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第13讲　函数的图象
1．利用描点法作函数图象
其基本步骤是：列表、描点、连线．
首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)．
其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线．
2．利用图象变换法作函数的图象
(1)平移变换
(2)对称变换
①y＝f(x)y＝－f(x)．
②y＝f(x)y＝f(－x)．
③y＝f(x)y＝－f(－x)．
④y＝ax(a＞0且a≠1)y＝logax(x＞0)．
(3)翻折变换
①y＝f(x)y＝|f(x)|；
②y＝f(x)y＝f(|x|)．
(4)伸缩变换
①y＝f(x)→y＝f(ax)．
②y＝f(x)→y＝af(x)．
常用结论
1．函数图象平移变换的八字方针
(1)“左加右减”，要注意加减指的是自变量．
(2)“上加下减”，要注意加减指的是函数值．
2．函数图象自身的轴对称
(1)f(－x)＝f(x) 函数y＝f(x)的图象关于y轴对称．
(2)函数y＝f(x)的图象关于x＝a对称 f(a＋x)＝f(a－x) f(x)＝f(2a－x) f(－x)＝f(2a＋x)．
(3)若函数y＝f(x)的定义域为R，且有f(a＋x)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝对称．　
3．函数图象自身的中心对称
(1)f(－x)＝－f(x) 函数y＝f(x)的图象关于原点对称．
(2)函数y＝f(x)的图象关于(a，0)对称 f(a＋x)＝－f(a－x) f(x)＝－f(2a－x) f(－x)＝－f(2a＋x)．
(3)函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)成中心对称 f(a＋x)＝2b－f(a－x) f(x)＝2b－f(2a－x)．
4．两个函数图象之间的对称关系
(1)函数y＝f(a＋x)与y＝f(b－x)的图象关于直线x＝对称(由a＋x＝b－x得对称轴方程)；
(2)函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a对称；
(3)函数y＝f(x)与y＝2b－f(－x)的图象关于点(0，b)对称．
考点1 作函数的图象
[名师点睛]
函数图象的画法
[典例]　（2022·全国·高三专题练习）分别画出下列函数的图象：
（1）y＝|lg x|；　　　　（2）y＝2x＋2；
（3）y＝x2－2|x|－1; （4）y＝．
[举一反三]　
1．（2022·全国·高三专题练习）作出下列函数的大致图像，并写出函数的单调区间和值域：
（1）； （2）；（3）；
（4）；（5）；（6）．
（2022·北京·高三专题练习）已知函数，作出的大致图像并写出它的单调性；
考点2 函数图象的识别
[名师点睛]
(1)抓住函数的性质，定性分析
①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象上下位置；
②从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
③从周期性，判断图象的循环往复；
④从函数的奇偶性，判断图象的对称性．
(2)抓住函数的特征，定量计算
利用函数的特征点、特殊值的计算，分析解决问题．
[典例]　
1．（2021·天津·高考真题）函数的图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·浙江台州·二模）函数的图象如图所示，则其解析式可能是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·浙江·慈溪中学模拟预测）已知函数，则图像为下列图示的函数可能是（ ）
A． B．
C． D．
[举一反三]　
1．（2022·江苏盐城·三模）函数的大致图象是( )
A． B．
C． D．
2．（2022·浙江金华·三模）若函数，则下列图象不可能是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·江苏连云港·模拟预测）已知函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·山东菏泽·二模）函数在上的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022·浙江绍兴·模拟预测）函数，的图象如图所示，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·辽宁辽阳·二模）函数的部分图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2022·江苏南京·三模）函数的部分图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2022·江苏江苏·三模）函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2022·福建宁德·模拟预测）函数的图象如图所示，则f（x）的解析式可能是（ ）
A． B．
C． D．
考点3 函数图象的应用
[名师点睛]
对于已知解析式或易画出其在给定区间上图象的函数，其性质常借助图象研究：
(1)从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；
(2)从图象的对称性，分析函数的奇偶性；
(3)从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性．
利用函数的图象研究不等式的思路
当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上下关系问题或函数图象与坐标轴的位置关系问题，从而利用数形结合法求解．
[典例]　
1．（2022·浙江杭州·高三期末）设函数（），则（ ）
A．对任意，函数是奇函数
B．存在，使函数是偶函数
C．对任意，函数的图象是中心对称图形
D．存在，使函数的图象是轴对称图形
2．（2022·北京·模拟预测）已知函数，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·天津市滨海新区塘沽第一中学模拟预测）已知函数，若不等式的解集为，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
[举一反三]　
1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数(n为正整数)，有下列四种说法：
①函数始终为奇函数；
②当n为偶数时，函数的最小值为8；
③当n为奇数时，函数的极大值为；
④当时，函数的图像关于直线对称.
其中所有正确说法的序号是（ ）
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
2．（2022·全国·高三专题练习）已知定义在上的偶函数，在上为减函数，且，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·北京丰台·一模）已知函数无最小值，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·全国·高三专题练习）当x∈[0，1]时，下列关于函数y=的图象与的图象交点个数说法正确的是（　　）
A．当时，有两个交点 B．当时，没有交点
C．当时，有且只有一个交点 D．当时，有两个交点
5．（多选）（2022·重庆八中高三阶段练习）已知函数则下列结论正确的有（ ）
A．N*
B．恒成立
C．关于x的方程R)有三个不同的实根，则
D．关于x的方程N*)的所有根之和为
6．（多选）（2022·全国·高三专题练习）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．值域为
B．在上递增
C．
D．当时，函数恰有5个不同的零点
6．（2022·全国·高三专题练习）方程表示的曲线即为函数的图象，对于函数，有如下结论：
①在上单调递减；
②函数不存在零点；
③函数的值域是；
④的图象不经过第一象限.
其中正确的命题是_______________________．（填写命题序号）
7．（2022·全国·高三专题练习）若是奇函数，且在上是减函数，又，则的解集是___________
8．（2022·全国·高三专题练习）已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，，则的解集为__________
第13讲　函数的图象
1．利用描点法作函数图象
其基本步骤是：列表、描点、连线．
首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)．
其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线．
2．利用图象变换法作函数的图象
(1)平移变换
(2)对称变换
①y＝f(x)y＝－f(x)．
②y＝f(x)y＝f(－x)．
③y＝f(x)y＝－f(－x)．
④y＝ax(a＞0且a≠1)y＝logax(x＞0)．
(3)翻折变换
①y＝f(x)y＝|f(x)|；
②y＝f(x)y＝f(|x|)．
(4)伸缩变换
①y＝f(x)→y＝f(ax)．
②y＝f(x)→y＝af(x)．
常用结论
1．函数图象平移变换的八字方针
(1)“左加右减”，要注意加减指的是自变量．
(2)“上加下减”，要注意加减指的是函数值．
2．函数图象自身的轴对称
(1)f(－x)＝f(x) 函数y＝f(x)的图象关于y轴对称．
(2)函数y＝f(x)的图象关于x＝a对称 f(a＋x)＝f(a－x) f(x)＝f(2a－x) f(－x)＝f(2a＋x)．
(3)若函数y＝f(x)的定义域为R，且有f(a＋x)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝对称．　
3．函数图象自身的中心对称
(1)f(－x)＝－f(x) 函数y＝f(x)的图象关于原点对称．
(2)函数y＝f(x)的图象关于(a，0)对称 f(a＋x)＝－f(a－x) f(x)＝－f(2a－x) f(－x)＝－f(2a＋x)．
(3)函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)成中心对称 f(a＋x)＝2b－f(a－x) f(x)＝2b－f(2a－x)．
4．两个函数图象之间的对称关系
(1)函数y＝f(a＋x)与y＝f(b－x)的图象关于直线x＝对称(由a＋x＝b－x得对称轴方程)；
(2)函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a对称；
(3)函数y＝f(x)与y＝2b－f(－x)的图象关于点(0，b)对称．
考点1 作函数的图象
[名师点睛]
函数图象的画法
[典例]　（2022·全国·高三专题练习）分别画出下列函数的图象：
（1）y＝|lg x|；　　　　（2）y＝2x＋2；
（3）y＝x2－2|x|－1; （4）y＝．
【解】（1）的图象如图①．
（2）将的图象向左平移2个单位即得的图象．
图象如图②．
（3）的图象如图③．
（4）因为，
所以先作出的图象，
将其图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位，
即得的图象，如图④．
[举一反三]　
1．（2022·全国·高三专题练习）作出下列函数的大致图像，并写出函数的单调区间和值域：
（1）； （2）；（3）；
（4）；（5）；（6）．
【解】（1），图象如图所示：
函数在和为减函数.
因为，所以，故值域为：；
（2），图象如图所示：
函数在和为减函数，在和为增函数，
当时，取得最小值，故值域：；
（3）函数的图象如图所示：
函数在上为增函数，值域：.
（4），图象如图所示：
函数在和为增函数，在为减函数，
值域为：.
（5），图象如图所示：
函数在和为减函数，在和为增函数.
值域为：；
（6）
，
函数在和为减函数，在和为增函数，
值域为：.
2．（2022·北京·高三专题练习）已知函数，作出的大致图像并写出它的单调性；
【解】当时，函数的图象，如图所示：
则的图象，如图所示：
由图象知：在上递减，在上递增；
当时，函数的图象，如图所示：
则的图象，如图所示：
由图象知：在上递减，在上递增；
考点2 函数图象的识别
[名师点睛]
(1)抓住函数的性质，定性分析
①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象上下位置；
②从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
③从周期性，判断图象的循环往复；
④从函数的奇偶性，判断图象的对称性．
(2)抓住函数的特征，定量计算
利用函数的特征点、特殊值的计算，分析解决问题．
[典例]　
1．（2021·天津·高考真题）函数的图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
设，则函数的定义域为，关于原点对称，
又，所以函数为偶函数，排除AC；
当时， ，所以，排除D.
故选：B.
2．（2022·浙江台州·二模）函数的图象如图所示，则其解析式可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由图象得，函数的定义域为，故排除B，
有一解，当或时，，当时或时，，故排除C，
当无限接近负无穷大时，无限接近，故排除D，
故选：A
3．（2022·浙江·慈溪中学模拟预测）已知函数，则图像为下列图示的函数可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】解：依题意图示对应的函数为偶函数，考虑到为偶函数，
为奇函数，为奇函数.
因为为奇函数，故排除A，
又为奇函数，故排除B，
对于D：定义域为，故排除D；
因为在定义域上单调递增，在上单调递增，
又函数图象在的右侧部分函数为单调递增的，
符合条件的只有，
故选：C.
[举一反三]　
1．（2022·江苏盐城·三模）函数的大致图象是( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】时，指数函数增速快于二次函数，故f(x)→+，图象单调递增，故排除C；
时，，，故，故排除D；
又，即f(x)>0时有两个零点，故图象B符合，图象A不符合．
故选：B．
2．（2022·浙江金华·三模）若函数，则下列图象不可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】当时，，与选项C相符；
当时，；，与选项D相符；
当时，；，与A相符；
图象不可能是B中图象.
故选：B.
3．（2022·江苏连云港·模拟预测）已知函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】函数的定义域为R，，即函数是R上的奇函数，B不满足；
而当时，，，选项A，C不满足，选项D符合题意.
故选：D
4．（2022·山东菏泽·二模）函数在上的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】首先，所以函数是奇函数，故排除D，，故排除B，
当时，，故排除A，只有C满足条件.
故选：C
5．（2022·浙江绍兴·模拟预测）函数，的图象如图所示，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由图像可知，当时，，则时，，则，
又由图像不关于原点中心对称可知，则
则时，，即，则
故选：C
6．（2022·辽宁辽阳·二模）函数的部分图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为，定义域为R，又，
所以是奇函数，排除C；
当时，，，则且单调递增，排除B，D.
故选：A.
7．（2022·江苏南京·三模）函数的部分图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】函数的定义域为，关于原点对称，
所以为奇函数排除A，
又排除B，当，，排除D；
故选：C.
8．（2022·江苏江苏·三模）函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为，所以取，此时，时，，时，，故只有B符合题意.故选：B.
9．（2022·福建宁德·模拟预测）函数的图象如图所示，则f（x）的解析式可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
A函数为递减的，错误；C函数的值域大于等于0，错误；D函数为二次函数，错误，只有B符合.
故选：B.
考点3 函数图象的应用
[名师点睛]
对于已知解析式或易画出其在给定区间上图象的函数，其性质常借助图象研究：
(1)从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；
(2)从图象的对称性，分析函数的奇偶性；
(3)从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性．
利用函数的图象研究不等式的思路
当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上下关系问题或函数图象与坐标轴的位置关系问题，从而利用数形结合法求解．
[典例]　
1．（2022·浙江杭州·高三期末）设函数（），则（ ）
A．对任意，函数是奇函数
B．存在，使函数是偶函数
C．对任意，函数的图象是中心对称图形
D．存在，使函数的图象是轴对称图形
【答案】C
【解析】解：因为，所以作出函数的大致图象，如图所示：
由图可知，对任意，函数不一定是奇函数；不存在，使函数是偶函数；对任意，函数的图象是中心对称图形，且对称中心为；不存在，使函数的图象是轴对称图形；
故选：C.
2．（2022·北京·模拟预测）已知函数，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】不等式，
分别画出函数和的图象，
由图象可知和有两个交点，分别是和，
由图象可知的解集是
即不等式的解集是.
故选：B
3．（2022·天津市滨海新区塘沽第一中学模拟预测）已知函数，若不等式的解集为，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】不等式的解集为,等价于在上恒成立.
当时,此时在上单调递增,
当则当时,,故在上单调递减.
当与相切时,设切点为,所以,解得,,此时切线方程为,该切线与轴的交点为,同理可得当与相切时,切线与轴的交点为,
又因为与轴的交点为
要使在上恒成立,则点在之间移动即可.故,解得
故选:D
[举一反三]　
1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数(n为正整数)，有下列四种说法：
①函数始终为奇函数；
②当n为偶数时，函数的最小值为8；
③当n为奇数时，函数的极大值为；
④当时，函数的图像关于直线对称.
其中所有正确说法的序号是（ ）
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
【答案】B
【解析】的定义域为.
对于①，当n=2时，，满足，则为偶函数；故①错误.
对于②，当n为偶数时，，所以，当，即时取等号，所以函数的最小值为8；故②正确.
对于③，当n为奇数时，作出的图像如图示：
由图像可得：的极大值为；故③正确.
对于④,当时，作出函数和的图像如图示：
显然函数的图像不关于直线对称，故④错误.
故选:B
2．（2022·全国·高三专题练习）已知定义在上的偶函数，在上为减函数，且，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由题意，画出的图象如图，等价于，或，由图可知，不等式的解集为
故选：D．
3．（2022·北京丰台·一模）已知函数无最小值，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】对于函数，
可得，
由，得或，由，得，
∴函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
∴函数在时有极大值2，在时有极小值，
作出函数与直线的图象，
由图可知，当时，函数有最小值，当时，函数没有最小值.
故选：D.
4．（2022·全国·高三专题练习）当x∈[0，1]时，下列关于函数y=的图象与的图象交点个数说法正确的是（　　）
A．当时，有两个交点 B．当时，没有交点
C．当时，有且只有一个交点 D．当时，有两个交点
【答案】B
【解析】设f（x）=，g（x）= ，其中x∈[0，1]
A．若m=0，则与在[0，1]上只有一个交点，故A错误．
B．当m∈（1，2）时，
即当m∈（1，2]时，函数y=的图象与的图象在x∈[0，1]无交点，故B正确，
C．当m∈（2，3]时，，
当时，此时无交点，即C不一定正确．
D．当m∈（3，+∞）时，g（0）=＞1，此时f（1）＞g（1），此时两个函数图象只有一个交点，故D错误，
故选B．
5．（多选）（2022·重庆八中高三阶段练习）已知函数则下列结论正确的有（ ）
A．N*
B．恒成立
C．关于x的方程R)有三个不同的实根，则
D．关于x的方程N*)的所有根之和为
【答案】AC
【解析】由题知，故A正确；
由上可知，要使恒成立，只需满足时，成立，即 ，即成立，令，则得，易知当时有极大值，故B不正确；
作函数图象，由图可知，要使方程R)有三个不同的实根，则，即，故C正确；
由可知，函数在上的函数图象可以由上的图象向右平移一个单位长度，在将所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的倍得到，由于的对称轴为，故的两根之和为，同理，的两根之和为，…，的两根之和为，故所有根之和为，故D错误.
故选：AC
6．（多选）（2022·全国·高三专题练习）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．值域为
B．在上递增
C．
D．当时，函数恰有5个不同的零点
【答案】AD
【解析】当时，单调递增，所以
当时，，
令得：，令得：或，故在，单调递减，在上单调递增，所以在处取得极小值，在处取得极大值，又，，，故当时，的值域为，综上：值域为，A选项正确；在上单调递减，故B选项错误；由于，且，，结合在上单调递减，故，故C选项错误；当时，，故或，
有图象可知，时，，当时，有4个根，综上：当时，函数恰有5个不同的零点，D选项正确
故选：AD
6．（2022·全国·高三专题练习）方程表示的曲线即为函数的图象，对于函数，有如下结论：
①在上单调递减；
②函数不存在零点；
③函数的值域是；
④的图象不经过第一象限.
其中正确的命题是_______________________．（填写命题序号）
【答案】①②③④
【解析】当时，由得，可得，则有，
当时，由得，可得，则有，
当时，由得，可得.
所以，函数的图象是两段双曲线的一部分加上一段椭圆圆弧组成的图形，如下图所示：
对于①，函数在上单调递减，①对；
对于②，由于直线是双曲线、的一条公共渐近线，
故函数的图象与直线无交点，即函数不存在零点，②对；
对于③，函数的值域是，③对；
对于④，的图象不经过第一象限，④对.
故答案为：①②③④.
7．（2022·全国·高三专题练习）若是奇函数，且在上是减函数，又，则的解集是___________
【答案】
【解析】因为函数为奇函数，
所以，
所以，
因为函数在上是减函数，所以函数在上是减函数．
作出函数的大致图象如图所示，
而，等价于，即，
则或，
所以或，
解得或．
综上，的解集是．
故答案为：
8．（2022·全国·高三专题练习）已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，，则的解集为__________
【答案】
【解析】
因为函数是偶函数，所以的图象关于直线对称．
由在上单调递减，得在上单调递增，且，
所以当或时，，当时，．
函数的图象如图所示，
等价于或
即或,
解得或.
故答案为：

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