资源简介 第12讲 对数与对数函数1.对数的概念如果ax=N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作x= ,其中a叫做对数的底数,N叫做真数.2.对数的性质、运算性质与换底公式(1)对数的性质:①alogaN= ;②logaab=b(a>0,且a≠1).(2)对数的运算性质如果a>0且a≠1,M>0,N>0,那么①loga(MN)= ;②loga= ;③logaMn= (n∈R).(3)换底公式:logab= (a>0,且a≠1,b>0,c>0,且c≠1).3.对数函数及其性质(1)概念:函数y=logax(a>0,且a≠1)叫做对数函数,其中x是自变量,定义域是(0,+∞).(2)对数函数的图象与性质a>1 0图象性质 定义域:值域:当x=1时,y=0,即过定点当x>1时,y>0; 当01时,y<0; 当00在(0,+∞)上是 在(0,+∞)上是4.反函数指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与对数函数 (a>0,且a≠1)互为反函数,它们的图象关于直线对称.它们的定义域和值域正好互换.考点1 对数的化简求值[名师点睛]1.在对数运算中,先利用幂的运算把底数或真数进行变形,化成分数指数幂的形式,使幂的底数最简,然后用对数运算法则化简合并.2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算,然后逆用对数的运算法则,转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.3.ab=N b=logaN(a>0,且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法,在运算中应注意互化.[典例] 1.(2022·浙江绍兴·模拟预测)己知,则_______;_________.2.(2022·全国·高三专题练习)化简求值(1);(2);.(3);.(4).3.(2022·全国·高三专题练习)(1)计算;(2)已知,求实数x的值;(3)若,,用a,b,表示.[举一反三] 1.(多选)(2021·全国·高三专题练习)设a,b,c都是正数,且,那么( )A. B. C. D.2.(2022·山东滨州·二模)__________.3.(2022·全国·高三专题练习)(1)2log32-log3+log38-;(2)(log2125+log425+log85)·(log52+log254+log1258).4.(2022·全国·高三专题练习)化简求值:(1).(2);(3).(4)(5).5.(2022·全国·高三专题练习)(1)求的值.(2)已知,,试用,表示考点2 对数函数的图象及应用[名师点睛]1.在识别函数图象时,要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.2.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题,利用数形结合法求解.[典例] 1.(2022·山东潍坊·二模)已知函数(且)的图像如图所示,则以下说法正确的是( )A. B. C. D.2.(2022·广东广州·二模)函数的所有零点之和为__________.[举一反三] 1.(2022·浙江绍兴·模拟预测)在同一直角坐标系中,函数,,且的图象可能是( )A. B.C. D.2.(2022·江苏·二模)已知实数,,满足,则下列关系式中不可能成立的是( )A. B.C. D.考点3 对数函数的性质及应用[名师点睛]1.比较对数值的大小与解形如logaf(x)>logag(x)的不等式,主要是应用函数的单调性求解,如果a的取值不确定,需要分a>1与0<a<1两种情况讨论.2.与对数函数有关的复合函数的单调性问题,必须弄清三方面的问题:一是定义域,所有问题都必须在定义域内讨论;二是底数与1的大小关系;三是复合函数的构成,即它是由哪些基本初等函数复合而成的.[典例] 1.(2022·浙江金华·三模)若函数,设,,,则下列选项正确的是( )A. B.C. D.2.(2022·福建莆田·三模)已知,则( )A. B.C. D.3.(2022·湖北·二模)已知函数,则使不等式成立的x的取值范围是( )A. B.C. D.4.(2022·全国·高三专题练习)已知函数,则下列说法正确的是( )A.函数在上为增函数 B.函数的值域为C.函数是奇函数 D.函数是偶函数5.(2022·全国·高三专题练习)知函数(1)若函数的定义域为,求实数的取值范围;(2)若函数在上恒有意义,求的取值范围;(3)是否存在实数,使得函数在区间上为增函数,且最大值为2?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由[举一反三] 1.(2022·湖南·岳阳一中一模)设,,,则( )A. B.C. D.2.(2022·北京房山·二模)已知函数,则不等式的解集为( )A. B.C. D.3.(2022·北京昌平·二模)已知函数,则关于的不等式的解集是( )A. B. C. D.4.(2022·北京丰台·二模)已知偶函数在区间上单调递减.若,则x的取值范围是( )A. B.C. D.5.(2022·河北·高三阶段练习)已知函数,则的解集为( )A. B. C. D.6.(2022·重庆·模拟预测)若函数有最小值,则实数a的取值范围是( )A. B.C. D.7.(2022·江苏·高三专题练习)已知函数的值域为,若不等式在上恒成立,则的取值范围是( )A. B. C. D.8.(多选)(2022·江苏·高三专题练习)已知函数,下列四个命题正确的是( ).A.函数为偶函数B.若,其中,,,则C.函数在上为单调递增函数D.若,则9.(多选)(2022·全国·高三专题练习)已知为定义在上的偶函数,当时,有,且当时,.给出下列命题,其中正确的命题的为( )A.B.函数在定义域上是周期为2的周期函数C.直线与函数的图像有1个交点D.函数的值域为10.(2022·全国·高三专题练习)已知函数,,对任意的,,有恒成立,则实数的取值范围是___________.11.(2022·北京·高三专题练习)已知函数,设,函数的定义域为[m,n] (m12.(2022·全国·高三专题练习)已知函数(,且).(1)求的定义域.(2)是否存在实数,使函数在区间上单调递减,并且最大值为2?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.13.(2022·全国·高三专题练习)已知函数,其中.(1)求函数的定义域;(2)求函数图像所经过的定点;(3)若函数的最大值为2,求的值第12讲 对数与对数函数1.对数的概念如果ax=N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作x=logaN,其中a叫做对数的底数,N叫做真数.2.对数的性质、运算性质与换底公式(1)对数的性质:①alogaN=N;②logaab=b(a>0,且a≠1).(2)对数的运算性质如果a>0且a≠1,M>0,N>0,那么①loga(MN)=logaM+logaN;②loga=logaM-logaN;③logaMn=nlogaM(n∈R).(3)换底公式:logab=(a>0,且a≠1,b>0,c>0,且c≠1).3.对数函数及其性质(1)概念:函数y=logax(a>0,且a≠1)叫做对数函数,其中x是自变量,定义域是(0,+∞).(2)对数函数的图象与性质a>1 0图象性质 定义域:(0,+∞)值域:R当x=1时,y=0,即过定点(1,0)当x>1时,y>0; 当01时,y<0; 当00在(0,+∞)上是增函数 在(0,+∞)上是减函数4.反函数指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与对数函数y=logax(a>0,且a≠1)互为反函数,它们的图象关于直线y=x对称.它们的定义域和值域正好互换.考点1 对数的化简求值[名师点睛]1.在对数运算中,先利用幂的运算把底数或真数进行变形,化成分数指数幂的形式,使幂的底数最简,然后用对数运算法则化简合并.2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算,然后逆用对数的运算法则,转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.3.ab=N b=logaN(a>0,且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法,在运算中应注意互化.[典例] 1.(2022·浙江绍兴·模拟预测)己知,则_______;_________.【答案】 10 1【解析】,∴,解得,∴﹒故答案为:10;1﹒2.(2022·全国·高三专题练习)化简求值(1);(2);.(3);.(4).【解】(1);(2);(3);(4)3.(2022·全国·高三专题练习)(1)计算;(2)已知,求实数x的值;(3)若,,用a,b,表示.【解】(1)原式=;(2)因为,所以,所以,所以x=109;(3)因为,所以,所以.[举一反三] 1.(多选)(2021·全国·高三专题练习)设a,b,c都是正数,且,那么( )A. B. C. D.【答案】AD【解析】由于,,都是正数,故可设,,,,则,,.,,即,去分母整理得,.故选AD.2.(2022·山东滨州·二模)__________.【答案】【解析】解:因为,所以,故答案为:.3.(2022·全国·高三专题练习)(1)2log32-log3+log38-;(2)(log2125+log425+log85)·(log52+log254+log1258).【解】(1)原式=2log32-5log32+2+3log32-3=-1.(2)原式.4.(2022·全国·高三专题练习)化简求值:(1).(2);(3).(4)(5).【解】(1);(2);(3);(4);(5).5.(2022·全国·高三专题练习)(1)求的值.(2)已知,,试用,表示【解】(1)原式(2)由得到,由,得到,即..考点2 对数函数的图象及应用[名师点睛]1.在识别函数图象时,要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.2.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题,利用数形结合法求解.[典例] 1.(2022·山东潍坊·二模)已知函数(且)的图像如图所示,则以下说法正确的是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】由图象可知在定义域内单调递增,所以,令,即,所以函数的零点为,结合函数图象可知,所以,因此,故A错误;,又因为,所以,因此不一定成立,故B错误;因为,即,且,所以,故C正确;因为,所以,即,故D错误,故选:C.2.(2022·广东广州·二模)函数的所有零点之和为__________.【答案】9【解析】由,令,,显然与的图象都关于直线对称,在同一坐标系内作出函数,的图象,如图,观察图象知,函数,的图象有6个公共点,其横坐标依次为,这6个点两两关于直线对称,有,则,所以函数的所有零点之和为9.故答案为:9[举一反三] 1.(2022·浙江绍兴·模拟预测)在同一直角坐标系中,函数,,且的图象可能是( )A. B.C. D.【答案】C【解析】解:因为函数的图象与函数的图象关于轴对称,所以函数的图象恒过定点,故选项A、B错误;当时,函数在上单调递增,所以函数在上单调递减,又在和上单调递减,故选项D错误,选项C正确.故选:C.2.(2022·江苏·二模)已知实数,,满足,则下列关系式中不可能成立的是( )A. B.C. D.【答案】D【解析】设,,则,,,在同一坐标系中分别画出函数,,的图象,当时,,当时,,当时,,由此可以看出,不可能出现这种情况,故选:.考点3 对数函数的性质及应用[名师点睛]1.比较对数值的大小与解形如logaf(x)>logag(x)的不等式,主要是应用函数的单调性求解,如果a的取值不确定,需要分a>1与0<a<1两种情况讨论.2.与对数函数有关的复合函数的单调性问题,必须弄清三方面的问题:一是定义域,所有问题都必须在定义域内讨论;二是底数与1的大小关系;三是复合函数的构成,即它是由哪些基本初等函数复合而成的.[典例] 1.(2022·浙江金华·三模)若函数,设,,,则下列选项正确的是( )A. B.C. D.【答案】A【解析】由题可知,故,∴函数为偶函数;易知,当时,在为单调递增函数;又,∴,同理,;又,,故,故.故选:A.2.(2022·福建莆田·三模)已知,则( )A. B.C. D.【答案】C【解析】,,故选:C.3.(2022·湖北·二模)已知函数,则使不等式成立的x的取值范围是( )A. B.C. D.【答案】D【解析】由得定义域为,,故为偶函数,而,在上单调递增,故在上单调递增,则可化为,得解得故选:D4.(2022·全国·高三专题练习)已知函数,则下列说法正确的是( )A.函数在上为增函数 B.函数的值域为C.函数是奇函数 D.函数是偶函数【答案】D【解析】根据题意,函数,其定义域为,有,所以函数是偶函数,则正确,错误,对于,,不是增函数,错误,对于,,设,当且仅当时等号成立,则的最小值为2,故,即函数的值域为,,错误,故选:D5.(2022·全国·高三专题练习)知函数(1)若函数的定义域为,求实数的取值范围;(2)若函数在上恒有意义,求的取值范围;(3)是否存在实数,使得函数在区间上为增函数,且最大值为2?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由【解】解:(1)因为函数的定义域为,则在上恒成立,当时,,得,不合题意舍去;当时,,解得,综合得;(2)函数在上恒有意义,即在上恒成立,恒成立,令,,则,当时,,;(3)当时,或,解得,当时,或,解得.故存在实数,使得函数在区间上为增函数,且最大值为2.[举一反三] 1.(2022·湖南·岳阳一中一模)设,,,则( )A. B.C. D.【答案】A【解析】,所以,,而,所以.故选:A.2.(2022·北京房山·二模)已知函数,则不等式的解集为( )A. B.C. D.【答案】C【解析】.故选:C﹒3.(2022·北京昌平·二模)已知函数,则关于的不等式的解集是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】由题设,对称轴为且图象开口向下,则在上递增,上递减,由,即恒过且,所以上,上,而在上递增,且上,上,所以的解集为.故选:C4.(2022·北京丰台·二模)已知偶函数在区间上单调递减.若,则x的取值范围是( )A. B.C. D.【答案】C【解析】解:偶函数在区间上单调递减,所以在区间上单调递增;则等价于,即,即,解得,即原不等式的解集为;故选:C5.(2022·河北·高三阶段练习)已知函数,则的解集为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】作出函数与的图象,如图,当时,,作出函数与的图象,由图象可知,此时解得;当时,,作出函数与的图象,它们的交点坐标为、,结合图象知此时.所以不等式的解集为.故选:C6.(2022·重庆·模拟预测)若函数有最小值,则实数a的取值范围是( )A. B.C. D.【答案】A【解析】解:依题意且,所以,解得或,综上可得,令的根为、且,,,若,则在定义域上单调递增,在上单调递增,在上单调递减,根据复合函数的单调性可知,在上单调递增,在上单调递减,函数不存在最小值,故舍去;若,则在定义域上单调递减,在上单调递增,在上单调递减,根据复合函数的单调性可知,在上单调递减,在上单调递增,所以函数在取得最小值,所以;故选:A7.(2022·江苏·高三专题练习)已知函数的值域为,若不等式在上恒成立,则的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意,函数的值域为,可得函数的最大值为,当时,函数显然不存在最大值;当时,函数在上单调递增,在上单调递减,当时,函数有最大值,即,解得;当时,在上单调递减,在上单调递增,此时函数无最大值,所以在上恒成立,即在上恒成立,由在上恒成立,可得;由在上恒成立,即在上恒成立,可得;由在上恒成立,即在上恒成立,令,可得函数在上单调递增,所以,即,综上可得,即实数的取值范围是.故选:A.8.(多选)(2022·江苏·高三专题练习)已知函数,下列四个命题正确的是( ).A.函数为偶函数B.若,其中,,,则C.函数在上为单调递增函数D.若,则【答案】ABD【解析】解:函数对于A,,,所以函数为偶函数,故A正确;对于B,若,其中,,,所以,,即,得到,故B正确;对于C,函数,由,解得,所以函数的定义域为,因此在上不具有单调性,故C错误;对于D,因为,,,故,故D正确.故选:ABD.9.(多选)(2022·全国·高三专题练习)已知为定义在上的偶函数,当时,有,且当时,.给出下列命题,其中正确的命题的为( )A.B.函数在定义域上是周期为2的周期函数C.直线与函数的图像有1个交点D.函数的值域为【答案】ACD【解析】根据题意,可在同一平面直角坐标系中画出直线和函数的图象如图所示,根据图象可知选项A中,正确;对于选项B,函数在定义域上不是周期函数,所以B不正确;对于选项C,根据函数图象可知与的图象有个交点,所以C正确;对于选项D,根据图象,函数的值域是,所以D正确.故选:ACD.10.(2022·全国·高三专题练习)已知函数,,对任意的,,有恒成立,则实数的取值范围是___________.【答案】【解析】函数在,上单调递增,在,上单调递增,∴,,对任意的,,有恒成立,∴,即,解得,∴实数的取值范围是.故答案为:.11.(2022·北京·高三专题练习)已知函数,设,函数的定义域为[m,n] (m【解】画出函数的图像,如图所示,结合图像可知,要使的值域是[0,1],其定义域可能是、、,且,因此结合题意可知,所以.12.(2022·全国·高三专题练习)已知函数(,且).(1)求的定义域.(2)是否存在实数,使函数在区间上单调递减,并且最大值为2?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.【解】(1)由题意可得,即,因为,所以解得.故的定义域为.(2)假设存在实数,使函数在区间上单调递减,并且最大值为2.设函数,由,得,所以在区间上为减函数且恒成立,因为在区间上单调递减,所以且,即.又因为在区间上的最大值为2,所以,整理得,解得.因为,所以,所以存在实数,使函数在区间上单调递减,并且最大值为2.13.(2022·全国·高三专题练习)已知函数,其中.(1)求函数的定义域;(2)求函数图像所经过的定点;(3)若函数的最大值为2,求的值.【解】解:(1)因为,所以,解得,所以函数的定义域.(2)因为,所以,当时,即时,,函数图像所经过的定点,.(3)令,,则,所以,若函数的最大值为2,因为,则时最大值为2,即,则,故.14.(2022·北京·高三专题练习)已知函数.(1)当时,求该函数的值域;(2)求不等式的解集;(3)若于恒成立,求的取值范围.【解】(1)令,,则,函数转化为,,则二次函数,在上单调递减,在上单调递增,所以当时,取到最小值为,当时,取到最大值为5,故当时,函数的值域为.(2)由题得,令,则,即,解得或,当时,即,解得;当时,即,解得,故不等式的解集为或.(3)由于对于上恒成立,令,,则即在上恒成立,所以在上恒成立,因为函数在上单调递增,也在上单调递增,所以函数在上单调递增,它的最大值为,故时,对于恒成立 展开更多...... 收起↑ 资源预览