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极值点偏移与对数均值不等式（数学技巧点拨系列）——2023届高考一轮提高讲义
极值点偏移与对数均值不等式
【知识点讲解】
一、极值点偏移的理解（不重要）
众所周知，函数满足定义域内任意自变量都有，则函数关于直线对称，即极值点在两根的正中间，也就是极值点没有偏移.
若相等变为不等，则为极值点偏移：若单峰函数的极值点为，且函数满足定义域内左侧的任意自变量都有或，则函数极值点左右侧变化快慢不同. 故单峰函数定义域内任意不同的实数满足，则与极值点必有确定的大小关系：
若，则称为极值点左偏；若，则称为极值点右偏.
二、极值点偏移问题的解法
1、对称化构造
可以利用题目中要证明的结论反推构造的函数
一般是构造F（x）=f（x1）-f（x2）
2、利用对数均值不等式求解（或用比值代换）
设则其中被称为对数平均数
完整不等式链：
3、证明
令，则
，构造函数可证．
4、对数平均不等式的变形：
（指数平均不等式）
【例题讲解】
【例1】已知是实数，函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若有两个相异的零点且，求证：．
独立试做：
【跟踪训练1】已知函数，若，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．若，则
独立试做：
【跟踪训练2】已知.
(1)若在定义域内单调递增，求的最小值.
(2)当时，若有两个极值点，求证：.
独立试做：
【对点训练】
一、解答题
1．已知函数.
(1)证明：.
(2)若函数，若存在使，证明：.
2．已知函数（其中e为自然对数的底）
(1)若在上单调递增，求实数a的取值范围；
(2)若，是的极值点且.若，且. 证明：.
3．已知函数．
(1)当时，证明；
(2)若存在极值点，且对任意满足的，都有，求a的取值范围．
4．已知函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)当时，证明：．
5．已知函数
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若，且，证明: .
6．已知函数．
(1)若时，，求的取值范围；
(2)当时，方程有两个不相等的实数根，证明：．
7．已知函数f（x）＝ex（lnx+a）．
(1)若f（x）是增函数，求实数a的取值范围；
(2)若f（x）有两个极值点x1，x2，证明：x1+x2＞2．
8．设函数．
(1)当时，讨论函数的单调性；
(2)设，记，当时，若方程有两个不相等的实根，求证：．
9．已知函数，其中．
(1)若，求的极值：
(2)令函数，若存在，使得，证明：．
10．已知函数.
(1)若是增函数，求实数a的取值范围；
(2)若有两个极值点，，证明：.
11．设函数，已知直线是曲线的一条切线.
(1)求的值，并讨论函数的单调性；
(2)若，其中，证明：.
12．已知函数.
(1)求的极大值；
(2)设、是两个不相等的正数，且，证明：.
13．已知函数.
(1)若有两个零点，的取值范围；
(2)若方程有两个实根、，且，证明：.
14．已知函数（且）．
(1)，求函数在处的切线方程．
(2)讨论函数的单调性；
(3)若函数有两个零点，且，证明：．
15．已知函数有两个不同的零点.
(1)求实数的取值范围；
(2)求证：.
16．已知函数，其中a，b为常数，为自然对数底数，．
(1)当时，若函数，求实数b的取值范围；
(2)当时，若函数有两个极值点，，现有如下三个命题：
①；②；③；
请从①②③中任选一个进行证明．
（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
17．已知函数有两个零点．
(1)求a的取值范围；
(2)设是的两个零点，证明：．
18．已知函数
(1)求证：当时，；
(2)当方程有两个不等实数根时，求证：
19．设函数为的导函数.
(1)求的单调区间；
(2)讨论零点的个数；
(3)若有两个极值点且，证明：.
20．已知函数．
(1)若，证明：；
(2)若有两个不同的零点，求a的取值范围，并证明：．
21．已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)若（为的导函数），方程有两个不等实根、，求证：．
22．已知函数，．
(1)求函数的极值；
(2)若方程有2个不等的实根，，证明：．
23．设函数（）．
(1)当时试讨论函数f(x)的单调性；
(2)设，记，当时，若方程有两个不相等的实根，，证明．
24．已知函数，．
(1)求函数的单调区间和极值；
(2)若存在，且当时，，证明：．
25．已知函数，.
(1)讨论f（x）的单调性；
(2)若时，都有，求实数a的取值范围；
(3)若有不相等的两个正实数，满足，证明：.
26．已知函数.
(1)讨论的单调性.
(2)若函数有两个零点 ，且，证明：.
27．已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)设，为两个不相等的正数，且，证明：.极值点偏移与对数均值不等式（数学技巧点拨系列）——2023届高考一轮提高讲义
极值点偏移与对数均值不等式
【知识点讲解】
一、极值点偏移的理解（不重要）
众所周知，函数满足定义域内任意自变量都有，则函数关于直线对称，即极值点在两根的正中间，也就是极值点没有偏移.
若相等变为不等，则为极值点偏移：若单峰函数的极值点为，且函数满足定义域内左侧的任意自变量都有或，则函数极值点左右侧变化快慢不同. 故单峰函数定义域内任意不同的实数满足，则与极值点必有确定的大小关系：
若，则称为极值点左偏；若，则称为极值点右偏.
二、极值点偏移问题的解法
1、对称化构造
可以利用题目中要证明的结论反推构造的函数
一般是构造F（x）=f（x1）-f（x2）
2、利用对数均值不等式求解（或用比值代换）
设则其中被称为对数平均数
完整不等式链：
3、证明
令，则
，构造函数可证．
4、对数平均不等式的变形：
（指数平均不等式）
【例题讲解】
【例1】已知是实数，函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若有两个相异的零点且，求证：．
【答案】(1)当时，在上单调递减；
当时，在上单调递增，在上单调递减.
(2)证明过程见解析.
【解析】(1)的定义域为，，当时，恒成立，故在上单调递减；当时，令得：，令得：，故在上单调递增，在上单调递减；综上：当时，在上单调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减；
(2)由（1）可知，要想有两个相异的零点，则，不妨设，因为，所以，所以，要证，即证，等价于，而，所以等价于证明，即，
令，则，于是等价于证明成立，设，
，所以在上单调递增，
故，即成立，所以，结论得证.
【跟踪训练1】已知函数，若，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．若，则
【答案】ABD
【详解】解：A. 由题得，所以，当时，所以在单调递增.因为，所以，所以，故选项A正确；
B. 设，
当时，所以在单调递增.
因为，所以所以，故该选项正确；
C. 设单调递增，因为，所以
所以，所以该选项错误；
D. 若,所以设，所以，所以时，单调递增，时，单调递减. 因为，所以，等价于，等价于等价于等价于，设，所以，所以时，，所以在单调递增.所以，所以，所以该选项正确.
【跟踪训练2】已知.
(1)若在定义域内单调递增，求的最小值.
(2)当时，若有两个极值点，求证：.
【答案】(1)(2)证明见解析
【解析】(1)方法一：，取，得，
所以，，时，，
所以取，时，，
，分子随增大而增大，
而，所以当时，单调递减，当时，单调递增，
而，得，符合单调递增，所以.
方法二：，，因为在定义城内单调递增，
所以在上恒成立，
故，设，
若，则当时，，故在上恒成立，这不可能.
若，则在上恒成立，取，则有，故.
若，此时，
令，则为上的减函数，而，
取，则当时，
有，故在上存在唯一零点，
设该零点为，由零点存在定理可得.
故当时，；当时，，
故在为增函数，在上为减函数，故.
所以，因为，故，
所以，其中.
设，，则，
当时，，当时，，
故在为减函数，在为增函数，
故，故即的最小值为.
(2)方法一：当时，，，，
则，令，，
令，下证恒成立，
，设分子为，
，所以在上单调递增，，
所以在上恒大于，即在上恒大于，
所以，取，则，
所以，即.
方法二：当时，，
因为有两个极值点，
所以，即，从而，
令，则，
当时，，当时，，
所以函数在上递增，在上递减，
所以，
又因当时，，当时，，
所以，由对数均值不等式得，从而，
所以.
【对点训练】
一、解答题
1．已知函数.
(1)证明：.
(2)若函数，若存在使，证明：.
2．已知函数（其中e为自然对数的底）
(1)若在上单调递增，求实数a的取值范围；
(2)若，是的极值点且.若，且. 证明：.
3．已知函数．
(1)当时，证明；
(2)若存在极值点，且对任意满足的，都有，求a的取值范围．
4．已知函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)当时，证明：．
5．已知函数
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若，且，证明: .
6．已知函数．
(1)若时，，求的取值范围；
(2)当时，方程有两个不相等的实数根，证明：．
7．已知函数f（x）＝ex（lnx+a）．
(1)若f（x）是增函数，求实数a的取值范围；
(2)若f（x）有两个极值点x1，x2，证明：x1+x2＞2．
8．设函数．
(1)当时，讨论函数的单调性；
(2)设，记，当时，若方程有两个不相等的实根，求证：．
9．已知函数，其中．
(1)若，求的极值：
(2)令函数，若存在，使得，证明：．
10．已知函数.
(1)若是增函数，求实数a的取值范围；
(2)若有两个极值点，，证明：.
11．设函数，已知直线是曲线的一条切线.
(1)求的值，并讨论函数的单调性；
(2)若，其中，证明：.
12．已知函数.
(1)求的极大值；
(2)设、是两个不相等的正数，且，证明：.
13．已知函数.
(1)若有两个零点，的取值范围；
(2)若方程有两个实根、，且，证明：.
14．已知函数（且）．
(1)，求函数在处的切线方程．
(2)讨论函数的单调性；
(3)若函数有两个零点，且，证明：．
15．已知函数有两个不同的零点.
(1)求实数的取值范围；
(2)求证：.
16．已知函数，其中a，b为常数，为自然对数底数，．
(1)当时，若函数，求实数b的取值范围；
(2)当时，若函数有两个极值点，，现有如下三个命题：
①；②；③；
请从①②③中任选一个进行证明．
（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
17．已知函数有两个零点．
(1)求a的取值范围；
(2)设是的两个零点，证明：．
18．已知函数
(1)求证：当时，；
(2)当方程有两个不等实数根时，求证：
19．设函数为的导函数.
(1)求的单调区间；
(2)讨论零点的个数；
(3)若有两个极值点且，证明：.
20．已知函数．
(1)若，证明：；
(2)若有两个不同的零点，求a的取值范围，并证明：．
21．已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)若（为的导函数），方程有两个不等实根、，求证：．
22．已知函数，．
(1)求函数的极值；
(2)若方程有2个不等的实根，，证明：．
23．设函数（）．
(1)当时试讨论函数f(x)的单调性；
(2)设，记，当时，若方程有两个不相等的实根，，证明．
24．已知函数，．
(1)求函数的单调区间和极值；
(2)若存在，且当时，，证明：．
25．已知函数，.
(1)讨论f（x）的单调性；
(2)若时，都有，求实数a的取值范围；
(3)若有不相等的两个正实数，满足，证明：.
26．已知函数.
(1)讨论的单调性.
(2)若函数有两个零点 ，且，证明：.
27．已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)设，为两个不相等的正数，且，证明：.
【参考答案】
1．(1)证明见解析(2)证明见解析
【解析】（1）令，，，
令，解得：；令，解得：，
∴在递增，在递减，则，∴恒成立，即.
（2）∵，，∴，
令，解得：；令，解得：；∴在递增，在递减.
又∵，，，，且，.
要证，即证.∵，∴，
又∵，∴只证即可.令，，
恒成立，
∴在单调递增.又∵，∴，∴，
即，∴.
2．(1)(2)见解析
【解析】（1）因为在上单调递增，所以在恒成立，
所以在恒成立，令，，
①当时，在恒成立，在上单调递增，
所以，所以满足题意.
②当时，令，则.
(i)，所以，在单调递增，
所以，所以满足题意.
（ii），在上单调递减，在上单调递增，
所以，令，，
所以在恒成立，所以在上单调递减，
而，所以不成立.所以实数a的取值范围为：.
（2），，
因为是的极值点，所以满足，
要证明，即证明，
化简得，由于在上单调递减，
且由，，可知.故，
从而可推得，而，
因此.令，
则，
，而，所以，
故单调递增，从而，即，
从而，即证得.
3．(1)证明见解析；(2)
【解析】（1）当时，，定义域为，设，则，所以函数在单调递增，在上单调递减，所以，所以，当且仅当时等号成立，所以，，当且仅当时等号成立，所以，且等号不同时成立，所以；
（2）函数，，若存在极值点，则，所以，所以函数在上单调递减，在上单调递增，由，不妨设，若，则；若，由可得，则，所以，即对恒成立，令，则，则，设，则，，令，，则，，令，则，令，则，当时，令，则，设，所以，所以，所以当时，，单调递增，，单调递增，，单调递增，，单调递减，，，符合题意；当时，，存在，单调递减，，，，单调递增，，，不符合题意；所以，由单调递增可得.
4．(1)单调递增区间：，单调递减区间：(2)证明见解析
【解析】
（1）解：∵，∴，令，得x＝1，当时，，单调递减；当时，，单调递增，故函数的减区间为，增区间为；（2）证明：由（1）知，不妨设，构造函数，，故，故在上单调递减，，∵，∴，又∵，∴，即，∵，∴，，又∵在上单调递增，∴，即，得证．
5．(1)答案见解析(2)证明见解析
【解析】（1） 当时，， ， 所以单调递增；， ， 所以单调递减；当时，， 所以单调递减；， 所以单调递增；
（2）证明： ， ∴ ， 即当时，由（1）可知，此时是的极大值点，因此不妨令要证，即证：①当时，成立；②当时先证此时 要证，即证：，即，即即： ①令 ，∴ ∴在区间上单调递增∴，∴①式得证.∴ ∵， ∴ ∴ ∴
6．(1)(2)证明见解析
【解析】
（1）∵， ，∴，设 ，，当时，令得，当时，，单调递减；当时，，单调递增，∴，与已知矛盾．当时，，∴在上单调递增，∴，满足条件；综上，取值范围是．
（2）证明：当时，，当，，当，，则在区间上单调递增，在区间上单调递减，不妨设，则，要证，只需证，∵在区间上单调递增，∴只需证，∵，∴只需证．设，则，∴在区间上单调递增，∴，∴，即成立，∴．
7．(1)[﹣1，+∞）(2)证明见解析
【解析】（1）函数的定义域为，若f（x）是增函数，即f′（x）≥0对任意x＞0恒成立，故恒成立，设，则，所以当0＜x＜1时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，当x＞1时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，所以当x＝1时，g（x）min＝g（1）＝a+1，由a+1≥0得a≥﹣1，所以a的取值范围是[﹣1，+∞）．
（2）不妨设0＜x1＜x2，因为x1，x2是f（x）的两个极值点，所以，即，同理，故x1，x2是函数的两个零点，即g（x1）＝g（x2）＝0，由（1）知，g（x）min＝g（1）＝a+1＜0，故应有a∈（﹣∞，﹣1），且0＜x1＜1＜x2，要证明x1+x2＞2，只需证x2＞2﹣x1，只需证g（x2）﹣g（2﹣x1）＝g（x1）﹣g（2﹣x1），设，则，所以h（x）在（0，1）上单调递减，因为x1∈（0，1），所以h（x1）＞h（1）＝0，即g（x2）﹣g（2﹣x1）＞0，g（x2）＞g（2﹣x1），又x2＞1，2﹣x1＞1，及g（x）在（1，+∞）上单调递增，所以x2＞2﹣x1成立，即x1+x2＞2成立．
8．(1)答案见解析；(2)证明见解析.
【解析】（1）的定义域为，.令，则得到导函数的两个零点，或，由于分母为正，故我们只关注分子函数，其为二次函数，借助其图像，以两个零点的大小关系为分类标准得到如下：①当时，即时，当时，，单调递减，当时，，单调递增；②当时，即时，恒成立，即恒成立，故在上单调递增；综上所述，当时，的单减区间为，单增区间为；当时，只有单增区间；
（2）由题可知，，设是方程的两个不等实根，不妨设为，则，两式相减整理得到，从而得到，要证，故只需要证明，由于，转化为，即，即，令，则上述式子转化为设，则，当且仅当时等号成立，故在上单调递增，故有，故得证，即.
9．(1)极小值为，无极大值.(2)证明见解析
【解析】(1)解：当时，，
所以，当时，，，所以，
当时，，，所以，
所以在上单调递减，在上单调递增，所以的极小值为，无极大值.
(2)证明：，令，则上述函数变形为，
对于，，则，即在上单调递增，
所以若存在，使得，则存在对应的、，
使得，
对于，则，因为，所以当时，当时，
即在上单调递减，在上单调递增，所以为函数的唯一极小值点，
所以，则，
令，则，
所以在上单调递减，所以，
即，又，所以，
又的单调性可知，即有成立，所以.
10．(1)(2)证明见解析
【解析】(1)解：函数的定义域为，，
若是增函数，即对任意恒成立，故恒成立，
设，则，
所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以当时，，由得，所以a的取值范围是.
(2)解：不妨设，因为，是的两个极值点，
所以，即，同理，
故，是函数的两个零点，即，
由（1）知，，故应有，且，
要证明，只需证，
只需证
，
设，，
则，
所以在上单调递减，因为，所以，
即，，
又，，及在上单调递增，所以成立，即成立.
11．(1)；在上单调递减，在上单调递增(2)证明见解析.
【解析】(1)设直线与曲线相切于点，
，；
又，，即；
设，则，在上单调递增，
又，有唯一零点，，，解得：；
，，则当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增.
(2)由（1）知：；
当时，；当时，，；要证，只需证；
在上单调递减，只需证，
又，则只需证对任意恒成立；
设，
；
设，则，
在上单调递减，，
又当时，，，
在上单调递增，，
即在时恒成立，又，，原不等式得证.
12．(1)(2)证明见解析
【解析】(1)解：因为的定义域为，，
当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减，所以，函数的极大值为.
(2)证明：因为，则，即，
由（1）知，函数在上单调递增，在上单调递减，
因为、是两个不相等的正数，且满足，不妨设，
构造函数，则，
令，则.
当时，，则，此时函数单调递减，
当时，，则，此时函数单调递减，
又因为函数在上连续，故函数在上单调递减，
当时，，即，故函数在上为增函数，
故，所以，，
且，函数在上为减函数，故，则.
13．(1)(2)证明见解析
【解析】(1)解：函数的定义域为.当时，函数无零点，不合乎题意，所以，，由可得，
构造函数，其中，所以，直线与函数的图象有两个交点，
，由可得，列表如下：
增 极大值 减
所以，函数的极大值为，如下图所示：
且当时，，
由图可知，当时，即当时，直线与函数的图象有两个交点，
故实数的取值范围是.
(2)证明：因为，则，
令，其中，则有，
，所以，函数在上单调递增，
因为方程有两个实根、，令，，
则关于的方程也有两个实根、，且，
要证，即证，即证，即证，
由已知，所以，，整理可得，
不妨设，即证，即证，
令，即证，其中，
构造函数，其中，
，所以，函数在上单调递增，
当时，，故原不等式成立.
14．(1)；(2)答案见解析；(3)证明见解析.
【解析】(1)当时，，所以.，所以.
所以函数在处的切线方程为，即.
(2)的定义域为(0，+∞)， .
当a<0时， 恒成立，所以在(0，+∞)上单调递减；
当a>0时， .在上，，所以单调递减；在上，，所以单调递增.
(3)当，.由(2)知， 在上单调递减，在上单调递增.
由题意可得：.由及得：.
欲证x1+x2>2e，只要x1>2e- x2，注意到f(x)在(0，e)上单调递减，且f(x1)=0，只要证明f(2e- x2)>0即可.由得 .所以
令则，则g(t)在(e，2e)上是递增的，∴g(t)>g(e)=0即f(2e- x2)>0.
综上x1+x2>2e.
15．(1)(2)证明见解析
【解析】(1)定义域为，
，所以在上单调递减.
，所以在上单调递增，
所以在处取得极小值，也是最小值，
又，所以先保证必要条件成立，即满足题意.
当时，易知，；
由以上可知，当时，有两个不同的零点.
(2)由题意，假设，要证明，只需证明.只需证，又.即只需证，构造函数.
，所以在单调递减.
，即成立，即
所以原命题成立.
16．(1)(2)证明见解析
【解析】(1)当时，，
当时，因为，所以此时不合题意；
当时，当时，，单调递减，
当时，，单调递增，所以，
要，只需，令，则，
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
所以，则由得，
所以，故实数b的取值范围为．
(2)当时，，，
令，则，
因为函数有两个极值点，，所以有两个零点，
若，则，单调递增，不可能有两个零点，所以，
令得，当时，，单调递减；
当时，，单调递增；所以，
因为有两个零点，所以，则，
设，因为，，则，
因为，所以，，
则，取对数得，
令，，则，即
①令，则，因为，所以在上单调递减，在上单调递增，令，
则，在上单调递减，
因为，所以，即，亦即，
因为，，在上单调递增，所以，
则，整理得，所以，故①成立
②令，则，
因为，所以在上单调递减，在上单调递增，
令，则，在上单调递增，
又，所以当时，，即，
因为，，在上单调递增，所以，
所以，即，所以，
即，故②成立．
③令，，则，
令，则，
∴在上单调递增，则，
∴，则，
两边约去后化简整理得，即，故③成立．
17．(1)；(2)证明见解析.
【解析】(1)解：由，得，
设，则，，
因为，所以当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增．
又因为，所以，
，
，所以a的取值范围是．
(2)证明：不妨设，
由（1）知，则，，，
又在上单调递增，所以等价于，即．
设，则．
设，则，
设，则，当时，，单调递减，
当时，，单调递增，又因为，，，
所以存在，使得，当时，，即，
当时，，即，
所以在上单调递减，在上单调递增．
又因为，，
所以当时，，当时，，
所以当时，，单调递减，
因为，所以，
所以，即原命题得证．
18．(1)证明见解析(2)证明见解析
【解析】(1)证明：令，因为，
所以在上单调递增，所以，
即当时，.
(2)证明：由，得，
易知在单调递减，在单调递增，所以.
因为方程有两个不等实根，所以.不妨设.
由（1）知，当时，；当时，.
方程可化为.
所以，整理得.①
同理由，整理得.②
由①②，得.又因为所以.
法二：由，得，
易知在单调递减，在单调递增，所以.
因为方程有两个不等实根，所以.不妨设.
要证，只要证，只要证：.
因为在上单调递增，只要证：.
令，只要证，恒成立.
因为，
令，则，
故在上单调递增，，所以，
所以在上单调递减，所以，故原结论得证.
19．(1)单调递增区间为，单调递减区间为．(2)答案见解析(3)证明见解析
【解析】
(1)解：因为， 所以．
即，，则．
当时，，单调递增；当时，，单调递减．
所以的单调递增区间为，的单调递减区间为．
(2)解：由（1）得，． 当时，，则在上无零点．
当时，，则在上有一个零点．
当时，，因为，，，
所以，，，故在上有两个零点．
综上，当时，在上无零点；当时，在上有一个零点；
当时，在上有两个零点．
(3)证明：由（2）及有两个极值点，且，
可得， 在上有两个零点，且．
所以，
两式相减得，即．
因为，所以．
下面证明，即证．
令，则即证．
令，，则，
所以在上单调递增，所以，
故． 又，
所以，故．
20．(1)证明见详解；(2)证明见详解．
【解析】(1)当时，，定义域为
令，则
当时，；当时，；
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
故，所以，得；
(2)因为有两个不同的零点，则在定义域内不单调；
由
当时，在恒成立，则在上单调递减，不符合题意；
当时，在上有，在上有，
所以在上单调递增，在上单调递减．不妨设
令则
当时，，则在上单调递增
所以故，因为
所以，又，
则，又在上单调递减，所以，则．
21．(1)(2)证明见解析
【解析】(1)解：因为，则，所以，，，
所以，曲线在点处的切线方程为，即.
(2)证明：因为，，所以．
因为为增函数，所以在上单调递减，在上单调递增．
由方程有两个不等实根、，则可设，
欲证，即证，
即证，而，即，
即，
设，其中，
则，设，
则，所以，函数在上单调递增，
所以，所以在上单调递减，
所以，即，故得证．
22．(1)极小值为，没有极大值；(2)证明见解析.
【解析】(1)解：的定义域是，，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
所以当时，有极小值，极小值为，没有极大值；
(2)证明：由（1）知在上单减，在上单增，不妨设，
令，，因为，
所以，当时，，单调递减；
所以在上单调递减，所以，即当时，，
由题意，，，且在上单调递增，
所以，即．
23．(1)时，的单调递增区间为，无单调递减区间；
时，的单调递增区间为，单调递减区间为.(2)证明见解析
【解析】(1)函数的定义域为，即
①时，，即在上单调递增；
②时，令，解得（舍去），；
当时，，即在上单调递减；
当时，，即在上单调递增；
综上所述：时，的单调递增区间为，无单调递减区间；
时，的单调递增区间为，单调递减区间为.
(2)证明：由题可知，（），
则，
，；则证，
又令（），则，
所以函数在上单调递增，即在上单调递增；
所以；
设，是方程的两个不相等的实数根，不妨设，
则，两式相减整理，得，
即，所以，
则有，又因为,
所以，
即，即，
令，设（），则，
所以在上单调递增，即，
所以当时，即得证；从而得证.
24．(1)答案见解析(2)证明见解析
【解析】(1)，且定义域为；
当时，，的单调递增区间为，无单调递减区间和极值；
当时，令，解得：，当时，；当时，；
的单调递减区间为；单调递增区间为；
的极小值为，无极大值；
综上所述：当时，的单调递增区间为，无单调递减区间和极值；当时，的单调递减区间为；单调递增区间为；极小值为，无极大值.
(2)不妨设，由得：；
设，则，
在上单调递增，，即，
，；
设，则，
在上单调递减，，
，，，
，，
即，.
25．(1)当时，在单调递增，在单调递减；
当时，在单调递增；
当时，在单调递减，在单调递增.
(2)(3)证明详见解析
【解析】(1)解：因为，定义域为，.
①当时，令，解得
即当时，，单调递增，当时，，单调递减；
②当时，在单调递增；
③当时令，解得，
即当时，，单调递减，当时，，单调递增；
综上：当时，在单调递增，在单调递减；
当时，在单调递增；当时，在单调递减，在单调递增.
(2)若时，都有，即，恒成立.
令，则，，
令，所以，当时，
，单调递增，，
所以，在单调递减，所以=，所以
(3)原式可整理为，
令，原式为，
由（1）知，在单调递增，在单调递减，
则为两根，其中，不妨令，
要证，即证，，只需证，
令，，，
令，则，，单调递增，
，，单调递减.又，故
，所以恒成立，即成立，
所以，原式得证.
26．(1)答案见解析(2)证明见解析
【解析】(1)解：函数的定义域为，.
①当时，令，得，则在上单调递减；
令，得，则在上单调递增.
②当时，令，得，则在上单调递减；
令，得，则在上单调递增.
综上所述，当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
(2)证明：因为为的两个零点，所以，，
两式相减，可得，即，，
因此，，.令，则，
令，则，
所以函数在上单调递增，所以，即.
因为，所以，故得证.
27．(1)递增区间为，递减区间为(2)证明见解析
【解析】(1)解：函数的定义域为，又，
当时，，当时，，
故的递增区间为，递减区间为
(2)解：因为，故，
即，故，设，则，
不妨设，由（1）可知原命题等价于：已知，证明： .
证明如下：若，恒成立； 若， 即 时，
要证：，即证，而，即证，
即证：，其中 设，，
则，
因为，故，故，
所以，故在为增函数，所以，
故，即成立，
所以成立，综上，成立.

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