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第17讲　导数与函数的单调性
函数的单调性与导数的关系
条件 结论
函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导 f′(x)＞0 f(x)在(a，b)内单调递增
f′(x)<0 f(x)在(a，b)内单调递减
f′(x)＝0 f(x)在(a，b)内是常数函数
考点1 不含参函数的单调性
[名师点睛]
确定函数单调区间的步骤
(1)确定函数f(x)的定义域；
(2)求f′(x)；
(3)解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；
(4)解不等式f′(x)＜0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．
[提醒]　①不能遗忘求函数的定义域，②函数的单调区间不能用并集，要用“逗号”或“和”隔开．
[典例]　
1．（2022·重庆八中高三阶段练习）函数的递增区间为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·高三专题练习）若函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的单调递减区间为(－1，3)，则b＋c＝（ ）
A．－12 B．－10 C．8 D．10
[举一反三]　
1．（2022·浙江·高三专题练习）函数的单调递减区间为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·全国·高三专题练习）函数的减区间是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国·高三专题练习）以下使得函数单调递增的区间是（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·广东湛江·高三阶段练习）函数的单调递减区间是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2021·广东东莞·高三阶段练习）函数f(x)＝1＋x＋cosx在上的单调递增区间是________.
6．（2022·全国·高三专题练习）函数的一个单调递减区间是________．
7．（2022·全国·高三专题练习）函数的单调递减区间为_________．
考点2 含参函数的单调性
[名师点睛]
1．研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．
2．划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点．
[典例]　
1.(2022·济南调研)已知函数f(x)＝x2－(a＋1)x＋aln x，讨论函数f(x)的单调性．
2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数（且）.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)讨论函数的单调区间.
[举一反三]　
1．（2022·浙江·高三专题练习）已知函数.讨论的单调性.
2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f(x)＝－aln(1＋x)(a∈R)，求函数f(x)的单调区间.
3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，其中k∈R.当时，求函数的单调区间；
4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，.讨论的单调性；
考点3 函数单调性的应用
[名师点睛]
利用导数比较大小，其关键在于利用题目条件构造辅助函数，把比较大小转化为先利用导数研究函数的单调性，进而根据单调性比较大小．
根据函数的单调性解不等式，要充分挖掘条件关系，根据不等式的特征和所给函数的单调性、奇偶性，把所要解的不等式变形，利用函数的性质脱去“f”符号，转化为具体的不等式，或直接利用函数的单调性求得自变量的范围．
已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件f′(x)≥0(或f′(x)≤0)，x∈(a，b)恒成立，解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立的理论求解)，应注意参数的取值是f′(x)不恒等于0的参数的范围．
[典例]　
1．（2022·湖北·房县第一中学模拟预测）已知函数，不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·全国·模拟预测）已知，，且，则（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·全国·高三专题练习）若函数（且）在区间内单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
[举一反三]　
1．（2022·全国·模拟预测）已知函数，若，则下列式子大小关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·江苏连云港·模拟预测）已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·重庆·二模）已知函数，则函数在上单调递增的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，若f(x)在R上单调，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
6．（多选）（2022·湖南·长沙市明德中学二模）已知，若（为自然对数的底数），则（ ）
A． B．
C． D．
7．（2022·江苏盐城·三模）已知为的导函数，且满足，对任意的总有，则不等式的解集为__________．
8．（2022·全国·高三专题练习）若函数有三个单调区间，则实数a的取值范围是________．
9．（2022·全国·高三专题练习）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围________.
10．（2022·河北·高三阶段练习）若函数在上存在单调递减区间，则m的取值范围是_________．
11．（2022·江苏泰州·高三期末）若函数在上是减函数，则实数的取值范围为___________.
12．（2022·江苏江苏·三模）设函数.
(1)当时，讨论的单调性；
(2)若在上单调递增，求.
第17讲　导数与函数的单调性
函数的单调性与导数的关系
条件 结论
函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导 f′(x)＞0 f(x)在(a，b)内单调递增
f′(x)<0 f(x)在(a，b)内单调递减
f′(x)＝0 f(x)在(a，b)内是常数函数
考点1 不含参函数的单调性
[名师点睛]
确定函数单调区间的步骤
(1)确定函数f(x)的定义域；
(2)求f′(x)；
(3)解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；
(4)解不等式f′(x)＜0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．
[提醒]　①不能遗忘求函数的定义域，②函数的单调区间不能用并集，要用“逗号”或“和”隔开．
[典例]　
1．（2022·重庆八中高三阶段练习）函数的递增区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，
当时，，，则；
当时，，，则；
在上的单调递增区间为.
故选：D.
2．（2022·全国·高三专题练习）若函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的单调递减区间为(－1，3)，则b＋c＝（ ）
A．－12 B．－10 C．8 D．10
【答案】A
【解析】＝3x2＋2bx＋c，由题意知，－1∴－1，3是＝0的两个根，∴b＝－3，c＝－9，∴b＋c＝－12.
故选：A．
[举一反三]　
1．（2022·浙江·高三专题练习）函数的单调递减区间为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题可知，由，解得.
所以单调递减区间为.
故选：A.
2．（2022·全国·高三专题练习）函数的减区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意，，
令，得，则，故的减区间是.
故选：C
3．（2022·全国·高三专题练习）以下使得函数单调递增的区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解：由题意得，，
当或时，，函数在区间，上都有极值点，故不单调；
当时，，不合题意；
当时，，函数单调递增，符合题意.
故选：D.
4．（2021·广东湛江·高三阶段练习）函数的单调递减区间是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】函数的定义域为：，
，
当时，函数单调递减，因为，所以解得，
故选：D
5．（2021·广东东莞·高三阶段练习）函数f(x)＝1＋x＋cosx在上的单调递增区间是________.
【答案】
【解析】f′(x)＝－sinx.
由，解得0所以f(x)在上的单调递增区间是.
故答案为：
6．（2022·全国·高三专题练习）函数的一个单调递减区间是________．
【答案】（答案不唯一）
【解析】∵，∴，
令，即，若，则的一个解集，所以函数的一个单调递减区间，
故答案为：.
7．（2022·全国·高三专题练习）函数的单调递减区间为_________．
【答案】
【解析】函数的定义域为，，
令，可得，解得，.
因此，函数的单调递减区间为.
故答案为：.
考点2 含参函数的单调性
[名师点睛]
1．研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．
2．划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点．
[典例]　
1.(2022·济南调研)已知函数f(x)＝x2－(a＋1)x＋aln x，讨论函数f(x)的单调性．
解　f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝x－(a＋1)＋＝.
①当a≤0时，令f′(x)＜0，得到0＜x＜1；令f′(x)>0，得到x>1，此时f(x)在(0,1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数．
②当0＜a＜1时，令f′(x)＜0，得到a＜x＜1；令f′(x)>0，得到0＜x＜a或x>1，此时f(x)在(a,1)上为减函数，在(0，a)和(1，＋∞)上为增函数．
③当a＝1时，显然f′(x)≥0恒成立，此时f(x)在(0，＋∞)上为增函数．
④当a>1时，令f′(x)＜0，得到1＜x＜a；令f′(x)>0，得到0＜x＜1或x>a.此时f(x)在(1，a)上为减函数，在(0,1)和(a，＋∞)上为增函数．
综上，当a≤0时， f(x)在(0,1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数；
当0＜a＜1时， f(x)在(a,1)上为减函数，在(0，a)和(1，＋∞)上为增函数；
当a＝1时，f(x)在(0，＋∞)上为增函数；
当a>1时，f(x)在(1，a)上为减函数，在(0,1)和(a，＋∞)上为增函数．
2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数（且）.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)讨论函数的单调区间.
【解】(1)∵，
∴，
∴，又，∴.
∴所求切线方程为.
(2)由题意知，函数的定义域为，
由（1）知，
∴，易知，
①当时，令，得或；令，得.
②当时，，令，得；令，得或.
③当时，.
④当时，，令，得；令，得或.
综上，当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为，；
当时，函数在上单调递减；
当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为，；
当时，函数函数的单调递增区间为，，单调递减区间为.
[举一反三]　
1．（2022·浙江·高三专题练习）已知函数.讨论的单调性.
【解】由函数的解析式可得：，
①当时，若，则单调递减，
若，则单调递增；
②当时，若，则单调递增，
若，则单调递减，
若，则单调递增；
③当时，在上单调递增；
④当时，若，则单调递增，
若，则单调递减，
若，则单调递增.
2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f(x)＝－aln(1＋x)(a∈R)，求函数f(x)的单调区间.
【解】因为f(x)＝－aln(1＋x)(x＞－1)，
所以＝－＝，
当a≤0时，＞0，
所以函数f(x)的单调递增区间为(－1，＋∞).
当a＞0时，由得－1＜x＜－1＋；
由得x＞－1＋.
所以函数f(x)的单调递增区间是；单调递减区间是.
综上所述，当a≤0时，函数f(x)的单调递增区间为(－1，＋∞).
当a＞0时，函数f(x)的单调递增区间是；单调递减区间是.
3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，其中k∈R.当时，求函数的单调区间；
【解】由题设，，
当时， ，令得，令 得，故的单调递增区间为，单调递减区间为.
当时，令 得或，
当，即时，当时或；当 时，故的单调递增区间为、，减区间为.
当，即时，在R上恒成立，故的单调递增区间为；
4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，.讨论的单调性；
【解】由的定义域为，且.
令，则.
①当，即时，对任意的有，则，
此时，函数在上单调递增；
②当，即时，有两个不等的实根，设为、，且，
令，解得，.
解不等式，可得；
解不等式，可得或.
此时，函数的单调递增区间为、，单调递减区间为.
综上，当时，函数的单调递增区间为，无递减区间；
当时，函数的单调递增区间为、，单调递减区间为；
考点3 函数单调性的应用
[名师点睛]
利用导数比较大小，其关键在于利用题目条件构造辅助函数，把比较大小转化为先利用导数研究函数的单调性，进而根据单调性比较大小．
根据函数的单调性解不等式，要充分挖掘条件关系，根据不等式的特征和所给函数的单调性、奇偶性，把所要解的不等式变形，利用函数的性质脱去“f”符号，转化为具体的不等式，或直接利用函数的单调性求得自变量的范围．
已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件f′(x)≥0(或f′(x)≤0)，x∈(a，b)恒成立，解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立的理论求解)，应注意参数的取值是f′(x)不恒等于0的参数的范围．
[典例]　
1．（2022·湖北·房县第一中学模拟预测）已知函数，不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】解：因为，所以，所以在上单调递减，
则等价于，解得，即原不等式的解集为.
故选：B.
2．（2022·全国·模拟预测）已知，，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】解:因为，，，所以．
设，则．
设，则，
所以在上单调递减．当时，，
所以，即，故在上单调递减．
因为，所以．
故选：B．
3．（2022·全国·高三专题练习）若函数（且）在区间内单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】函数在区间 内有意义，
则，
设则 ，
( 1 ) 当 时， 是增函数，
要使函数在区间内单调递增，
需使 在区间内内单调递增，
则需使，对任意恒成立 , 即对任意恒成立；
因为时，所以与矛盾，此时不成立.
( 2 ) 当时，是减函数，
要使函数在区间内单调递增，
需使在区间内内单调递减，
则需使 对任意恒成立，
即对任意恒成立，
因为，
所以，
又，所以.
综上，的取值范围是
故选：B
[举一反三]　
1．（2022·全国·模拟预测）已知函数，若，则下列式子大小关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】解：由，得，
当时，，
所以在上单调递增，
因为，所以，
所以，
由函数在上单调递增，
可知恒有，
所以，
综上，得.
故选：D.
2．（2022·江苏连云港·模拟预测）已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，，所以，即
记
由，解得，解，得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减
因为，则时，有，
又因为当时，，所以
因为， 所以，所以.
综上，.
故选：C
3．（2022·重庆·二模）已知函数，则函数在上单调递增的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由函数，可得函数的定义域为，
且，
因为函数在上单调递增，即在上恒成立，
即在上恒成立，即在上恒成立，
令，可得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以，所以，
结合选项，可得时函数在上单调递增的一个充分不必要条件.
故选：A.
4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】函数，则，
因，则不等式成立必有，即，
令，求导得，当时，，当时，，
因此，函数在上单调递减，在上单调递增，又，
当时，，于是得，即，令，
当时，，函数在上单调递减，，，因此，无解，
当时，，于是得，即，此时，
函数在上单调递增，，，不等式解集为，
所以不等式的解集为.
故选：B
5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，若f(x)在R上单调，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】求导，令，
由在R上单调，可知恒成立或恒成立，分类讨论：
（1）当时，，令，得
当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增；
，即恒成立，符合题意；
（2）当时，，令，得
当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；
，即恒成立，符合题意；
（3）当时，令，得或，
研究内的情况即可：
当时，，函数单调递减；当时， ，函数单调递增；当时，，函数单调递减；
当时，函数取得极小值，且满足；当时，函数取得极小值，且满足
，且
同理，且
又，当时，；当时，，故不符合；
所以a的取值范围是
故选：A
6．（多选）（2022·湖南·长沙市明德中学二模）已知，若（为自然对数的底数），则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【解析】解：因为，
所以，即，
对于A，因为，
所以，故A正确；
对于B，令，则，
所以在上单调递增，
因为，所以，
所以，即，所以，故B错误；
对于C，因为，所以，
当且仅当，即时取等号，
所以，故C正确；
对于D，因为，所以，故D正确.
故选：ACD.
7．（2022·江苏盐城·三模）已知为的导函数，且满足，对任意的总有，则不等式的解集为__________．
【答案】
【解析】设函数，则
又
所以在上单调递增，又
故不等式 可化为
由的单调性可得该不等式的解集为．
故答案为：
8．（2022·全国·高三专题练习）若函数有三个单调区间，则实数a的取值范围是________．
【答案】
【解析】，
由于函数有三个单调区间，
所以有两个不相等的实数根，所以.
故答案为：
9．（2022·全国·高三专题练习）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围________.
【答案】
【解析】，，
因为函数在上单调递增，
所以，恒成立，
即，恒成立，
设，
，
，，为减函数，
，，为增函数，
所以，即.
故答案为：
10．（2022·河北·高三阶段练习）若函数在上存在单调递减区间，则m的取值范围是_________．
【答案】
【解析】，
则原向题等价于在上有解，即在上有解，
即在上有解，
因为，且在上单调递减，
所以当时，，
所以.
故答案为：
11．（2022·江苏泰州·高三期末）若函数在上是减函数，则实数的取值范围为___________.
【答案】
【解析】由知，
,
∵函数在上是减函数，
，又，
∴，即在上恒成立，
而，，
．
故答案为：．
12．（2022·江苏江苏·三模）设函数.
(1)当时，讨论的单调性；
(2)若在上单调递增，求.
【解】(1)解：因为，可得，
设，则
所以当时，，函数在上单调递增，
即函数在上单调递增，
又由，所以当时，；当时，，
所以当时，在上单调递减，在上单调递增.
(2)解：令，可得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
又由，所以，即，
所以，所以；
令，可得，所以函数单调递增，
因为，
当，可得，即，即；
当，可得，即，即，
（2.1）当时，由（1）知不合题意；
（2.2）当时，若，
；
当时，，单调递减，不合题意；
（2.3）当时，若，同理可得，
当时，，单调递减，不合题意；
（2.4）当时，，可得，
设，则，
①当时，，
所以在上单调递增，在上单调递增，
②当时，
若，，
若，，
所以在上单调递增，在上单调递增，
由①②可知，，所以在上单调递增，
综上所述，

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