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2023届高考数学微专题讲义之导数小题
题型分类
题型一：导数与切线方程
例1．（2019·全国·高考真题（理））已知曲线在点处的切线方程为，则（ ）
A． B． C． D．
例2．（2019·全国·高考真题（文））曲线y=2sinx+cosx在点(π，–1)处的切线方程为
A． B．
C． D．
题型二：导数与最值和极值
例1．（2022·全国·高考真题（理））当时，函数取得最大值，则（ ）
A． B． C． D．1
例2．（2021·全国·高考真题（理））设，若为函数的极大值点，则（ ）
A． B． C． D．
题型三：构造函数解决问题
例1．（2015·全国·高考真题（理））设函数是奇函数（）的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是
A． B．
C． D．
例2（2022·全国·高考真题（理））已知，则（ ）
A． B． C． D．
题型四：导数与函数零点
例1．（2017·全国·高考真题（理））已知函数有唯一零点，则（ ）
A． B． C． D．1
例2．（2014·全国·高考真题（文））已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是
A． B． C． D．
二、真题演练
1．（2021·全国·高考真题）若过点可以作曲线的两条切线，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2020·全国·高考真题（理））若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切，则l的方程为（ ）
A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y=x+1 D．y=x+
3．（2019·天津·高考真题（理））已知，设函数若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为
A． B． C． D．
4．（2022·全国·高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2011·辽宁·高考真题（文））函数的定义域为，，对任意，，则的解集为（ ）
A． B． C． D．
6．（2013·全国·高考真题（文））已知函数，若，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·全国·高考真题（文））函数在区间的最小值、最大值分别为（ ）
A． B． C． D．
8．（2012·全国·高考真题（理））设点在曲线上，点在曲线上，则最小值为
A． B． C． D．
9．（2015·全国·高考真题（理））设函数，其中 ，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．（2013·全国·高考真题（文））已知函数f(x)=,下列结论中错误的是
A．, f()=0
B．函数y=f(x)的图像是中心对称图形
C．若是f(x)的极小值点，则f(x)在区间（-∞, ）单调递减
D．若是f（x）的极值点，则 ()=0
11．（2013·辽宁·高考真题（理））设函数满足则时，
A．有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值
C．既有极大值又有极小值 D．既无极大值也无极小值
12．（2015·陕西·高考真题（理））对二次函数（为非零整数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结
论是错误的，则错误的结论是
A．是的零点 B．1是的极值点
C．3是的极值 D．点在曲线上2023届高考数学微专题讲义之导数小题
题型分类
题型一：导数与切线方程
例1．（2019·全国·高考真题（理））已知曲线在点处的切线方程为，则（ ）
A． B． C． D．
例2．（2019·全国·高考真题（文））曲线y=2sinx+cosx在点(π，–1)处的切线方程为
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先判定点是否为切点，再利用导数的几何意义求解.
【详解】当时，，即点在曲线上．则在点处的切线方程为，即．故选C．
【点睛】本题考查利用导数工具研究曲线的切线方程，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取导数法，利用函数与方程思想解题．学生易在非切点处直接求导数而出错，首先证明已知点是否为切点，若是切点，可以直接利用导数求解；若不是切点，设出切点，再求导，然后列出切线方程．
题型二：导数与最值和极值
例1．（2022·全国·高考真题（理））当时，函数取得最大值，则（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【分析】根据题意可知，即可解得，再根据即可解出．
【详解】因为函数定义域为，所以依题可知，，，而，所以，即，所以，因此函数在上递增，在上递减，时取最大值，满足题意，即有．
故选：B.
例2．（2021·全国·高考真题（理））设，若为函数的极大值点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先考虑函数的零点情况，注意零点左右附近函数值是否变号，结合极大值点的性质，对进行分类讨论，画出图象，即可得到所满足的关系，由此确定正确选项.
【详解】若，则为单调函数，无极值点，不符合题意，故.
有和两个不同零点，且在左右附近是不变号，在左右附近是变号的.依题意，为函数的极大值点，在左右附近都是小于零的.
当时，由，，画出的图象如下图所示：
由图可知，，故.
当时，由时，，画出的图象如下图所示：
由图可知，，故.
综上所述，成立.
故选：D
【点睛】本小题主要考查三次函数的图象与性质，利用数形结合的数学思想方法可以快速解答.
题型三：构造函数解决问题
例1．（2015·全国·高考真题（理））设函数是奇函数（）的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】构造新函数,，当时.
所以在上单减，又，即.
所以可得,此时，
又为奇函数，所以在上的解集为：.
故选A.
点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，需要构造函数，例如，想到构造.一般：（1）条件含有，就构造,（2）若，就构造，（3），就构造，（4）就构造，等便于给出导数时联想构造函数.
例2（2022·全国·高考真题（理））已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由结合三角函数的性质可得；构造函数，利用导数可得，即可得解.
【详解】因为,因为当
所以,即,所以；
设，
，所以在单调递增，
则,所以，
所以,所以，
故选：A
题型四：导数与函数零点
例1．（2017·全国·高考真题（理））已知函数有唯一零点，则（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【详解】因为，设，则
，因为，所以函数为偶函数，若函数有唯一零点，则函数有唯一零点，根据偶函数的性质可知，只有当时，才满足题意，即是函数的唯一零点，所以，解得.故选：C.
【点睛】利用函数零点的情况求参数的值或取值范围的方法：
（1）利用零点存在性定理构建不等式求解.
（2）分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.
（3）转化为两个熟悉的函数图像的上、下关系问题，从而构建不等式求解.
例2．（2014·全国·高考真题（文））已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】试题分析：当时，，函数有两个零点和，不满足题意，舍去；当时，，令，得或．时，；时，；时，，且，此时在必有零点，故不满足题意，舍去；当时，时，；时，；时，，且，要使得存在唯一的零点，且，只需，即，则，选C．
考点：1、函数的零点；2、利用导数求函数的极值；3、利用导数判断函数的单调性．
二、真题演练
1．（2021·全国·高考真题）若过点可以作曲线的两条切线，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】解法一：根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形确定结果；
解法二：画出曲线的图象，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线.
【详解】在曲线上任取一点，对函数求导得，
所以，曲线在点处的切线方程为，即，
由题意可知，点在直线上，可得，
令，则.
当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减，
所以，，
由题意可知，直线与曲线的图象有两个交点，则，
当时，，当时，，作出函数的图象如下图所示：
由图可知，当时，直线与曲线的图象有两个交点.
故选：D.
解法二：画出函数曲线的图象如图所示，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线.由此可知.
故选：D.
【点睛】解法一是严格的证明求解方法，其中的极限处理在中学知识范围内需要用到指数函数的增长特性进行估计，解法二是根据基于对指数函数的图象的清晰的理解与认识的基础上，直观解决问题的有效方法.
2．（2020·全国·高考真题（理））若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切，则l的方程为（ ）
A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y=x+1 D．y=x+
【答案】D
【分析】根据导数的几何意义设出直线的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案.
【详解】设直线在曲线上的切点为，则，
函数的导数为，则直线的斜率，
设直线的方程为，即，
由于直线与圆相切，则，
两边平方并整理得，解得，（舍），
则直线的方程为，即.
故选：D.
【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用以及直线与圆的位置的应用，属于中档题.
3．（2019·天津·高考真题（理））已知，设函数若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】先判断时，在上恒成立；若在上恒成立，转化为在上恒成立．
【详解】∵，即，
（1）当时，，
当时，，
故当时，在上恒成立；
若在上恒成立，即在上恒成立，
令，则，
当函数单增，当函数单减，
故，所以．当时，在上恒成立；
综上可知，的取值范围是，
故选C．
【点睛】本题考查分段函数的最值问题，关键利用求导的方法研究函数的单调性，进行综合分析．
4．（2022·全国·高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设正四棱锥的高为，由球的截面性质列方程求出正四棱锥的底面边长与高的关系，由此确定正四棱锥体积的取值范围.
【详解】∵ 球的体积为，所以球的半径,
设正四棱锥的底面边长为，高为，
则，,
所以，
所以正四棱锥的体积，
所以，
当时，，当时，，
所以当时，正四棱锥的体积取最大值，最大值为，
又时，，时，,
所以正四棱锥的体积的最小值为，
所以该正四棱锥体积的取值范围是.
故选：C.
5．（2011·辽宁·高考真题（文））函数的定义域为，，对任意，，则的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】构造函数，利用导数判断出函数在上的单调性，将不等式转化为，利用函数的单调性即可求解.
【详解】依题意可设，所以.
所以函数在上单调递增，又因为.
所以要使，即，只需要，故选B.
【点睛】本题考查利用函数的单调性解不等式，解题的关键就是利用导数不等式的结构构造新函数来解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
6．（2013·全国·高考真题（文））已知函数，若，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】作出函数的图像，和函数的图像，结合图像可知直线介于与轴之间，利用导数求出直线的斜率，数形结合即可求解.
【详解】由题意可作出函数的图像，和函数的图像.

由图像可知：函数的图像是过原点的直线，
当直线介于与轴之间符合题意，
直线为曲线的切线，且此时函数在第二象限的部分的解析式为
，
求其导数可得，因为，故，
故直线的斜率为，
故只需直线的斜率.
故选：D
【点睛】本题考查了不等式恒成立求出参数取值范围，考查了数形结合的思想，属于中档题.
7．（2022·全国·高考真题（文））函数在区间的最小值、最大值分别为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用导数求得的单调区间，从而判断出在区间上的最小值和最大值.
【详解】，
所以在区间和上，即单调递增；
在区间上，即单调递减，
又，，，
所以在区间上的最小值为，最大值为.
故选：D
8．（2012·全国·高考真题（理））设点在曲线上，点在曲线上，则最小值为
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题意知函数y＝ex与y＝ln(2x)互为反函数，其图象关于直线y＝x对称，两曲线上点之间的最小距离就是y＝x与y＝ex上点的最小距离的2倍．设y＝ex上点(x0，y0)处的切线与直线y＝x平行．则，∴x0＝ln 2，y0＝1，
∴点(x0，y0)到y＝x的距离为＝(1－ln 2)，
则|PQ|的最小值为(1－ln 2)×2＝(1－ln 2)．
9．（2015·全国·高考真题（理））设函数，其中 ，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设，，问题转化为存在唯一的整数使得满足，求导可得出函数的极值，数形结合可得且，由此可得出实数的取值范围.
【详解】设，，
由题意知，函数在直线下方的图象中只有一个点的横坐标为整数，
，当时，；当时，.
所以，函数的最小值为.
又，.
直线恒过定点且斜率为，
故且，解得，故选D.
【点睛】本题考查导数与极值，涉及数形结合思想转化，属于中等题.
10．（2013·全国·高考真题（文））已知函数f(x)=,下列结论中错误的是
A．, f()=0
B．函数y=f(x)的图像是中心对称图形
C．若是f(x)的极小值点，则f(x)在区间（-∞, ）单调递减
D．若是f（x）的极值点，则 ()=0
【答案】C
【详解】试题分析：由于三次函数的三次项系数为正值，当x→－∞时，函数值→－∞，当x→＋∞时，函数值也→＋∞，又三次函数的图象是连续不断的，故一定穿过x轴，即一定 x0∈R，f(x0)＝0，选项A中的结论正确；函数f(x)的解析式可以通过配方的方法化为形如(x＋m)3＋n(x＋m)＋h的形式，通过平移函数图象，函数的解析式可以化为y＝x3＋nx的形式，这是一个奇函数，其图象关于坐标原点对称，故函数f(x)的图象是中心对称图形，选项B中的结论正确；由于三次函数的三次项系数为正值，故函数如果存在极值点x1，x2，则极小值点x2＞x1，即函数在－∞到极小值点的区间上是先递增后递减的，所以选项C中的结论错误；根据导数与极值的关系，显然选项D中的结论正确.
考点：函数的零点、对称性、单调性、极值．
11．（2013·辽宁·高考真题（理））设函数满足则时，
A．有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值
C．既有极大值又有极小值 D．既无极大值也无极小值
【答案】D
【详解】函数满足，
，令，
则，
由，得，令，
则
在上单调递减，在上单调递增，
的最小值为.
又在单调递增，
既无极大值也无极小值，故选D.
考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、利用导数研究函数的极值及函数的求导法则.
【方法点睛】本题主要考察抽象函数的单调性以及函数的求导法则，属于难题.求解这类问题一定要耐心读题、读懂题，通过对问题的条件和结论进行类比、联想、抽象、概括，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.本题通过观察导函数的“形状”，联想到函数，再结合条件判断出其单调性，进而得出正确结论.
12．（2015·陕西·高考真题（理））对二次函数（为非零整数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结
论是错误的，则错误的结论是
A．是的零点 B．1是的极值点
C．3是的极值 D．点在曲线上
【答案】A
【详解】若选项A错误时，选项B、C、D正确，，因为是的极值点，是的极值，所以，即，解得：，因为点在曲线上，所以，即，解得：，所以，，所以，因为，所以不是的零点，所以选项A错误，选项B、C、D正确，故选A．
【考点定位】1、函数的零点；2、利用导数研究函数的极值．

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