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外接球与内切球（数学技巧点拨系列）——2023届高考一轮提高讲义
外接球与内切球
【知识点讲解】
一、外接球（常考）
1、公式法
当为长方体时可以直接套用公式2R=，其中a，b，c为长宽高。
2、补形法
当遇到对棱相等模型可以补形为长方体
，
3、一般求法
首先找到底面的外接圆的圆心，再作底面的垂线，再利用勾股定理求出R
（其中作底面的垂线是最难的一步，需要熟练掌握）
4、补充
（1）棱长为a的正四面体内切球半径r=a,外接球半径R=a.
（2）外接圆圆心的位置确定
当遇到直角三角形时，斜边的重点为外接圆的圆心
当遇到一般三角形时，可以使用正弦定理 = = =2R
内切球
利用等体积法求出R（体积=表面积R）（R为内切球半径）
【例题讲解】
【例1】已知在直三棱柱中，，，，且此三棱柱有内切球，则此三棱柱的内切球与外接球的表面积的比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由题意可得的内切圆半径为，
所以要使此三棱柱有内切球，则此三棱柱的高，所以内切球的半径；
取的中点D，的中点，则的中点M为外接球的球心，
所以外接球的半径，因此三棱柱的内切球与外接球的表面积的比为
【跟踪训练1】若正三棱柱既有外接球，又有内切球，记该三棱柱的内切球和外接球的半径分别为、，则（ ）
A． B．5 C． D．
【答案】A
【详解】由于三棱柱的外接球和内切球的球心相同，如图，，，
因为为正三角形，为的中心，所以，
所以，在中，，
所以，所以，，所以，
【例2】已知正三棱柱有内切球，在该三棱柱内随机放入个点，有个落入其内切球内，则的近似值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】不妨设正三棱柱的高为2，根据题意，其内切球的直径就是正三棱柱的高，即球的半径为1，体积为；正三棱柱的底面是等边三角形，由题意得其内切圆的半径为1，利用等面积得等边三角形的边长为，所以正三棱柱的底面面积为.
所以正三棱柱的体积为.则这一点在球内的概率为：，所以的近似值为.
【跟踪训练2】若正四棱锥内接于球，且底面过球心，则球的半径与正四棱锥内切球的半径之比为
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】设外接球半径为R,由题意可知，OA=OB=OC=OD=OP=R,设四棱锥P-ABCD的内切球半径为r,由等体积法，所以选A.
【对点训练】
一、填空题
1．在四棱锥中，平面ABCD，，，则四棱锥外接球的半径为______．
2．已知在正方体中，点是中点，点是中点，若正方体的内切球与直线交于点，，且，若点Q是棱上一个动点，则的最小值为_____________．
3．设球O内切于正三棱柱，则球O的体积与正三棱柱的体积的比值为________．
4．正三棱锥侧棱长为，底面棱长为，三棱锥内切球表面积是_______．
5．在四面体中，，，，则四面体外接球的体积为______．
6．在四面体中，，，，则四面体的外接球的体积为___________.
7．已知三棱锥中，面，，，，则三棱锥的外接球半径为__________.
8．三棱锥中，平面平面， ，，，则三棱锥的外接球的半径为______
9．球的球心为点，球内切于底面半径为、高为3的圆锥，三棱锥内接于球，已知，则三棱锥的体积的最大值为_______．
10．如图，正四面体的棱长为1，点是该正四面体内切球球面上的动点，点是上的动点，则的取值范围为____．
11．已知正三棱锥的底面边长为侧棱长为，其内切球与两侧面分别切于点，则的长度为___________.
12．在三棱锥中，，，，则三棱锥的外接球的表面积是______．
13．在三棱锥中，，，，则三棱锥的外接球的体积为______.
14．已知三棱锥中，，平面，则此三棱锥的外接球的半径为__________．
15．三棱锥满足，，，.则该三棱锥外接球的表面积是______.
16．在三棱锥中，若，平面，，则三棱锥外接球的半径为__________．
17．已知三棱锥中，侧面底面，，，，则三棱锥外接球的半径为______.
18．在四面体中，，，，则四面体外接球的表面积是_______．
19．在三棱锥中，平面，，，，则三棱锥外接球的半径为____________.
20．在四面体中，已知，，面则四面体的外接球半径为______.
21．在四面体中，，若四面体的外接球的体积，则______．
22．已知三棱锥中，面，，，，则三棱锥的外接球半径为__．
23．三棱锥,,,,（单位：）则三棱锥外接球的体积等于_____________.
24．在四面体中，已知，，.则四面体的外接球的半径为______.
25．在三棱锥中，，，，则三棱锥的外接球的半径为______.
26．已知正三棱锥，，，则此三棱锥外接球的半径为_______.
27．在三棱锥中，，，，，则该三棱锥外接球的半径为___________.
28．在三棱锥中，，，则三棱锥外接球的体积是______．
29．在正四棱锥中，，，则四棱锥外接球的体积是______.
30．在三棱锥中，，，，则三棱锥的外接球的半径为_________.
31．点M是棱长为2的正方体的内切球O球面上的动点，点N为BC边上中点，若，则动点M的轨迹的长度为______．
32．球为正方体的内切球，，分别为棱的中点，则直线被球截得的线段长为__________．
二、双空题
33．在三棱锥中，，，，，面，则三棱锥的外接球半径为_______，三棱锥的内切球半径为______.
34．如图，在四棱锥 中，底面是矩形，侧面底面，，，当面积最大时，若四棱锥存在内切球，则内切球的体积为________，此时四棱锥的体积为__________
【参考答案】
1．【详解】解：由已知得，，所以四边形ABCD四点共圆，四棱锥的外接球与三棱锥的外接球为同一个.
设三角形ABD的外心为E，四棱锥外接球的球心为O，所以平面ABCD，因为，所以，，连接OP，OA，所以，所以，解得，所以四棱锥外接球的半径为．
2．【详解】因为在正方体中，点是中点，点是中点，若正方体的内切球与直线交于点，，则经过，与球心的截面图形的一部分如图2：
设正方体的棱长为，则内切球的半径为，，，，
由可得，解得；
又点是棱上一个动点，要求的最小值，只需把平面沿旋转到与平面在一个平面内，如下图：
连接，则的长度即是的最小值，
因此.
故答案为：.
3．【详解】设球O半径为R，正三棱柱的底面边长为a，则R＝＝a，即a＝2R，又正三棱柱的高为2R，
所以球O的体积与正三棱柱的体积的比值为＝＝
4．【详解】设内切球半径为，则
三棱锥高：；斜高：，
表面积：，
体积：，得，所以内切球的表面积为
5．【详解】如下图所示，取的中点，连接，
∵，，所以，，则，
∵，∴，∴，则，
所以，，则为四面体外接球的一条直径，设该球的半径为，则，因此，该四面体外接球的体积为．
6．
【详解】由，，，所以，.
可得，设O为中点，则，
即O为外接球的球心，球的半径所以四面体的外接球的体积为：
.
7．【详解】由余弦定理得，所以，
记三棱锥的外接球半径为，的外接圆半径为，
则， ，所以.
8．1【详解】因为，，故是公共的斜边，的中点是球心 ，球半径为．
9．【详解】
圆锥的母线长为，设球O的半径为，则，解得，
，，，C在以AB为直径的圆上，
平面平面，O到平面的距离为，故到平面的最大距离为，又C到AB的最大距离为，三棱锥的体积的最大值为，
；
10．【详解】由正四面体棱长为1，则正四面体的体高为，
若其内切球球心为，半径为，则，
又，可得，则，
所以到的最短距离为.
综上，的取值范围为，即.
11．【详解】如图，
设正三棱锥内切球的半径为，为内切球与侧面的切点，为侧面上切点所在小圆的圆心，半径为，为等边三角形，
, ,,,
,, 即,
，解得，,
由正三棱锥的定义知，内切圆与三个侧面相切，切点构成的三角形为等边三角形，故, 由余弦定理可得，
所以
12．29π【详解】由题意，，，，将三棱锥放到长方体中，可得长方体的三条面对角线分别为，，5，设长方体的长宽高分别为a,b,c,
即，，，
解得：，，．
长方体的体对角线即为三棱锥和长方体公共外接球的直径2R，
∴﹒
13．【详解】取线段的中点，连接、，如下图所示：
，为线段的中点，则，
，，，则，
，，，，，，
，，平面，
三棱锥的外接球球心在直线上，设该球半径为，则，
由勾股定理得，即，解得.
因此，三棱锥的外接球的体积为.
14．4【详解】 设的外接圆的半径为，设三棱锥外接球的半径为,
因为底面中，，
所以，所以，
所以由正弦定理，得 ，解得，
设球心到平面的距离为，则由勾股定理得，
所以，此三棱锥的外接球的半径为.
15．【详解】因为,，所以
因为，所以在中,满足，即
所以三棱锥在长方体中的位置如下图所示:
即四棱锥的外接球即为长方体的外接球，因为
所以三棱锥外接球半径
则三棱锥的表面积为
16．【详解】设的外接圆的圆心为D，三棱锥外接球的球心为O，O到平面的距离h，连接，，
因为平面，所以四边形为直角梯形，且，
所以，所以，所以三棱锥外接球的半径为．
故答案为：．
17．【详解】设三棱锥外接球球心为，半径为，
，故在平面的投影为中点，为中点，
，故，侧面底面，故底面.
连接，作于，易知为矩形，设，
则，，，，解得.
18．【详解】∵，，∴平面．设是外接球球心，是的中心， 平面，则，，则，故四面体外接球的表面积是．
19．【详解】详解：因为，所以为等边三角形，
所以，等边外接圆的半径为，
如图，三棱锥外接球球心为，半径为，
设球心到平面的距离为，外接圆圆心为，
连接，则平面，
取中点，所以，
又平面，所以，则四边形是矩形，
所以在和中，
由勾股定理可得，解得：.
20．【详解】设外接圆的圆心为，半径为，四面体外接球的球心为，半径为，显然，平面，如图所示，设的中点为，
因为，所以，，又平面，故平面，
于是，，在中，由余弦定理得：，
由正弦定理得：，
故四面体外接球的半径为.
21．【详解】设的中点为，的中点为，连接MN,由题目中已知条件可知，MN分别为CD，AB的垂直平分线，故四面体的外接球球心在线段上，
连接CN,DN,OA,OD， 设四面体的外接球半径为，由，得．
设，在中，，
在中，，在中，，
所以，
在中，，由，解得，
所以.故填：
22．【详解】在中，由余弦定理可得，
所以，设的外接圆的圆心为O，半径为，
则，所以，
所以三棱锥的外接球的球心在过点O且垂直于底面的直线上，设为，
过点作于，连接、，如图，
因为平面，则，由可得，
设外接球的半径为，则，所以，
23．【详解】三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，
PA＝AB＝1，BC，画出几何图形如图所示；
补充图形为长方体，则棱长分别为1，1，；∵对角线长为2，
∴三棱锥D﹣ABC的外接球的半径为1，
∴该三棱锥外接球的体积为π×13cm3．
24．【详解】易知，为正三角形，且CA=CB.
如图，设P、M分别为AB、CD的中点，联结PD、PC.则平面平面PDC.
设的外心为N，四面体ABCD的外接球的球心为O.
则，.可求得，
由题意知，.在中，
由余弦定理得
又因为D、M、O、N四点在以DO为直径的圆上
所以
25．【详解】如图所示：
因为，，由勾股定理得，，
所以平面BCD，所以球心到平面BCD的距离为1
在中，由余弦定理得，所以
所以的外接圆半径为，所以球的半径为.
26．【详解】如下图所示：
设点为的外心，则平面，
则三棱锥的外接球球心在直线上，设其外接球的半径为，
由正弦定理得，，
在中，，
由勾股定理得，即，解得.
27．【详解】如图，在中，由余弦定理可得
，所以，因为，
所以为等边三角形，设的外心为，连接，，，连接，
由题意可得，，
，，因为，所以，
因为，所以平面，
设为三棱锥外接球的球心，连接，
过作于，则外接球的半径满足
，
将，代入得，所以，
所以
28．【详解】取等边的中心，连接、，如下图所示：
，，所以，三棱锥为正三棱锥，
所以，三棱锥外接球球心在直线，设该球的半径为，
由正弦定理得，所以，，
由勾股定理得，即，解得，
因此，三棱锥外接球的体积为.
29．【详解】连接交于点，连接，所以底面，
从而正四棱锥外接球的球心在上，
连接，正方形的边长为， 可得，又，所以
，
设四棱锥外接球的半径为，则，
即，解得，所以，
故四棱锥外接球的体积是.
30．【详解】如图，取的中点，连接、，
根据，得，，
且，又，∴是正三角形，，
设三棱锥的外接球球心为，易知在内部，
过点作于点，于点，连接、、，
则点、分别是、的外接圆圆心，且，
在中，，，∴，
在中，，设球的半径为，则，得.
31．或
【详解】如图，正方体的内切球的半径，
由题意，分别取、的中点、，连接、、，
在正方体中，四边形为平行四边形，
所以、、、四点共面，
则，，，所以，，
所以，，，
平面，平面，，
，平面，所以，动点的轨迹就是平面截内切球的交线，
取的中点，连接，则四边形为平行四边形，易知点为的中点，
过点在平面内作，平面，平面，则，
，平面，，
所以，，因为点为的中点，则到平面的距离为，
截面圆的半径，所以动点的轨迹的长度为截面圆的周长．
32．【详解】设与球面交于 两点，过球心与 的截面如图，
因为，分别为棱的中点，所以可得 ，
根据正方体的性质可得，
球为正方体的内切球，可得 ，
由勾股定理得，
33．
【详解】∵，，，∴,∴，又∵面，∴可以将三棱锥放置在如图所示的长方体中，外接球的直径即为长方体的对角线.
设外接球的半径为R，则，．
设内切球的球心为O，半径为r，则由得：
，整理得，解得，
34．
【详解】在中，由余弦定理可得，
∴即
当且仅当时等号成立，又
∴当时，的面积最大，此时为等边三角形，
取AB的中点M，连接PM，则PM⊥AB，取CD的中点N，连接MN，PN，
∵BC⊥ＡＢ，侧面PAB⊥底面ABCD，且侧面PAB∩平面ABCD=AB，
∴BC⊥平面PAB，又BC平面PBC，
∴平面PAB⊥平面PBC，同理可证平面PAD⊥平面PAB，
设正三角形PAB的中心为，过作平面PAB，
则上的点到平面PBC、平面PAD、平面ABCD的距离相等，
设O为四棱锥的内切球的球心，过O作，则
∴内切球的半径,
又内切球与平面PCD相切，且切点在PN上，设切点为，则，
∴O为△PMN的内切圆的圆心，该内切圆的半径为，
连接PO、ON，则PO为的角平分线，
∴，设，则
∴，
在直角三角形PMN中，，即，
解得，∴，
∴，
故答案为：①；②.外接球与内切球（数学技巧点拨系列）——2023届高考一轮提高讲义
外接球与内切球
【知识点讲解】
一、外接球（常考）
1、公式法
当为长方体时可以直接套用公式2R=，其中a，b，c为长宽高。
2、补形法
当遇到对棱相等模型可以补形为长方体
，
3、一般求法
首先找到底面的外接圆的圆心，再作底面的垂线，再利用勾股定理求出R
（其中作底面的垂线是最难的一步，需要熟练掌握）
4、补充
（1）棱长为a的正四面体内切球半径r=a,外接球半径R=a.
（2）外接圆圆心的位置确定
当遇到直角三角形时，斜边的重点为外接圆的圆心
当遇到一般三角形时，可以使用正弦定理 = = =2R
内切球
利用等体积法求出R（体积=表面积R）（R为内切球半径）
【例题讲解】
【例1】已知在直三棱柱中，，，，且此三棱柱有内切球，则此三棱柱的内切球与外接球的表面积的比为（ ）
A． B． C． D．
听课笔记：
【跟踪训练1】若正三棱柱既有外接球，又有内切球，记该三棱柱的内切球和外接球的半径分别为、，则（ ）
A． B．5 C． D．
听课笔记：
【例2】已知正三棱柱有内切球，在该三棱柱内随机放入个点，有个落入其内切球内，则的近似值为（ ）
A． B． C． D．
听课笔记：
【跟踪训练2】若正四棱锥内接于球，且底面过球心，则球的半径与正四棱锥内切球的半径之比为
A． B． C． D．
听课笔记：
【对点训练】
一、填空题
1．在四棱锥中，平面ABCD，，，则四棱锥外接球的半径为______．
2．已知在正方体中，点是中点，点是中点，若正方体的内切球与直线交于点，，且，若点Q是棱上一个动点，则的最小值为_____________．
3．设球O内切于正三棱柱，则球O的体积与正三棱柱的体积的比值为________．
4．正三棱锥侧棱长为，底面棱长为，三棱锥内切球表面积是_______．
5．在四面体中，，，，则四面体外接球的体积为______．
6．在四面体中，，，，则四面体的外接球的体积为___________.
7．已知三棱锥中，面，，，，则三棱锥的外接球半径为__________.
8．三棱锥中，平面平面， ，，，则三棱锥的外接球的半径为______
9．球的球心为点，球内切于底面半径为、高为3的圆锥，三棱锥内接于球，已知，则三棱锥的体积的最大值为_______．
10．如图，正四面体的棱长为1，点是该正四面体内切球球面上的动点，点是上的动点，则的取值范围为____．
11．已知正三棱锥的底面边长为侧棱长为，其内切球与两侧面分别切于点，则的长度为___________.
12．在三棱锥中，，，，则三棱锥的外接球的表面积是______．
13．在三棱锥中，，，，则三棱锥的外接球的体积为______.
14．已知三棱锥中，，平面，则此三棱锥的外接球的半径为__________．
15．三棱锥满足，，，.则该三棱锥外接球的表面积是______.
16．在三棱锥中，若，平面，，则三棱锥外接球的半径为__________．
17．已知三棱锥中，侧面底面，，，，则三棱锥外接球的半径为______.
18．在四面体中，，，，则四面体外接球的表面积是_______．
19．在三棱锥中，平面，，，，则三棱锥外接球的半径为____________.
20．在四面体中，已知，，面则四面体的外接球半径为______.
21．在四面体中，，若四面体的外接球的体积，则______．
22．已知三棱锥中，面，，，，则三棱锥的外接球半径为__．
23．三棱锥,,,,（单位：）则三棱锥外接球的体积等于_____________.
24．在四面体中，已知，，.则四面体的外接球的半径为______.
25．在三棱锥中，，，，则三棱锥的外接球的半径为______.
26．已知正三棱锥，，，则此三棱锥外接球的半径为_______.
27．在三棱锥中，，，，，则该三棱锥外接球的半径为___________.
28．在三棱锥中，，，则三棱锥外接球的体积是______．
29．在正四棱锥中，，，则四棱锥外接球的体积是______.
30．在三棱锥中，，，，则三棱锥的外接球的半径为_________.
31．点M是棱长为2的正方体的内切球O球面上的动点，点N为BC边上中点，若，则动点M的轨迹的长度为______．
32．球为正方体的内切球，，分别为棱的中点，则直线被球截得的线段长为__________．
二、双空题
33．在三棱锥中，，，，，面，则三棱锥的外接球半径为_______，三棱锥的内切球半径为______.
34．如图，在四棱锥 中，底面是矩形，侧面底面，，，当面积最大时，若四棱锥存在内切球，则内切球的体积为________，此时四棱锥的体积为__________外接球与内切球（数学技巧点拨系列）——2023 届高考一轮提高讲义
外接球与内切球
【知识点讲解】
一、外接球（常考）
1、公式法
当为长方体时可以直接套用公式 2R= 2 + 2 + 2，其中 a，b，c 为长宽高。
2、补形法
当遇到对棱相等模型可以补形为长方体
2 2 2
2R a2 b2 x y z x
2 y 2 z 2
c2 ，R2
2 8
3、一般求法
首先找到底面的外接圆的圆心，再作底面的垂线，再利用勾股定理求出 R
（其中作底面的垂线是最难的一步，需要熟练掌握）
4、补充
6 6
（1）棱长为 a的正四面体内切球半径 r= a,外接球半径 R= a.
12 4
（2）外接圆圆心的位置确定
当遇到直角三角形时，斜边的重点为外接圆的圆心

当遇到一般三角形时，可以使用正弦定理 = = =2R
sin sin sin
二、内切球
1
利用等体积法求出 R（体积= 表面积 R）（R为内切球半径）
3
【例题讲解】
【例 1】已知在直三棱柱 ABC A1B1C1 中， AB BC， AB 6， BC 8，且此三棱柱有内切球，则
此三棱柱的内切球与外接球的表面积的比为（ ）
A． 2 :5 B．4 : 25 C． 2 : 29 D． 4 : 29
听课笔记：
第 1 页 Math tips series——2023 College Entrance Examination one-round sprint
外接球与内切球（数学技巧点拨系列）——2023 届高考一轮提高讲义
【跟踪训练 1】若正三棱柱 ABC A1B1C1 既有外接球，又有内切球，记该三棱柱的内切球和外接
R
球的半径分别为R R 11、 2 ，则 R （ ）2
A 5． B．5 C． 5 D． 3
5
听课笔记：
【例 2】已知正三棱柱有内切球，在该三棱柱内随机放入n个点，有m个落入其内切球内，则
的近似值为（ ）
A 3 5m． B 4 3m 9 3m 9 3m． C． D．
n n 2n n
听课笔记：
【跟踪训练 2】若正四棱锥P ABCD内接于球O，且底面 ABCD过球心O，则球O的半径与正四
棱锥P ABCD内切球的半径之比为
A． 3 1 B． 2 C． 3 D． 3 1
听课笔记：
【对点训练】
第 2 页 Math tips series——2023 College Entrance Examination one-round sprint
外接球与内切球（数学技巧点拨系列）——2023 届高考一轮提高讲义
一、填空题
2
1．在四棱锥P ABCD中，PA 平面 ABCD，PA AB AD 1，2 BCD BAD ，则四棱锥
3
P ABCD外接球的半径为______．
2．已知在正方体 ABCD A1B1C1D1中，点 E是 AB中点，点 F是 B1C1 中点，若正方体 ABCD A1B1C1D1
的内切球与直线 EF交于点G，H，且GH 3，若点 Q 是棱BB1上一个动点，则 AQ D1Q的最小
值为_____________．
3．设球 O 内切于正三棱柱 ABC A1B1C1，则球 O 的体积与正三棱柱 ABC A1B1C1 的体积的比值为
________．
4．正三棱锥P ABC侧棱长为 7 ，底面棱长为 2 3，三棱锥P ABC内切球表面积是_______．
5．在四面体 ABCD中， ACB 90 ， AB AD 2AC 2 2， BD 4,CD 10 ，则四面体 ABCD外
接球的体积为______．
6．在四面体 ABCD中， AB 5，DB CB 2，CA DA 1，则四面体 ABCD的外接球的体积为
___________.
7．已知三棱锥P ABC中，PA 面 ABC，AB AC 5 BC 2 PA 11 ， ， ，则三棱锥P ABC的
2
外接球半径为__________.
8．三棱锥P ABC中，平面PAC 平面 ABC， AC 2，PA PC， AB BC，则三棱锥 P ABC
的外接球的半径为______
9．球O的球心为点O，球O内切于底面半径为 3、高为 3 的圆锥，三棱锥V ABC内接于球O，
已知OA OB, AC BC，则三棱锥V ABC的体积的最大值为_______．
10．如图，正四面体 ABCD的棱长为 1，点 P是该正四面体内切球球面上的动点，点 E是 AD上
的动点，则 PE的取值范围为____．
11．已知正三棱锥P ABC的底面边长为 2,侧棱长为 13 ，其内切球与两侧面 PAB,PBC 分别切
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外接球与内切球（数学技巧点拨系列）——2023 届高考一轮提高讲义
于点M ,N，则MN的长度为___________.
12．在三棱锥P ABC中，PA BC 2 5 ，PB AC 13， AB PC 5，则三棱锥 P ABC的外
接球的表面积是______．
13．在三棱锥 A BCD中，BC CD 2，BC CD， AB AD AC 6 ，则三棱锥 A BCD的外
接球的体积为______.
14．已知三棱锥P ABC中， PA 4,AB AC 2 3,BC 6 ，PA 平面 ABC，则此三棱锥的外接
球的半径为__________．
15．三棱锥 A BCD满足 AB BC，BC CD， AB BC 2CD 2， AD 3 .则该三棱锥外接球的
表面积是______.
16．在三棱锥P ABC中，若BC CA AB 2 3，PA 平面 ABC， PA 4，则三棱锥P ABC外
接球的半径为__________．
17．已知三棱锥P ABC中，侧面PAC 底面 ABC， BAC 90 ， AB AC 4， PA PC 2 3 ，
则三棱锥P ABC外接球的半径为______.
18．在四面体PABC中，PC PA， PC PB， AP BP AB 2PC 2 ，则四面体PABC外接球的
表面积是_______．
19．在三棱锥P ABC中，PA 平面 ABC， BAC 60 ，AB AC 2 3，PA 2 ，则三棱锥P ABC
外接球的半径为____________.
20．在四面体 ABCD中，已知 AB AC 3，BD BC 4， BD 面 ABC则四面体 ABCD的外接球
半径为______.
21．在四面体 A BCD中， AB AC AD BC BD 2，若四面体 A BCD的外接球的体积
V 8 2 ，则CD ______．
3
22．已知三棱锥P ABC中，PA 面 ABC，AB AC 3 ，BC 2，PA 3 2 ，则三棱锥P ABC
2
的外接球半径为__．
23．三棱锥 P ABC ,PA 平面ABC , ABC 90 , PA AB 1,BC 2（, 单位：cm）则三棱锥P ABC
外接球的体积等于_____________cm3 .
24．在四面体 ABCD中，已知 ADB BDC CDA 60 ，AD BD 3，CD 2 .则四面体 ABCD的
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外接球与内切球（数学技巧点拨系列）——2023 届高考一轮提高讲义
外接球的半径为______.
25．在三棱锥 A BCD中，AB BC BD 2，AC AD 2 2 ，CD 2 3 ，则三棱锥 A BCD的外
接球的半径为______.
26．已知正三棱锥P ABC， AB 2 3， PA 2 5，则此三棱锥外接球的半径为_______.
27．在三棱锥P ABC中， AB AC 2 2 ， BAC 120 ，PB PC 2 6， PA 2 5 ，则该三棱
锥外接球的半径为___________.
28．在三棱锥P ABC中，PA PB PC 2 5 ，AB BC AC 2 3 ，则三棱锥P ABC外接球的
体积是______．
29．在正四棱锥P ABCD中， AB 4， PA 2 6 ，则四棱锥P ABCD外接球的体积是______.
30．在三棱锥P ABC中，AB AC BC 2，PA PB 2，PC 3 ，则三棱锥P ABC的外接球
的半径为_________.
31．点 M是棱长为 2 的正方体 ABCD A1B1C1D1的内切球 O球面上的动点，点 N为 BC边上中点，
若 AM B1N ，则动点 M的轨迹的长度为______．
32．球O为正方体 ABCD A1B1C1D1的内切球，AB 2，E,F分别为棱 AD,CC1的中点，则直线 EF被
球O截得的线段长为__________．
二、双空题
33．在三棱锥 S ABC中，AB 2，BC 2，AC 2 2 ，SB 2 ，SB 面 ABC，则三棱锥 S ABC
的外接球半径为_______，三棱锥 S ABC的内切球半径为______.
34．如图，在四棱锥P ABCD 中，底面 ABCD是矩形，侧面 PAB 底面 ABCD，AB 2， BPA 60 ，
当 PAB面积最大时，若四棱锥P ABCD存在内切球，则内切球的体积为________，此时四棱
锥P ABCD的体积为__________
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