资源简介

相等关系与不等关系　
1．实数大小与运算性质之间的关系
a－b>0 ；a－b＝0 ；a－b<0 ．
2．等式的性质
(1)对称性：若a＝b，则 ．
(2)传递性：若a＝b，b＝c，则 ．
(3)可加性：若a＝b，则a＋c＝ ．
(4)可乘性：若a＝b，则 ；若a＝b，c＝d，则 ．
3.不等式的性质
性质 性质内容 注意
对称性 a>b ；a传递性 a>b，b>c ；a可加性 a>b a＋c>b＋c 可逆
可乘性 a>b，c>0 ； a>b，c<0 c的符号
同向可加性 a>b，c>d 同向
同向同正 可乘性 a>b>0，c>d>0 同向， 同正
可乘方性 a>b>0，n∈N* 同正
可开方性 a>b>0，n∈N，n≥2 同正
考点1 比较大小
[名师点睛]
比较两个数(式)大小的方法
[典例]
1.（2022·湖南·高三周练）若，比较与的大小．
2.（2021·江苏·高三专题复习）设x，y为正数，比较与的大小.
[举一反三]　
1．（2022·重庆·模拟预测）若，则（ ）
A． B．
C． D．
2.（2022·重庆市育才中学模拟预测）（多选）若a＞b＞0＞c，则( )
A． B． C． D．
3.比较与的大小．
4．已知：、， 且，比较的大小.
5．（2021·全国·高三专题练习（文））已知，比较与的大小
考点2 不等式的性质
[名师点睛]
(1)判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．常用的推理判断需要利用不等式的性质．
(2)在判断一个关于不等式的命题真假时，先把要判断的命题和不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题真假，当然判断的同时还要用到其他知识，比如对数函数、指数函数的性质等．
[典例]　(1)已知a，b，c∈R，那么下列命题中正确的是(　　)
A．若＞1，则a＞b
B．若＞，则a＞b
C．若a3＞b3且ab＜0，则＞
D．若a2＞b2且ab＞0，则＜
(2)(多选)下列命题为真命题的是(　　)
A．若a>b>0，则ac2>bc2
B．若aab>b2
C．若a>b>0且c<0，则>
D．若a>b且>，则ab<0
[举一反三]　
1．（2021·辽宁·东北育才学校一模）若a，b，c∈R，a>b，则下列不等式恒成立的是（ ）
A．< B．a2>b2
C．> D．a|c|>b|c|
2．（2022·安徽黄山·二模（文））设实数、满足，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
3．（多选）（2021·福建三明·模拟预测）已知a，b，c，d均为实数，则下列命题正确的是（ ）
A．若a>b，c>d，则a-d>b-c B．若a>b，c>d则ac>bd
C．若ab>0，bc-ad>0，则 D．若a>b，c>d>0，则
4．（多选）（2021·山东潍坊·模拟预测）16世纪英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若，则下列结论成立的是（ ）
A． B．
C． D．
5.设a>b>0，m>0，n>0，则，，，由小到大的顺序是____________________．
考点3 不等式性质的应用
[名师点睛]
利用待定系数法求代数式的取值范围
已知M1(1)设g(a，b)＝pf1(a，b)＋qf2(a，b)；
(2)根据恒等变形求得待定系数p，q；
(3)再根据不等式的同向可加性即可求得g(a，b)的取值范围．
[典例]　
已知－1[举一反三]　
1．若6A．[9，18] B．(15，30)
C．[9，30] D．(9，30)
2.（多选）（2022·山东·模拟预测）已知实数x，y满足则（ ）
A．的取值范围为 B．的取值范围为
C．的取值范围为 D．的取值范围为
3.（2022·全国·江西科技学院附属中学模拟预测（文））已知实数、满足，，则的取值范围为______．
4．[2021·东北三省四市联考]已知角α，β满足－<α－β<，0<α＋β<π，求3α－β的取值范围
相等关系与不等关系　
1．实数大小与运算性质之间的关系
a－b>0 a>b；a－b＝0 a＝b；a－b<0 a2．等式的性质
(1)对称性：若a＝b，则b＝a．
(2)传递性：若a＝b，b＝c，则a＝c．
(3)可加性：若a＝b，则a＋c＝b＋c．
(4)可乘性：若a＝b，则ac＝bc；若a＝b，c＝d，则ac＝bd．
3.不等式的性质
性质 性质内容 注意
对称性 a>b ba 可逆
传递性 a>b，b>c a>c；a可加性 a>b a＋c>b＋c 可逆
可乘性 a>b，c>0 ac>bc； a>b，c<0 ac同向可加性 a>b，c>d a＋c>b＋d 同向
同向同正 可乘性 a>b>0，c>d>0 ac>bd 同向， 同正
可乘方性 a>b>0，n∈N* an>bn 同正
可开方性 a>b>0，n∈N，n≥2 > 同正
考点1 比较大小
[名师点睛]
比较两个数(式)大小的方法
[典例]
1.（2022·湖南·高三周练）若，比较与的大小．
【解】- = ,
因为， 故，，，
故，即.
2.（2021·江苏·高三专题复习）设x，y为正数，比较与的大小.
【解】因为为整数，则且，
由，当且仅当时，等号成立，
所以，所以.
[举一反三]　
1．（2022·重庆·模拟预测）若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】∵，，∴
又，∴∴
，又∴
综上：故选：A
2.（2022·重庆市育才中学模拟预测）（多选）若a＞b＞0＞c，则( )
A． B． C． D．
【答案】ABD
【解析】
A：，∵，，
，，故A正确；
B：，∵，∴，
，故B正确；
C：时，在单调递减，∵，故C错误；
D：∵a＞b＞0＞c，∴－c＞0，∴，∵a≠b，故等号取不到，故，故D正确.
故选：ABD.
3.比较与的大小．
【解】,
<.
4．已知：、， 且，比较的大小.
【解】∵、 ，∴，
作商： （*）
(1)若a>b>0， 则，a-b>0， ， 此时成立；
(2)若b>a>0， 则， a-b<0，， 此时成立.
综上，总成立.
5．（2021·全国·高三专题练习（文））已知，比较与的大小
【解】
,
同理，,
从而，
即>.
考点2 不等式的性质
[名师点睛]
(1)判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．常用的推理判断需要利用不等式的性质．
(2)在判断一个关于不等式的命题真假时，先把要判断的命题和不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题真假，当然判断的同时还要用到其他知识，比如对数函数、指数函数的性质等．
[典例]　(1)已知a，b，c∈R，那么下列命题中正确的是(　　)
A．若＞1，则a＞b
B．若＞，则a＞b
C．若a3＞b3且ab＜0，则＞
D．若a2＞b2且ab＞0，则＜
(2)(多选)下列命题为真命题的是(　　)
A．若a>b>0，则ac2>bc2
B．若aab>b2
C．若a>b>0且c<0，则>
D．若a>b且>，则ab<0
【解析】　(1)A中，只有b＞0时正确，故A错误；
B中，当c＜0时，a＜b，故B错误；
C中，若a3＞b3，ab＜0，则a＞0＞b，所以＞，故C正确；
D中，当a＜0，b＜0时，＜不成立，故D错误．
综上所述，故选C.
(2)当c＝0时，不等式不成立，所以A命题是假命题； a2>ab， ab>b2，所以a2>ab>b2，所以B命题是真命题；a>b>0 a2>b2>0 0<<，因为c<0，所以>，所以C命题是真命题；> －>0 >0，因为a>b，所以b－a<0，ab<0，所以D命题是真命题，故选BCD.
【答案】　(1)C　(2)BCD
[举一反三]　
1．（2021·辽宁·东北育才学校一模）若a，b，c∈R，a>b，则下列不等式恒成立的是（ ）
A．< B．a2>b2
C．> D．a|c|>b|c|
【答案】C
【解析】当a=1，b=-2时，满足a>b，但，a2因>0，a>b，由不等式性质得，C正确；
当c=0时，a|c|>b|c|不成立，排除D，
故选：C
2．（2022·安徽黄山·二模（文））设实数、满足，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】对于A：当，时不成立，故A错误；
对于B：当，，所以，，即，故C错误；
对于C：当时不成立，故C错误；
对于D：因为，所以，又，
所以（等号成立的条件是），故D正确.
故选：D.
3．（多选）（2021·福建三明·模拟预测）已知a，b，c，d均为实数，则下列命题正确的是（ ）
A．若a>b，c>d，则a-d>b-c B．若a>b，c>d则ac>bd
C．若ab>0，bc-ad>0，则 D．若a>b，c>d>0，则
【答案】AC
【解析】解：由不等式性质逐项分析：
A选项：由，故，根据不等式同向相加的原则，故A正确
B选项：若，则，故B错误；
C选项：，，则，化简得，故C正确；
D选项：，，，则，故D错误.
故选：AC
4．（多选）（2021·山东潍坊·模拟预测）16世纪英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若，则下列结论成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【解析】解：对于A，由，可得，故A正确；
对于B，由，当时，可得，故B错误；
对于C，由，当时，可得，，可得，当，时，可得，当时，，可得，故C正确；
对于D，当，时，，，故D错误．
故选：AC．
5.设a>b>0，m>0，n>0，则，，，由小到大的顺序是____________________．
[答案]　<<<
[解析]　∵－＝＝<0，
∴<<1.
∵－＝＝<0，
∴1<<.
∴<<<.
考点3 不等式性质的应用
[名师点睛]
利用待定系数法求代数式的取值范围
已知M1(1)设g(a，b)＝pf1(a，b)＋qf2(a，b)；
(2)根据恒等变形求得待定系数p，q；
(3)再根据不等式的同向可加性即可求得g(a，b)的取值范围．
[典例]　
已知－1【解析】　因为－1所以－3<－y<－2，
所以－4由－14<2y<6，
所以1<3x＋2y<18.
【答案】　(－4，2)　(1，18)
[举一反三]　
1．若6A．[9，18] B．(15，30)
C．[9，30] D．(9，30)
解析：选D.因为≤b≤2a，所以≤a＋b≤3a，即≤c≤3a，因为62.（多选）（2022·山东·模拟预测）已知实数x，y满足则（ ）
A．的取值范围为 B．的取值范围为
C．的取值范围为 D．的取值范围为
【答案】ABD
【解析】因为，所以.因为，所以，则，故A正确；
因为，所以.因为，所以，所以，所以，故B正确；
因为，所以，则，故C错误；
因为，所以，则，故D正确.
故选：ABD.
3.（2022·全国·江西科技学院附属中学模拟预测（文））已知实数、满足，，则的取值范围为______．
【答案】
【解析】解：设，则，解得，
所以，
因为，，
所以，，
所以，
故答案为：.
4．[2021·东北三省四市联考]已知角α，β满足－<α－β<，0<α＋β<π，求3α－β的取值范围．
[解]　结合题意可知，3α－β＝2(α－β)＋(α＋β)，
且2(α－β)∈(－π，π)，(α＋β)∈(0，π)，
由不等式的性质可知3α－β的取值范围是(－π，2π)