弦函数y＝sin x，x∈R 余弦函数y＝cos x，x∈R 正切函数y＝tan x，x≠＋kπ，k∈Z
知识点二　正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号
1．图示：
2．口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．
知识点三　公式一
终边相同的角的同一三角函数的值 ．
即
其中
知识点四　同角三角函数的基本关系
关系式 文字表述
平方关系 sin2α＋cos2α＝ 同一个角α的正弦、余弦 的 等于
商数关系 ＝ 同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的
跟踪训练
一、单选题
1．已知角的终边与单位圆交于点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．已知角的终边经过点，且，则（ ）
A． B．1 C．2 D．
3．已知是角终边上一点，且，则的值是（ ）
A． B． C． D．
4．若，且为第四象限角，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知为第二象限角，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知P是半径为3的圆形砂轮边缘上的一个质点，它从初始位置开始，按逆时针方向做匀速圆周运动，角速度为.如图，以砂轮圆心为原点，建立平面直角坐标系xOy，若，则点P到x轴的距离d关于时间t（单位：）的函数关系为（ ）
A． B．
C． D．
8．在平面直角坐标系xOy中，P（x，y）（xy≠0）是角α终边上一点，P与原点O之间距离为r，比值叫做角α的正割，记作secα；比值叫做角α的余割，记作cscα；比值叫做角α的余切，记作cotα．四名同学计算同一个角β的不同三角函数值如下：甲：；乙：；丙：；丁：．
如果只有一名同学的结果是错误的，则错误的同学是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
二、多选题
9．下列说法错误的是（ ）
A．将表的分针拨快5分钟，则分针转过的角度是
B．若角，则α角为第二象限角
C．若角α为第一象限角，则角也是第一象限角
D．在区间内，函数与的图象有3个交点
10．已知角的终边与单位圆交于点，则的值可能是（ ）
A． B． C． D．
11．已知角θ的终边经过点，且θ与α的终边关于x轴对称，则（ ）
A． B．α为钝角
C． D．点(tan θ，tan α)在第四象限
12．已知点是角终边上一点，则（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
13．已知角的终边经过点，的值是____________．
14．已知角 ， 则 _______________________．
15．若，记，，，则P、Q、R的大小关系为______．
16．已知，则的值为___________.
四、解答题
17．已知第一象限角的顶点在坐标原点，始边与轴非负半轴重合，终边经过点，且．
(1)求及的值；
(2)求的值．
18．已知，求下列各式的值.
(1)；
(2).
19．已知．
(1)求的值；
(2)求的值．
20．已知第二象限角满足是关于的方程的两个实根.
(1)求的值；
(2)求的值.
5.2 三角函数的概念
目标导航
1.理解三角函数的概念，会求给定角的三角函数值.
2.掌握任意角三角函数在各象限的符号.
3.掌握三角函数诱导公式一并会应用．
4.理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用.
5.会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明．
知识解读
知识点一　任意角的三角函数的定义
条件 如图，设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆交于点P(x，y)
定义 正弦 点P的 叫做α的正弦函数，记作sin α，即y＝
余弦 点P的 叫做α的余弦函数，记作cos α，即x＝
正切 点P的纵坐标与横坐标的比值叫做α的正切，记作tan α，即＝
三角函数 正弦函数y＝sin x，x∈R 余弦函数y＝cos x，x∈R 正切函数y＝tan x，x≠＋kπ，k∈Z
【答案】纵坐标y sin α 横坐标x cos α tan α(x≠0)
知识点二　正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号
1．图示：
2．口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．
知识点三　公式一
终边相同的角的同一三角函数的值 ．
即
其中
【答案】相等
知识点四　同角三角函数的基本关系
关系式 文字表述
平方关系 sin2α＋cos2α＝ 同一个角α的正弦、余弦 的 等于
商数关系 ＝ 同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的
【答案】1 平方和 1 tan α 正切
跟踪训练
一、单选题
1．已知角的终边与单位圆交于点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据三角函数的定义即可求出．
【详解】因为角的终边与单位圆交于点，
所以根据三角函数的定义可知，．
故选：C．
2．已知角的终边经过点，且，则（ ）
A． B．1 C．2 D．
【答案】C
【分析】由三角函数定义求得值．
【详解】由题意，解得．
故选：C．
3．已知是角终边上一点，且，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据，可判断点位于第二象限，利用正弦函数的定义列方程求解即可.
【详解】解：因为是角终边上一点，，故点位于第二象限，
所以，，
整理得：，因为，所以.
故选：D.
4．若，且为第四象限角，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】结合同角三角函数的基本关系式求得正确答案.
【详解】由于，且为第四象限角，
所以，
.
故选：D
5．已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用同角三角函数基本关系即可求得的值.
【详解】，则
又，所以．
故选：C
6．已知为第二象限角，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据三角函数在各象限的符号求解即可.
【详解】因为为第二象限角，
所以，故ABD错误，C正确.
故选：C
7．已知P是半径为3的圆形砂轮边缘上的一个质点，它从初始位置开始，按逆时针方向做匀速圆周运动，角速度为.如图，以砂轮圆心为原点，建立平面直角坐标系xOy，若，则点P到x轴的距离d关于时间t（单位：）的函数关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据三角函数定义直接可得.
【详解】经过t秒后，点P在角的终边上，由三角函数定义可知，点P到x轴的距离.
故选：D
8．在平面直角坐标系xOy中，P（x，y）（xy≠0）是角α终边上一点，P与原点O之间距离为r，比值叫做角α的正割，记作secα；比值叫做角α的余割，记作cscα；比值叫做角α的余切，记作cotα．四名同学计算同一个角β的不同三角函数值如下：甲：；乙：；丙：；丁：．
如果只有一名同学的结果是错误的，则错误的同学是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】D
【分析】当甲错误时，乙一定正确，从而推导出丙、丁均错误，与题意不符，故甲一定正确；再由丙丁必有一个错误，得到乙一定正确，由此利用三角函数的定义能求出结果．
【详解】解：当甲：错误时，乙：正确，
此时，r＝5k，y＝3k，则|x|＝4k，（k＞0），
或，
∴丙：不正确，丁：不正确，故错误的同学不是甲；
甲：，从而r＝5k，x＝﹣4k，|y|＝3k，（k＞0），
此时，乙：；丙：；丁：必有两个正确，一个错误，
∵丙和丁应该同号，∴乙正确，丙和丁中必有一个正确，一个错误，
∴y＝3k＞0，x＝﹣4k＜0，，
故丙正确，丁错误，
综上错误的同学是丁．
故选：D．
二、多选题
9．下列说法错误的是（ ）
A．将表的分针拨快5分钟，则分针转过的角度是
B．若角，则α角为第二象限角
C．若角α为第一象限角，则角也是第一象限角
D．在区间内，函数与的图象有3个交点
【答案】ACD
【分析】根据角的方向可判断A；根据象限角的定义可判断BC；根据区间内的解的个数，可判断D.
【详解】对于A，将表的分针拨快5分钟，则分针转过的角度是，故A错误；
对于B，若角，则α角为第二象限角，故B正确；
对于C，角是第一象限角，但角是第三象限角，故C错误；
对于D，当时，；
当时，，即；
当时，，即，
故在区间内，函数与的图象有且只有一个交点（原点），故D错误.
故选：ACD.
10．已知角的终边与单位圆交于点，则的值可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】利用三角函数的定义直接求解.
【详解】由题意可得，解得．
当时，；
当时，．
故A，C正确，B，D错误．
故选：AC
11．已知角θ的终边经过点，且θ与α的终边关于x轴对称，则（ ）
A． B．α为钝角
C． D．点(tan θ，tan α)在第四象限
【答案】ACD
【分析】根据角θ的终边经过点，且θ与α的终边关于x轴对称，先算出和，进而逐个选项判断即可
【详解】角θ的终边经过点，，A正确．
θ与α的终边关于x轴对称，由题意得α的终边经过点，α为第二象限角，不一定为钝角，，B错误，C正确．
因为tan θ=>0，，所以点(tan θ，tan α)在第四象限，D正确．
故选：ACD
12．已知点是角终边上一点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】根据给定条件，利用三角函数定义求出的正余弦及正切值即可计算判断作答.
【详解】因点是角终边上一点，则，
于是得，A正确；
，当时，，当时，，B不正确；
又，则，C正确，D不正确.
故选：AC
三、填空题
13．已知角的终边经过点，的值是____________．
【答案】
【分析】先利用三角函数的定义求出，再进行弦化切，代入求解.
【详解】因为角的终边经过点，所以.
所以.
故答案为：
14．已知角 ， 则 _______________________．
【答案】
【分析】判断角所在象限，确定，从而脱掉绝对值符号，求得答案.
【详解】由题意得：，
故角是第三象限角，则 ，
故，
故答案为：
15．若，记，，，则P、Q、R的大小关系为______．
【答案】
【分析】利用平方差公式和同角三角函数的平方关系可得P、R的关系，然后作差，因式分解，结合已知可判断P、Q的大小关系.
【详解】
又
因为，所以
所以，即
所以P、Q、R的大小关系为.
故答案为：
16．已知，则的值为___________.
【答案】
【分析】由已知条件结合，求出，然后代入计算即可
【详解】因为，
所以，所以，
所以，
因为，所以，
所以，
由，得，
所以，
故答案为：
四、解答题
17．已知第一象限角的顶点在坐标原点，始边与轴非负半轴重合，终边经过点，且．
(1)求及的值；
(2)求的值．
【答案】(1)，；(2)
【分析】（1）根据三角函数定义，求出与的关系式，解出的值，再利用正切表达式求出正切值即可；
（2）利用由（1）得出的结论求出正弦值，然后代入即可求解.
【解析】(1)依题意
整理得，解得或
因为为第一象限角，则，
故
.
(2)（2）由（1）知，则，
则
18．已知，求下列各式的值.
(1)；
(2).
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）利用和将原式化简计算即可，
（2）通分化简后，再利用和化简计算
【解析】（1）因为所以原式
（2）因为，所以.
19．已知．
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）先利用，将整理化简可得，再将分子分母同时除以，可得，求解方程即可；
（2）将原式除以1，再将1用替换，分子分母同时除以，可得，将（1）中的值代入即可求出结果.
【解析】(1)解：
，
解得：
(2)解：
20．已知第二象限角满足是关于的方程的两个实根.
(1)求的值；
(2)求的值.
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）由韦达定理及为第二象限角，解出，进而求得，代入求值即可；
（2）将转化为，分子分母同除得到，代入求值即可.
【解析】(1)由题意知：，又为第二象限角，解得，故，
所以；
(2)由（1）知，又

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