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立体几何1：平行证明（非建系）题型归类
目录
【题型一】平行证明1:移线进面法（平行四边形法） 2
【题型二】 平行证明2:三角形中位线以及等比分点 7
【题型三】 平行证明3：构造平面法 10
【题型四】 平行证明4：面面平行 13
【题型五】 平行证明5：线面平行的探索性问题 16
【题型六】 平行证明6：面面平行的探索性问题 20
【题型七】 平行证明7：其它平行问题例举 23
【题型一】平行证明1:移线进面法（平行四边形法）
【典例分析】
如图，在正方体中，E，F分别是，CD的中点．
（1）求证：平面；
2.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥底面ABCD，，，，E是PB的中点.（1）求证：平面PAD；
3.如图，在四棱锥中，面，，且，，，，，为的中点．
（1）求证：平面；
4 如图，圆锥的顶点为P，底面圆心为O，点B、C、D在底面圆周上，∥，，，M为线段OD上一点，，A为PC的中点.
(1)证明：∥平面POB；
5 （江苏省无锡市天一中学2021-2022学年高一下学期期中数学试题）如图所示，在四棱锥中，平面，E是的中点.
(1)求证：//平面
(2)求证：//平面.
6．（湖北省重点高中智学联盟2021-2022学年高一下学期5月联考数学试题）如图所示，在直三棱柱ABC-，△ABC是边长为4的等边三角形，D、E、F分别为棱、、的中点，点P在棱BC上，且
证明：AP∥平面DCE；
7（重庆市三峡名校联盟2021-2022学年高一下学期5月联考数学试题）已知如图，在直三棱柱中，是边长为2的正三角形，点，分别是棱，上的点，点是上一动点，.
(1)若为线段的中点，证明：平面；
【提分秘籍】
基本规律：利用平移做出平行四边形--注意上课时特别强调的点平移的思想和方法。平移规律必须按照要求来。其次保持训练，每日一题。。坚持。。。。
【变式演练】
1．（2020·北京市十一学校高三月考）如图，在三棱柱中，底面，，，，是棱上一点. 若，分别是，的中点，求证：平面.
2．（2020·北京铁路二中高三期中）如图，四棱锥的底面为正方形，侧面底面．为等腰直角三角形，且．，分别为底边和侧棱的中点．求证：平面.
3．（2022·北京东城·高三专题练习）如图，在四棱锥中，，，为棱的中点，，．求证：平面.
5．（2019·北京西城·高三期末）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面B1BCC1是正方形，M，N分别是A1B1，AC的中点，AB⊥平面BCM．求证：A1N∥平面BCM.
6．（2020·北京市延庆区教委模拟预测）如图，在三棱柱中，平面，，，，点，分别在棱和棱上，且，，为棱的中点．求证：平面.
7．（2020·北京市第三中学高三期中）如图，在多面体中，梯形与平行四边形所在平面互相垂直， ，，，，.求证：平面.
【题型二】 平行证明2:三角形中位线以及等比分点
【典例分析】
（福建省三明市四地四校2021-2022学年高一下学期期中联考数学试题）如图所示，在正方体中，为中点.
(1)求证：平面；
2．（2021·北京·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，为正三角形，且侧面底面，为的中点. 求证：平面.
3.（河北省邢台市卓越联盟2021-2022学年高一下学期第三次月考数学试题）如图，在三棱柱中，侧棱底面ABC，AB⊥BC，D为AC的中点．，BC＝6．求证：平面；
（重庆市二0三中学校2021-2022学年高一下学期第二次月考数学试题）如图，已知长方体中，，点E是的中点.
(1)求证：平面；
（江苏省无锡外国语学校2020-2021学年高一下学期3月第一次月考数学试题）如图，在几何体 ABCDEF中，四边形ABCD为平行四边形，G为FC的中点，平面ABFE∩平面CDEF=EF
(1)证明:AF//平面BDG
(2)证明:AB//EF
如图，四棱锥中，侧面底面，底面为梯形，，且，.交于点，为的重心.
（1）求证：平面；
如图，三棱台，平面平面，侧面是等腰梯形，, 分别是的中点.
（1）求证：平面；
8. 如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，M为PB上靠近B的三等分点.（1）求证：平面ACM；
【提分秘籍】
基本规律：该模型特征明显，线，面以及面后面的一个点，重点在于找到这个三角形的点。。。
在这里画下这个模型图：
后续这部分留空上课补充。。
【变式演练】（略）
【题型三】 平行证明3：构造平面法
【典例分析】
在四棱锥中，，.
（1）若E为PC的中点，求证：平面PAD.
2. （河南省实验中学2021-2022学年高一下学期期期中考试数学试题）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点．
(1)证明：MN∥平面PAB；
3. 如图，AD//BC且AD＝2BC，AD⊥CD，EG//AD且，且，DG⊥平面ABCD，，若M为的中点，N为的中点，求证：MN//平面．
（河北省唐山市滦南县第一中学2020-2021学年高一下学期期中数学试题）在三棱锥中，O，E，F，分别是线段AC，AD，BD的中点，G是OC中点.求证：平面BOE.
如图，C，D分别是以AB为直径的半圆O上的点，满足，△PAB为等边三角形，且与半圆O所成二面角的大小为90°，E为PA的中点.
求：DE//平面PBC；
在四棱锥中，，.
若E为PC的中点，求证：平面PAD.
如图所示的四棱锥的底面是一个等腰梯形，，且，是△的中线，点E是棱的中点．
（1）证明：∥平面．
【提分秘籍】
基本规律：
【变式演练】
【题型四】 平行证明4：面面平行
【典例分析】
（广东省广州市仲元中学2021-2022学年高一下学期期中数学试题）在正方体中，E、F分别是棱和棱的中点．
(1)求证：平面平面；
(2)试问平面截正方体所得的截面是什么图形？并说明理由．
2. （新疆乌苏市第一中学2021-2022学年高一下学期期中考试数学试题）如图，在正方体中，E，F，H，G分别是棱，，，的中点.求证：平面平面.
3.（宁夏吴忠市吴忠中学2021-2022学年高一下学期期中考试数学试题）如图，长方体的底面是边长为的正方形，高为，分别是的中点．
(1)求三棱锥的体积；
(2)求证：平面平面．
4. （湖南省长沙市明德中学2021-2022学年高一下学期期中数学试题）已知正方体ABCD A1B1C1D1，O1为底面A1B1C1D1的中心．求证：
(1)平面AB1D1//平面C1BD；
(2)求直线D1A与BA1所成角．
5. 如图所示，在三棱柱中，分别是的中点，
求证：（1）四点共面； （2）平面平面．
6.如图，在圆柱中，，分别是上、下底面圆的直径，且，，分别是圆柱轴截面上的母线.
（1）若，圆柱的母线长等于底面圆的直径，求圆柱的表面积.
（2）证明：平面平面.
7.如图①，在梯形中，AB∥PC，△ABC与△PAC均为等腰直角三角形，＝90°，，D，E分别为PA，PC的中点．将△PDE沿DE折起，使点P到点P的位置（如图②），为线段的中点．在图②中解决以下两个问题：
（1）求证：平面GAC∥平面；
（2）若直线PA与平面PABC所成的角为30°时，求三棱锥P－ACG的体积．
【提分秘籍】
基本规律：
【变式演练】
【题型五】 平行证明5：线面平行的探索性问题
【典例分析】
（河南省鹤壁市浚县浚县第一中学2021-2022学年高一下学期4月月考数学试题） 如图所示正四棱锥，，P为侧棱上的点．且，求：
(1)正四棱锥的表面积；
(2)侧棱上是否存在一点E，使得平面．若存在，求的值；
2. （山东省淄博市2021-2022学年高一下学期期中数学试题）如图所示，正四棱锥P—ABCD的各棱长均为13，M为PA上的点，且PM∶MA=5∶8.
(1)在线段BD上是否存在一点N，使直线MN平面PBC？如果存在，求出BN∶ND的值，如果不存在，请说明理由；
(2)假设存在满足条件（1）的N点，求线段MN的长.
3. （湖北省重点高中智学联盟2021-2022学年高一下学期5月联考数学试题）如图，在四棱锥中，四边形ABCD是平行四边形，点E，F，G分别为线段BC，PB，AD的中点.
(1)证明：EF//平面PGC；
(2)在线段BD上找一点H，使得FH//平面PGC，并说明理由.
（山西省晋中市新大陆双语学校2021-2022学年高一下学期5月月考数学试题）在正三棱锥中，O，E，F分别是线段AC，AD，BD的中点，G是OC的中点，且.
(1)在BC上是否存在一点H？使得平面平面BOE；
(2)若点M是FG的靠近点F的三等分点，求三棱锥的体积.
5. 在四棱锥中，底面是菱形，.
（Ⅰ）若，求证：平面；
（Ⅱ）若平面平面，求证：；
（Ⅲ）在棱上是否存在点（异于点）使得平面，若存在，求的值；若不存在，说明理由.
6.如图所示四棱锥中，底面，四边形中，，，，．
求四棱锥的体积；
求证：平面；
在棱上是否存在点异于点，使得平面，若存在，求的值；若不存在，说明理由．
7.如图，矩形和菱形所在平面互相垂直，已知，点是线段的中点.
（1）求证：；
（2）试问在线段上是否存在点，使得直线平面？若存在，请证明平面，并求出的值；若不存在，请说明理由.
【提分秘籍】
基本规律：
【变式演练】
【题型六】 平行证明6：面面平行的探索性问题
【典例分析】
已知正四棱锥的各条棱长都相等，且点分别是的中点.
（1）求证:；
（2）在上是否存在点，使平面平面，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
在正方体中，、分别为、的中点，，，如图.
（1）若交平面于点，证明：、、三点共线；
（2）线段上是否存在点，使得平面平面，若存在确定的位置，若不存在说明理由.
如图，在四棱锥中，已知底面为矩形，平面,点为棱的中点.
（1）求证：平面
（2）直线上是否存在一点，使平面平面？ 若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由.
（江苏省无锡市天一中学2021-2022学年高一下学期期中数学试题）如图，在四棱柱中，点M是线段上的一个动点，E，F分别是的中点.
(1)设G为棱上的一点，问：当G在什么位置时，平面平面？
(2)设三棱锥的体积为，四棱柱的体积为，求.
5. （湖北省问津联合体2021-2022学年高一下学期5月质量检测数学试题）如图，在四棱锥中，底面四边形是平行四边形，分别为棱的中点.
(1)证明：平面；
(2)在底面四边形内部（包括边界）是否存在点，使得平面平面？如果存在求点的位置，并求的最大值，如果不存在请说明理由.
（广东省广州市海珠外国语实验中学2021-2022学年高一下学期期中数学试题）如图，在正方体中，点E，F，M分别是棱的中点.
(1)求证：E、M、B、D四点共面；
(2)是否存在过点E，M且与平面平行的平面 若存在，请作出这个平面并证明，若不存在，请说明理由.
7. （山西省大同市第二中学校2021-2022学年高一下学期期中数学试题） 如图，在正方体中，E为的中点．
(1)求证：∥平面；
(2)上是否存在一点，使得平面∥平面，若存在请说明理由．
【提分秘籍】
基本规律：
【变式演练】
【题型七】 平行证明7：其它平行问题例举
【典例分析】
（福建省厦门外国语学校2021-2022学年高一下学期期中考试数学试题）如图，正方形ABCD为圆柱的轴截面，EF是圆柱上异于AD，BC的母线．
(1)请作出平面BDE与圆所在平面的交线l，并判断l与平面BEF的位置关系，要求说明作法及理由；
(2)M，N分别是DE，BF的中点，证明：平面ABE．
2. （黑龙江省双鸭山市集贤县2021-2022学年高一下学期期中考试数学试题）如图，在直三棱柱中，M为线段上的点.
(1)记平面ACM与平面的交线为l，证明：；
(2)在答题卡原图画出交线l并写出作图过程.
3. （福建省漳州第三中学2021-2022学年高一下学期期中考试数学试题）如图所示，已知四边形ABCD是正方形，四边形ACEF是矩形，M是线段EF的中点．
(1)求证：平面BDE；
(2)若平面平面，平面平面，试分析l与m的位置关系，并证明你的结论．
4.如图所示，已知点P是平行四边形所在平面外一点，M，N，Q分别，，的中点，平面平面．
(1)证明平面平面；
(2)求证：．
5. （福建省安溪一中、养正中学、惠安一中、泉州实验中学2021-2022学年高一下学期期中数学试题）如图，在四棱柱中，点M是线段上的一个动点，E，F分别是，的中点.
(1)求证：平面；
(2)设G为棱上的中点，求证：平面平面.
（黑龙江省七台河市勃利县高级中学2021-2022学年高一下学期期中考试数学试题）如图所示，在三棱柱中，E、F、G、H分别是AB，AC，，的中点，求证：
(1)平面
(2)平面平面BCHG．
7. （广西三新2021-2022学年高一4月教学质量测评段考数学试题）如图，已知四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，点M、N、Q分别是PA、BD、PD的中点.求证：
(1)平面PCD；
(2)平面平面PBC．
8. （湖南省三湘名校教育联盟、五市十校教研教改共同体2021-2022学年高一下学期期中联考数学试题）在正方体中，S是的中点，E，F，G分别是BC，DC，SC的中点，求证：
(1)平面；
(2)平面平面.
9.已知正方形，如图，，分别是，的中点，将沿折起，如图所示，求证：平面.
（重庆市主城区六校2020-2021学年高一下学期期末联考数学试题）如图所示，图（1）中的中，，，是的中点，现将沿折起，使点到达点的位置，且满足，得到如图（2）所示的三棱锥，点、分别是棱、的中点，、分别在棱、上，满足， .
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
11. 如图1，在直角梯形ABCD中，，，且.现以为一边向形外作正方形，然后沿边将正方形翻折，使平面与平面垂直，为的中点，如图2.
（1）求证：平面；
（2）求证：平面.
12.如图，已知等腰梯形中，，，是的中点，，将沿着翻折成，使平面平面.
(1)求证：平面；
(2)求与平面所成的角；
(3)在线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
【提分秘籍】
基本规律：
【变式演练】

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