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第7讲　函数的单调性与最值
1．函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数 减函数
定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D I，如果 x1，x2∈D
当x1图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的
(2)单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间D上是 或 ，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．
2．函数的最值
前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件 (1) x∈I，都有 ； (2) x0∈I，使得 (1) x∈I，都有 ； (2) x0∈I，使得
结论 M为最大值 M为最小值
考点1 函数的单调性
[名师点睛]
确定函数单调性的四种方法
(1)定义法：利用定义判断．
(2)导数法：适用于初等函数可以求导的函数．
(3)图象法：由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集；二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接．
(4)性质法：利用函数单调性的性质，尤其是利用复合函数“同增异减”的原则时，需先确定简单函数的单调性．
[典例]　
1．（2022·全国·高三专题练习）函数的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·高三专题练习）讨论函数（）在上的单调性.
[举一反三]　
1．（2022·全国·高三专题练习）函数的单调递增区间是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·全国·高三专题练习）函数单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．递增区间是 B．递减区间是
C．递增区间是 D．递增区间是
4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数的图象如图所示，则函数的单调递增区间为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
5．（2022·广西柳州·三模）下列函数在上是单调递增函数的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·全国·高三专题练习）函数y=|-x2+2x+1|的单调递增区间是_________ ；单调递减区间是_________．
7．（2022·全国·高三专题练习）函数的单调递增区间是_____．
8．（2022·福建·三模）写出一个同时具有下列性质①②③的函数________.
①定义域为；②值域为；③对任意且，均有.
（2022·全国·高三专题练习）已知函数f（x）lg．判断并证明函数f（x）的单调性；
（2022·全国·高三专题练习）已知定义域为实数集R的函数．判断函数
f（x）在R上的单调性，并用定义证明．
考点2 函数单调性的应用
[名师点睛]
函数单调性应用问题的常见类型及解题策略
(1)比较大小：比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，则要利用函数性质，将自变量的值转化到同一个单调区间上进行比较，进而得出相应函数值的大小关系，对于选择题、填空题，通常选用数形结合的方法进行求解．
(2)求最值：先确定函数的单调性，再由单调性求最值．
(3)解不等式：利用函数的单调性将“f”符号去掉，转化为具体的不等式求解，应注意函数的定义域．
(4)利用函数单调性求参数
①依据函数的图像或单调性定义等方法，确定函数的单调区间，与已知单调区间进行比较．
②需注意若函数在区间[a，b]上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也单调．
③分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值情况．
[典例]　
1．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知函数，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·广东深圳·高三期末）已知函数，则的最大值为______．
3．（2022·河北唐山·二模）已知函数，若，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A．，， B．
C．，， D．，，
[举一反三]　
1．（2022·辽宁朝阳·高三开学考试）已知函数是定义在R上的偶函数，对任意两个不相等的正数，都有，记，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·重庆·模拟预测）设函数，若，，，则（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·全国·高三专题练习）函数在上的值域为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·重庆八中模拟预测）已知函数是定义在R上的偶函数，且在单调递减，，则的解集为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022·河北·模拟预测）设函数则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022·全国·高三专题练习）若函数是上的单调函数，则的取值范围（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·全国·高三专题练习）函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2022·全国·高三专题练习）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．（多选）（2022·全国·高三专题练习）函数在区间上单调递增，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．（2022·山东·济南市历城第二中学模拟预测）函数在上是减函数，则实数的范围是_______.
11．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f(x)＝(m≠1)在区间(0，1]上是减函数，则实数m的取值范围是________．
12．（2022·全国·高三专题练习）已知函数满足：①；②在上是减函数；③.请写出一个满足以上条件的___________.
13．（2022·全国·高三专题练习）已知y=f(x)是定义在区间(-2，2)上单调递减的函数，若f(m-1)>f(1-2m)，则m的取值范围是_______.
14．（2022·全国·高三专题练习）若函数在内不单调，则实数a的取值范围是__________．
15．（2022·全国·高三专题练习）已知函数是定义在的递减函数，若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.
16．（2022·全国·高三专题练习）已知函数.
（1）若，求函数的定义域；
（2）是否存在实数，使得函数在定义域内具有单调性？若存在，求出的取值范围
第7讲　函数的单调性与最值
1．函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数 减函数
定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D I，如果 x1，x2∈D
当x1f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上是减函数
图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的
(2)单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．
2．函数的最值
前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件 (1) x∈I，都有f(x)≤M； (2) x0∈I，使得f(x0)＝M (1) x∈I，都有f(x)≥M； (2) x0∈I，使得f(x0)＝M
结论 M为最大值 M为最小值
考点1 函数的单调性
[名师点睛]
确定函数单调性的四种方法
(1)定义法：利用定义判断．
(2)导数法：适用于初等函数可以求导的函数．
(3)图象法：由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集；二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接．
(4)性质法：利用函数单调性的性质，尤其是利用复合函数“同增异减”的原则时，需先确定简单函数的单调性．
[典例]　
1．（2022·全国·高三专题练习）函数的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
由题意，可得，解得或，
所以函数的定义域为，
二次函数的对称轴为，且在上的单调递增区间为，
根据复合函数的单调性，可知函数的单调递增区间是.
故选：B.
2．（2022·全国·高三专题练习）讨论函数（）在上的单调性.
【解】任取、，且，，则：
，
当时，，即，函数在上单调递减；
当时，，即，函数在上单调递增.
[举一反三]　
1．（2022·全国·高三专题练习）函数的单调递增区间是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
令，解得，
令，则，
∵函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，在定义域内递增，
∴根据复合函数的单调性可知，函数的单调递增区间是
故选：C
2．（2022·全国·高三专题练习）函数单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
令，．由，得．
因为函数是关于的递减函数，且时，为增函数，所以为减函数，
所以函数的单调减区间是．
故选：C.
3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．递增区间是 B．递减区间是
C．递增区间是 D．递增区间是
【答案】D
【解析】
因为函数，作出函数的图象，
如图所示：
由图可知，递增区间是，递减区间是和．
故选：D．
4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数的图象如图所示，则函数的单调递增区间为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【解析】
因为在上为减函数，所以只要求的单调递减区间，且.
由图可知，使得函数单调递减且满足的的取值范围是.
因此，函数的单调递增区间为、.
故选：C.
5．（2022·广西柳州·三模）下列函数在上是单调递增函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
选项A. 函数在上只有单调增区间，但不是一直单调递增，故不满足；
选项B. 由复合函数的单调性可知函数在上单调递减，故不满足；
选项C. 函数在上单调递减，故不满足；
选项D. 函数在上单调递增，故满足，
故选：D
6．（2022·全国·高三专题练习）函数y=|-x2+2x+1|的单调递增区间是_________ ；单调递减区间是_________．
【答案】 ， ，
【解析】
作出函数y=|-x2+2x+1|的图像，如图所示，
观察图像得，函数y=|-x2+2x+1|在和上单调递增，在和上单调递减，
所以原函数的单调增区间是，，单调递减区间是，.
故答案为：，；，
7．（2022·全国·高三专题练习）函数的单调递增区间是_____．
【答案】
【解析】
，解得，
令，
对称轴为，所以函数在为单调递增；在上单调递减.
所以函数的单调递增区间是.
故答案为：
8．（2022·福建·三模）写出一个同时具有下列性质①②③的函数________.
①定义域为；②值域为；③对任意且，均有.
【答案】（答案不唯一）
【解析】
，定义域为；，，值域为；
是增函数，满足对任意且，均有.
故答案为：（答案不唯一）.
9．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f（x）lg．判断并证明函数f（x）的单调性；
【解】由题意，，解得
故f（x）的定义域为（0，4）
令，，由于在（0，4）单调递减，在单调递增，因此在（0，4）单调递减，又在（0，4）单调递减，故f（x）在（0，4）上单调递减，证明如下：
设0＜x1＜x2＜4，则：
，
∵0＜x1＜x2＜4，
∴x2﹣x1＞0，x1x2＞0，4﹣x1＞4﹣x2＞0，，
∴，
∴f（x1）＞f（x2），
∴f（x）在（0，4）上单调递减
（2022·全国·高三专题练习）已知定义域为实数集R的函数．判断函数
f（x）在R上的单调性，并用定义证明．
【解】由题意，
令，由于在上单调递增，在单调递减，由复合函数单调性可知f（x）在R上为减函数.
证明：设 x1，x2∈R，且x1＜x2，
所以f（x1）﹣f（x2），
由于x1＜x2，y＝2x在R上单增
所以，且2x＞0
所以f（x1）＞f（x2），
所以f（x）在R上单调递减．
考点2 函数单调性的应用
[名师点睛]
函数单调性应用问题的常见类型及解题策略
(1)比较大小：比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，则要利用函数性质，将自变量的值转化到同一个单调区间上进行比较，进而得出相应函数值的大小关系，对于选择题、填空题，通常选用数形结合的方法进行求解．
(2)求最值：先确定函数的单调性，再由单调性求最值．
(3)解不等式：利用函数的单调性将“f”符号去掉，转化为具体的不等式求解，应注意函数的定义域．
(4)利用函数单调性求参数
①依据函数的图像或单调性定义等方法，确定函数的单调区间，与已知单调区间进行比较．
②需注意若函数在区间[a，b]上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也单调．
③分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值情况．
[典例]　
1．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知函数，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】的定义域为，
因为，所以为偶函数，
所以，，
当时，，因为，所以，
所以，，所以，所以在上单调递增，
因为在上单调递增，且，所以，即，因为在上为增函数，且，
所以，即，所以，
所以，即，
故选：A
2．（2022·广东深圳·高三期末）已知函数，则的最大值为______．
【答案】
【解析】
解：时，单调递增，；
时，单调递减，.
所以的最大值为．
故答案为：．
3．（2022·河北唐山·二模）已知函数，若，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
解：定义域为R，
又，
所以是奇函数，
当时，，
当时，，易知在上递增，
所以在定义域R上递增，
又，所以，解得，
故选：C
4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A．，， B．
C．，， D．，，
【答案】C
【解析】
解：根据题意，函数，
若在区间上单调递减，必有，
解可得：或，即的取值范围为，，，
故选：C．
[举一反三]　
1．（2022·辽宁朝阳·高三开学考试）已知函数是定义在R上的偶函数，对任意两个不相等的正数，都有，记，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
依题意，，，，
于是得函数在上单调递增，而函数是R上的偶函数，即，
显然有，因此得：，
所以.
故选：B
2．（2022·重庆·模拟预测）设函数，若，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
解：因为，又在上单调递增，在上单调递减，则在上单调递减且，又在上单调递减且，所以在上单调递减，
又因为，即，，即，，即，所以，所以；
故选：D
3．（2022·全国·高三专题练习）函数在上的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
设，，，则，则，
根据双勾函数性质：函数在上单调递减，在上单调递增，
，，
故函数值域为.
故选：C.
4．（2022·重庆八中模拟预测）已知函数是定义在R上的偶函数，且在单调递减，，则的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为函数是定义在R上的偶函数，所以的图象关于直线对称.因为在上单调递减，所以在上单调递增.
因为，所以.
所以当时，；当时，．
由，得或解得．
故选：C
5．（2022·河北·模拟预测）设函数则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
解：因为，所以，，
则，即，
的函数图象如下所示：
由函数图象可知当时且在上单调递减，所以等价于，即，解得，即；
故选：A
6．（2022·全国·高三专题练习）若函数是上的单调函数，则的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
因为分段函数在上的单调函数，由于开口向上，故在上单调递增，故分段函数在在上的单调递增，所以要满足：，解得：
故选：B
7．（2022·全国·高三专题练习）函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
解：函数的图像的对称轴为，
因为函数在区间上单调递增，
所以，解得，
所以的取值范围为，
故选：D
8．（2022·全国·高三专题练习）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
由题意可知，在上为减函数，则，
函数在上为减函数，且有，
所以，，解得.
综上所述，实数的取值范围是.
故选：B.
9．（多选）（2022·全国·高三专题练习）函数在区间上单调递增，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【解析】
，
在区间上单调递增，
，，
由在区间上单调递增，
.
故选：AC
10．（2022·山东·济南市历城第二中学模拟预测）函数在上是减函数，则实数的范围是_______.
【答案】
【解析】
函数，定义域为，
又，
因为函数在上是减函数，所以只需在上是减函数，
因此，解得.
故答案为：
11．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f(x)＝(m≠1)在区间(0，1]上是减函数，则实数m的取值范围是________．
【答案】(－∞，0)∪(1，4]
【解析】
由题意可得4－mx≥0，x∈(0，1]恒成立，所以m≤min＝4．
当00，解得1当m<0时，4－mx单调递增，所以m－1<0，解得m<1，所以m<0．
故实数m的取值范围是(－∞，0)∪(1，4]．
故答案为： (－∞，0)∪(1，4].
12．（2022·全国·高三专题练习）已知函数满足：①；②在上是减函数；③.请写出一个满足以上条件的___________.
【答案】
【解析】
由可得关于对称，
所以开口向下，对称轴为，且过原点的二次函数满足题目中的三个条件，
故答案为：
13．（2022·全国·高三专题练习）已知y=f(x)是定义在区间(-2，2)上单调递减的函数，若f(m-1)>f(1-2m)，则m的取值范围是_______.
【答案】
【解析】
由题意得：解得故答案为：
14．（2022·全国·高三专题练习）若函数在内不单调，则实数a的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
解：由题意得的对称轴为，
因为函数在内不单调，所以，得．
故答案为：．
15．（2022·全国·高三专题练习）已知函数是定义在的递减函数，若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【解】因为函数是定义在的递减函数，
所以对，恒成立在，恒成立.
整理，当，时，恒成立，
（1）当，，所以；
（2）当时，恒成立，
都在上为减函数
在上为减函数，
，恒成立.
结合当时，①
又，当
故在上是减函数，.
恒成立②
①、②两式求交集
由（1）（2）可知当，时，对任意，时，恒成立.
16．（2022·全国·高三专题练习）已知函数.
（1）若，求函数的定义域；
（2）是否存在实数，使得函数在定义域内具有单调性？若存在，求出的取值范围.
【解】
（1），∴，解得；
所以函数的定义域为.
（2）当，，在递减，
此时需满足，即时，函数在上递减；
当，，在上递减，
∵，
∴，即当时，函数在上递减；
综上，当时，函数在定义域上连续，且单调递减.
所以的取值范围是

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