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焦半径公式与圆锥曲线的光学性质（数学技巧点拨系列）——2023 届高考一轮提高讲义
焦半径公式与圆锥曲线的光学性质
【知识点讲解】
1、焦半径公式第一组：坐标式
（1）椭圆的焦半径公式
PF1 a ex0 ,PF2 a ex0，其中e为离心率， x0为 P点横坐标。
（2）双曲线的焦半径公式
PF1 | a ex0 |,PF2 | a ex0 |，其中e为离心率， x0为 P点横坐标。
（3）抛物线的焦半径公式
|AB|＝x1＋x2＋p(其中点 A在 x轴上侧，点 B在 x轴下侧)
2、焦半径公式第二组：角度式
（1）椭圆的焦半径公式
b2
已知直线 l过左焦点 F1与椭圆交于 A,B两点，设 AF1F2 ，则焦半径 | AF | ，a c cos
2
| BF | b 1 1 2a ，
a c cos | AF | | BF | b2
2ab2| AB | | AF | | BF | 2 2 2 ，最长焦点弦为长轴，最短焦点弦为通径。a c cos
（2）双曲线的焦半径公式
b2
已知直线 l过左焦点 F1与双曲线交于 A,B两点，设 AF1F2 ，则焦半径 | AF | ，a c cos
2
| BF | b 1 1 2a ，
a c cos | AF | | BF | b2
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焦半径公式与圆锥曲线的光学性质（数学技巧点拨系列）——2023 届高考一轮提高讲义
2
| AB | | AF | | BF | 2ab
a2 c2 cos2
（3）抛物线的焦半径公式
p p
|AF|＝ ，|BF|＝ (其中点 A在 x轴上侧，点 B在 x轴下侧) .
1－cos α 1＋cos α
3、圆锥曲线的光学性质
（1）椭圆的光学性质
2 2
已知椭圆C x y： 1(a b 0)的左右焦点分别为F ,F ，点 P为椭圆上一点，则有：
a2 b2 1 2
①椭圆在点 P处的切线 l平分焦点三角形 PF1F2的外角；②过点 P且垂直于切线 l的直线 PM
交 x轴于点M ， PM 平分 F1PF2。
由椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆反射（切线 l为镜面， PM 为法线）后，反射光线
经过另一个焦点。
（2）双曲线的光学性质
由双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光纤的反向延长线经过另一个焦点。
①双曲线在点 P处的切线 l平分 F1PF2；
②过点 P且垂直于切线 l的直线 PM 交 x轴于点M ， PM 平分 PF1F2的外角。
（3）抛物线的光学性质
由抛物线焦点发出的光线，经抛物线反射后，反射光线平行于抛物线对称轴。
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焦半径公式与圆锥曲线的光学性质（数学技巧点拨系列）——2023 届高考一轮提高讲义
【例题讲解】
【例 1】椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经
过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点F1，F2是它的焦点，长轴长为 2a，
焦距为2c，静放在点F1的小球（小球的半径不计），从点F1沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一
次回到点F1时，小球经过的路程可以是（ ）
A． 4a B． 4c C． 2 a c D 2 a c．
听课笔记：
【跟踪训练 1—1】椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，
反射光线经过椭圆的另一个焦点. 根据椭圆的光学性质解决下题：现有一 个水平放置的椭圆
x2 y2
形台球盘，满足方程 =1 A,B . A 8 6 ，点 是它的两个焦点 当静止的小球从点 开始出发，沿60 角
直线运动，经椭圆内壁反射后再回到点A时，小球经过的路程为______.
听课笔记：
【跟踪训练 1—2】如图，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反
x2 y2
射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.已知椭圆C： 2 2 1 a b 0 的左 右焦点分别为F1，a b
F2，左 右顶点分别为A，B，一光线从点 F1 1,0 射出经椭圆C上 P点反射，法线(与椭圆C在 P
1
处的切线垂直的直线)与 x轴交于点Q，已知 PF1 1， F1Q .2
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焦半径公式与圆锥曲线的光学性质（数学技巧点拨系列）——2023 届高考一轮提高讲义
（1）求椭圆C的方程.
（2）过 F2的直线与椭圆C交于M ，N两点(均不与A， B重合)，
直线MB与直线 x 4交于G点，证明：A，N，G三点共线.
听课笔记：
2 x
2 y2
【例 】已知椭圆 2 2 1 a b 0 的左、右焦点分别为F1、F2，点 P在椭圆上，且 PF1 4 PF ，a b 2
则此椭圆的离心率 e的最小值为（ ）
3 4 1 3
A． B5 ． C． D5 ．4 4
听课笔记：
x2 y2
【跟踪训练 2】已知椭圆 1上一点 P到其左焦点的距离为6，则点 P到右准线的距离为
16 12
A． 4 B．6 C．8 D．12
听课笔记：
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焦半径公式与圆锥曲线的光学性质（数学技巧点拨系列）——2023 届高考一轮提高讲义
【对点训练——焦半径篇】
一、单选题
x2 y21．设 F为椭圆C : 1的右焦点，点 A(2,0)，点 B在 C上，若 | BF | 2 | AF |，则 | AB | （ ）
4 3
A． 5 B． 2 5 C． 7 D．2 7
2．P是椭圆 x2 4y2 16上一点，F1， F2是该椭圆的两个焦点，且 PF1 7，则 PF2 （ ）
A．1 B．3 C．5 D．9
2 2
3 x y．椭圆： 2 2 1(a b 0)有一特殊性质，从一个焦点射出的光线到达椭圆上的一点 P反射a b
1
后，经过另一个焦点.已知椭圆的焦距为 2，且 PF1 PF2 4，当 sin F1PF2 时，椭圆的中心O2
到与椭圆切于点 P的切线的距离为：（ ）
A 1 B 6 2 C 6 2 D 6 2 6 2． ． ． ． 或
4 2 2 2
x2 y24．已知 P是椭圆 1上的一个点，F1、F2是椭圆的两个焦点，若 PF1 325 16 ，则 PF2 等于（ ）
A．10 B． 7 C．5 D． 2
PF 22 2
5 x y．已知 F1,F 22是双曲线 2 2 1(a 0,b 0)a b 的左、右焦点， P为双曲线左支上一点，若 的最PF1
小值为8a，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A． (1,3) B． (1, 2) C． (1,3] D． (1, 2]
x2 y26．已知双曲线C : 2 2 1 a 0,b 0 的左、右焦点分别为 F1、 F2，点 P在双曲线的右支上，a b
y b过点 P作渐近线 x的垂线，垂足为Q，若 PQ PF 的最小值为4a，则双曲线的离心率为
a 1
A． 3 B． 5 C． 2 D．2 2
2 2
7．已知双曲线C : x y 1,F1,F2是其左右焦点.圆 E : x
2 y2 4y 3 0，点 P为双曲线 C右支上
9 7
的动点，点 Q为圆 E上的动点，则 | PQ | PF1 的最小值是（ ）
A．5 2 5 B．5 2 2 C．7 D．8
2 2
8 x y．已知双曲线C : 1的左、右焦点分别为F1，F2，双曲线C上有一点 P，若 PF1 5，则 PF 9 7 2
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焦半径公式与圆锥曲线的光学性质（数学技巧点拨系列）——2023 届高考一轮提高讲义
A．13 B．11 C．1或11 D．11或13
x2 y2F F PF
2 PF
9．已知 1， 2分别为双曲线 1的左、右焦点，P为双曲线右支上任一点，则 1 29 4 PF2
的最小值为（ ）
A．19 B．25 C．37 D．85
10．已知点 A是抛物线 C：x2 2y上一点，F为焦点，O为坐标原点，若以点 O为圆心，以 OA
π
的长为半径的圆与抛物线 C的另一个交点为 B，且 AOB AF3，则 的值是（ ）
11 13
A． B．6 C． D．72 2
11．抛物线 y2 4x的焦点为 F，其准线与 x轴的交点为N，过点 F做直线与此抛物线交于A，B
两点，若 NB AB，则 AF BF （ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
12．设点 An n, yn n N * 在抛物线 y2 6x上， F是焦点，则 A1F A2F A40F （ ）
A．880 B．878 C．876 D．882
13．已知 O为坐标原点，F是抛物线 y2 4x的焦点，P为抛物线上一点，且 POF 30 ，则 PF
A．11 B．12 C．13 D．14
2 AB
14．已知 F为抛物线 y2 2x的焦点， A x0, y0 为抛物线上的动点，点B 1,0 .则 2 AF 1最大值
的为（ ）A 1 6． 2 B． 2 C． D． 52
15．过抛物线 y2 4x焦点 F的直线交抛物线于 A，B两点，若 | AF | 3，则 BF 的值为（ ）
5 3
A． B．2 C． D 12 ．2 2

16．已知抛物线C : y2 4x的焦点为F，准线为 l，点P在C上，直线PF交 y轴于点Q，若 PF 3FQ，
则点 P到准线 l的距离为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
17．设 F为抛物线C : y2 4x的焦点，A是 C上一点，O是坐标原点，若 tan AOF 2，则 | AF |
A．1 B．2 C．3 D．4
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焦半径公式与圆锥曲线的光学性质（数学技巧点拨系列）——2023 届高考一轮提高讲义
二、多选题
18 P x
2 y2
．设 是椭圆 1上的动点，则（ ）
5 3
A．点P到该椭圆的两个焦点的距离之和为 2 5 B．点P到该椭圆的两个焦点的距离之和为2 2
C．点 P到左焦点距离的最大值为 5 2 D．点 P到左焦点距离的最大值为 5 2 2
x2 y219．（多选）已知椭圆 2 1 0 b 2 的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线 l交椭圆4 b
于 A，B两点，若 AF2 BF2 的最大值为 5，则（ ）
A．椭圆的短轴长为 2 3 B．当 AF2 BF2 最大时， AF2 BF2
C 3．离心率为 D． AB 的最小值为 3
3
x2 y220．设F1，F为椭圆 1的左、右焦点，P为椭圆上的动点，且椭圆上至少有 17 个不同20 4
的点 Pi (i 1,2,3 )， FP1 ， FP2 ， FP3 ，…组成公差为 d的递增等差数列，则（ ）
A． FP
4
的最大值为 2 5 4 B．△F1PF的面积最大时， tan F1PF 3
C
1 3
．d的取值范围为 0,
2
D．椭圆上存在点 P，使 F1PF 4
21 x
2 y2
．已知椭圆 1的左右焦点分别为F1，F2，抛物线 y2 2px(p 0)与椭圆共焦点，若两曲9 5
线的一个交点为 P，则下列说法正确的是（ ）
A． p 4 B． PF1 PF2 6 C． PF2 3 D．△PF1F2的面积为 2 5
22 x
2 y2
．已知 P是左右焦点分别为F1，F2的 1上的动点，M 0,3 ，下列说法正确的有（ ）12 4
A． MP的最大值为 5 B． PF1 PF2 4 3
C．存在点 P，使 F1PF2 120 D． PF1 PF2 的最大值为4 2
x2 y223．已知椭圆C : 2 2 1(a 0,b 0) 的左、右焦点分别为F1， F2，焦距为 2 5， P为椭圆上一a b
点，连接PF2交 y轴于点N，PF2 PF1， F1F2 4ON，其中O为坐标原点，则下列说法正确的是
（ ）
A． PF2 2PF1 B．椭圆的长轴长为3
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焦半径公式与圆锥曲线的光学性质（数学技巧点拨系列）——2023 届高考一轮提高讲义
C 4 5．若点 Q在椭圆 C上，则QF1的最大值为3 5 D．点 P到 x轴的距离为 5
2 2
24 C : x y．已知椭圆 1的左、右焦点分别为 F1,F2， P为C上一点，则（ ）4 3
A．C 2的离心率为 B．△PF1F2的周长为5
2
C． F1PF2 90 D．1 PF1 3
x2 y225．已知双曲线 2 1（ a 0）的左焦点F1与抛物线 y
2 4 7x的焦点重合，F2是双曲线的a 3
右焦点，则下列说法正确的有（ ）
A．抛物线的准线方程为： x 1 B．双曲线的实轴长为 4
9 17
C．双曲线的一条渐近线方程为 2x 3y 0 D．P为双曲线上一点若 PF1 ，则 PF 2 2 2
26．已知直线 l过抛物线C : y2 8x的焦点 F，且斜率为 3，l与抛物线交于P,Q两点（ P在第一
象限），以PF ,QF 为直径的圆分别与 y轴相切于 A,B两点，则下列结论正确的是（ ）
A． | PQ |
32
B AB 8 33 ． 3
C．若M 为抛物线C上的动点， N (2,1)，则 (|MF | |MN |)min 4
D．若M (x0 , 2 10)为抛物线C上的点，则 MF 9
三、填空题
2 2
27 x y．已知椭圆 C： 2 2 1的短轴长为 2，焦距为 2 3，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，若点 Pa b
1 1
为C上的任意一点，则 PF1 PF
的最小值为_______.
2
x228 F F y
2
．设 1、 2是椭圆 1的左右焦点，过F1的直线 l交椭圆于A、B两点，则 AF2 BF2 的64 16
最大值为______.
x2 y229．椭圆 1的焦点为F1 F2，点 P在椭圆上，若线段 PF1的中点在 y轴上，则 PF1 是 PF4 3 2
的___________倍.
2
30．设F1、 F
y
2分别是椭圆 E： x2 2 1（0 b 1）的左、右焦点，过F1的直线 l与椭圆 E相交b
于A、 B两点，且2 AB AF2 BF2 ，则 AB 的长为______．
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2 2
31 C x y．已知双曲线 ： 2 1(a 0)的左、右焦点分别为F1，F2，一条渐近线方程为 3x y 0，a 12
若点M 在双曲线C上，且 MF1 5，则 MF2 ________.
32 x
2 y2
．已知双曲线 1 m 0 的左 右焦点分别为F1，F2，过右焦点 F2 3,0 的直线 l斜率为 k，m 6
且与双曲线左 右两支分别交于A， B两点，若 ABF1的周长为8 3，则 k ___________.
33 C x
2 y2
．已知双曲线 ： 1的左 右焦点分别为F
9 7 1
， F2，双曲线 C上有一点 P，若 PF1 5，
则 PF2 ___________.
2 2
34．已知双曲线 C x y： 1的两焦点分别为F F PF 1016 9 1， 2，P为双曲线 C上一点，若 1 ，则
PF2 =___________.
35．已知点 P为抛物线 y2 16x上的一个动点，设点 P到抛物线的准线的距离为d ，点Q 0,3 ，
则 PQ d的最小值为______．
2
36．已知点M 2,0
PM
，点 P在曲线 y2 4x上运动，点 F为抛物线的焦点，则 的最小值为
PF 1
________．

37．已知 P1,P2 ,P3 , ,P 210是抛物线 x 4y上不同的点，且F 0，1 ，若FP1 FP2 FP10 0，则

FP1 FP2 FP10 ________.
四、双空题
38．已知抛物线 y2 2x的焦点是 F，点 P是抛物线上的动点，若 A 3,2 ，则 PA PF 的最小值
为______，此时点 P的坐标为______．
39 2．已知抛物线 x 2py p 0 的焦点为 F，准线为 l，点P 4, y0 在抛物线上，K为 l与 y轴的
交点，且PK 2PF，则 y ______， p 0 ______．
2
40．抛物线 y 4x的焦点 F的坐标为______；过 F作直线交抛物线于 A x1, y1 ， B x2 , y2 两点，
如果 x1 x2 10 AB ，那么 ______
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【对点训练——光学性质篇】
一、单选题
1．双曲线的光学性质为：从双曲线的一个焦点发出的光线经过双曲线反射后，反射光线的反
x2 y2
向延长线过双曲线的另一个焦点.如图：F1,F2为双曲线C : 2 2 1(a 0,b 0)a b 的左，右焦点，若从
右焦点 F2发出的光线在C上的点 A,B处反射后射出（ A,B,F2共线），且 CAB ABD 120 ，则
C的离心率为（ ）
A． 2 1 B． 5 1 C． 3 D． 3 1
2．抛物线有如下的光学性质：由其焦点射出的光线经过抛物线反射后，沿平行于抛物线对称
轴的方向射出，已知抛物线 C： y2 8x的焦点为 F，一束平行于 x轴的光线从点（1，－2）射
入，经抛物线上的点 P反射后，再经抛物线上另一点 Q反射后射出，则 | PQ | （ ）
25 27
A． B2 ．13 C． D．142
3．抛物线具有如下光学性质：从焦点发出的光线经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行
于抛物线的对称轴.生活中的探照灯就是利用这个原理设计的.已知 F是抛物线C : y2 4x的焦点，
从 F发出的光线经C上的点M 反射后经过点 (4, 2 3)，则 | FM | （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．抛物线有如下光学性质：过焦点的光线（光线不同过抛物线对称轴上任意两点）经抛物线
反射后平行于抛物线的对称轴；平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的
焦点.若一条平行于 x轴的光线从M 3,1 射出，经过抛物线 y2 4x上过的点A反射后，再经抛物
线上的另一点 B反射出，则直线 AB的斜率为
4 4 4 16A． B C D 3 ． 3 ． 3 ． 9
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5．圆锥曲线具有丰富的光学性质，从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光
2 2
线经过椭圆的另一个焦点．直线 l： x 2y 8 0 x y与椭圆 C： 1相切于点 P，椭圆 C的焦
16 12
点为F1，F2，由光学性质知直线 PF1，PF2与 l的夹角相等，则 F1PF2的角平分线所在的直线的
方程为（ ）
A． 2x y 1 0 B． x y 1 0 C． 2x y 1 0 D． x y 1 0
6．抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；
反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线 y2 4x
的焦点为 F，一条平行于 x轴的光线从点M (3,1)射出，经过抛物线上的点 A 反射后，再经抛物
线上的另一点 B射出，则 ABM 的周长为（ ）
71 83
A．9 10 B．9 26 C． 26 D12 ．
26
12
7．双曲线的光学性质为：如图，从双曲线上焦点 F2发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线
y2 x2
的反向延长线经过下焦点F1．某双曲线方程为 F ,F2 2 1， 1 2为其下、上焦点，若从下焦点Fa b 1
发出的光线经双曲线上的点A和点 B反射后（点A、F1、 B三点共线），满足
ABC 90 , tan 5 BAD ，则该双曲线的离心率为（ ）
12
A 10 B 10． ． C． 29 D 29．
2 3
8．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的
方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛
物线C : y2 4x，一条平行于 x轴的光线 l1从点 P 8,4 射入，经过C上的点A反射后，再经C上
另一点 B反射后，沿直线 l2射出，则 AB （ ）
A 7 B 17 21
25
． ． C． 4 D．4 4
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9．抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴；反之，平
行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线 y2＝4x的焦点
为 F，一条平行于 x轴的光线从点 M(3，1)射出，经过抛物线上的点 A反射后，再经抛物线上
的另一点 B射出，则直线 AB的斜率为（ ）
4 4
A 4． B C ± D 163 ． 3 ． 3 ． 9
10．双曲线的光学性质是：从双曲线一个焦点发出的光，经过双曲线反射后，反射光线的反向
x2 y2
延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上.已知双曲线C： 116 9 的左、右焦点分别为
F1， F2，
从 F2发出的光线射向C上的点 P 8, y0 后，被C反射出去，则入射光线与反射光线夹角的余弦值
13 11 13
是（ ） A． B． C 11． D． 14 14 14 14
11．圆锥曲线有着丰富的光学性质，比如抛物线就有这样的光学性质：由抛物线焦点射出的光
线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出.已知抛物线 C： y2 6x在焦点 F处朝
相反的方向射出两条光线，一条光线射向 C上的点 P，反射后的光线经过点M t,6 ，另一条光
线射向 C上的点 Q，反射后的光线经过点 N，则点 N的纵坐标是（ ）
3
A 2． B． 1 C3 ．
D． 2
2
二、填空题
12．根据抛物线的光学性质可知，从抛物线的焦点发出的光线经该抛物线反射后与对称轴平行.
沿直线 y 1发出的光线经抛物线 y2 2px p 0 反射后，与 x轴相交于点 A 3,0 ，则
p ___________.
13．根据抛物线的光学性质可知，从抛物线的焦点发出的光线经该抛物线反射后与对称轴平
行．如下图所示，沿直线 y 2发出的光线经抛物线 y2 2px（ p 0）反射后，与 x轴相交于点
A 2,0 ，则该抛物线的焦点到准线的距离为______．
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焦半径公式与圆锥曲线的光学性质（数学技巧点拨系列）——2023 届高考一轮提高讲义
14．椭圆具有如下的光学性质：从一个焦点发出的光线经过椭圆内壁反射后恰好穿过另一个焦
x2 y2
点．现从椭圆 + 1的左焦点 F发出的一条光线，经过椭圆内壁两次反射后，回到点 F，则
9 5
光线所经过的总路程为______．
15．抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；
反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必经抛物线的焦点，已知抛物线 y2 4x
的焦点为 F，一条平行于 x轴的光线从点M (3,1)射出，经过抛物线上的点A反射后，再经抛物
线上的另一点 B射出，则 |MB |的长度为__________．
16．椭圆有如下光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线，经椭圆反射，其反射光线必经过椭
圆的另一焦点，已知椭圆C，其长轴的长为2a，焦距为2c，若一条光线从椭圆的左焦点出发，
第一次回到左焦点所经过的路程为5c，则椭圆C的离心率为_____.
17．抛物线有光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向
射出.如图，已知抛物线 y2 2px ( p 0 )，一光源在点M 处，由其发出的光线沿平行于抛物线的
对称轴方向射向抛物线上的点 P，反射后射向抛物线上的点Q，再反射后又沿平行于抛物线的
对称轴方向射出，设 P、Q两点的坐标分别为 (x1, y1)、 (x2 , y2 )，则 y1 y2 ______.
18．圆锥曲线有丰富的光学性质，从椭圆焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线经过另
一个焦点；从抛物线焦点发出的光线，经过抛物线上一点反射后，反射光线平行于抛物线的对
2 2
称轴.已知椭圆 C x y： t(a b 0)）过点 (3,1)，由点 P(2,1)2 发出的平行于 x轴的光线经过抛物a b2
线C1： y2 16x反射到椭圆 C上后，反射光线经点( 4,0)，则椭圆 C的方程为___.
19．双曲线的光学性质：从双曲线一个焦点发出的光，经过双曲线反射后，反射光线的反向延
x2 y2
长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上.已知双曲线 E： 1 a 0,b 0 2 2 的左、右焦点分别a b
为F1， F2，过 F2沿倾斜角 120°出发的光线，经双曲线右支反射，若反射光线的倾斜角为 30°，
则该双曲线的离心率为______.
20．如图所示，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射
第 13 页 Math tips series——2023 College Entrance Examination one-round sprint
焦半径公式与圆锥曲线的光学性质（数学技巧点拨系列）——2023 届高考一轮提高讲义
x2 y2
光线经过椭圆的另一个焦点，根据椭圆的光学性质解决下题：已知曲线C的方程为 1，
4 3
3
其左、右焦点分别是F1，F2，直线 l与椭圆C切于点 P，且 PF1 ，过点 P且与直线 l垂直的直2
线 l '与椭圆长轴交于点M ，则 F1M : F2M __________.
21．圆锥曲线的光学性质（如图①所示）在建筑、通讯、精密仪器制造等领域有广泛的应用，
如图②，一个光学装置由有公共焦点 F1，F2的椭圆 C与双曲线C 构成，一光线从左焦点 F1
发出，依次经过C 与 C的反射，又回到点 F1，历时 m秒；若将装置中的C 去掉，则该光线从
点 F 11发出，经过 C两次反射后又回到点 F1历时 n秒，若 C与C 的离心率之比为 4，则
n
=__________
m
22．椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭
圆的另一个焦点.根据椭圆的光学性质解决下题：现有一个水平放置的椭圆形台球盘，满足方
x2 y2
程 1，点 A，B是它的两个焦点.当静止的小球从点 A开始出发，沿 60°角方向作直线运
4 3
动，经椭圆内壁反射后再回到点 A时，小球经过的路程为___________.
23．如图①，椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线
第 14 页 Math tips series——2023 College Entrance Examination one-round sprint
焦半径公式与圆锥曲线的光学性质（数学技巧点拨系列）——2023 届高考一轮提高讲义
经过椭圆的另一个焦点.如图②，双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经过
双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.如图③，一个光学装置由有
公共焦点 F1,F2的椭圆C1与双曲线C2构成，已知C1与C2的离心率之比为 2 :5 .现一光线从右焦点
F2发出，依次经C1与C2的反射，又回到了点 F2，历时3 10 8秒.将装置中的C2去掉，如图④，
此光线从点 F2发出，经C1两次反射后又回到了点 F2，历时___________.秒
24．抛物线有如下光学性质:由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的
方向射出.今有抛物线 y2=2px(p>0)，如图，一平行 x轴的光线射向抛物线上的点 P，反射后又射
向抛物线上的点 Q，再反射后又沿平行 x 轴方向射出，且两平行光线间的最小距离为 3，则抛
物线的方程为_____.
三、双空题
25．椭圆的光学性质，从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反射光线都汇聚到椭圆的
x2 y2
2 1 0 b 2
另一个焦点上.已知椭圆C： 4 b ， F1， F2为其左 右焦点.M 是C上的动点，点
N 0, 3 ，若 MN MF1 的最大值为6 .动直线 l为此椭圆C的切线，右焦点 F2关于直线 l的对称点
P x1, y1 ， S 3x1 4y1 24 ，则：（1）椭圆C的离心率为___________；（2）S的取值范围为
___________
第 15 页 Math tips series——2023 College Entrance Examination one-round sprint焦半径公式与圆锥曲线的光学性质（数学技巧点拨系列）——2023届高考一轮提高讲义
焦半径公式与圆锥曲线的光学性质
【知识点讲解】
1、焦半径公式第一组：坐标式
（1）椭圆的焦半径公式
，其中为离心率，为P点横坐标。
（2）双曲线的焦半径公式
，其中为离心率，为P点横坐标。
（3）抛物线的焦半径公式
|AB|＝x1＋x2＋p(其中点A在x轴上侧，点B在x轴下侧)
2、焦半径公式第二组：角度式
（1）椭圆的焦半径公式
已知直线过左焦点与椭圆交于两点，设，则焦半径，，
，最长焦点弦为长轴，最短焦点弦为通径。
（2）双曲线的焦半径公式
已知直线过左焦点与双曲线交于两点，设，则焦半径，，
（3）抛物线的焦半径公式
|AF|＝，|BF|＝ (其中点A在x轴上侧，点B在x轴下侧) .
3、圆锥曲线的光学性质
（1）椭圆的光学性质
已知椭圆：的左右焦点分别为，点为椭圆上一点，则有：①椭圆在点处的切线平分焦点三角形的外角；②过点且垂直于切线的直线交轴于点，平分。
由椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆反射（切线为镜面，为法线）后，反射光线经过另一个焦点。
（2）双曲线的光学性质
由双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光纤的反向延长线经过另一个焦点。
①双曲线在点处的切线平分；
②过点且垂直于切线的直线交轴于点，平分的外角。
（3）抛物线的光学性质
由抛物线焦点发出的光线，经抛物线反射后，反射光线平行于抛物线对称轴。
【例题讲解】
【例1】椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点，是它的焦点，长轴长为，焦距为，静放在点的小球（小球的半径不计），从点沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点时，小球经过的路程可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【详解】由题意，不妨令椭圆的焦点在轴上，以下分为三种情况：
（1）球从沿轴向左直线运动，碰到左顶点必然原路反弹，这时第一次回到路程是；
（2）球从沿轴向右直线运动，碰到右顶点必然原路反弹，这时第一次回到路程是；
（3）球从不沿轴，斜向上（或向下）运动，碰到椭圆上的点，反弹后经过椭圆的另一个焦点，再弹到椭圆上一点，经反弹后经过点．
此时小球经过的路程是．
综上所述，从点沿直线出发，经椭圆壁反射后第一次回到点时，
小球经过的路程是或或．
【跟踪训练1—1】椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点. 根据椭圆的光学性质解决下题：现有一 个水平放置的椭圆形台球盘，满足方程，点是它的两个焦点.当静止的小球从点开始出发，沿角直线运动，经椭圆内壁反射后再回到点时，小球经过的路程为______.
【答案】
【详解】如图，由题可知，光线经过点后，会到达点，然后再回到点，
根据椭圆的定义，又椭圆的方程为，所以，
小球经过的路程为：，故答案为：
【跟踪训练1—2】如图，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.已知椭圆：的左 右焦点分别为，，左 右顶点分别为，，一光线从点射出经椭圆上点反射，法线(与椭圆在处的切线垂直的直线)与轴交于点，已知，.
（1）求椭圆的方程.
（2）过的直线与椭圆交于，两点(均不与，重合)，
直线与直线交于点，证明：，，三点共线.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【详解】（1）解：由椭圆的定义知，则.
由光学性质可知是的角平分线，所以.因为，所以，得，从而，故椭圆的方程为.
（2）证明：设直线的方程为，，，
联立方程组，得，则，.
因为直线的方程为，所以令，得.
因为，，
又
，所以.因为，所以，，三点共线.
【例2】已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，且，则此椭圆的离心率的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【详解】设P由题得
因为所以,所以此椭圆的离心率的最小值为.
【跟踪训练2】已知椭圆上一点到其左焦点的距离为，则点到右准线的距离为
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】设点的坐标为，则，，且，
对于椭圆，，，，
椭圆的左焦点为，右准线方程为，
，解得，
因此，点到右准线的距离为.
【对点训练——焦半径篇】
一、单选题
1．设F为椭圆的右焦点，点，点B在C上，若，则（ ）
A． B． C． D．
2．P是椭圆上一点，，是该椭圆的两个焦点，且，则（ ）
A．1 B．3 C．5 D．9
3．椭圆：有一特殊性质，从一个焦点射出的光线到达椭圆上的一点反射后，经过另一个焦点.已知椭圆的焦距为2，且，当时，椭圆的中心到与椭圆切于点的切线的距离为：（ ）
A．1 B． C． D．或
4．已知是椭圆上的一个点，、是椭圆的两个焦点，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
5．已知是双曲线的左、右焦点，为双曲线左支上一点，若的最小值为，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．已知双曲线的左、右焦点分别为、，点在双曲线的右支上，过点作渐近线的垂线，垂足为，若的最小值为，则双曲线的离心率为
A． B． C． D．
7．已知双曲线是其左右焦点.圆，点P为双曲线C右支上的动点，点Q为圆E上的动点，则的最小值是（ ）
A． B． C．7 D．8
8．已知双曲线的左、右焦点分别为，，双曲线上有一点，若，则
A． B． C．或 D．或
9．已知，分别为双曲线的左、右焦点，P为双曲线右支上任一点，则的最小值为（ ）
A．19 B．25 C．37 D．85
10．已知点A是抛物线C：上一点，F为焦点，O为坐标原点，若以点O为圆心，以的长为半径的圆与抛物线C的另一个交点为B，且，则的值是（ ）
A． B．6 C． D．7
11．抛物线的焦点为，其准线与轴的交点为，过点做直线与此抛物线交于，两点，若，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
12．设点在抛物线上，是焦点，则（ ）
A．880 B．878 C．876 D．882
13．已知O为坐标原点，F是抛物线的焦点，P为抛物线上一点，且，则
A．11 B．12 C．13 D．14
14．已知为抛物线的焦点，为抛物线上的动点，点.则最大值的为（ ）A． B． C． D．
15．过抛物线焦点F的直线交抛物线于A，B两点，若，则的值为（ ）
A． B．2 C． D．
16．已知抛物线的焦点为F，准线为l，点P在C上，直线PF交y轴于点Q，若，则点P到准线l的距离为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
17．设F为抛物线的焦点，A是C上一点，O是坐标原点，若，则
A．1 B．2 C．3 D．4
二、多选题
18．设P是椭圆上的动点，则（ ）
A．点P到该椭圆的两个焦点的距离之和为 B．点P到该椭圆的两个焦点的距离之和为
C．点P到左焦点距离的最大值为 D．点P到左焦点距离的最大值为
19．（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线l交椭圆于A，B两点，若的最大值为5，则（ ）
A．椭圆的短轴长为 B．当最大时，
C．离心率为 D．的最小值为3
20．设，F为椭圆的左、右焦点，P为椭圆上的动点，且椭圆上至少有17个不同的点，，，，…组成公差为d的递增等差数列，则（ ）
A．的最大值为 B．的面积最大时，
C．d的取值范围为 D．椭圆上存在点P，使
21．已知椭圆的左右焦点分别为，，抛物线与椭圆共焦点，若两曲线的一个交点为P，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．的面积为2
22．已知是左右焦点分别为，的上的动点，，下列说法正确的有（ ）
A．的最大值为5 B．
C．存在点，使 D．的最大值为
23．已知椭圆的左、右焦点分别为，，焦距为，为椭圆上一点，连接交轴于点，，，其中为坐标原点，则下列说法正确的是（ ）
A． B．椭圆的长轴长为
C．若点Q在椭圆C上，则的最大值为 D．点P到x轴的距离为
24．已知椭圆的左、右焦点分别为，为上一点，则（ ）
A．的离心率为 B．的周长为
C． D．
25．已知双曲线（）的左焦点与抛物线的焦点重合，是双曲线的右焦点，则下列说法正确的有（ ）
A．抛物线的准线方程为： B．双曲线的实轴长为4
C．双曲线的一条渐近线方程为 D．为双曲线上一点若，则
26．已知直线过抛物线的焦点，且斜率为，与抛物线交于两点（在第一象限），以为直径的圆分别与轴相切于两点，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．若为抛物线上的动点，，则
D．若为抛物线上的点，则
三、填空题
27．已知椭圆C：1的短轴长为焦距为、分别是椭圆的左、右焦点，若点为上的任意一点，则的最小值为_______.
28．设、是椭圆的左右焦点，过的直线交椭圆于、两点，则的最大值为______.
29．椭圆的焦点为 ，点P在椭圆上，若线段的中点在y轴上，则是的___________倍.
30．设、分别是椭圆：（）的左、右焦点，过的直线与椭圆相交于、两点，且，则的长为______．
31．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，一条渐近线方程为，若点在双曲线上，且，则________.
32．已知双曲线的左 右焦点分别为，，过右焦点的直线斜率为，且与双曲线左 右两支分别交于，两点，若的周长为，则___________.
33．已知双曲线C：的左 右焦点分别为，，双曲线C上有一点P，若，则___________.
34．已知双曲线C：的两焦点分别为，，P为双曲线C上一点，若，则=___________.
35．已知点为抛物线上的一个动点，设点到抛物线的准线的距离为，点，则的最小值为______．
36．已知点，点在曲线上运动，点为抛物线的焦点，则的最小值为________．
37．已知是抛物线上不同的点，且，若，则________.
四、双空题
38．已知抛物线的焦点是，点是抛物线上的动点，若，则的最小值为______，此时点的坐标为______．
39．已知抛物线的焦点为F，准线为l，点在抛物线上，K为l与y轴的交点，且，则______，______．
40．抛物线的焦点F的坐标为______；过F作直线交抛物线于，两点，如果，那么______
【参考答案——焦半径篇】
1．C【详解】解：由题意得，，则，从而．设左焦点为，
则，所以B为短轴端点，所以．
2．A【详解】解：对椭圆方程变形得，易知椭圆长半轴的长为4，
由椭圆的定义可得,又，故.
3．C【详解】设过点的切线为，分别做于点，
做交轴于点，所得是的中位线，
设，入射角和反射角相等，则，
则
，因为，当为上顶点时，为，
因为，，所以，
即，，，
4．B【详解】在椭圆中，，则.
5．C【详解】由双曲线定义可得：
|PF2|-|PF1|=2a，|PF2|=2a+|PF1|，==+4a+|PF1| ≥8a，
当且仅当=|PF1|，即|PF1|=2a时取得等号.此时
由双曲线的几何性质可得，，即可，又双曲线的离心率，∴.
6．B【详解】如下图所示，点到直线的距离为，
连接，由双曲线的定义可得，
所以，，
当且仅当、、三点共线时，等号成立，故，可得，
所以，，因此，该双曲线的离心率为.
7．A【详解】
由题设知，，，，圆的半径，由点为双曲线右支上的动点知
，∴
∴.
8．B【详解】由双曲线方程知：；
根据双曲线定义知：，解得：（舍）或.
9．B【详解】由题意，双曲线焦点坐标为，
设，且，则，
当且仅当即时等号成立，所以最小值为25，
10．C【详解】由知： ；
设，结合圆和抛物线的对称性可得 ，结合，
得为等边三角形，不妨设点A在第一象限，则A的坐标为，
因为点A是抛物线C：上一点，所以，
所以，得A的坐标为，故，
11．B【详解】由，则焦点，且准线方程为直线，即，
设过点的直线方程为，联立抛物线可得：，
消去可得：，化简得：，
因为，且直线过点，所以，
即点位于以线段为直径的圆上，易知以线段为直径的圆的方程为，
将代入上式，可得，解得，（舍去），
则点的横坐标，设点的横坐标，由韦达定理可得：，则，
根据抛物线的定义，可得，，则，
12．A【详解】由条件可知，抛物线开口向左，焦半径公式，
所以.
13．C【详解】由可得直线方程为，
由 解得：或（舍）所以，
14．C【详解】由题意知：，；，，
；令，则，
，
则当，即时，取最大值，此时.
15．C【详解】如图所示，设，，
因为，所以点到准线的距离为3，所以，得，
因为，所以，所以，得，所以的值为，
16．C【详解】解：由抛物线，可知，准线的方程为，
过点作轴的垂线，垂足为，因为，所以，
所以，所以点到准线的距离为．
17．B【详解】解：设，则，故，
所以，则，所以.
18．AC【详解】由题意得，，由椭圆的定义可知，P到该椭圆的两个焦点的距离之和为，故A正确，B错误；
又，所以，即，到左焦点距离的最大值为，
19．ABD【详解】由题意知，所以．
因为的最大值为5，所以的最小值为3，故D正确．
当且仅当轴时，取得最小值，此时，故B正确．
由B的分析，不妨令，代入椭圆方程，得．又，所以，得，所以椭圆的短轴长为，故A正确．
易得，所以，故C错误．
20．ABC【详解】由椭圆方程 知， .
选项A：因为P为椭圆上的动点，所以，所以的最大值为
，故A正确；
选项B：当点P为短轴顶点时，的高最大，所以的面积最大，
此时，所以B正确；
选项C：设，，，…组成公差为d的等差数列为，所以，，，
选项D：因为
，又 ，
所以 ，而 ，
当且仅当 时取等号.此时 ，
故此时最大. 此时
21．AB【详解】由椭圆方程可得，所以，即，故A正确；
由椭圆定义可得，故B正确；
联立方程，解得（负值舍去），即点的横坐标为，
由抛物线定义可得，故C错误；
将代入抛物线可得，所以，故D错误.
22．BD【详解】解：对于A选项，设，则，即，
所以，
又，所以当时，，故A错误，
对于B选项，由椭圆定义，，故B正确
对于C选项，当为短轴端点时，
，，，故，进而，故C错误，
对于D选项，，当，，三点共线时，有最大值.
23．ACD【详解】对于A选项，由题意得，，，因为，所以，则，故，A选项正确；
对于B选项，，所以，，在中，，解得，所以椭圆的长轴长为，故B选项错误；
对于C选项，因为在椭圆上，则，故C选项正确；
对于D选项，设在轴上的投影为，则，则，所以，又，解得，则到轴的距离为，故D选项正确；
24．CD【详解】对于A，由椭圆方程知：，，离心率，A错误；
对于B，由椭圆定义知：，，
的周长为，B错误；
对于C，当为椭圆短轴端点时，，
，，即，
，C正确；对于D，，，，D正确.
25．BD【详解】抛物线的焦点是 ,所以，，，
，（舍去），所以，抛物线准线方程是，A错；
双曲线实轴长为，B正确；
双曲线的渐近线方程是，即，C错；
由双曲线定义，即，或（舍去），D正确．
26．ABC【详解】设直线PQ的方程为：y（x﹣2），与联立整理可得：
3x2﹣20x+12=0，解得：x或6，则P（6，4），Q（，）；
所以|PQ|=64，选项A正确；
因为F(2,0),所以PF，QF的中点分别为：（4，2），（，），
所以A（0，），B（0，），所以|AB|=2，
如图M在抛物线上，ME垂直于准线交于E，可得|MF|=|ME|，
所以|MF|+|MN|=|ME|+|MN|≥NE=2+2=4，当N，M，E三点共线时，
|MF|+|MN|最小，且最小值为4，选项C正确；
对于选项D，若为抛物线上的点，则，又，
所以，选项D错误.
27．【详解】根据条件可得故则根据椭圆定义可知
方法一
当即在椭圆上下顶点时，取到等号，的最小值为.
方法二 设则
令，，又
． 的最小值为
28．【详解】由题意，椭圆，可得，即，
根据椭圆的定义，可得，
则，所以，
当垂直于轴时，取得最小值，此时取得最大值，
此时，所以的最大值为.
29．【详解】解：由椭圆，得，
因为线段的中点在y轴上，则可设，
代入椭圆方程得，解得，则，
所以，即是的倍.
30．或【详解】由椭圆的定义得：，，
又，，所以，
由椭圆知，所以.
31．9【详解】由双曲线C的方程可得其渐近线方程为，
由已知可得，所以，，所以，
由双曲线定义可知，则或，又因为，故，
32．【详解】由右焦点，可知，故双曲线方程为，
由双曲线的定义有,
又的周长为，即，从而可得.
设，且有，
所以,
解得，从而可得，即，所以.
33．11【详解】因为，所以，故.
34．18或2
【详解】由，得，则，
因为双曲线C：的两焦点分别为，，P为双曲线C上一点，
所以，即，所以或，
因为，所以或都符合题意，
35．【详解】抛物线的焦点，准线方程为．
过点作抛物线准线的垂线，垂足为点，由抛物线的定义可得，
则，
当且仅当为线段与抛物线的交点时，等号成立，因此，的最小值为.
36．【详解】设点，则，易知点，由题意可得，则，
所以，，当且仅当时，取得最小值.
37．20【详解】设的纵坐标分别为，
由抛物线，可得准线方程为，因为，
所以，所以，
由抛物线的定义可得，到焦点的距离等于到准线的距离，
所以，
38． 或3.5
【详解】易知点在抛物线内部，设抛物线的准线为，则的方程为，过点作于点，则，当，即，，三点共线时，最小，最小值为，此时点的纵坐标为2，代入，得，所以此时点的坐标为．
39． 2 4【详解】作，垂足为M，由抛物线定义知，
又知，所以在中，，
所以，所以为等腰直角三角形，所以，
又点P在抛物线上，所以，解得．
40．
【详解】解：抛物线的焦点坐标为，因为过抛物线的焦点，所以；
【对点训练——光学性质篇】
一、单选题
1．双曲线的光学性质为：从双曲线的一个焦点发出的光线经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线过双曲线的另一个焦点.如图：为双曲线的左，右焦点，若从右焦点发出的光线在上的点处反射后射出（共线），且，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
2．抛物线有如下的光学性质：由其焦点射出的光线经过抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出，已知抛物线C：的焦点为F，一束平行于x轴的光线从点（1，－2）射入，经抛物线上的点P反射后，再经抛物线上另一点Q反射后射出，则（ ）
A． B．13 C． D．14
3．抛物线具有如下光学性质：从焦点发出的光线经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴.生活中的探照灯就是利用这个原理设计的.已知是抛物线的焦点，从发出的光线经上的点反射后经过点，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．抛物线有如下光学性质：过焦点的光线（光线不同过抛物线对称轴上任意两点）经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴；平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.若一条平行于轴的光线从射出，经过抛物线上过的点反射后，再经抛物线上的另一点反射出，则直线的斜率为
A． B． C． D．
5．圆锥曲线具有丰富的光学性质，从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．直线l：与椭圆C：相切于点P，椭圆C的焦点为，，由光学性质知直线，与l的夹角相等，则的角平分线所在的直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
6．抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线的焦点为F，一条平行于x轴的光线从点射出，经过抛物线上的点A反射后，再经抛物线上的另一点B射出，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
7．双曲线的光学性质为：如图，从双曲线上焦点发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过下焦点．某双曲线方程为，为其下、上焦点，若从下焦点发出的光线经双曲线上的点和点反射后（点、、三点共线），满足，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
8．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线，一条平行于x轴的光线从点射入，经过上的点反射后，再经上另一点反射后，沿直线射出，则（ ）
A．7 B． C． D．
9．抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，一条平行于x轴的光线从点M(3，1)射出，经过抛物线上的点A反射后，再经抛物线上的另一点B射出，则直线AB的斜率为（ ）
A． B． C．± D．
10．双曲线的光学性质是：从双曲线一个焦点发出的光，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上.已知双曲线：的左、右焦点分别为，，从发出的光线射向上的点后，被反射出去，则入射光线与反射光线夹角的余弦值是（ ） A． B． C． D．
11．圆锥曲线有着丰富的光学性质，比如抛物线就有这样的光学性质：由抛物线焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出.已知抛物线C：在焦点F处朝相反的方向射出两条光线，一条光线射向C上的点P，反射后的光线经过点，另一条光线射向C上的点Q，反射后的光线经过点N，则点N的纵坐标是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
12．根据抛物线的光学性质可知，从抛物线的焦点发出的光线经该抛物线反射后与对称轴平行.沿直线发出的光线经抛物线反射后，与轴相交于点，则___________.
13．根据抛物线的光学性质可知，从抛物线的焦点发出的光线经该抛物线反射后与对称轴平行．如下图所示，沿直线发出的光线经抛物线（）反射后，与x轴相交于点，则该抛物线的焦点到准线的距离为______．
14．椭圆具有如下的光学性质：从一个焦点发出的光线经过椭圆内壁反射后恰好穿过另一个焦点．现从椭圆的左焦点发出的一条光线，经过椭圆内壁两次反射后，回到点，则光线所经过的总路程为______．
15．抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必经抛物线的焦点，已知抛物线的焦点为，一条平行于轴的光线从点射出，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上的另一点射出，则的长度为__________．
16．椭圆有如下光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线，经椭圆反射，其反射光线必经过椭圆的另一焦点，已知椭圆，其长轴的长为，焦距为，若一条光线从椭圆的左焦点出发，第一次回到左焦点所经过的路程为，则椭圆的离心率为_____.
17．抛物线有光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出.如图，已知抛物线()，一光源在点处，由其发出的光线沿平行于抛物线的对称轴方向射向抛物线上的点，反射后射向抛物线上的点，再反射后又沿平行于抛物线的对称轴方向射出，设、两点的坐标分别为、，则______.
18．圆锥曲线有丰富的光学性质，从椭圆焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线经过另一个焦点；从抛物线焦点发出的光线，经过抛物线上一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴.已知椭圆C：）过点，由点发出的平行于x轴的光线经过抛物线：反射到椭圆C上后，反射光线经点，则椭圆C的方程为___.
19．双曲线的光学性质：从双曲线一个焦点发出的光，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上.已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过沿倾斜角120°出发的光线，经双曲线右支反射，若反射光线的倾斜角为30°，则该双曲线的离心率为______.
20．如图所示，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，根据椭圆的光学性质解决下题：已知曲线的方程为，其左、右焦点分别是，，直线与椭圆切于点，且，过点且与直线垂直的直线与椭圆长轴交于点，则__________.
21．圆锥曲线的光学性质（如图①所示）在建筑、通讯、精密仪器制造等领域有广泛的应用，如图②，一个光学装置由有公共焦点F1，F2的椭圆C与双曲线构成，一光线从左焦点F1发出，依次经过与C的反射，又回到点F1，历时m秒；若将装置中的去掉，则该光线从点F1发出，经过C两次反射后又回到点F1历时n秒，若C与的离心率之比为，则=__________
22．椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.根据椭圆的光学性质解决下题：现有一个水平放置的椭圆形台球盘，满足方程，点A，B是它的两个焦点.当静止的小球从点A开始出发，沿60°角方向作直线运动，经椭圆内壁反射后再回到点A时，小球经过的路程为___________.
23．如图①，椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.如图②，双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.如图③，一个光学装置由有公共焦点的椭圆与双曲线构成，已知与的离心率之比为.现一光线从右焦点发出，依次经与的反射，又回到了点，历时秒.将装置中的去掉，如图④，此光线从点发出，经两次反射后又回到了点，历时___________.秒
24．抛物线有如下光学性质:由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出.今有抛物线y2=2px(p>0)，如图，一平行x轴的光线射向抛物线上的点P，反射后又射向抛物线上的点Q，再反射后又沿平行x轴方向射出，且两平行光线间的最小距离为3，则抛物线的方程为_____.
三、双空题
25．椭圆的光学性质，从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上.已知椭圆：，，为其左 右焦点.是上的动点，点，若的最大值为.动直线为此椭圆的切线，右焦点关于直线的对称点，，则：（1）椭圆的离心率为___________；（2）的取值范围为___________
【参考答案——光学性质篇】
1．C【详解】连接，，即为等边三角形，由对称性可知，，，，，整理得，解得（舍）
2．A【详解】抛物线的焦点为，由，
直线的方程为，由解得或，
所以，所以.
3．C【详解】解：因为从发出的光线经上的点反射后经过点，由抛物线的光学性质可知.代入得，又抛物线的准线为，所以.
4．A【详解】代入解，得.即.由抛物线的光学性质知，直线经过焦点，所以直线的斜率.故选A.
5．A【详解】，直线的斜率为，
由于直线，与l的夹角相等，则的角平分线所在的直线的斜率为，
所以所求直线方程为.
6．B【详解】如下图所示：因为，所以，所以，所以，
又因为，所以，即，
又，所以，所以或，所以，所以，所以，
又因为，，，
所以的周长为：，
7．D【详解】设，由，知，即
在中，可得，由双曲线的定义知
，又，得
在中，，则，即，可得，
8．D【详解】由题意可知，轴，又光线从点射入，经过上的点，所以，
又抛物线的焦点为，所以直线的方程为，即，
联立方程，整理可得，所以或
所以，所以.
9．A【详解】将y＝1代入y2＝4x，得x＝，即，由抛物线的光学性质可知，直线AB经过焦点F(1，0)，所以直线AB的斜率为，
10．C
【详解】设在第一象限，，
，，
11．C【详解】设，，抛物线的焦点坐标为，
设直线PQ的方程为，代入抛物线的方程，
得，则，因为点M的纵坐标为6，
故，所以，因为直线QN平行于x轴，所以点N的纵坐标为．
12．6【详解】因为直线与抛物线的对称轴平行，
所以由抛物线的光学性质可知沿直线发出的光线经抛物线反射后，与轴相交于点就是抛物线的焦点，所以，，
13．4【详解】依题意，为该抛物线的焦点，则，得.
∴该抛物线的焦点到准线的距离为4.
14．12【详解】光线所经过的总路程为
15．【详解】根据题意可得：，又直线AB过抛物线的焦点，则直线AB的方程为：，整理得：，联立，解得：或，所点B的坐标为，所以==．
16．或或【详解】依据椭圆的光学性质，光线从左焦点出发后，有如图1，图2，图3所示的三种路径．
路径一，4a=5c，则e=；路径二，2（a-c）=5c，则e=；路径三，2（a+c）=5c，则.
故椭圆C的离心率为或或.
17．【详解】必经过抛物线焦点
当存在斜率，则设()，即
代入抛物线方程中整理得，∴
当不存在斜率时，，代入抛物线方程得，∴，综上.
18．【详解】依题意，抛物线的焦点为，又光的反射具有可逆性，
则由发出的平行于x轴的光线经过抛物线反射必过，再经过椭圆C反射经过，
因此，、为椭圆C的两个焦点，半焦距，而在椭圆C上，于是得，解得，所以椭圆C的方程为.
19．【详解】解：设反射点为，则，，所以，
设，因为，所以，所以，
又，所以，即，所以.
20．【详解】由椭圆的光学性质得到直线平分，所以，
由，得到，故
21．【详解】设椭圆长轴长为，双曲线实轴长为，焦距，由，
依次经过与C的反射，又回到点F1，则有，，
两式相减得，
将装置中的去掉，则有，
所以
22．8【详解】如图，
根据题意，小球从点A出发，经椭圆反射经过点B继续前行，碰到点Q后回到点A，根据椭圆的定义，小球所走的轨迹正好是两次椭圆上的点到两焦点距离之和，因为，所以小球经过的路程为.
23．或【详解】设，椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，光速为，
而与的离心率之比为，即，即，在图③，
两式相减得：，即.
在图④中，，
设图④，光线从点发出，经两次反射后又回到了点，历时t秒，
由题意可知：，则，故（秒），
24．y2=3x【详解】由抛物线的光学性质可得，PQ必过抛物线的焦点F.
当直线PQ斜率不存在时，易得|PQ|=2p；
当直线PQ斜率存在时，设PQ的方程为y=k，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
联立得k2=2px，整理得4k2x2-(4k2p+8p)x+k2p2=0，
所以x1+x2=p+，x1x2=.所以|PQ|=x1+x2+p=2p>2p.
综上，当直线PQ与x轴垂直时，弦长最短，
又因为两平行光线间的最小距离为3，故2p=3，∴抛物线方程为y2=3x.
25． 【详解】根据椭圆定义得：，
所以，因为的最大值为6，
因为，所以，即，解得，所以离心率为.
右焦点关于直线的对称点，设切点为，由椭圆的光学性质可得：
，，三点共线，所以，
即点的轨迹是以为圆心，半径为4的圆，
圆心到直线的距离为，
则圆上的点到直线的距离最小值，最大值，
所以点到直线的距离为：，
所以表示点到直线的距离的倍，
则，即.焦半径公式与圆锥曲线的光学性质（数学技巧点拨系列）——2023届高考一轮提高讲义
焦半径公式与圆锥曲线的光学性质
【知识点讲解】
1、焦半径公式第一组：坐标式
（1）椭圆的焦半径公式
，其中为离心率，为P点横坐标。
（2）双曲线的焦半径公式
，其中为离心率，为P点横坐标。
（3）抛物线的焦半径公式
|AB|＝x1＋x2＋p(其中点A在x轴上侧，点B在x轴下侧)
2、焦半径公式第二组：角度式
（1）椭圆的焦半径公式
已知直线过左焦点与椭圆交于两点，设，则焦半径，，
，最长焦点弦为长轴，最短焦点弦为通径。
（2）双曲线的焦半径公式
已知直线过左焦点与双曲线交于两点，设，则焦半径，，
（3）抛物线的焦半径公式
|AF|＝，|BF|＝ (其中点A在x轴上侧，点B在x轴下侧) .
3、圆锥曲线的光学性质
（1）椭圆的光学性质
已知椭圆：的左右焦点分别为，点为椭圆上一点，则有：①椭圆在点处的切线平分焦点三角形的外角；②过点且垂直于切线的直线交轴于点，平分。
由椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆反射（切线为镜面，为法线）后，反射光线经过另一个焦点。
（2）双曲线的光学性质
由双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光纤的反向延长线经过另一个焦点。
①双曲线在点处的切线平分；
②过点且垂直于切线的直线交轴于点，平分的外角。
（3）抛物线的光学性质
由抛物线焦点发出的光线，经抛物线反射后，反射光线平行于抛物线对称轴。
【例题讲解】
【例1】椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点，是它的焦点，长轴长为，焦距为，静放在点的小球（小球的半径不计），从点沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点时，小球经过的路程可以是（ ）
A． B． C． D．
听课笔记：
【跟踪训练1—1】椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点. 根据椭圆的光学性质解决下题：现有一 个水平放置的椭圆形台球盘，满足方程，点是它的两个焦点.当静止的小球从点开始出发，沿角直线运动，经椭圆内壁反射后再回到点时，小球经过的路程为______.
听课笔记：
【跟踪训练1—2】如图，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.已知椭圆：的左 右焦点分别为，，左 右顶点分别为，，一光线从点射出经椭圆上点反射，法线(与椭圆在处的切线垂直的直线)与轴交于点，已知，.
（1）求椭圆的方程.
（2）过的直线与椭圆交于，两点(均不与，重合)，
直线与直线交于点，证明：，，三点共线.
听课笔记：
【例2】已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，且，则此椭圆的离心率的最小值为（ ）
A． B． C． D．
听课笔记：
【跟踪训练2】已知椭圆上一点到其左焦点的距离为，则点到右准线的距离为
A． B． C． D．
听课笔记：
【对点训练——焦半径篇】
一、单选题
1．设F为椭圆的右焦点，点，点B在C上，若，则（ ）
A． B． C． D．
2．P是椭圆上一点，，是该椭圆的两个焦点，且，则（ ）
A．1 B．3 C．5 D．9
3．椭圆：有一特殊性质，从一个焦点射出的光线到达椭圆上的一点反射后，经过另一个焦点.已知椭圆的焦距为2，且，当时，椭圆的中心到与椭圆切于点的切线的距离为：（ ）
A．1 B． C． D．或
4．已知是椭圆上的一个点，、是椭圆的两个焦点，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
5．已知是双曲线的左、右焦点，为双曲线左支上一点，若的最小值为，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．已知双曲线的左、右焦点分别为、，点在双曲线的右支上，过点作渐近线的垂线，垂足为，若的最小值为，则双曲线的离心率为
A． B． C． D．
7．已知双曲线是其左右焦点.圆，点P为双曲线C右支上的动点，点Q为圆E上的动点，则的最小值是（ ）
A． B． C．7 D．8
8．已知双曲线的左、右焦点分别为，，双曲线上有一点，若，则
A． B． C．或 D．或
9．已知，分别为双曲线的左、右焦点，P为双曲线右支上任一点，则的最小值为（ ）
A．19 B．25 C．37 D．85
10．已知点A是抛物线C：上一点，F为焦点，O为坐标原点，若以点O为圆心，以的长为半径的圆与抛物线C的另一个交点为B，且，则的值是（ ）
A． B．6 C． D．7
11．抛物线的焦点为，其准线与轴的交点为，过点做直线与此抛物线交于，两点，若，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
12．设点在抛物线上，是焦点，则（ ）
A．880 B．878 C．876 D．882
13．已知O为坐标原点，F是抛物线的焦点，P为抛物线上一点，且，则
A．11 B．12 C．13 D．14
14．已知为抛物线的焦点，为抛物线上的动点，点.则最大值的为（ ）A． B． C． D．
15．过抛物线焦点F的直线交抛物线于A，B两点，若，则的值为（ ）
A． B．2 C． D．
16．已知抛物线的焦点为F，准线为l，点P在C上，直线PF交y轴于点Q，若，则点P到准线l的距离为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
17．设F为抛物线的焦点，A是C上一点，O是坐标原点，若，则
A．1 B．2 C．3 D．4
二、多选题
18．设P是椭圆上的动点，则（ ）
A．点P到该椭圆的两个焦点的距离之和为 B．点P到该椭圆的两个焦点的距离之和为
C．点P到左焦点距离的最大值为 D．点P到左焦点距离的最大值为
19．（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线l交椭圆于A，B两点，若的最大值为5，则（ ）
A．椭圆的短轴长为 B．当最大时，
C．离心率为 D．的最小值为3
20．设，F为椭圆的左、右焦点，P为椭圆上的动点，且椭圆上至少有17个不同的点，，，，…组成公差为d的递增等差数列，则（ ）
A．的最大值为 B．的面积最大时，
C．d的取值范围为 D．椭圆上存在点P，使
21．已知椭圆的左右焦点分别为，，抛物线与椭圆共焦点，若两曲线的一个交点为P，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．的面积为2
22．已知是左右焦点分别为，的上的动点，，下列说法正确的有（ ）
A．的最大值为5 B．
C．存在点，使 D．的最大值为
23．已知椭圆的左、右焦点分别为，，焦距为，为椭圆上一点，连接交轴于点，，，其中为坐标原点，则下列说法正确的是（ ）
A． B．椭圆的长轴长为
C．若点Q在椭圆C上，则的最大值为 D．点P到x轴的距离为
24．已知椭圆的左、右焦点分别为，为上一点，则（ ）
A．的离心率为 B．的周长为
C． D．
25．已知双曲线（）的左焦点与抛物线的焦点重合，是双曲线的右焦点，则下列说法正确的有（ ）
A．抛物线的准线方程为： B．双曲线的实轴长为4
C．双曲线的一条渐近线方程为 D．为双曲线上一点若，则
26．已知直线过抛物线的焦点，且斜率为，与抛物线交于两点（在第一象限），以为直径的圆分别与轴相切于两点，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．若为抛物线上的动点，，则
D．若为抛物线上的点，则
三、填空题
27．已知椭圆C：1的短轴长为焦距为、分别是椭圆的左、右焦点，若点为上的任意一点，则的最小值为_______.
28．设、是椭圆的左右焦点，过的直线交椭圆于、两点，则的最大值为______.
29．椭圆的焦点为 ，点P在椭圆上，若线段的中点在y轴上，则是的___________倍.
30．设、分别是椭圆：（）的左、右焦点，过的直线与椭圆相交于、两点，且，则的长为______．
31．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，一条渐近线方程为，若点在双曲线上，且，则________.
32．已知双曲线的左 右焦点分别为，，过右焦点的直线斜率为，且与双曲线左 右两支分别交于，两点，若的周长为，则___________.
33．已知双曲线C：的左 右焦点分别为，，双曲线C上有一点P，若，则___________.
34．已知双曲线C：的两焦点分别为，，P为双曲线C上一点，若，则=___________.
35．已知点为抛物线上的一个动点，设点到抛物线的准线的距离为，点，则的最小值为______．
36．已知点，点在曲线上运动，点为抛物线的焦点，则的最小值为________．
37．已知是抛物线上不同的点，且，若，则________.
四、双空题
38．已知抛物线的焦点是，点是抛物线上的动点，若，则的最小值为______，此时点的坐标为______．
39．已知抛物线的焦点为F，准线为l，点在抛物线上，K为l与y轴的交点，且，则______，______．
40．抛物线的焦点F的坐标为______；过F作直线交抛物线于，两点，如果，那么______
【对点训练——光学性质篇】
一、单选题
1．双曲线的光学性质为：从双曲线的一个焦点发出的光线经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线过双曲线的另一个焦点.如图：为双曲线的左，右焦点，若从右焦点发出的光线在上的点处反射后射出（共线），且，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
2．抛物线有如下的光学性质：由其焦点射出的光线经过抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出，已知抛物线C：的焦点为F，一束平行于x轴的光线从点（1，－2）射入，经抛物线上的点P反射后，再经抛物线上另一点Q反射后射出，则（ ）
A． B．13 C． D．14
3．抛物线具有如下光学性质：从焦点发出的光线经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴.生活中的探照灯就是利用这个原理设计的.已知是抛物线的焦点，从发出的光线经上的点反射后经过点，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．抛物线有如下光学性质：过焦点的光线（光线不同过抛物线对称轴上任意两点）经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴；平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.若一条平行于轴的光线从射出，经过抛物线上过的点反射后，再经抛物线上的另一点反射出，则直线的斜率为
A． B． C． D．
5．圆锥曲线具有丰富的光学性质，从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．直线l：与椭圆C：相切于点P，椭圆C的焦点为，，由光学性质知直线，与l的夹角相等，则的角平分线所在的直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
6．抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线的焦点为F，一条平行于x轴的光线从点射出，经过抛物线上的点A反射后，再经抛物线上的另一点B射出，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
7．双曲线的光学性质为：如图，从双曲线上焦点发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过下焦点．某双曲线方程为，为其下、上焦点，若从下焦点发出的光线经双曲线上的点和点反射后（点、、三点共线），满足，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
8．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线，一条平行于x轴的光线从点射入，经过上的点反射后，再经上另一点反射后，沿直线射出，则（ ）
A．7 B． C． D．
9．抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，一条平行于x轴的光线从点M(3，1)射出，经过抛物线上的点A反射后，再经抛物线上的另一点B射出，则直线AB的斜率为（ ）
A． B． C．± D．
10．双曲线的光学性质是：从双曲线一个焦点发出的光，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上.已知双曲线：的左、右焦点分别为，，从发出的光线射向上的点后，被反射出去，则入射光线与反射光线夹角的余弦值是（ ） A． B． C． D．
11．圆锥曲线有着丰富的光学性质，比如抛物线就有这样的光学性质：由抛物线焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出.已知抛物线C：在焦点F处朝相反的方向射出两条光线，一条光线射向C上的点P，反射后的光线经过点，另一条光线射向C上的点Q，反射后的光线经过点N，则点N的纵坐标是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
12．根据抛物线的光学性质可知，从抛物线的焦点发出的光线经该抛物线反射后与对称轴平行.沿直线发出的光线经抛物线反射后，与轴相交于点，则___________.
13．根据抛物线的光学性质可知，从抛物线的焦点发出的光线经该抛物线反射后与对称轴平行．如下图所示，沿直线发出的光线经抛物线（）反射后，与x轴相交于点，则该抛物线的焦点到准线的距离为______．
14．椭圆具有如下的光学性质：从一个焦点发出的光线经过椭圆内壁反射后恰好穿过另一个焦点．现从椭圆的左焦点发出的一条光线，经过椭圆内壁两次反射后，回到点，则光线所经过的总路程为______．
15．抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必经抛物线的焦点，已知抛物线的焦点为，一条平行于轴的光线从点射出，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上的另一点射出，则的长度为__________．
16．椭圆有如下光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线，经椭圆反射，其反射光线必经过椭圆的另一焦点，已知椭圆，其长轴的长为，焦距为，若一条光线从椭圆的左焦点出发，第一次回到左焦点所经过的路程为，则椭圆的离心率为_____.
17．抛物线有光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出.如图，已知抛物线()，一光源在点处，由其发出的光线沿平行于抛物线的对称轴方向射向抛物线上的点，反射后射向抛物线上的点，再反射后又沿平行于抛物线的对称轴方向射出，设、两点的坐标分别为、，则______.
18．圆锥曲线有丰富的光学性质，从椭圆焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线经过另一个焦点；从抛物线焦点发出的光线，经过抛物线上一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴.已知椭圆C：）过点，由点发出的平行于x轴的光线经过抛物线：反射到椭圆C上后，反射光线经点，则椭圆C的方程为___.
19．双曲线的光学性质：从双曲线一个焦点发出的光，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上.已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过沿倾斜角120°出发的光线，经双曲线右支反射，若反射光线的倾斜角为30°，则该双曲线的离心率为______.
20．如图所示，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，根据椭圆的光学性质解决下题：已知曲线的方程为，其左、右焦点分别是，，直线与椭圆切于点，且，过点且与直线垂直的直线与椭圆长轴交于点，则__________.
21．圆锥曲线的光学性质（如图①所示）在建筑、通讯、精密仪器制造等领域有广泛的应用，如图②，一个光学装置由有公共焦点F1，F2的椭圆C与双曲线构成，一光线从左焦点F1发出，依次经过与C的反射，又回到点F1，历时m秒；若将装置中的去掉，则该光线从点F1发出，经过C两次反射后又回到点F1历时n秒，若C与的离心率之比为，则=__________
22．椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.根据椭圆的光学性质解决下题：现有一个水平放置的椭圆形台球盘，满足方程，点A，B是它的两个焦点.当静止的小球从点A开始出发，沿60°角方向作直线运动，经椭圆内壁反射后再回到点A时，小球经过的路程为___________.
23．如图①，椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.如图②，双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.如图③，一个光学装置由有公共焦点的椭圆与双曲线构成，已知与的离心率之比为.现一光线从右焦点发出，依次经与的反射，又回到了点，历时秒.将装置中的去掉，如图④，此光线从点发出，经两次反射后又回到了点，历时___________.秒
24．抛物线有如下光学性质:由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出.今有抛物线y2=2px(p>0)，如图，一平行x轴的光线射向抛物线上的点P，反射后又射向抛物线上的点Q，再反射后又沿平行x轴方向射出，且两平行光线间的最小距离为3，则抛物线的方程为_____.
三、双空题
25．椭圆的光学性质，从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上.已知椭圆：，，为其左 右焦点.是上的动点，点，若的最大值为.动直线为此椭圆的切线，右焦点关于直线的对称点，，则：（1）椭圆的离心率为___________；（2）的取值范围为___________

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