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权方和不等式与柯西不等式（数学技巧点拨系列）——2023届高考一轮提高讲义
权方和不等式与柯西不等式
【知识点讲解】
1、权方和不等式
二元：已知，则有：
（当且仅当时，等号成立）.
一般形式：设()，实数，则，
其中等号当且仅当时成立.称之为权方和不等式.
2、柯西不等式
（1）二维形式的柯西不等式
若都是实数，则，当且仅当时，等号成立.
（2）已知都是实数，则：
（3）已知同号且不为0，则：
【例题讲解】
【例1】（权方和不等式）已知，，均为非负数，且，则的最小值为______．
【答案】2
【解析】因为，，均为非负数，且，则，
所以由柯西不等式可得：，
所以；当且仅当，即，
由解得：，即时，等号成立.故答案为：2.
【跟踪训练1】已知a＋b＋c＝1，且a ， b ， c＞0，则 的最小值为( )
A．1 B．3 C．6 D．9
【答案】D
【解析】
当且仅当时等号成立
【例2】（柯西不等式）实数x、y满足，则的最小值是（ ）
A． B． C．3 D．4
【答案】A
【解析】实数x、y满足，，
，，
当且仅当时取等号，的最小值是.故选：A.
【跟踪训练2】若实数，则的最小值为（ ）
A．14 B． C．29 D．
【答案】B
【解析】根据柯西不等式：，即，
当且仅当，，时等号成立.故选：B.
【对点训练1】
一、单选题
1．（黑龙江哈尔滨市2022-2023学年高三上学期学业质量监测数学试题）设，，若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．（河南省信阳市2021-2022学年高一下学期期末数学试题）已知，若，，且，则的最小值为（ ）
A．2 B．4 C． D．5
3．若实数、满足，则下列结论中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
4．下列关于基本不等式的说法正确的是（　　）
A．若，则的最大值为
B．函数的最小值为2
C．已知x+y＝1，x＞0，y＞0，则的最小值为
D．若正数x，y满足x2+xy﹣2＝0，则3x+y的最小值是3
5．已知正实数满足，则下列结论中正确的是（　　）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
三、填空题
6．已知x>0，y>0，且，则x+2y的最小值为____________ .
7．已知，，且，则的最小值为 __．
8．已知x，y是正实数，且满足，则x+y的最小值是__．
9．已知为正实数，则的最小值为__________．
10．（2022·贵州·贵阳乐湾国际实验学校高三开学考试（理））实数满足，则的最大值为___________.
【参考答案1】
1．C【详解】解：因为，且，
所以，
当且仅当，即，时，等号成立．
2．C【详解】由，得，所以，
，
当且仅当，即时取等号，所以的最小值为.
3．D【详解】解：对于A，B，由可得，，当且仅当时取等号，即，，，故A、B错误，
对于C，D，由可得，，当且仅当时取等号，
，故C错，D对，
4．AC【详解】解：对于选项A，若0＜x，则，所以，当且仅当3x＝1﹣3x，即x时等号成立，所以最大值为，故该选项正确；
对于选项B，因为x＞﹣1，所以x+1＞0，所以y21＝3，当且仅当x+1，即x＝0等号成立，故函数最小值为3，故该选项错误；
对于选项C，因为x+y＝1，x＞0，y＞0，所以3≥23＝23，当且仅当，即x，y＝2等号成立，故最小值为3+2，故该选项正确；
对于选项D，由x2+xy﹣2＝0可得y，因为x＞0，y＞0，可得0＜x，
则3x+y＝2x2，当且仅当2x，即x＝1等号成立，所以最小值是4．
5．ACD【详解】解：当时，，
当且仅当时取等号，解得，故A正确；
，当且仅当时取等号，解得，故B错误；
当时，，则，
所以
，当且仅当时取等号，所以C正确，当时，，当且仅当时取等号，
解得（舍负），故D正确．
6．【详解】解法一：设，可解得，
从而，
当且仅当时取等号.
故答案为：．
解法二：考虑直接使用柯西不等式的特殊形式，即权方和不等式：，
，
所以，当且仅当时取等号.故答案为：．
7．3【详解】解：因为，，且，所以，
则，
当且仅当且，即，时取等号，此时取得最小值．
8．2【详解】解：因为，是正实数，且满足，则
，
当且仅当且，即，时取等号，所以的最小值为2．
9．6【详解】由题得，
设，则.
当且仅当时取等.所以的最小值为6.
10．【详解】因为实数满足，
所以由基本不等式可得：（当且仅当，即时等号成立），
所以.即的最大值为.
【对点训练2】
一、单选题
1．若，则下面结论正确的有（ ）
A． B．若，则
C．若，则 D．若，则有最大值
2．若实数满足，则（ ）
A． B． C． D．
3．在锐角中，角，，的对边分别为，，，为的面积，且，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
4．若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，则下列结论正确的是（ ）
A．角C一定为锐角 B．a2 + 2b2 - c2 = 0 C．3tanA + tanC = 0 D．tanB的最大值为
5．已知a>0，b>0，且a+b=１，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．已知，且，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知，则下列选项一定正确的是（ ）
A． B．的最大值为 C． D．
三、填空题
8．已知，，，则＋的最小值为____．
9．已知函数，若对任意的正数，满足，则的最小值为_________.
10．已知，关于x的不等式对于一切实数x恒成立，又存在实数，使得成立，则的最小值为___________
【参考答案2】
1．B【详解】对于选项A：若，由基本不等式得，即，
当且仅当时取等号；所以选项A不正确；对于选项B：若，，
，
当且仅当且，即时取等号，所以选项B正确；
对于选项C：由，，即，
如时，，所以选项C不正确；
对于选项D：，当且仅当时取等
则有最大值，所以选项D不正确；
2．C【详解】证明不等式，令，，
故在上单调递减，在上单调递增，，故证明成立；
又因为≥，且仅当a=时成立 又因为
故与题意联立，得
令t=，故有，解得时成立，综上联立：=1与a=解得a=，b=，
3．C【详解】解：在中，由余弦定理得，
且的面积，由，得，化简得，又，，联立得，
解得或（舍去），
所以，
因为为锐角三角形，所以，，所以，
所以，所以，所以，
设，其中，所以，
由对勾函数单调性知在上单调递减，在上单调递增，
当时，；当时，；当时，；
所以，即的取值范围是．
4．BCD【详解】可化为即，
故，故为钝角，故A错误.又，整理得到，而又可化为，
所以即，故C正确.
又，
因为为钝角，故为锐角，故，
当且仅当时等号成立，故D正确.
5．ACD【详解】对于，故正确；
对于B：因为实数，，，所以
所以，故错误；
对于：由B得到，所以
所以，根据“或”命题的性质可知正确；
对于：，
当且仅当，即时等号成立，故正确；
6．BCD【详解】
解：因为，且，对于A，，当且仅当，即，时取等号，故A错误；
对于B：因为，所以，所以，令，则，因为，所以，令，则所以在上单调递增，又，所以当时，即，在上单调递减，当时，即，在上单调递增，
所以，故，即B正确；
对于C：，令，则，当时，当时所以在上单调递增，又，所以时取得最小值，，所以，故C正确；
对于D：
令，，
当时，，，，，所以，即在上单调递减，同理可得在上单调递增，所以时有最大值，所以在上恒成立，所以，故D正确；
7．BD【详解】因为，所以，所以.
对于A：由可得，所以，故A错误；
对于B： ，当且仅当，即时等号成立，所以的最大值为，对于C：因为，所以当且仅当，即时等号成立，故C错误；
对于D：因为，所以，所以，
当且仅当，即时等号成立，
因为，所以，当时取最大值，
此时，
此时两次取等号条件不一致，故，故D正确.
8．【详解】可化为，
因为，，故，故，所以.
设，故且，
故
又，
因为，故即，当且仅当时等号成立，
故的最小值为4，故的最小值为.
9．12【详解】因为恒成立，所以函数的定义域为，
，，
所以，为奇函数，又在单调递减，
所以在单调递减，在出连续，
在单调递减，所以在上单调递减，
，，，即，
所以 ，
当且仅当，即，时，等号成立，所以的最小值为12.
10．【详解】已知，二次三项式对于一切实数恒成立，
，且，；
再由，使成立，可得，；
，，
令，则
当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为，
故的最小值为权方和不等式与柯西不等式（数学技巧点拨系列）——2023 届高考一轮提高讲义
权方和不等式与柯西不等式
【知识点讲解】
1、权方和不等式
2
a b a b
二元：已知 x, y,a,b R ，则有：
x y x y
（当且仅当 x : y a : b时，等号成立）.
n
n m 1 ( a m 1i )
一般形式：设 a ,b R＋( i 1,2, a ,n )，实数m 0，则 i i 1i i ，
i 1 bm ni ( b mi )
i 1
a1 a2 a其中等号当且仅当 n 时成立.称之为权方和不等式.
b1 b2 bn
2、柯西不等式
（1）二维形式的柯西不等式
若 a,b,c,d 都是实数，则 (a2 b2 )(c2 d 2 ) (ac bd )2 ，当且仅当 ad bc时，等号成立.
2 2 2
a ,a ,a , ,a b 0(i 1,2, ,n) a1 a2 an (a1 a2 a )
2
（2）已知 n1 2 3 n都是实数， i 则： b1 b2 bn b1 b2 bn
2
（3）已知a1,a ,a , ,a ,b ,b ,b , ,b
a1 a2 an (a1 a2 an)2 3 n 1 2 3 n同号且不为 0，则： b1 b2 bn a1b1 a2b2 anbn
【例题讲解】
1 1 1
【例 1】（权方和不等式）已知 a，b，c均为非负数，且a 4b 9c 4，则
a 1 b 1 c 1
的最小值为______．
听课笔记：
第 1 页 Math tips series——2023 College Entrance Examination one-round sprint
权方和不等式与柯西不等式（数学技巧点拨系列）——2023 届高考一轮提高讲义
2 2 2
【跟踪训练 1】已知 a＋b＋c＝1，且 a ，b ， c＞0，则 的最小值为( )
a b b c a c
A．1 B．3 C．6 D．9
听课笔记：
【例 2】（柯西不等式）实数 x、y满足3x2 4y2 12，则 z 2x 3y的最小值是（ ）
A． 5 B． 6 C．3 D．4
听课笔记：
【跟踪训练 2】若实数 x 2y 3z 1，则 x2 y2 z2的最小值为（ ）
1 1
A．14 B． C．29 D．
14 29
听课笔记：
课后反思：当遇到求分式相加求最值且变量同在分子时就可以考虑使用权方和不等式。其实权
方和不等式的使用只是简化了计算的过程，本质上还是可以用“1”的整体代换来解决此类问
题。对于柯西不等式要注意每种形式的结构才能熟练掌握。
第 2 页 Math tips series——2023 College Entrance Examination one-round sprint
权方和不等式与柯西不等式（数学技巧点拨系列）——2023 届高考一轮提高讲义
【对点训练 1】
一、单选题
1．（黑龙江哈尔滨市 2022-2023 学年高三上学期学业质量监测数学试题）设a 0，b 0，若
a 1 3b 1
a 3b 5，则 的最小值为（ ）
ab
A．9 3 B． 2 C． 6 2 D． 4 3
2．（河南省信阳市 2021-2022 学年高一下学期期末数学试题）已知 f x ex，若 a 0，b 0，
且 f a f 2b e2 1 2，则 的最小值为（ ）
a b
A．2 B．4 C 9． D．5
2
3．若实数 x、 y满足 x2 y2 1 xy ，则下列结论中，正确的是（ ）
A． x y 1 B． x y 2 C． x2 y2 1 D． x2 y2 2
二、多选题
4．下列关于基本不等式的说法正确的是（ ）
1 1
A．若0 x ，则 x(1 3x)3 的最大值为12
B y x
2 3x 3
．函数 (x 1)的最小值为 2
x 1
1 2
C．已知 x+y＝1，x＞0，y＞0，则 x y的最小值为3 2 2
D．若正数 x，y满足 x2+xy﹣2＝0，则 3x+y的最小值是 3
5．已知正实数 a,b满足a b mab n，则下列结论中正确的是（ ）
A．若m 1,n 0，则 ab 4
B．若m 1,n 0，则a b 4
C m 0,n 1 1 2 3 2 2．若 ，则
2a b b 1 3
D．若m 1,n 1，则a b 2 2 2
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权方和不等式与柯西不等式（数学技巧点拨系列）——2023 届高考一轮提高讲义
三、填空题
1 1
6．已知 x>0，y>0，且 12x y y 1 ，则 x+2y的最小值为____________ .
x 1
1 4
7．已知 ， y 3，且 2x y 72 ，则

2x 1 y 3的最小值为 __．
1 4
8．已知 x，y是正实数，且满足 3x y 1 ，则 x+y的最小值是__．
x, y y 16x9．已知 为正实数，则 x 2x y的最小值为__________．
10．（2022·贵州·贵阳乐湾国际实验学校高三开学考试（理））实数 a,b满足a2 2b2 1，则ab的
最大值为___________.
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权方和不等式与柯西不等式（数学技巧点拨系列）——2023 届高考一轮提高讲义
【对点训练 2】
一、单选题
1．若a 0，b 0，则下面结论正确的有（ ）
A． 2 a2 b2 (a b)2 1 4 9B．若 2，则 a b
a b 2
C．若 ab b2 2，则a b 4 D．若a b 1，则ab
1
有最大值
2
2．若实数 a,b满足 ln 2a ln b a2 1 2 1，则a b （ ）b
A 5 3． 2 B． 3 C 3 2． D．
2 2
3．在锐角 ABC中，角A，B，C的对边分别为 a，b，c，S为 ABC的面积，且 2S a2 b c 2，
2b2 c2
则 的取值范围为（ ）
bc
43 , 59 43 59 A． B． 2 2, C． 2 2, D． 2 2, 15 15 15 15
二、多选题
A B
4．若△ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且满足b 2a 4a sin2 0，则下
2
列结论正确的是（ ）
A 3．角 C 一定为锐角 B．a2 + 2b2 - c2 = 0 C．3tanA + tanC = 0 D．tanB 的最大值为
3
5．已知 a>0，b>0，且 a+b=１，则下列结论正确的是（ ）
a2 b2 1A． B． log2 a log b
8 2
2 2 C．2 a b 2
D． 18
a b
第 5 页 Math tips series——2023 College Entrance Examination one-round sprint
权方和不等式与柯西不等式（数学技巧点拨系列）——2023 届高考一轮提高讲义
6．已知 a 0,b 0，且a 2b 2，则下列说法正确的是（ ）
A．5a
4 1
25b 15 B． 6
a 2b2
C b a2 b2
8
D 2． ．blna aln 2b 0
5
7．已知 a,b 0,a b 2 1，则下列选项一定正确的是（ ）
1 1 1 1 16
A．3a b B． 的最大值为 C．
3 b a 2 a b 2
D．
a b 5
三、填空题
2 2
8．已知a 0，b 0， a(1 a) (a b)2 a 3 b3 2a 2b，则 ＋ 的最小值为____．
a 3b 3a b
3 1
9．已知函数 f (x) log2 ( x
2 1 x)，若对任意的正数 a,b，满足 f (a) f (3b 1) 0，则
a b
的最小值为_________.
2
10．已知 a b，关于 x 的不等式 ax 2x b 0对于一切实数 x 恒成立，又存在实数 x0，使得
a2 b2
ax20 2x0 b 0成立，则 a b 的最小值为___________
第 6 页 Math tips series——2023 College Entrance Examination one-round sprint权方和不等式与柯西不等式
【知识点讲解】
1、权方和不等式
二元：已知，则有：
（当且仅当时，等号成立）.
一般形式：设()，实数，则，
其中等号当且仅当时成立.称之为权方和不等式.
2、柯西不等式
（1）二维形式的柯西不等式
若都是实数，则，当且仅当时，等号成立.
（2）已知都是实数，则：
（3）已知同号且不为0，则：
【例题讲解】
【例1】（权方和不等式）已知，，均为非负数，且，则的最小值为______．
听课笔记：
【跟踪训练1】已知a＋b＋c＝1，且a ， b ， c＞0，则 的最小值为( )
A．1 B．3 C．6 D．9
听课笔记：
【例2】（柯西不等式）实数x、y满足，则的最小值是（ ）
A． B． C．3 D．4
听课笔记：
【跟踪训练2】若实数，则的最小值为（ ）
A．14 B． C．29 D．
听课笔记：
课后反思：当遇到求分式相加求最值且变量同在分子时就可以考虑使用权方和不等式。其实权方和不等式的使用只是简化了计算的过程，本质上还是可以用“1”的整体代换来解决此类问题。对于柯西不等式要注意每种形式的结构才能熟练掌握。
【对点训练1】
一、单选题
1．（黑龙江哈尔滨市2022-2023学年高三上学期学业质量监测数学试题）设，，若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．（河南省信阳市2021-2022学年高一下学期期末数学试题）已知，若，，且，则的最小值为（ ）
A．2 B．4 C． D．5
3．若实数、满足，则下列结论中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
4．下列关于基本不等式的说法正确的是（　　）
A．若，则的最大值为
B．函数的最小值为2
C．已知x+y＝1，x＞0，y＞0，则的最小值为
D．若正数x，y满足x2+xy﹣2＝0，则3x+y的最小值是3
5．已知正实数满足，则下列结论中正确的是（　　）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
三、填空题
6．已知x>0，y>0，且，则x+2y的最小值为____________ .
7．已知，，且，则的最小值为 __．
8．已知x，y是正实数，且满足，则x+y的最小值是__．
9．已知为正实数，则的最小值为__________．
10．（2022·贵州·贵阳乐湾国际实验学校高三开学考试（理））实数满足，则的最大值为___________.
【对点训练2】
一、单选题
1．若，则下面结论正确的有（ ）
A． B．若，则
C．若，则 D．若，则有最大值
2．若实数满足，则（ ）
A． B． C． D．
3．在锐角中，角，，的对边分别为，，，为的面积，且，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
4．若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，则下列结论正确的是（ ）
A．角C一定为锐角 B．a2 + 2b2 - c2 = 0 C．3tanA + tanC = 0 D．tanB的最大值为
5．已知a>0，b>0，且a+b=１，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．已知，且，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知，则下列选项一定正确的是（ ）
A． B．的最大值为 C． D．
三、填空题
8．已知，，，则＋的最小值为____．
9．已知函数，若对任意的正数，满足，则的最小值为_________.
10．已知，关于x的不等式对于一切实数x恒成立，又存在实数，使得成立，则的最小值为___________

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