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第6节 抽象函数的对称性结论归纳
知识与方法
1.轴对称：如果函数满足，就有，则的图象关于直线对称.
记法：自变量关于a对称，函数值相等.
例如，表示关于对称，表示关于对称.
2.中心对称：若函数满足，就有，则关于点对称.
记法：自变量关于a对称，函数值关于b对称.
例如，表示关于对称，表示关于对称.
3.常用结论（视频中有推导这些结论）：
（1）如果函数有两条对称轴，则一定是周期函数，周期为对称轴距离的2倍.
（2）如果函数有一条对称轴，一个对称中心，则一定是周期函数，周期为对称中心与对称轴之间距离的4倍.
（3）如果函数有在同一水平线上的两个对称中心，则一定是周期函数，周期为对称中心之间距离的2倍.
典型例题
【例1】已知函数满足，且在上为增函数，则（ ）
A. B.
C. D.
【例2】己知函数满足，若函数共有3个不同的零点、、，则_________.
【例3】已知函数满足，若，则_______.
【例4】偶函数的图象关于直线对称，若，则_______.
【例5】（2018·新课标Ⅱ卷）若是定义域为的奇函数，满足，若，则=（ ）
A. B.0 C.2 D.50
【例6】定义在R上的奇函数满足，当时，，则_______.
强化训练
1.（★★★）已知函数满足，且在上为减函数，则（ ）
A. B.
C. D.
2.（★★★）函数满足，且当时，，则（ ）
A. B.
C. D.
3.（★★★）已知函数满足，若函数共有3个零点，，，则________.
4.（★★★）设是定义在R上的偶函数，且，若，则=_______.
5.（多选★★★）设是定义在R上的偶函数，且对任意的，都有，当时，，则（ ）
A.是周期函数，且周期为2
B.的最大值是1，最小值是
C.在上单调递减，在上单调递增
D.当时，
6.（★★★）设定义域为R的奇函数满足，当时，，则_______.
7.（★★★）若是定义域为R的奇函数，，若，则______.
8.（★★★）函数满足，，且，则_______.
9.（★★★）已知函数，定义域为R的函数满足，若函数与的图象的交点为，，…，，则（ ）
A.0 B.6 C.12 D.24
10.（★★★）奇函数满足，若当时，，则函数的零点个数为______.
11.（★★★）偶函数满足，当时，，则函数的所有零点之和为（ ）
A.4 B.6 C.8 D.10
12.（★★★）偶函数满足对任意的实数x都有，当时，，则函数的零点个数是（ ）
A.5 B.6 C.10 D.12第6节 抽象函数的对称性结论归纳
知识与方法
1.轴对称：如果函数满足，就有，则的图象关于直线对称.
记法：自变量关于a对称，函数值相等.
例如，表示关于对称，表示关于对称.
2.中心对称：若函数满足，就有，则关于点对称.
记法：自变量关于a对称，函数值关于b对称.
例如，表示关于对称，表示关于对称.
3.常用结论（视频中有推导这些结论）：
（1）如果函数有两条对称轴，则一定是周期函数，周期为对称轴距离的2倍.
（2）如果函数有一条对称轴，一个对称中心，则一定是周期函数，周期为对称中心与对称轴之间距离的4倍.
（3）如果函数有在同一水平线上的两个对称中心，则一定是周期函数，周期为对称中心之间距离的2倍.
典型例题
【例1】已知函数满足，且在上为增函数，则（ ）
A. B.
C. D.
【解析】的图象关于直线对称，所以，因为，且在上为增函数，所以，从而
【答案】C
【例2】己知函数满足，若函数共有3个不同的零点、、，则_________.
【解析】的图象关于对称，，
由于的图象也关于对称，故它们的交点关于对称，
设，则必有且，故.
【答案】3
【例3】已知函数满足，若，则_______.
【解析】，分别取和得：，两式相加得：，又，所以.
【答案】0
【例4】偶函数的图象关于直线对称，若，则_______.
【解析】由题意，周期为4，故.
【答案】3
【反思】对称轴+对称轴=周期，周期为对称轴之间距离的2倍.
【例5】（2018·新课标Ⅱ卷）若是定义域为的奇函数，满足，若，则=（ ）
A. B.0 C.2 D.50
【解析】因为是奇函数，且，所以，故，所以，即是以4为周期的周期函数，
故，在中取知，
又，所以，
故
.
【答案】C
【反思】对称轴+对称中心=周期，周期为二者之间距离的4倍，熟悉这一结论，可直接得出本题的周期为4.
【例6】定义在R上的奇函数满足，当时，，则_______.
【解析】由题意，有对称中心和，故其周期为2，所以.
【答案】
【反思】若有位于同一水平线上的两个对称中心，则为周期函数，周期为二者之间距离的2倍.
强化训练
1.（★★★）已知函数满足，且在上为减函数，则（ ）
A. B.
C. D.
【解析】的图象关于对称，
结合在上为减函数知当自变量与2的距离越大时，函数值越小，如图，而，，，
所以，故.
【答案】B
2.（★★★）函数满足，且当时，，则（ ）
A. B.
C. D.
【解析】，当时，
，所以在上单调递增，故.
【答案】A
3.（★★★）已知函数满足，若函数共有3个零点，，，则________.
【解析】的图象关于对称，，而的图象也关于对称，故它们的交点也关于对称，所以.
【答案】
4.（★★★）设是定义在R上的偶函数，且，若，则=_______.
【解析】由题意，有对称轴和，故其周期为2，.
【答案】1
5.（多选★★★）设是定义在R上的偶函数，且对任意的，都有，当时，，则（ ）
A.是周期函数，且周期为2
B.的最大值是1，最小值是
C.在上单调递减，在上单调递增
D.当时，
【解析】A项，是偶函数关于对称，关于对称，所以是以4为周期的周期函数，故A项错误；
B项，当时，，结合是周期为4的偶函数可作出的草图如图，由图可知，，故B项正确.
C项，由图可知C项正确；
D项，在中将换成得，故当时，，所以，故D项错误.
【答案】BC
6.（★★★）设定义域为R的奇函数满足，当时，，则_______.
【解析】由题意，有对称中心和对称轴，故其周期为4，所以.
【答案】
7.（★★★）若是定义域为R的奇函数，，若，则______.
【解析】的对称中心和对称轴周期为4，
在中取知，
又，，所以，
故.
【答案】1
8.（★★★）函数满足，，且，则_______.
【解析】由知关于点对称，由知关于对称，所以是以4为周期的周期函数，
故.
【答案】
9.（★★★）已知函数，定义域为R的函数满足，若函数与的图象的交点为，，…，，则（ ）
A.0 B.6 C.12 D.24
【解析】注意到函数为奇函数，其图象关于原点对称，所以的图象关于点对称，又，所以的图象也关于点对称，从而与的图象的交点关于对称，所以，，故.
【答案】B
10.（★★★）奇函数满足，若当时，，则函数的零点个数为______.
【解析】的图象关于点对称，
又为奇函数，所以的图象关于原点对称，
所以的周期为2，如图，与的图象共有9个交点，即函数有9个零点.
【答案】9
11.（★★★）偶函数满足，当时，，则函数的所有零点之和为（ ）
A.4 B.6 C.8 D.10
【解析】的图象关于对称，为偶函数的图象关于y轴对称，所以的周期为2，，作出图象如图，由图可知两函数有6个交点，且它们两两关于直线对称，从而零点之和为6.
【答案】B
12.（★★★）偶函数满足对任意的实数x都有，当时，，则函数的零点个数是（ ）
A.5 B.6 C.10 D.12
【解析】由题意，有对称轴和，故其周期为4，，作出图象如下，由图可知共有10个交点，从而有10个零点.
【答案】C

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