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第8讲　函数的奇偶性及周期性
1．函数的奇偶性
奇偶性 定义 图象特点
偶函数 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有 ，那么函数f(x)就叫做偶函数 关于 对称
奇函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有 ，那么函数f(x)就叫做奇函数 关于 对称
2.函数的周期性
(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有 ，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个 的正数，那么这个
正数就叫做f(x)的最小正周期．
常用结论
1．函数奇偶性的常用结论
(1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．
(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．
(3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
2．函数周期性的常用结论
对f(x)定义域内任一自变量的值x：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)．
(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0)．
(3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0)．
考点1 函数的奇偶性
[名师点睛]
1.函数具有奇偶性包括两个必备条件：
(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域．
(2)判断f(x)与f(－x)的关系．在判断奇偶性时，可以转化为判断奇偶性的等价关系式f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数)是否成立．
2.利用函数奇偶性可以解决的问题
(1)求函数值：将待求值利用奇偶性转化为求已知解析式的区间上的函数值．
(2)求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知解析式的区间上，再利用奇偶性的定义求出．
(3)求解析式中的参数：利用待定系数法求解，根据f(x)±f(－x)＝0得到关于参数的恒等式，由系数的对等性得方程(组)，进而得出参数的值．
(4)画函数图像：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图像．
(5)求特殊值：利用奇函数的最大值与最小值之和为零可求一些特殊结构的函数值．
[典例]　
1．（2022·全国·高三专题练习）判断下列函数的奇偶性：
（1）f(x)＝＋；
（2）f(x)＝(x＋1)；
（3）f(x)＝.
（4）f(x)＝
2．（2022·山东·青岛二中高三期末）设函数的定义域为R且满足是奇函数，则f（2）=（ ）
A．－1 B．1 C．0 D．2
3．（2022·河南·高三阶段练习）已知为奇函数，当时，，则当时，（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·江苏南通·模拟预测）若函数为奇函数，则实数的值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
[举一反三]　
1．（2022·海南海口·模拟预测）已知函数，则下列函数是奇函数的是（ ）
A．f(x)+1 B．f(x)－1 C．f(x+1) D．f(x－1)
2．（2022·山东菏泽·高三期末）设函数，的定义域分别为F，G，且.若对任意的，都有，则称为在G上的一个“延拓函数”.已知函数，若为在上的一个延拓函数，且是偶函数，则函数的解析式是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·江苏省昆山中学高三阶段练习）已知函数的定义域为R，为偶函数，为奇函数，则（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·北京四中高三阶段练习）若函数f（x）是奇函数，当时，，则（ ）
A．2 B．-2 C． D．
5．（2022·江苏·二模）已知函数为偶函数，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022·全国·高三专题练习）设，满足，则（ ）
A． B． C． D．6
7．（2022·湖北武汉·二模）若一个偶函数的值域为，则这个函数的解析式可以是___________.
8．（2022·全国·高三专题练习）设为定义在上的奇函数，当时，，则_______．
9．（2022·湖南·长郡中学高三阶段练习）已知函数是奇函数，则___________.
10．（2022·上海宝山·二模）如果函数是奇函数，则__．
11．（2022·全国·高三专题练习）判断下列函数的奇偶性：
（1）f(x)＝＋；
（2）f(x)＝(x＋1) ；
（3）f(x)＝.
12．（2022·北京·高三专题练习）已知定义在上的奇函数满足，且当时，.
(1)求和的值；
(2)求在上的解析式.
13．（2022·全国·高三专题练习）若函数是奇函数，是偶函数，且其定义域均为.若，求，的解析式.
考点2 函数的周期性
[名师点睛]
1．判断函数的周期性只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．
2．根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意：若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期．
[典例]　
1．（多选）（2022·江苏·涟水县第一中学高三期中）已知是上的奇函数，是上的偶函数，且当时，，则下列说法正确的是（ ）
A．最小正周期为4 B．
C． D．
2．（2022·江苏·华罗庚中学高三阶段练习）已知是定义在上的函数，对任意实数都有，且当时，，则______．
[举一反三]　
1．（2022·湖北武汉·二模）定义在上的函数满足，则下列是周期函数的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·安徽蚌埠·三模）已知定义域为的偶函数满足，，则（ ）
A． B．-1 C．1 D．
3．（2022·陕西咸阳·二模）已知函数为定义在上的奇函数，且，则（ ）
A．2019 B．3 C．-3 D．0
4．（2022·江苏·二模）已知是定义域为R的偶函数，f(5.5)＝2，g(x)＝(x－1).若g(x＋1)是偶函数，则＝( )
A．－3 B．－2 C．2 D．3
5．（多选）（2022·河北·模拟预测）若函数（）是周期为2的奇函数．则下列选项一定正确的是（ ）
A．函数的图象关于点对称
B．2是函数的一个周期
C．
D．
6．（多选）（2022·江苏泰州·模拟预测）已知定义在上的单调递增的函数满足：任意，有，，则（ ）
A．当时，
B．任意，
C．存在非零实数，使得任意，
D．存在非零实数，使得任意，
7．（2022·上海市建平中学高三阶段练习）函数是以π为周期的奇函数，且，那么___________．
8．（2022·湖南·长沙市南雅中学高三阶段练习）设f(x)是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝2x，则＝________.
考点3 函数的对称性
[名师点睛]
(1)若函数f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则y＝f(x)的图像关于直线x＝对称．
(2)若函数f(x)满足f(a＋x)＝－f(b－x)，则y＝f(x)的图像关于点对称．
(3)若函数f(x)满足f(a＋x)＋f(b－x)＝c，则函数f(x)的图像关于点对称．
[典例]　
1．（2022·黑龙江·哈尔滨三中三模）定义在R上的函数满足以下三个条件：①对于任意的实数，都有成立；②函数的图象关于y轴对称；③对任意的，，，都有成立.则，，的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·福建福州·三模）定义在上的函数满足.若的图象关于直线对称，则下列选项中一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
[举一反三]　
1．（2022·安徽蚌埠·模拟预测）若幂函数满足，则下列关于函数的判断正确的是（ ）
A．是周期函数 B．是单调函数
C．关于点对称 D．关于原点对称
2．（2022·全国·模拟预测）已知定义在R上的奇函数的图象关于直线对称，且在上单调递增，若，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·山西太原·二模）已知函数，则（ ）
A．在上单调递增 B．在上单调递减
C．的图象关于直线x=1对称 D．的图象关于点对称
4．（2022·安徽合肥·二模）函数（是自然对数的底数）的图象关于（ ）
A．直线对称 B．点对称
C．直线对称 D．点对称
5．（2022·广东佛山·二模）设且，函数，若，则下列判断正确的是（　　）
A．的最大值为-a B．的最小值为-a
C． D．
6．（多选）（2022·辽宁锦州·一模）设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．在上为减函数
C．点是函数的一个对称中心 D．方程仅有个实数解
7．（2022·江苏江苏·三模）写出一个同时具有下列性质①②③的函数___________.①是定义域为的奇函数；②；③
第8讲　函数的奇偶性及周期性
1．函数的奇偶性
奇偶性 定义 图象特点
偶函数 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数 关于y轴对称
奇函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数 关于原点对称
2.函数的周期性
(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
常用结论
1．函数奇偶性的常用结论
(1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．
(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．
(3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
2．函数周期性的常用结论
对f(x)定义域内任一自变量的值x：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)．
(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0)．
(3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0)．
考点1 函数的奇偶性
[名师点睛]
1.函数具有奇偶性包括两个必备条件：
(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域．
(2)判断f(x)与f(－x)的关系．在判断奇偶性时，可以转化为判断奇偶性的等价关系式f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数)是否成立．
2.利用函数奇偶性可以解决的问题
(1)求函数值：将待求值利用奇偶性转化为求已知解析式的区间上的函数值．
(2)求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知解析式的区间上，再利用奇偶性的定义求出．
(3)求解析式中的参数：利用待定系数法求解，根据f(x)±f(－x)＝0得到关于参数的恒等式，由系数的对等性得方程(组)，进而得出参数的值．
(4)画函数图像：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图像．
(5)求特殊值：利用奇函数的最大值与最小值之和为零可求一些特殊结构的函数值．
[典例]　
1．（2022·全国·高三专题练习）判断下列函数的奇偶性：
（1）f(x)＝＋；
（2）f(x)＝(x＋1)；
（3）f(x)＝.
（4）f(x)＝
【解】（1）由得x＝±3.
∴f(x)的定义域为{－3，3}，此时f(x)＝0.
即f(x)＝±f(－x)．∴f(x)既是奇函数，又是偶函数．
（2）由得－1∵f(x)的定义域(－1，1]不关于原点对称．
∴f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．
（3）由得－2≤x≤2且x≠0.
∴f(x)的定义域为[－2，0)∪(0，2]，关于原点对称．此时，有f(x)＝＝，
∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．
（4）当x>0时，f(x)＝－x2＋2x＋1，
－x<0，f(－x)＝(－x)2＋2(－x)－1＝x2－2x－1＝－f(x)；
当x<0时，f(x)＝x2＋2x－1，
－x>0，f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＋1＝－x2－2x＋1＝－f(x)．
所以f(x)为奇函数．
2．（2022·山东·青岛二中高三期末）设函数的定义域为R且满足是奇函数，则f（2）=（ ）
A．－1 B．1 C．0 D．2
【答案】C
【解析】
令，因为为奇函数，所以，
故选：C.
3．（2022·河南·高三阶段练习）已知为奇函数，当时，，则当时，（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
因为为奇函数，所以，即．
当时，，．
故选：C
4．（2022·江苏南通·模拟预测）若函数为奇函数，则实数的值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】D
【解析】
由为奇函数，
所以，
所以，可得，
解得，
当时，的定义域为，符合题意，
当时，的定义域为符合题意，
故选：D
[举一反三]　
1．（2022·海南海口·模拟预测）已知函数，则下列函数是奇函数的是（ ）
A．f(x)+1 B．f(x)－1 C．f(x+1) D．f(x－1)
【答案】C
【解析】
的图象是由的图象向右平移1个单位得出的，因此其图象关于点对称，只有把的的图象向左平移1个单位，图象才会关于原点对称，
所以只有，是奇函数．
故选：C．
2．（2022·山东菏泽·高三期末）设函数，的定义域分别为F，G，且.若对任意的，都有，则称为在G上的一个“延拓函数”.已知函数，若为在上的一个延拓函数，且是偶函数，则函数的解析式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
解：是偶函数
定义域关于原点对称
对于选项A：是偶函数，当时，，则不满足条件，A错误；
对于选项B：当时，无意义，则定义域不满足条件，B错误；
对于选项C：是偶函数，当时，，满足条件，C正确；
对于选项D：当时，无意义，则定义域不满足条件，D错误；
故选：C
3．（2022·江苏省昆山中学高三阶段练习）已知函数的定义域为R，为偶函数，为奇函数，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
解：若为奇函数，则，令，则，即有，
又为偶函数，可得， 令，则；
故选：C．
4．（2022·北京四中高三阶段练习）若函数f（x）是奇函数，当时，，则（ ）
A．2 B．-2 C． D．
【答案】C
【解析】
由奇函数得，而
得
故选：C
5．（2022·江苏·二模）已知函数为偶函数，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
因为为偶函数，所以，即
解之得，经检验符合题意.则
由，可得
故的解集为，
故选：B.
6．（2022·全国·高三专题练习）设，满足，则（ ）
A． B． C． D．6
【答案】B
【解析】
可化为：.
记，定义域为R.
因为，所以在R上单调递增.
又，
所以为奇函数.所以由可得：，所以2.
故选：B
7．（2022·湖北武汉·二模）若一个偶函数的值域为，则这个函数的解析式可以是___________.
【答案】（答案不唯一）
【解析】取，函数的定义域为且关于原点对称，
，所以函数为偶函数.
，即
所以函数的值域为.
故答案为：（答案不唯一，其它正确答案同样给分）.
8．（2022·全国·高三专题练习）设为定义在上的奇函数，当时，，则_______．
【答案】－3
【解析】∵f(x)为R上的奇函数，∴f(0)＝0，∴m＝－1，∴f(－1)＝－f(1)＝－3，
故答案为：－3．
9．（2022·湖南·长郡中学高三阶段练习）已知函数是奇函数，则___________.
【答案】
【解析】由题意，函数为定义域上的奇函数，则有，
所以，可得.
故答案为：
10．（2022·上海宝山·二模）如果函数是奇函数，则__．
【答案】
【解析】
设，.
故答案为：
11．（2022·全国·高三专题练习）判断下列函数的奇偶性：
（1）f(x)＝＋；
（2）f(x)＝(x＋1) ；
（3）f(x)＝.
【解】（1）由 x2＝1 x＝±1，故函数f(x)的定义域为{－1，1}，关于原点对称，且f(x)＝0，所以f(－x)＝f(x)＝－f(x)，所以函数f(x)既是奇函数又是偶函数．
（2）因为f(x)有意义，则满足≥0，所以－1所以f(x)的定义域不关于原点对称，所以f(x)为非奇非偶函数．
（3）因为所以－2≤x≤2且x≠0，
所以定义域关于原点对称．又f(－x)＝＝，
所以f(－x)＝f(x)．故函数f(x)为偶函数．
12．（2022·北京·高三专题练习）已知定义在上的奇函数满足，且当时，.
(1)求和的值；
(2)求在上的解析式.
【解】(1)满足，
，
.
(2)由题意知，.当时，.
由是奇函数，
，
综上，在上，
13．（2022·全国·高三专题练习）若函数是奇函数，是偶函数，且其定义域均为.若，求，的解析式.
【解】依题意，函数是奇函数，是偶函数，
解得，.
考点2 函数的周期性
[名师点睛]
1．判断函数的周期性只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．
2．根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意：若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期．
[典例]　
1．（多选）（2022·江苏·涟水县第一中学高三期中）已知是上的奇函数，是上的偶函数，且当时，，则下列说法正确的是（ ）
A．最小正周期为4 B．
C． D．
【答案】BCD
【解析】
因为是偶函数， 所以，
又因为是奇函数，所以，所以，
所以，
所以，所以的周期为，故A错误；
又当时，，
所以，选项B正确；
，选项C正确；
，选项D正确.
故选：BCD.
2．（2022·江苏·华罗庚中学高三阶段练习）已知是定义在上的函数，对任意实数都有，且当时，，则______．
【答案】
【解析】因为，则，故可得，
故的一个周期为，则，
对，令，故可得.
即.
故答案为：.
[举一反三]　
1．（2022·湖北武汉·二模）定义在上的函数满足，则下列是周期函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
依题意，定义在上的函数满足，
所以，
所以是周期为的周期函数.
故选：D
2．（2022·安徽蚌埠·三模）已知定义域为的偶函数满足，，则（ ）
A． B．-1 C．1 D．
【答案】C
【解析】解：因为函数是定义域为的偶函数，
所以，
又因为，
所以，
则，即，
所以周期为，
因为，
，
故选：C
3．（2022·陕西咸阳·二模）已知函数为定义在上的奇函数，且，则（ ）
A．2019 B．3 C．-3 D．0
【答案】D
【解析】
因为函数为定义在上的奇函数，所以，
令x=0得：，即.
因为，所以为周期T=3的周期函数，
所以.
故选：D
4．（2022·江苏·二模）已知是定义域为R的偶函数，f(5.5)＝2，g(x)＝(x－1).若g(x＋1)是偶函数，则＝( )
A．－3 B．－2 C．2 D．3
【答案】D
【解析】为偶函数，则关于对称，即，
即，即，
关于对称，又f(x)是定义域为R的偶函数，
∴，
∴f(x－4)＝f[(x－2)－2]＝－f(x－2)＝－[－f(x)]＝f(x)，即f(x－4)＝f(x)，
周期为，
∴，
.
故选：D.
5．（多选）（2022·河北·模拟预测）若函数（）是周期为2的奇函数．则下列选项一定正确的是（ ）
A．函数的图象关于点对称
B．2是函数的一个周期
C．
D．
【答案】AC
【解析】
函数是奇函数，，函数图象关于点对称，故A正确；
函数是周期为2，所以的周期为4，故B错误；
函数是周期为2的奇函数， ，故C正确；
，无法判断的值，故D错误.
故选：AC.
6．（多选）（2022·江苏泰州·模拟预测）已知定义在上的单调递增的函数满足：任意，有，，则（ ）
A．当时，
B．任意，
C．存在非零实数，使得任意，
D．存在非零实数，使得任意，
【答案】ABD
【解析】对于A，令，则，即，
又，；
令得：，，，，
则由可知：当时，，A正确；
对于B，令，则，即，
，
由A的推导过程知：，，B正确；
对于C，为上的增函数，
当时，，则；当时，，则，
不存在非零实数，使得任意，，C错误；
对于D，当时，；
由，知：关于，成中心对称，则当时，为的对称中心；
当时，为上的增函数，，，，
；
由图象对称性可知：此时对任意，，D正确.
故选：ABD.
7．（2022·上海市建平中学高三阶段练习）函数是以π为周期的奇函数，且，那么___________．
【答案】
【解析】
由题可知，.
故答案为：.
8．（2022·湖南·长沙市南雅中学高三阶段练习）设f(x)是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝2x，则＝________.
【答案】－1
【解析】因为f(x)是周期为2的奇函数，
所以f＝－f＝－f＝－1.
故答案为：-1
考点3 函数的对称性
[名师点睛]
(1)若函数f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则y＝f(x)的图像关于直线x＝对称．
(2)若函数f(x)满足f(a＋x)＝－f(b－x)，则y＝f(x)的图像关于点对称．
(3)若函数f(x)满足f(a＋x)＋f(b－x)＝c，则函数f(x)的图像关于点对称．
[典例]　
1．（2022·黑龙江·哈尔滨三中三模）定义在R上的函数满足以下三个条件：①对于任意的实数，都有成立；②函数的图象关于y轴对称；③对任意的，，，都有成立.则，，的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
解：由题意，因为函数的图象关于y轴对称，所以，
所以，所以函数的图象关于对称，
又，所以，即，
因为，所以函数是周期为4的函数，
所以，，，
因为，且，所以，
所以函数为奇函数，
又因为对任意的，，，都有成立，即，
所以函数在上单调递增，
所以函数在上单调递增，
因为，所以，
故选：B.
2．（2022·福建福州·三模）定义在上的函数满足.若的图象关于直线对称，则下列选项中一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
函数的图象关于直线对称，则必有，所以，,
,又因为满足，取，所以，，，则，取，则，A对；
故选：A
[举一反三]　
1．（2022·安徽蚌埠·模拟预测）若幂函数满足，则下列关于函数的判断正确的是（ ）
A．是周期函数 B．是单调函数
C．关于点对称 D．关于原点对称
【答案】C
【解析】
由题意得，即，故，
令，则，当时，，则单调递减；当时，，则单调递增；所以，因此方程有唯一解，解为，因此，所以不是周期函数，不是单调函数，关于点对称，
故选：C.
2．（2022·全国·模拟预测）已知定义在R上的奇函数的图象关于直线对称，且在上单调递增，若，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
由函数的图象关于直线对称可得，结合奇函数的性质可知
，.
由奇函数的性质结合在上单调递增可得在上单调递增，
所以，
所以.
故选：C
3．（2022·山西太原·二模）已知函数，则（ ）
A．在上单调递增 B．在上单调递减
C．的图象关于直线x=1对称 D．的图象关于点对称
【答案】C
【解析】
因为，，
所以，所以A不正确；
因为，，
所以，故B不正确；
因为，
所以的图象关于直线x=1对称，故C正确；
在的图象上取一点，则其关于点的点为，
因为，所以点不在函数的图象上，故的图象不关于点对称，故D不正确.
故选：C
4．（2022·安徽合肥·二模）函数（是自然对数的底数）的图象关于（ ）
A．直线对称 B．点对称
C．直线对称 D．点对称
【答案】D
【解析】
由题意，它与之间没有恒等关系，相加也不为0，AB均错，
而，所以的图象关于点对称．
故选：D．
5．（2022·广东佛山·二模）设且，函数，若，则下列判断正确的是（　　）
A．的最大值为-a B．的最小值为-a
C． D．
【答案】D
【解析】
依题意，，
因，则是奇函数，于是得，即，
因此，，而，当时，的最小值为-a，当时，的最大值为-a，A，B都不正确；
，，，
即，，因此，C不正确，D正确.
故选：D
6．（多选）（2022·辽宁锦州·一模）设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．在上为减函数
C．点是函数的一个对称中心 D．方程仅有个实数解
【答案】CD
【解析】
为奇函数，，即，
关于点对称；
为偶函数，，即，
关于对称；
由，得：，
，即是周期为的周期函数；
对于A，，A错误；
对于C，，即，
关于点成中心对称，C正确；
对于BD，由周期性和对称性可得图象如下图所示，
由图象可知：在上单调递增，B错误；
方程的解的个数，等价于与的交点个数，
，，
结合图象可知：与共有个交点，即有个实数解，D正确.
故选：CD.
7．（2022·江苏江苏·三模）写出一个同时具有下列性质①②③的函数___________.①是定义域为的奇函数；②；③.
【答案】（答案不唯一）
【解析】
由条件①②③可知函数对称轴为，定义域为R的奇函数，可写出满足条件的函数.
故答案为：（答案不唯一

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