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第4讲 　一元二次不等式及其解法
1．一元一次不等式ax>b(a≠0)的解集
(1)当a>0时，解集为．
(2)当a<0时，解集为．
2．三个“二次”间的关系
判别式 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函数 y＝ax2＋bx ＋c(a>0)的 图象
一元二次方 程ax2＋bx ＋c＝0(a>0) 的根 有两个相异实 根x1，x2(x1 一元二次不等 式ax2＋bx＋c >0(a>0) 的解集 {x|x>x2 或xax2＋bx＋c <0(a>0) 的解集 {x|x1常用结论
1．分式不等式的解法
(1)>0(<0) f(x)g(x)>0(<0)．
(2)≥0(≤0)
2．两个恒成立的充要条件
(1)一元二次不等式ax2＋bx＋c>0对任意实数x恒成立
(2)一元二次不等式ax2＋bx＋c<0对任意实数x恒成立
考点1 一元二次不等式的解法
[名师点睛]
(1)解一元二次不等式的方法和步骤
(2)解含参数的一元二次不等式的步骤
①二次项若含有参数应讨论参数是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的一元二次不等式；
②判断一元二次不等式所对应的方程实根的个数，即讨论判别式Δ与0的关系；
③确定方程无实根或有两个相同实根时，可直接写出解集；确定方程有两个相异实根时，要讨论两实根的大小关系，从而确定解集．　
[典例]　
1．（2021·湖南·衡阳市田家炳实验中学高一阶段练习）不等式解集为（ ）
A．{x|12或x<1} D．
2．（2021·四川省叙永第一中学校高三阶段练习）解下列关于x的不等式：
(1)；
(2)（）.
[举一反三]　
1．（2022·浙江宁波·二模）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·模拟预测）设集合，，则（ ）
A． B．
C．或 D．或
3．（2021·福建省长汀县第一中学高三阶段练习）解关于的不等式：.
4．（2021·广东·普宁市大长陇中学高三阶段练习）已知二次函数y＝ax2+bx﹣a+2．
(1)若关于x的不等式ax2+bx﹣a+2＞0的解集是{x|﹣1＜x＜3}，求实数a，b的值；
(2)若b＝2，a＞0，解关于x的不等式ax2+bx﹣a+2＞0．
考点2 一元二次不等式恒成立问题
[名师点睛]
1.一元二次不等式在R上恒成立的条件
(1)不等式ax2＋bx＋c≥0对任意实数x恒成立的条件是：
①当a＝0时，b＝0，c≥0；
②当a≠0时，
(2)不等式ax2＋bx＋c≤0对任意实数x恒成立的条件是：
①当a＝0时，b＝0，c≤0；
②当a≠0时，
2.一元二次不等式在给定区间上恒成立的求解方法
设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
(1)当a<0时，f(x)<0在x∈[α，β]上恒成立 或或Δ<0.
f(x)>0在x∈[α，β]上恒成立
(2)当a>0时，
f(x)<0在x∈[α，β]上恒成立
f(x)>0在x∈[α，β]上恒成立 或或Δ<0.
3.转换主元法解给定参数范围问题
解给定参数范围的不等式恒成立问题，若在分离参数时会遇到讨论的情况，或者即使能容易分离出参数与变量，但函数的最值难以求出，可考虑变换思维角度，即把变量与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，再根据原参数的范围列式求解．
[典例]　
1．（2022·全国·高三专题练习）不等式对一切实数恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2021·河北·石家庄市藁城区第一中学高三开学考试）若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为　　
A． B． C． D．
3．（2022·全国·高三专题练习）已知，，不等式恒成立，则的取值范围为　　
A．，， B．，，
C．，， D．
[举一反三]　
1．（2022·江苏南通·模拟预测）当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·全国·高三专题练习）已知，“对恒成立”的一个充要条件是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国·高三专题练习）若不等式的解集为R，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·全国·高三专题练习）不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022·全国·高三专题练习）若对任意的恒成立，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（2021·江苏常州·高三阶段练习）已知函数，当时，恒成立，则实数的取值范围为__________.
7．（2022·浙江·高三专题练习）若关于的不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围为____________．
8．（2021·重庆市涪陵高级中学校高三阶段练习）设函数．
(1)若对于一切实数，恒成立，求实数的取值范围；
(2)若对于，恒成立，求实数的取值范围.
考点3 一元二次方程根的分布问题
[名师点睛]
1.设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两实根为x1，x2，且x1≤x2，k为常数，则一元二次方程根和k的分布(即x1，x2相对于k的位置)有以下若干定理．
定理1：x1　　
定理2：k　　
定理3：x1≤x2　　
2.一元二次不等式在实数范围内有解的求解方法
(1)一元二次不等式ax2＋bx＋c>0在实数范围内有解 或
(2)一元二次不等式ax2＋bx＋c<0在实数范围内有解 或
3.在区间内有解，可以参变分离为a>f(x)或af(x)min或a[典例]　
1．（2022·重庆一中高三阶段练习）若方程的两实根中一个小于，另一个大于2，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·高三专题练习）若不等式在上有解，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·上海·高三专题练习）已知关于x的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的a的值之和是（ ）
A．13 B．18 C．21 D．26
[举一反三]　
1．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高三开学考试（理））关于的方程的两根都大于2，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·全国·高三专题练习）已知关于x的不等式在上有解，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·江苏·高三专题练习）已知关于的不等式在区间上有解，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·全国·高三专题练习）若关于的不等式在区间(1，4)内有解，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·全国·高三专题练习）已知关于的不等式在区间上有解，则实数的取值范围为_______
6．（2022·全国·高三专题练习）若关于的不等式有实数解，则的取值范围是_____．
7．（2022·全国·高三专题练习）若一元二次方程的两个实根都大于，则的取值范围____
8．（2022·全国·高三专题练习）设函数，若对于任意的，恒成立，则实数的取值范围为_____.
9．（2021·江苏·仪征市第二中学高三阶段练习）已知函数．
（1）当时，求函数的零点；
（2）解关于的不等式；
（3）当时，函数在有解，求实数的取值范围
第4讲 　一元二次不等式及其解法
1．一元一次不等式ax>b(a≠0)的解集
(1)当a>0时，解集为．
(2)当a<0时，解集为．
2．三个“二次”间的关系
判别式 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函数 y＝ax2＋bx ＋c(a>0)的 图象
一元二次方 程ax2＋bx ＋c＝0(a>0) 的根 有两个相异实 根x1，x2(x1 一元二次不等 式ax2＋bx＋c >0(a>0) 的解集 {x|x>x2 或xax2＋bx＋c <0(a>0) 的解集 {x|x1常用结论
1．分式不等式的解法
(1)>0(<0) f(x)g(x)>0(<0)．
(2)≥0(≤0)
2．两个恒成立的充要条件
(1)一元二次不等式ax2＋bx＋c>0对任意实数x恒成立
(2)一元二次不等式ax2＋bx＋c<0对任意实数x恒成立
考点1 一元二次不等式的解法
[名师点睛]
(1)解一元二次不等式的方法和步骤
(2)解含参数的一元二次不等式的步骤
①二次项若含有参数应讨论参数是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的一元二次不等式；
②判断一元二次不等式所对应的方程实根的个数，即讨论判别式Δ与0的关系；
③确定方程无实根或有两个相同实根时，可直接写出解集；确定方程有两个相异实根时，要讨论两实根的大小关系，从而确定解集．　
[典例]　
1．（2021·湖南·衡阳市田家炳实验中学高一阶段练习）不等式解集为（ ）
A．{x|12或x<1} D．
【答案】D
【解析】∵，∴，∴不等式解集为．
故选：D.
2．（2021·四川省叙永第一中学校高三阶段练习）解下列关于x的不等式：
(1)；
(2)（）.
【解】(1)由，得，即
则且，解得：
(2)当时，原不等式，解的；
当时，原不等式，又所以解集为；
当时，因为所以解集为.
综上有，时，解集为；
时，解集为；
时，解集为.
[举一反三]　
1．（2022·浙江宁波·二模）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意，，
故，
故选：B
2．（2022·全国·模拟预测）设集合，，则（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】B
【解析】由不等式，解得或，所以或，
又由不等式，解得或，所以或，
可得，
所以.
故选：B.
3．（2021·福建省长汀县第一中学高三阶段练习）解关于的不等式：.
【解】当a＋1=0即 a＝-1时，原不等式变为－x＋2<0，即x>2.
当a>-1时，原不等式可转化为，
∴方程的根为.
若-12，解得2若a＝，则＝2，解得x∈ ；
若a>，则<2， 解得综上，
当a>时，原不等式的解集为{x|当a＝时，原不等式的解集为 ；
当-1当a＝-1时，原不等式的解集为{x|x>2}.
4．（2021·广东·普宁市大长陇中学高三阶段练习）已知二次函数y＝ax2+bx﹣a+2．
(1)若关于x的不等式ax2+bx﹣a+2＞0的解集是{x|﹣1＜x＜3}，求实数a，b的值；
(2)若b＝2，a＞0，解关于x的不等式ax2+bx﹣a+2＞0．
【解】(1)由题意知，﹣1和3是方程ax2+bx﹣a+2＝0的两根，
所以，解得a＝﹣1，b＝2；
(2)当b＝2时，不等式ax2+bx﹣a+2＞0为ax2+2x﹣a+2＞0，
即（ax﹣a+2）（x+1）＞0，所以，
当即时，解集为；
当即时，解集为或；
当即时，解集为或.
考点2 一元二次不等式恒成立问题
[名师点睛]
1.一元二次不等式在R上恒成立的条件
(1)不等式ax2＋bx＋c≥0对任意实数x恒成立的条件是：
①当a＝0时，b＝0，c≥0；
②当a≠0时，
(2)不等式ax2＋bx＋c≤0对任意实数x恒成立的条件是：
①当a＝0时，b＝0，c≤0；
②当a≠0时，
2.一元二次不等式在给定区间上恒成立的求解方法
设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
(1)当a<0时，f(x)<0在x∈[α，β]上恒成立 或或Δ<0.
f(x)>0在x∈[α，β]上恒成立
(2)当a>0时，
f(x)<0在x∈[α，β]上恒成立
f(x)>0在x∈[α，β]上恒成立 或或Δ<0.
3.转换主元法解给定参数范围问题
解给定参数范围的不等式恒成立问题，若在分离参数时会遇到讨论的情况，或者即使能容易分离出参数与变量，但函数的最值难以求出，可考虑变换思维角度，即把变量与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，再根据原参数的范围列式求解．
[典例]　
1．（2022·全国·高三专题练习）不等式对一切实数恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】当，即时，可化为，即不等式恒成立；
当，即时，因为对一切实数恒成立，
所以，解得；
综上所述，.
故选：C.
2．（2021·河北·石家庄市藁城区第一中学高三开学考试）若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为　　
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：当时，不等式恒成立；
当时，由题意可得恒成立，
由，当且仅当时，取得等号．
所以，解得．
综上可得，的取值范围是．
故选：B．
3．（2022·全国·高三专题练习）已知，，不等式恒成立，则的取值范围为　　
A．，， B．，，
C．，， D．
【答案】C
【解析】解：令，
则不等式恒成立转化为在上恒成立．
有，即，
整理得：，
解得：或．
的取值范围为．
故选：C．
[举一反三]　
1．（2022·江苏南通·模拟预测）当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题意，当时，不等式恒成立，故
解得，故实数的取值范围是
故选：A
2．（2022·全国·高三专题练习）已知，“对恒成立”的一个充要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】当时，，对恒成立；
当时，若，对恒成立，
则必须有，解之得，
综上，的取值范围为.
故“对恒成立”的一个充要条件是，
故选：B
3．（2022·全国·高三专题练习）若不等式的解集为R，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】∵不等式的解集为R，
当a-2＝0，即a＝2时，不等式为3>0恒成立，故a＝2符合题意；
当a﹣2≠0，即a≠2时，不等式的解集为R，
则，解得，
综合①②可得，实数a的取值范围是．
故选：B．
4．（2022·全国·高三专题练习）不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】令，对一切均大于0恒成立，
所以 ，或，
或，
解得或，，或，
综上，实数的取值范围是，或.
故选：A.
5．（2022·全国·高三专题练习）若对任意的恒成立，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解：因为对任意的恒成立，
所以对任意的恒成立，
因为当，，
所以，，
即m的取值范围是
故选：A
6．（2021·江苏常州·高三阶段练习）已知函数，当时，恒成立，则实数的取值范围为__________.
【答案】
【解析】，
①当时，；
②当时，，
，，
，
综上所述：.
故答案为：.
7．（2022·浙江·高三专题练习）若关于的不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围为____________．
【答案】
【解析】由题意知：，即对任意的恒成立，
当，得： ，
即对任意的恒成立，即对任意的恒成立，
令，在上单减，所以，所以
.
故答案为：
8．（2021·重庆市涪陵高级中学校高三阶段练习）设函数．
(1)若对于一切实数，恒成立，求实数的取值范围；
(2)若对于，恒成立，求实数的取值范围.
【解】(1)解：由已知，对于一切实数恒成立，
当时，恒成立,符合题意，
当时，只需，解得，
综上所述，的取值范围是，；
(2)解：由已知，对，恒成立，
即对，恒成立，
，对，恒成立，
令，则只需即可，
而在，上是单调递增函数，
，，，，
所以的取值范围是.
考点3 一元二次方程根的分布问题
[名师点睛]
1.设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两实根为x1，x2，且x1≤x2，k为常数，则一元二次方程根和k的分布(即x1，x2相对于k的位置)有以下若干定理．
定理1：x1　　
定理2：k　　
定理3：x1≤x2　　
2.一元二次不等式在实数范围内有解的求解方法
(1)一元二次不等式ax2＋bx＋c>0在实数范围内有解 或
(2)一元二次不等式ax2＋bx＋c<0在实数范围内有解 或
3.在区间内有解，可以参变分离为a>f(x)或af(x)min或a[典例]　
1．（2022·重庆一中高三阶段练习）若方程的两实根中一个小于，另一个大于2，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为方程有两根，一个大于,另一个小于，所以
函数 有两零点，一个大于，另一个小于，由二次函数的图像可知，
，即:
解得:
故选:A.
2．（2022·全国·高三专题练习）若不等式在上有解，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为不等式在上有解，
所以不等式在上有解， 令，则，
所以，所以实数的取值范围是
故选：B
3．（2022·上海·高三专题练习）已知关于x的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的a的值之和是（ ）
A．13 B．18 C．21 D．26
【答案】C
【解析】设，其图象为开口向上，对称轴为的抛物线，
根据题意可得，，解得，
因为解集中有且仅有3个整数，结合二次函数的对称性可得
，即，解得，又
所以a=6，7，8，所以符合题意的a的值之和6+7+8=21.
故选：C
[举一反三]　
1．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高三开学考试（理））关于的方程的两根都大于2，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】解：∵关于的方程的两根都大于2，
令，可得，即，
求得，
故选：B.
2．（2022·全国·高三专题练习）已知关于x的不等式在上有解，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】时，不等式可化为；令，则，当且仅当时，等号成立，综上所述，实数a的取值范围是．
故选：A．
3．（2022·江苏·高三专题练习）已知关于的不等式在区间上有解，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意得：关于的不等式在区间上有解，等价于不等式在区间上有解，
设，则函数在上单调递增，所以，
所以实数的取值范围为，
故选：D.
4．（2022·全国·高三专题练习）若关于的不等式在区间(1，4)内有解，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】不等式等价于存在，使成立，即
设 当时，
所以 .
故选：A
5．（2022·全国·高三专题练习）已知关于的不等式在区间上有解，则实数的取值范围为_______
【答案】
【解析】解：由题意得：关于的不等式在区间上有解，等价于不等式在区间上有解，
设，则函数在上单调递增，所以，
所以实数的取值范围为.
6．（2022·全国·高三专题练习）若关于的不等式有实数解，则的取值范围是_____．
【答案】
【解析】当时，不等式为有实数解，所以符合题意；
当时，不等式对应的二次函数开口向下，所以不等式有实数解，符合题意；
当时，要使不等式有实数解，则需满足，可得，
所以，
综上所述：的取值范围是，
故答案为：.
7．（2022·全国·高三专题练习）若一元二次方程的两个实根都大于，则的取值范围____
【答案】或.
【解析】由题意得应满足解得：或.
故答案为：或.
8．（2022·全国·高三专题练习）设函数，若对于任意的，恒成立，则实数的取值范围为_____.
【答案】
【解析】若对于任意的，恒成立，
即可知：在上恒成立，
令，
当时，恒成立，
当时，对称轴为.
当时，有开口向下且在上单调递减，
在上，得，故有.
当时，有开口向上且在上单调递增，
在上，
∴，
综上，实数的取值范围为，
故答案为：
9．（2021·江苏·仪征市第二中学高三阶段练习）已知函数．
（1）当时，求函数的零点；
（2）解关于的不等式；
（3）当时，函数在有解，求实数的取值范围．
【解】解：（1）当时，，
所以函数的零点为2，3.
（2）由可得，
当时，解得；
当时，不存在，不等式的解集为；
当时，解得.
综上，当时，不等式的解集，
当时，不等式的解集，
当时，不等式的解集.
（3）时，在有解，
即在有解，
因为的开口向上，对称轴，
①即，时，函数取得最小值即，
.
②即时，当取得最小值，此时，解得.
③当即时，当时取得最小值，此时，
解得，
综上，或

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