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第10讲　幂函数与二次函数
1．幂函数
(1)定义
形如 的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，α为常数．常见的五类幂函数为y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝x－1.　
(2)性质
①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；
②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；
③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减．
2．二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式
①一般式：f(x)＝ ；
②顶点式：f(x)＝ ；
③零点式：f(x)＝ ．
(2)二次函数的图象和性质
解析式 f(x)＝ax2＋bx ＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx ＋c(a<0)
图象
定义域 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞)
值域
单调性 在 上单调递减； 在 上单调递增 在 上单调递增； 在 上单调递减
奇偶性 当 时为偶函数，当b≠0时为非奇非偶函数
顶点
对称性 图象关于直线x＝－成轴对称图形
考点1 ******
[名师点睛]
1．对于幂函数图像的掌握，需记住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x＝1，y＝1，y＝x所分区域．根据α＜0,0＜α＜1，α＝1，α>1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定．
2．在比较幂值的大小时，可结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较．
3．在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图像越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图像越远离x轴(简记为“指大图高”)．
[典例]　
1．（2022·全国·高三专题练习）若幂函数 (m，n∈N*，m，n互质)的图像如图所示，则（ ）
A．m，n是奇数，且<1
B．m是偶数，n是奇数，且>1
C．m是偶数，n是奇数，且<1
D．m是奇数，n是偶数，且>1
2．（2022·全国·高三专题练习）幂函数是偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，则m的值为（ ）
A．﹣6 B．1 C．6 D．1或﹣6
3．（2022·全国·高三专题练习）已知幂函数的图象过点．设，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
[举一反三]　
1．（2022·北京·二模）下列函数中，与函数的奇偶性相同，且在上有相同单调性的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·全国·高三专题练习）已知幂函数y＝f(x)经过点(3，)，则f(x)（ ）
A．是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数
B．是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数
C．是奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数
D．是非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数
3．（2022·全国·高三专题练习）函数与均单调递减的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
4．（多选）（2022·广东潮州·二模）已知幂函数的图象经过点，则下列命题正确的有（ ）．
A．函数的定义域为
B．函数为非奇非偶函数
C．过点且与图象相切的直线方程为
D．若，则
5．（2022·海南·文昌中学高三阶段练习）已知幂函数过点A（4，2），则f（）=___________.
6．（2022·北京通州·一模）幂函数在上单调递增，在上单调递减，能够使是奇函数的一组整数m，n的值依次是__________．
7．（2022·重庆·二模）关于x的不等式，解集为___________.
8．（2022·全国·高三专题练习）如图是幂函数（αi＞0，i＝1，2，3，4，5）在第一象限内的图象，其中α1＝3，α2＝2，α3＝1，，，已知它们具有性质：
①都经过点（0，0）和（1，1）； ②在第一象限都是增函数．
请你根据图象写出它们在（1，+∞）上的另外一个共同性质：___________．
9．（2022·广东深圳·高三期末）已知函数的图像关于原点对称，且在定义域内单调递增，则满足上述条件的幂函数可以为______．
10．（2022·北京·高三专题练习）已知幂函数为奇函数．
（1）求实数m的值；
（2）求函数的值域．
考点2 二次函数的解析式
[名师点睛]
求二次函数的解析式，一般用待定系数法，其关键是根据已知条件恰当选择二次函数解析式的形式，一般选择规律如下：
[典例]　
1．（2022·全国·高三专题练习）已知二次函数f(x)满足f（2）＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，二次函数的解析式是_______
2．（2022·全国·高三专题练习）已知为二次函数，，，求的解析式．
[举一反三]　
1．（2022·全国·高三专题练习）若函数过定点，以为顶点且过原点的二次函数的解析式为（　　）
A． B．
C． D．
2．（2022·全国·高三专题练习）已知为二次函数，且，则（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·全国·高三专题练习）已知是二次函数且满足，则函数的解析式为________.
考点3 二次函数的图象与性质
[名师点睛]
二次函数最值问题的类型及求解策略
(1)类型：①对称轴、区间都是给定的；②对称轴动、区间固定；③对称轴定、区间变动．
(2)求解策略：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成．
[典例]　
1．（2022·全国·高三专题练习）函数和函数（其中为的导函数）的图象在同一坐标系中的情况可以为（ ）
A．①④ B．②③ C．③④ D．①②③
2．（2022·全国·高三专题练习）二次函数在区间上单调递减的一个充分不必要条件为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国·高三专题练习）函数在上单调递增，则实数a的取值范围是_________.
4．（2022·湖南长沙·高三阶段练习）已知函数，，a为常数.若对于任意x1，x2∈[0，2]，且x1＜x2，都有，则实数a的取值范围是___________.
[举一反三]　
1．（2022·全国·高三阶段练习）已知函数，其中，，，则（ ）
A．，都有 B．，都有
C．，使得 D．，使得
2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，如果且，则它的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数在[-2，1]上具有单调性，则实数k的取值范围是（）
A．k≤-8 B．k≥4 C．k≤-8或k≥4 D．-8≤k≤4
4．（2022·山东济南·二模）若二次函数，满足，则下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（多选）（2022·全国·高三专题练习）已知函数f(x)=ax2+2ax+4(a>0)，若x1A．当x1+x2>-2时，f(x1)B．当x1+x2=-2时，f(x1)=f(x2)
C．当x1+x2>-2时，f(x1)>f(x2)
D．f(x1)与f(x2)的大小与a有关
6．（多选）（2022·全国·高三专题练习）若函数的定义域为，值域为，则正整数a的值可能是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．（2022·全国·高三专题练习）如果函数在区间上为增函数，则实数的取值范围是______.
8．（2022·天津·高三专题练习）已知函数在定义域上的值域为，则实数的取值范围为____.
9．（2022·全国·高三专题练习）已知二次函数，满足，.
(1)求函数的解析式；
(2)若函数在区间上是单调函数，求实数m的取值范围.
10．（2022·全国·高三专题练习）已知函数．
（Ⅰ）若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围；
（Ⅱ），恒成立，求实数的取值范围．
11．（2022·全国·高三专题练习）设函数（），满足，且对任意实数x均有.
(1)求的解析式；
(2)当时，若是单调函数，求实数k的取值范围
第10讲　幂函数与二次函数
1．幂函数
(1)定义
形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，α为常数．常见的五类幂函数为y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝x－1.　
(2)性质
①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；
②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；
③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减．
2．二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式
①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；
②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)；
③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
(2)二次函数的图象和性质
解析式 f(x)＝ax2＋bx ＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx ＋c(a<0)
图象
定义域 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞)
值域
单调性 在上单调递减； 在上单调递增 在上单调递增； 在上单调递减
奇偶性 当b＝0时为偶函数，当b≠0时为非奇非偶函数
顶点
对称性 图象关于直线x＝－成轴对称图形
考点1 ******
[名师点睛]
1．对于幂函数图像的掌握，需记住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x＝1，y＝1，y＝x所分区域．根据α＜0,0＜α＜1，α＝1，α>1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定．
2．在比较幂值的大小时，可结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较．
3．在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图像越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图像越远离x轴(简记为“指大图高”)．
[典例]　
1．（2022·全国·高三专题练习）若幂函数 (m，n∈N*，m，n互质)的图像如图所示，则（ ）
A．m，n是奇数，且<1
B．m是偶数，n是奇数，且>1
C．m是偶数，n是奇数，且<1
D．m是奇数，n是偶数，且>1
【答案】C
【解析】
由图知幂函数f(x)为偶函数，且，排除B，D；
当m，n是奇数时，幂函数f(x)非偶函数，排除A；
故选：C.
2．（2022·全国·高三专题练习）幂函数是偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，则m的值为（ ）
A．﹣6 B．1 C．6 D．1或﹣6
【答案】B
【解析】
∵幂函数是偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，
∴，且为偶数
或
当时，满足条件；当时，，舍去
因此：m＝1
故选：B
3．（2022·全国·高三专题练习）已知幂函数的图象过点．设，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
因幂函数的图象过点，则，且，
于是得，，函数，函数是R上的增函数，
而，则有，
所以.
故选：D
[举一反三]　
1．（2022·北京·二模）下列函数中，与函数的奇偶性相同，且在上有相同单调性的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
由为奇函数且在上递增，
A、B：、非奇非偶函数，排除；
C：为奇函数，但在上不单调，排除；
D：，显然且定义域关于原点对称，在上递增，满足.
故选：D
2．（2022·全国·高三专题练习）已知幂函数y＝f(x)经过点(3，)，则f(x)（ ）
A．是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数
B．是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数
C．是奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数
D．是非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数
【答案】D
【解析】
设幂函数的解析式为，
将点的坐标代入解析式得，解得，
∴，函数的定义域为,是非奇非偶函数，且在上是增函数，
故选：D.
3．（2022·全国·高三专题练习）函数与均单调递减的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
函数单调递减可得及；
函数单调递减可得，解得，
若函数与均单调递减，可得，
由题可得所求区间真包含于，
结合选项，函数与均单调递减的一个充分不必要条件是C.
故选：C.
4．（多选）（2022·广东潮州·二模）已知幂函数的图象经过点，则下列命题正确的有（ ）．
A．函数的定义域为
B．函数为非奇非偶函数
C．过点且与图象相切的直线方程为
D．若，则
【答案】BC
【解析】
设，将点代入，
得，则，即，
对于A：的定义域为，即选项A错误；
对于B：因为的定义域为，
所以不具有奇偶性，即选项B正确；
对于C：因为，所以，
设切点坐标为，则切线斜率为，
切线方程为，又因为切线过点，
所以，解得，
即切线方程为，即，
即选项C正确；
对于D：当时，
，
即成立，即选项D错误．
故选：BC．
5．（2022·海南·文昌中学高三阶段练习）已知幂函数过点A（4，2），则f（）=___________.
【答案】
【解析】
点A（4，2）代入幂函数解得，，
故答案为：．
6．（2022·北京通州·一模）幂函数在上单调递增，在上单调递减，能够使是奇函数的一组整数m，n的值依次是__________．
【答案】1，（答案不唯一）
【解析】
因为幂函数在上单调递增，所以，
因为幂函数在上单调递减，所以，
又因为是奇函数，所以幂函数和幂函数都是奇函数，所以可以是，可以是.
故答案为：1，（答案不唯一）.
7．（2022·重庆·二模）关于x的不等式，解集为___________.
【答案】
【解析】
由题设，，而在R上递增，
当即时，，原不等式不成立；
当即时，，原不等式恒成立.
综上，解集为.
故答案为：
8．（2022·全国·高三专题练习）如图是幂函数（αi＞0，i＝1，2，3，4，5）在第一象限内的图象，其中α1＝3，α2＝2，α3＝1，，，已知它们具有性质：
①都经过点（0，0）和（1，1）； ②在第一象限都是增函数．
请你根据图象写出它们在（1，+∞）上的另外一个共同性质：___________．
【答案】α越大函数增长越快
解：从幂函数的图象与性质可知：①α越大函数增长越快；②图象从下往上α越来越大；③函数值都大于1；④α越大越远离x轴；⑤α＞1，图象下凸；⑥图象无上界；⑦当指数互为倒数时，图象关于直线y＝x对称；⑧当α＞1时，图象在直线y＝x的上方；当0＜α＜1时，图象在直线y＝x的下方．
从上面任取一个即可得出答案．
故答案为：α越大函数增长越快．
9．（2022·广东深圳·高三期末）已知函数的图像关于原点对称，且在定义域内单调递增，则满足上述条件的幂函数可以为______．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
设幂函数，
由题意，得为奇函数，且在定义域内单调递增，
所以（）或（是奇数，且互质），
所以满足上述条件的幂函数可以为.
故答案为：（答案不唯一）.
10．（2022·北京·高三专题练习）已知幂函数为奇函数．
（1）求实数m的值；
（2）求函数的值域．
【解】（1）∵函数为幂函数，
，解得或5，
当时，，为奇函数，
当时，，为偶函数，
函数为奇函数，；
（2）由（1）可知，，则，，
令，则，，
则，，
函数为开口向下，对称轴为的抛物线，
当时，函数，
当，函数取得最大值为1，
的值域为，故函数的值域为．
考点2 二次函数的解析式
[名师点睛]
求二次函数的解析式，一般用待定系数法，其关键是根据已知条件恰当选择二次函数解析式的形式，一般选择规律如下：
[典例]　
1．（2022·全国·高三专题练习）已知二次函数f(x)满足f（2）＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，二次函数的解析式是_______
【答案】f(x)＝－4x2＋4x＋7.
【解析】
法一　(利用“一般式”解题)
设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).
由题意得解得
∴所求二次函数为f(x)＝－4x2＋4x＋7.
法二　(利用“顶点式”解题)
设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0).
因为f（2）＝f(－1)，
所以抛物线的对称轴为，所以m＝.
又根据题意，函数有最大值8，所以n＝8，
所以y＝f(x)＝.
因为f（2）＝－1，所以，解得a＝－4，
所以f(x)＝＝－4x2＋4x＋7.
法三　(利用“零点式”解题)
由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，
故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)，
即f(x)＝ax2－ax－2a－1.
又函数有最大值8，即.
解得a＝－4或a＝0(舍).
故所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.
故答案为：f(x)＝－4x2＋4x＋7.
2．（2022·全国·高三专题练习）已知为二次函数，，，求的解析式．
【解】
解：因为为二次函数，所以设，因为，所以，
所以，
所以，
因为，所以，
所以，，，所以，，所以．
[举一反三]　
1．（2022·全国·高三专题练习）若函数过定点，以为顶点且过原点的二次函数的解析式为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
对于函数，当时，，
所以函数过定点，
设以为顶点且过原点的二次函数，
因为过原点，
所以，解得：，
所以的解析式为：，
故选：A.
2．（2022·全国·高三专题练习）已知为二次函数，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
设，则，
由可得，
所以，，解得，因此，.
故选：B.
3．（2022·全国·高三专题练习）已知是二次函数且满足，则函数的解析式为________.
【答案】
【解析】解：由题意，设，
因为，即，所以，
所以，
从而有，解得，
所以，
故答案为：.
考点3 二次函数的图象与性质
[名师点睛]
二次函数最值问题的类型及求解策略
(1)类型：①对称轴、区间都是给定的；②对称轴动、区间固定；③对称轴定、区间变动．
(2)求解策略：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成．
[典例]　
1．（2022·全国·高三专题练习）函数和函数（其中为的导函数）的图象在同一坐标系中的情况可以为（ ）
A．①④ B．②③ C．③④ D．①②③
【答案】B
【解析】易知，则．
由①②中函数的图象得，
若，则，此时，，
又，所以的图象开口向下，此时①②均不符合要求；
若，则，此时，，
又，所以的图象开口向上，此时②符合要求，①不符合要求；
由③④中函数的图象得，
若，则，此时，，
又，所以的图象开口向下，此时③符合要求，④不符合要求；
若，则，此时，，
又，所以的图象开口向上，此时③④均不符合要求．
综上，②③符合题意，
故选：B．
2．（2022·全国·高三专题练习）二次函数在区间上单调递减的一个充分不必要条件为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解：因为的对称轴为，开口向上，所以，解得，所以二次函数在区间上单调递减的充要条件为，
所以二次函数在区间上单调递减的一个充分不必要条件为；
故选：D
3．（2022·全国·高三专题练习）函数在上单调递增，则实数a的取值范围是_________.
【答案】
【解析】在上单调递增，
在单调递减，
则，即，
同时 需满足，即，
解得，
综上可知
故答案为：
4．（2022·湖南长沙·高三阶段练习）已知函数，，a为常数.若对于任意x1，x2∈[0，2]，且x1＜x2，都有，则实数a的取值范围是___________.
【答案】[0，1]
【解析】对于任意x1，x2∈[0，2]，且x1＜x2，都有，即，令，即只需在[0，2]上单调递增即可，
当时，，函数图象恒过；
当时，；
当时，；
要使在区间[0，2]上单调递增，则当时，的对称轴
，即；
当时，的对称轴，即；
且,
综上
故答案为：[0，1].
[举一反三]　
1．（2022·全国·高三阶段练习）已知函数，其中，，，则（ ）
A．，都有 B．，都有
C．，使得 D．，使得
【答案】B
【解析】
由，，可知，，抛物线开口向上．因为
，，即1是方程的一个根，
所以，都有，B正确，A、C、D错误.
故选：B．
2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，如果且，则它的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题意，函数，
因为，令，可得，即函数图象过点，
又由，可得，所以抛物线的开口向上，可排除D项，
令，可得，可排除B、C项；
故选：A.
3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数在[-2，1]上具有单调性，则实数k的取值范围是（）
A．k≤-8 B．k≥4 C．k≤-8或k≥4 D．-8≤k≤4
【答案】C
【解析】函数对称轴为，
要使在区间[-2，1]上具有单调性，则
或，∴或
综上所述的范围是：k≤-8或k≥4.
故选：C.
4．（2022·山东济南·二模）若二次函数，满足，则下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为，所以二次函数的对称轴为，
又因为，所以，
又，所以.
故选：B.
5．（多选）（2022·全国·高三专题练习）已知函数f(x)=ax2+2ax+4(a>0)，若x1A．当x1+x2>-2时，f(x1)B．当x1+x2=-2时，f(x1)=f(x2)
C．当x1+x2>-2时，f(x1)>f(x2)
D．f(x1)与f(x2)的大小与a有关
【答案】AB
【解析】二次函数f(x)=ax2+2ax+4(a>0)的图象开口向上，对称轴为x=-1，
当x1+x2=-2时，x1，x2关于x=-1对称，则有f(x1)=f(x2)，B正确；
当x1+x2>-2时，而x1-1-x1，有| x2-(-1)|>|-1-x1|,
因此，点x2到对称轴的距离大于点x1到对称轴的距离，即f(x1)显然当a>0时，f(x1)与f(x2)的大小只与x1，x2离-1的远近有关，与a无关，D错误.
故选：AB
6．（多选）（2022·全国·高三专题练习）若函数的定义域为，值域为，则正整数a的值可能是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】BC
【解析】
函数的图象如图所示：
因为函数在上的值域为，结合图象可得，
结合a是正整数，所以BC正确.
故选： BC.
7．（2022·全国·高三专题练习）如果函数在区间上为增函数，则实数的取值范围是______.
【答案】
【解析】当时，，在上为增函数，符合题意，
当时，要使函数在区间上为增函数，则需满足且对称轴为，解得：，即，
综上所述：实数的取值范围是：.
故答案为：
8．（2022·天津·高三专题练习）已知函数在定义域上的值域为，则实数的取值范围为____.
【答案】
【解析】函数f（x）＝x2﹣2x的对称轴方程为x＝1，在[﹣1，1]上为减函数，且值域为[﹣1，3]，
当x≥1时，函数为增函数，且
∴要使函数f（x）＝x2﹣2x在定义域[﹣1，n]上的值域为[﹣1，3]，实数n的取值范围是[1，3]．
故答案为：[1，3]
9．（2022·全国·高三专题练习）已知二次函数，满足，.
(1)求函数的解析式；
(2)若函数在区间上是单调函数，求实数m的取值范围.
【解】
(1)由题意得：，
所以，，解得：，，所以函数的解析式为.
(2)，对称轴为，要想函数在区间上是单调函数，则要满足或，解得：或，故实数m的取值范围是.
10．（2022·全国·高三专题练习）已知函数．
（Ⅰ）若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围；
（Ⅱ），恒成立，求实数的取值范围．
【解】（Ⅰ）当时，，在区间上单调递减，符合题意；当时，对称轴为，因为在区间上单调递减，所以，得，所以；当时，函数在区间上单调递减，符合题意，综上，的取值范围为.
（Ⅱ），恒成立，即，恒成立，令，可知函数在上单调递增，所以，所以，所以，故的取值范围为
11．（2022·全国·高三专题练习）设函数（），满足，且对任意实数x均有.
(1)求的解析式；
(2)当时，若是单调函数，求实数k的取值范围.
【解】(1)∵，∴.即，
因为任意实数x，恒成立，则
且，∴，，
所以.
(2)因为，
设，要使在上单调，只需要
或或或，
解得或，所以实数k的取值范围

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