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第9讲　函数性质的综合问题
考点1 函数的单调性与奇偶性综合问题
[名师点睛]
函数的单调性与奇偶性的综合问题解题思路
(1)解决比较大小、最值问题应充分利用奇函数在关于原点对称的两个区间上具有相同的单调性，偶函数在关于y轴对称的两个区间上具有相反的单调性．
(2)解决不等式问题时一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化成f(x1)>f(x2)或f(x1)[典例]　
1．（2022·全国·高三专题练习）已知是定义在上的奇函数，当时，为增函数，且，那么不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·天津市第一中学滨海学校高三阶段练习）已知函数在区间单调递增，且，则（ ）
A． B．
C． D．
[举一反三]　
1．（2022·辽宁·沈阳市第一二〇中学高三阶段练习）已知定义域为的函数满足，且当时，，则当时，的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数对于任意、，总有，且当时，，若已知，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国·高三专题练习）已知定义在上的奇函数在上单调递减，且满足，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·山东省淄博实验中学高三期末）已知函数为定义在R上的奇函数，满足对，其中，都有，且，则不等式的解集为___________.
考点2 函数的周期性与奇偶性综合问题
[名师点睛]
周期性与奇偶性结合，此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行转换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的定义域内求解．　
[典例]　
1．（2022·全国·高三专题练习）设是上的奇函数且满足，当时，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·高三专题练习）设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，若，则（ ）
A． B． C． D．
[举一反三]　
1．（2022·全国·高三专题练习）偶函数对于任意实数x，都有成立，并且当时，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·全国·高三专题练习）已知定义域为的函数满足：①图象关于原点对称；②；③当时，.若，则（ ）
A． B．1 C． D．2
3．（2022·全国·高三专题练习）已知定义域为的函数的图象关于原点对称，且时，．当，时，，则（4） ．
考点3 函数的奇偶性、周期性与对称性问题
[名师点睛]
函数的奇偶性、对称性、周期性，知二断一．特别注意“奇函数若在x＝0处有定义，则一定有f(0)＝0；偶函数一定有f(|x|)＝f(x)”在解题中的应用．
[典例]　
1．（2022·全国·高三专题练习）已知定义在的函数满足，，则下列结论正确的是（ ）
A．不是周期函数
B．是奇函数
C．对任意，恒有为定值
D．对任意，有
2．（2022·全国·高三专题练习）已知是定义在上的奇函数，满足，下列说法：
①的图象关于对称；
②的图象关于对称；
③在内至少有个零点；
④若在上单调递增，则它在上也是单调递增．
其中正确的是（ ）
A．①④ B．②③ C．②③④ D．①③④
3．（2022·全国·高三专题练习）已知是定义域为R的函数，满足，，当时，，则下列说法正确的是（ ）
①的最小正周期为4
②的图像关于直线对称
③当时，函数的最大值为2
④ 当时，函数的最小值为
A．①②③ B．①② C．①②④ D．①②③④
[举一反三]　
1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数是定义在上的偶函数，且当时， ，则方程解的个数为（ ）
A． B． C． D．
2．（多选）（2022·江苏·南京市宁海中学模拟预测）已知是定义在R上的偶函数，且对任意，有，当时，，则（ ）
A．是以2为周期的周期函数
B．点是函数的一个对称中心
C．
D．函数有3个零点
3．（多选）（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知函数对任意都有，若函数的图象关于对称，且对任意的，且，都有，若，则下列结论正确的是（ ）
A．是偶函数 B．
C．的图象关于点对称 D．
4．（2022·全国·高三专题练习）已知定义在上的函数满足条件，且函数是奇函数，给出以下四个命题：
①函数是周期函数；
②函数的图象关于点，对称；
③函数是偶函数；
④函数在上是单调函数.
在上述四个命题中，正确命题的序号是___________（写出所有正确命题的序号
第9讲　函数性质的综合问题
考点1 函数的单调性与奇偶性综合问题
[名师点睛]
函数的单调性与奇偶性的综合问题解题思路
(1)解决比较大小、最值问题应充分利用奇函数在关于原点对称的两个区间上具有相同的单调性，偶函数在关于y轴对称的两个区间上具有相反的单调性．
(2)解决不等式问题时一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化成f(x1)>f(x2)或f(x1)[典例]　
1．（2022·全国·高三专题练习）已知是定义在上的奇函数，当时，为增函数，且，那么不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为是定义在上的奇函数，则，因为，则.
因为函数在上为增函数，则函数在上也为增函数.
当时，由可得，则；
当时，由可得，则.
综上所述，不等式的解集为.
故选：C.
2．（2022·天津市第一中学滨海学校高三阶段练习）已知函数在区间单调递增，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为，所以函数为偶函数，图象关于轴对称，
又由函数在区间单调递增，可得在区间单调递减，
根据对数函数的性质，可得，即，
又因为，且，
所以，即.
故选：D.
[举一反三]　
1．（2022·辽宁·沈阳市第一二〇中学高三阶段练习）已知定义域为的函数满足，且当时，，则当时，的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解：当时，，
易知当时，，
因为，所以，
所以当时，；当时，，综上，当时，．
故选：D．
2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数对于任意、，总有，且当时，，若已知，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】令，则，
对任意的、，总有，则，
令，可得，可得，
令时，则由，即，
当时，，即，
任取、且，则，即，即，
所以，函数在上为增函数，且有，
由，可得，即，
所以，，所以，，解得.
因此，不等式的解集为.
故选：A.
3．（2022·全国·高三专题练习）已知定义在上的奇函数在上单调递减，且满足，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由题意，函数定义在上的奇函数，在单调减，
所以在单调减，且
若函数，
当时，，，此时无解；
当时，，可得，，此时无解；
当时，，可得，此时成立；
当时，可得，，所以，
所以当时，满足不等式，
令，可得函数的定义域为，
且，所以函数奇函数，
所以当时，满足不等式成立，
综上可得，不等式的解集为.
故选：B.
4．（2022·山东省淄博实验中学高三期末）已知函数为定义在R上的奇函数，满足对，其中，都有，且，则不等式的解集为___________.
【答案】
【解析】因为，
所以当时，，
令，
则在上单调递增，
又因为为定义在R上的奇函数,
所以是偶函数，且在上单调递减，
因为，
所以，
等价于或，
所以或，
即不等式的解集为.
故答案为：.
考点2 函数的周期性与奇偶性综合问题
[名师点睛]
周期性与奇偶性结合，此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行转换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的定义域内求解．　
[典例]　
1．（2022·全国·高三专题练习）设是上的奇函数且满足，当时，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】对任意的，，即，
所以，函数是以为周期的周期函数，，
由于函数为的奇函数，且当时，，
因此，.
故选：D.
2．（2022·全国·高三专题练习）设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为为奇函数，所以①；又为偶函数，
所以②；令，由②得：，又，
所以，得，
令，由①得：；
令，由②得：，所以.得时，，
结合①②得，，
所以函数的周期为，所以.
故选：C
[举一反三]　
1．（2022·全国·高三专题练习）偶函数对于任意实数x，都有成立，并且当时，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由于函数为上的偶函数，则，
，所以，函数是以为周期的周期函数，
当时，，所以，．
故选：C．
2．（2022·全国·高三专题练习）已知定义域为的函数满足：①图象关于原点对称；②；③当时，.若，则（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】B
【解析】由①可知函数为奇函数，又，故，即函数的周期为3，
∴，解得.
故选：B.
3．（2022·全国·高三专题练习）已知定义域为的函数的图象关于原点对称，且时，．当，时，，则（4） ．
【答案】
【解析】定义域为的函数的图象关于原点对称，故为奇函数，
当时，．
当，时，，
（8）（6）（4）（2）（2），
则（4）（2）（2）（2），
故答案为：．
考点3 函数的奇偶性、周期性与对称性问题
[名师点睛]
函数的奇偶性、对称性、周期性，知二断一．特别注意“奇函数若在x＝0处有定义，则一定有f(0)＝0；偶函数一定有f(|x|)＝f(x)”在解题中的应用．
[典例]　
1．（2022·全国·高三专题练习）已知定义在的函数满足，，则下列结论正确的是（ ）
A．不是周期函数
B．是奇函数
C．对任意，恒有为定值
D．对任意，有
【答案】C
【解析】，∴
，∴
∴，∴
∴，∴是周期为4的函数
∴，∴为偶函数
在中，令，有
故是定值
当时，即为，故D不正确
故选：C
2．（2022·全国·高三专题练习）已知是定义在上的奇函数，满足，下列说法：
①的图象关于对称；
②的图象关于对称；
③在内至少有个零点；
④若在上单调递增，则它在上也是单调递增．
其中正确的是（ ）
A．①④ B．②③ C．②③④ D．①③④
【答案】C
【解析】因为且是定义在上的奇函数，则，
故函数是周期为的周期函数，且，
所以，，故函数的图象关于对称，①错误，②正确；
由题意可知，，
因为，令，可得，即，
所以，，从而，故函数在内至少有个零点，③正确；
因为，，且函数在上单调递增，
则函数在上也为增函数，故函数在上也是单调递增，④正确.
故选：C.
3．（2022·全国·高三专题练习）已知是定义域为R的函数，满足，，当时，，则下列说法正确的是（ ）
①的最小正周期为4
②的图像关于直线对称
③当时，函数的最大值为2
④ 当时，函数的最小值为
A．①②③ B．①② C．①②④ D．①②③④
【答案】A
【解析】对于①，，，则，即的最小正周期为4，故①正确；
对于②，由知的图像关于直线对称，故②正确；
对于③，当时，在上单调递减，在上单调递增
根据对称性可知，函数在，上单调递减，在，上单调递增，则函数在上的最大值为，故③正确；
对于④，根据周期性以及单调性可知，函数在上单调递减，在上单调递增，则函数在上的最小值为，故④错误.
故选：A
[举一反三]　
1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数是定义在上的偶函数，且当时， ，则方程解的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意，函数当时，，
作出函数的图象，如图所示，
又由方程解的个数，即为函数与的图象交点的个数，
当时，结合图象，两函数与的图象有5个交点，
又由函数为偶函数，图象关于轴对称，
所以当时，结合图象，两函数与的图象也有5个交点，
综上可得，函数与的图象有10个交点，
即方程解的个数为10.
故选：D.
2．（多选）（2022·江苏·南京市宁海中学模拟预测）已知是定义在R上的偶函数，且对任意，有，当时，，则（ ）
A．是以2为周期的周期函数
B．点是函数的一个对称中心
C．
D．函数有3个零点
【答案】BD
【解析】依题意，为偶函数，
且，有，即关于对称，
则
，
所以是周期为4的周期函数，故A错误；
因为的周期为4，关于对称，
所以是函数的一个对称中心，故B正确；
因为的周期为4，则，，
所以，故C错误；
作函数和的图象如下图所示，
由图可知，两个函数图象有3个交点，
所以函数有3个零点，故D正确.
故选：BD.
3．（多选）（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知函数对任意都有，若函数的图象关于对称，且对任意的，且，都有，若，则下列结论正确的是（ ）
A．是偶函数 B．
C．的图象关于点对称 D．
【答案】ABCD
【解析】对于选项A：由函数的图像关于对称，根据函数的图象变换，
可得函数的图象关于对称，所以函数为偶函数，所以A正确；
对于选项B：
由函数对任意都有，可得，
所以函数是周期为4的周期函数，
因为，可得，
则，所以B正确；
又因为函数为偶函数，即，所以，
可得，所以函数关于中心对称，所以C正确；
由对任意的，且，都有，
可得函数在区间上为单调递增函数，
又因为函数为偶函数，故函数在区间上为单调递减函数，故，所以D正确.
故选：ABCD
4．（2022·全国·高三专题练习）已知定义在上的函数满足条件，且函数是奇函数，给出以下四个命题：
①函数是周期函数；
②函数的图象关于点，对称；
③函数是偶函数；
④函数在上是单调函数.
在上述四个命题中，正确命题的序号是___________（写出所有正确命题的序号）
【答案】①②③
【解析】解：对于①：函数是周期函数且其周期为3.①对
对于②：是奇函数其图象关于原点对称
又函数的图象是由向左平移个单位长度得到.
函数的图象关于点，对称，故②对.
对于③：由②知，对于任意的，都有，用换，可得：
对于任意的都成立

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