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第5讲　基本不等式
1．基本不等式：≤
(1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0.
(2)等号成立的条件：当且仅当 时取等号．
(3)其中 称为正数a，b的算术平均数， 称为正数a，b的几何平均数．
2．利用基本不等式求最值
已知x≥0，y≥0，则
(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当 时，x＋y有最小值是 ．(简记：积定和最小)
(2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当 时，xy有最大值是 ．(简记：和定积最大)
常用结论
几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．
(2)ab≤(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．
(3)≥(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．
(4)＋≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号．
考点1 利用基本不等式求最值
[名师点睛]
1.通过配凑法利用基本不等式求最值的策略
拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：
(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；
(2)代数式的变形以配凑出和或积的定值为目标；
(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提．　
2.常数代换法求最值的步骤
(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)；
(2)把确定的定值(常数)变形为1；
(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式；
(4)利用基本不等式求解最值．　
3.消元法求最值的方法
消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解．有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解．但应注意保留元的范围．　
[典例]　
1.（2022·河北·高三阶段练习）已知实数a，b满足条件，则的最小值为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
2．（2022·湖南湖南·二模）函数的最小值为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
3．（多选）（2022·河北石家庄·二模）设正实数m，n满足，则下列说法正确的是（ ）
A．上的最小值为2 B．的最大值为1
C．的最大值为4 D．的最小值为
4.[2021河南平顶山模拟]若对于任意x>0，不等式≤a恒成立，则实数a的取值范围为(　　)
A． B．
C． D．
[举一反三]　
1．（2022·山西·怀仁市第一中学校二模（文））函数的最小值为（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
2．（2022·安徽·高三阶段练习（文））已知，，，则的最小值是（ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
3．（2022·全国·模拟预测）已知a，b为非负数，且满足，则的最大值为（ ）
A．40 B． C．42 D．
4．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知正实数a，b满足，则的最小值是（　　）
A．2 B． C． D．6
5．（多选）（2022·河北保定·一模）下面描述正确的是（ ）
A．已知，，且，则
B．函数，若，且，则的最小值是
C．已知，则的最小值为
D．已知，则的最小值为
6．（多选）（2022·重庆八中高三阶段练习）设，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2022·天津市西青区杨柳青第一中学高三阶段练习）已知，为正实数，且，则的最小值为____________，此时____________．
8．（2022·浙江·镇海中学模拟预测）已知，则的最小值为___________.
9．（2022·天津·大港一中高三阶段练习）设，那么的最小值是___________.
10．（2022·天津河北·一模）已知，，且，则的最大值为__________.
11．（2022·全国·高三专题练习）已知，求 的最小值；
考点2 利用基本不等式证明不等式
[名师点睛]
证明不等式时，可依据待求证式两端的式子结构，合理选择重要不等式及其变形不等式来证．
先局部运用基本不等式，然后利用不等式的性质，通过不等式相加(有时相乘)综合推出要求证的不等式，这种证明方法在证明轮换对称不等式时具有一定的普遍性．
[典例]　
（2022·全国·高三专题练习）已知都是正数，求证：
(1)；
(2)若，则.
[举一反三]　
1．（2022·云南·昆明一中高三阶段练习（文））已知a，b，c为正数.
(1)求的最小值；
(2)求证：.
2．（2022·陕西·西安工业大学附中高三阶段练习（文））已知.
(1)若，求的最小值；
(2)求证：.
3．（2022·河南开封·二模（文））已知，且abc=1.
(1)求证：；
(2)若a=b+c，求a的最小值.
4．（2022·全国·高三专题练习）已知正数，，满足．
(1)求的最大值；
(2)证明：．
考点3 基本不等式中的恒成立问题
[名师点睛]
1．已知不等式恒成立求参数范围的一般方法是分离参数法，且有a>f(x)恒成立 a>f(x)max，a2．求最值时要注意其中变量的条件，有些不能用基本不等式的问题可考虑利用函数的单调性．
[典例]　
1．（2022·全国·高三专题练习）若对任意恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·高三专题练习）设，，且恒成立，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
[举一反三]　
1．（2021·重庆梁平·高三阶段练习）已知正实数a，b满足，若不等式对任意的实数x恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·浙江·模拟预测）对任意正实数不等式恒成立，则（ ）
A．实数有最小值1 B．实数有最大值1
C．实数有最小值 D．实数有最大值
3．（多选）（2022·全国·高三专题练习）当，，时，恒成立，则的取值可能是（ ）
A． B． C．1 D．2
4．（2022·全国·高三专题练习）不等式对任意正数x，y，z恒成立，则a的最大值是__________．
5．（2021·重庆一中高三阶段练习）已知对任意正实数，，恒有，则实数的最小值是___________.
6．（2022·全国·高三专题练习）若不等式对一切正实数恒成立，则实数的最小值为_____．
考点4 基本不等式与其他专题综合
[名师点睛]
有关函数最值的实际问题的解题技巧
1．根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值．
2．解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围．
3．在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解．
[典例]　
1．（2022·安徽安庆·二模（文））若函数在内单调递增，则实数的取值范围是___________.
2.[2021湖北鄂东南联考]方程(x2 018＋1)(1＋x2＋x4＋…＋x2 016)＝2 018x2 017的实数解的个数为________．
3．（2022·广东·高三阶段练习）在足球比赛中，球员在对方球门前的不同的位置起脚射门对球门的威胁是不同的，出球点对球门的张角越大，射门的命中率就越高.如图为室内5人制足球场示意图，设球场（矩形）长大约为40米，宽大约为20米，球门长大约为4米.在某场比赛中有一位球员欲在边线上某点处射门（假设球贴地直线运行），为使得张角最大，则大约为（ ）（精确到1米）
A．8米 B．9米 C．10米 D．11米
[举一反三]　
1．（2022·北京·101中学高三阶段练习）已知某产品的总成本C（单位：元）与年产量Q（单位：件）之间的关系为．设该产品年产量为Q时的平均成本为f（Q）（单位：元/件），则f（Q）的最小值是（ ）
A．30 B．60 C．900 D．1800
2．（多选）（2022·重庆·模拟预测）已知为锐角三角形，且，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．的最小值为4
3．（2021·全国·高三专题练习）如图，将一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，要求点在上，点在上，且对角线过点，已知，，那么当_______时，矩形花坛的面积最小，最小面积为______.
第5讲　基本不等式
1．基本不等式：≤
(1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．
(3)其中称为正数a，b的算术平均数，称为正数a，b的几何平均数．
2．利用基本不等式求最值
已知x≥0，y≥0，则
(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2．(简记：积定和最小)
(2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是．(简记：和定积最大)
常用结论
几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．
(2)ab≤(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．
(3)≥(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．
(4)＋≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号．
考点1 利用基本不等式求最值
[名师点睛]
1.通过配凑法利用基本不等式求最值的策略
拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：
(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；
(2)代数式的变形以配凑出和或积的定值为目标；
(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提．　
2.常数代换法求最值的步骤
(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)；
(2)把确定的定值(常数)变形为1；
(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式；
(4)利用基本不等式求解最值．　
3.消元法求最值的方法
消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解．有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解．但应注意保留元的范围．　
[典例]　
1.（2022·河北·高三阶段练习）已知实数a，b满足条件，则的最小值为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
【答案】D
【解析】因为，当且仅当，即时取等号，
所以，所以，，，当且仅当时等号成立，所以的最小值为2
故选：D.
2．（2022·湖南湖南·二模）函数的最小值为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】D
【解析】因为，所以，，利用基本不等式可得
，
当且仅当即时等号成立.
故选：D.
3．（多选）（2022·河北石家庄·二模）设正实数m，n满足，则下列说法正确的是（ ）
A．上的最小值为2 B．的最大值为1
C．的最大值为4 D．的最小值为
【答案】AB
【解析】∵，
∴，
当且仅当，即时等号成立，故A正确；
，∴，当且仅当时，等号成立，故B正确；
，，当且仅当时等号成立，最大值为2，故C错误；
，当且仅当时等号成立，故D错误．
故选：AB
4.[2021河南平顶山模拟]若对于任意x>0，不等式≤a恒成立，则实数a的取值范围为(　　)
A． B．
C． D．
[答案]　A　[解析]　由x>0，＝，
令t＝x＋，则t≥2＝2，
当且仅当x＝1时，t取得最小值2.
取得最大值，所以对于任意的x>0，不等式≤a恒成立，则a≥.
[举一反三]　
1．（2022·山西·怀仁市第一中学校二模（文））函数的最小值为（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
【答案】D
【解析】因为，所以3x－1>0，
所以，
当且仅当，即x =1时等号成立，
故函数的最小值为5．
故选：D．
2．（2022·安徽·高三阶段练习（文））已知，，，则的最小值是（ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
【答案】C
【解析】解：因为，，，所以，当且仅当，即，时取等号；
故选：C
3．（2022·全国·模拟预测）已知a，b为非负数，且满足，则的最大值为（ ）
A．40 B． C．42 D．
【答案】D
【解析】
，
又，当且仅当时取“=”，则，
所以当时，的最大值为.
故选：D
4．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知正实数a，b满足，则的最小值是（　　）
A．2 B． C． D．6
【答案】B
【解析】由，得，
所以，
当且仅当，即取等号.
故选：B.
5．（多选）（2022·河北保定·一模）下面描述正确的是（ ）
A．已知，，且，则
B．函数，若，且，则的最小值是
C．已知，则的最小值为
D．已知，则的最小值为
【答案】AC
【解析】对于选项A，∵，，，∴，∴，当且仅当时取等号，∴，∴A正确；
对于选项B：因为，所以，又，所以由对勾函数的单调性可知函数在上单调递减，所以，即，故B不正确；
对于选项C，根据题意，已知，则，当且仅当，即时，等号成立，所以，故C正确；
对于选项D，，令，所以，所以，此时无解，所以选项D不正确，
故选：AC．
6．（多选）（2022·重庆八中高三阶段练习）设，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【解析】对于A：因为，所以，当且仅当，即时取等号，所以成立.故A正确；
对于B：因为，所以，当且仅当时取等号.
所以成立.故B正确；
对于C：因为，所以，所以.
记，则，所以，所以
，即.故C错误；
对于D：因为所以.故D错误.
故选：AB
7．（2022·天津市西青区杨柳青第一中学高三阶段练习）已知，为正实数，且，则的最小值为____________，此时____________．
【答案】
【解析】,为正实数, 且,
当且仅当 即，时取“=”
故答案为:
8．（2022·浙江·镇海中学模拟预测）已知，则的最小值为___________.
【答案】9
【解析】，
当且仅当时等号成立，取等条件满足，所以的最小值为9.
故答案为：9
9．（2022·天津·大港一中高三阶段练习）设，那么的最小值是___________.
【答案】
【解析】解：，所以，当且仅当，即时取等号；
所以，所以，当且仅当，即时取等号，所以，当且仅当、时取等号；
故答案为：
10．（2022·天津河北·一模）已知，，且，则的最大值为__________.
【答案】
【解析】
.
因为，，且，
所以
，当且仅当即时取等.
所以.，即的最大值为.
故答案为：.
11．（2022·全国·高三专题练习）已知，求 的最小值；
【答案】
【解析】由
.
所以≥，当且仅当时等号成立，
综上，的最小值为.
考点2 利用基本不等式证明不等式
[名师点睛]
证明不等式时，可依据待求证式两端的式子结构，合理选择重要不等式及其变形不等式来证．
先局部运用基本不等式，然后利用不等式的性质，通过不等式相加(有时相乘)综合推出要求证的不等式，这种证明方法在证明轮换对称不等式时具有一定的普遍性．
[典例]　
（2022·全国·高三专题练习）已知都是正数，求证：
(1)；
(2)若，则.
【解】(1)
，
∵都是正数，∴，
当且仅当“”时等号成立，∴.
(2)
，
当且仅当“”时等号成立，∴.
[举一反三]　
1．（2022·云南·昆明一中高三阶段练习（文））已知a，b，c为正数.
(1)求的最小值；
(2)求证：.
【解】
(1)因为，当且仅当“”时等号成立，
所以当时，的最小值为.
(2)因为，同理，，
所以三式相加得，
所以，当且仅当“”时等号成立
2．（2022·陕西·西安工业大学附中高三阶段练习（文））已知.
(1)若，求的最小值；
(2)求证：.
【解】(1)因为，所以，
又，所以，所以
当且仅当，即时取等号，所以的最小值为.
(2)因为①，②，③，
所以，由①②③，同向不等式相加可得：
，当且仅当，即时取等号.
即成立.
3．（2022·河南开封·二模（文））已知，且abc=1.
(1)求证：；
(2)若a=b+c，求a的最小值.
【解】
(1)
，
当且仅当时等号成立.
(2)依题意，，
所以，当且仅当时等号成立.
所以，
所以的最小值为，此时.
4．（2022·全国·高三专题练习）已知正数，，满足．
(1)求的最大值；
(2)证明：．
【解】(1)由，当且仅当时，取得等号．
又，所以．
故当且仅当时，取得最大值1．
(2)证明：要证，需证．
因为
，
即，当且仅当时取得等号．故．
考点3 基本不等式中的恒成立问题
[名师点睛]
1．已知不等式恒成立求参数范围的一般方法是分离参数法，且有a>f(x)恒成立 a>f(x)max，a2．求最值时要注意其中变量的条件，有些不能用基本不等式的问题可考虑利用函数的单调性．
[典例]　
1．（2022·全国·高三专题练习）若对任意恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：因为，所以，当且仅当即时取等号，因为恒成立，所以，即；
故选：C
2．（2022·全国·高三专题练习）设，，且恒成立，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：等价于，
故得到则的最大值是4.
故选：C.
[举一反三]　
1．（2021·重庆梁平·高三阶段练习）已知正实数a，b满足，若不等式对任意的实数x恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，，，
所以，当且仅当，即，时取等号．
由题意，得，即对任意的实数x恒成立，又，所以，即．
故选：D．
2．（2021·浙江·模拟预测）对任意正实数不等式恒成立，则（ ）
A．实数有最小值1 B．实数有最大值1
C．实数有最小值 D．实数有最大值
【答案】C
【解析】，故，，
当时，不等式恒成立；
当时，，
，时等号成立，，故，故.
故选：C.
3．（多选）（2022·全国·高三专题练习）当，，时，恒成立，则的取值可能是（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】AB
【解析】因为，，所以，当且仅当时，等号成立．
因为．
若恒成立，则，解得．
故选：AB.
4．（2022·全国·高三专题练习）不等式对任意正数x，y，z恒成立，则a的最大值是__________．
【答案】1
【解析】因为，当时取等号，所以
的最大值是，即，
解得，所以a的最大值是1．
故答案为：
5．（2021·重庆一中高三阶段练习）已知对任意正实数，，恒有，则实数的最小值是___________.
【答案】2
【解析】解：因为，则，
则，即，
又，
因为，所以，所以，
即，当且仅当时，取等号，
所以，
所以，即实数的最小值是2.
故答案为：2.
6．（2022·全国·高三专题练习）若不等式对一切正实数恒成立，则实数的最小值为_____．
【答案】2
【解析】，当且仅当时取等号，
，的最小值为2
故答案为：2
考点4 基本不等式与其他专题综合
[名师点睛]
有关函数最值的实际问题的解题技巧
1．根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值．
2．解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围．
3．在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解．
[典例]　
1．（2022·安徽安庆·二模（文））若函数在内单调递增，则实数的取值范围是___________.
【答案】
【解析】因函数在内单调递增，则，，
即，整理得，
当时，则成立，，
当时，，而，
当且仅当，即时取“=”，则有，
当时，，而，
当且仅当，即时取“=”，则有，
综上得，
所以实数的取值范围是.
故答案为：
2.[2021湖北鄂东南联考]方程(x2 018＋1)(1＋x2＋x4＋…＋x2 016)＝2 018x2 017的实数解的个数为________．
[答案]　1　[解析]　由题意知x>0，∴(x2 018＋1)(1＋x2＋x4＋…＋x2 016)≥ 2×(2＋2＋…＋2)＝2 018x2 017，当且仅当x＝1时等号成立，因此实数解的个数为1.
3．（2022·广东·高三阶段练习）在足球比赛中，球员在对方球门前的不同的位置起脚射门对球门的威胁是不同的，出球点对球门的张角越大，射门的命中率就越高.如图为室内5人制足球场示意图，设球场（矩形）长大约为40米，宽大约为20米，球门长大约为4米.在某场比赛中有一位球员欲在边线上某点处射门（假设球贴地直线运行），为使得张角最大，则大约为（ ）（精确到1米）
A．8米 B．9米 C．10米 D．11米
【答案】C
【解析】由题意知，，设，则，所以，当且仅当，即时取等号，又因为，所以大约为10米.
故选：C.
[举一反三]　
1．（2022·北京·101中学高三阶段练习）已知某产品的总成本C（单位：元）与年产量Q（单位：件）之间的关系为．设该产品年产量为Q时的平均成本为f（Q）（单位：元/件），则f（Q）的最小值是（ ）
A．30 B．60 C．900 D．1800
【答案】B
【解析】 ，当且仅当，即当时等号成立.
所以f（Q）的最小值是60.
故选：B.
2．（多选）（2022·重庆·模拟预测）已知为锐角三角形，且，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．的最小值为4
【答案】ABC
【解析】解：因为，
两边同除得，故A正确；
由均值不等式解得当且仅当时取等号，
，所以，故B正确；
，由，所以，所以得，故C正确；
，
由且在上单调递增，所以的最小值为，故D错误．
故选：ABC
3．（2021·全国·高三专题练习）如图，将一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，要求点在上，点在上，且对角线过点，已知，，那么当_______时，矩形花坛的面积最小，最小面积为______.
【答案】 4 48
【解析】解：设，则，则，
则，
当且仅当，即时等号成立，故矩形花坛的面积最小值为．
即当时，矩形花坛的面积最小，最小面积为48.
故答案为：4；48.

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