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第23讲　同角三角函数的基本关系与诱导公式
1.同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1．
(2)商数关系：＝tan_α(α≠＋kπ，k∈Z)．
2．三角函数的诱导公式
公式 一 二 三 四 五 六
角 2kπ＋α (k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α
正弦 sin α －sin_α －sin_α sin_α cos_α cos_α
余弦 cos_α －cos_α cos_α －cos_α sin_α －sin_α
正切 tan α tan_α －tan_α －tan_α
口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限
考点1 同角三角函数的基本关系的应用
[名师点睛]
1.利用同角三角函数的基本关系求解问题的关键是熟练掌握同角三角函数的基本关系的正用、逆用、变形．同角三角函数的基本关系本身是恒等式，也可以看作是方程，对于一些问题，可利用已知条件，结合同角三角函数的基本关系列方程组，通过解方程组达到解决问题的目的．　
2.若已知正切值，求一个关于正弦和余弦的齐次式的值，则可以通过分子、分母同时除以一个余弦的齐次幂将其转化为一个关于正切的分式，代入正切值就可以求出这个分式的值，这是同角三角函数关系中的一类基本题型．　
3.对于sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α这三个式子，知一可求二，若令sin α＋cos α＝t，则sin αcos α＝，sin α－cos α＝±(注意根据α的范围选取正、负号)，体现了方程思想的应用．　
[典例]　
1．（2022·广东惠州·一模）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·模拟预测）若，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·广东潮州·二模）已知，，则______．
[举一反三]　
1．（2022·北京房山·二模）已知是第一象限角，且角的终边关于y轴对称，则( )
A． B． C． D．
2．（2022·广西·高三阶段练习）已知角a终边落在第二象限，且，则（ ）
A． B．1 C． D．
3．（2022·广东·模拟预测）已知，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·河北张家口·三模）已知，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·浙江·模拟预测）若，则__________；___________．
6．（2022·河北·模拟预测）若，则___________.
7．（2022·河北唐山·三模）若，则___________．
8．（2022·山东聊城·高三期末）已知，且，则的值为________.
9．（2022·全国·高三专题练习）已知，且．
（1）求的值；
（2）求的值．
10．（2022·全国·高三专题练习）（1）已知是角终边上一点，求，，的值；
（2）已知，求下列各式的值：
①；
②．
考点2 诱导公式的应用
[名师点睛]
1．学会巧妙过渡，熟知将角合理转化的流程
也就是：“负化正，大化小，化到锐角就好了．”
2．明确三角函数式化简的原则和方向
(1)切化弦，统一名．
(2)用诱导公式，统一角．
(3)用因式分解将式子变形，化为最简．
也就是：“统一名，统一角，同角名少为终了．
[典例]　
1．（2022·河北沧州·模拟预测）( )
A．3 B．4 C． D．
2．（2022·浙江·高三专题练习）已知
（1）化简；
（2）若角的终边经过点，求.
[举一反三]　
1．（2022·广东茂名·模拟预测）已知，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·福建三明·模拟预测）若，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·湖北·襄阳五中模拟预测）已知函数，且，则的值为（　　）
A．-1 B．1 C．3 D．-3
4．（2022·全国·高三专题练习）已知
（1）化简；
（2）若且求的值；
（3）求满足的的取值集合.
考点3 同角三角函数的基本关系式与诱导公式综合应用
[名师点睛]
1．利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形．
2．注意角的范围对三角函数值符号的影响．
[典例]　
1．（2022·全国·高三专题练习）若，求的值．
2．（2022·全国·高三专题练习）（1）已知，求的值
（2）已知，，求的值．
[举一反三]　
1．（2022·辽宁葫芦岛·二模）若，则（ ）
A． B． C．-3 D．3
2．（2022·湖南衡阳·三模）已知为角终边上一点，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·广东韶关·二模）已知 ，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·山东·德州市教育科学研究院二模）已知角θ的终边过点，且，则tanθ=____________．
5．（2022·福建龙岩·模拟预测）已知为锐角，，则___________.
6．（2022·浙江绍兴·模拟预测）已知，且，则__________，__________．
7．（2022·山东·聊城二中高三开学考试）已知.
(1)化简；
(2)若，，求的值.
8．（2022·浙江·高三专题练习）已知是关于的方程的两个实根，且.
（1）求的值；
（2）求的值
第23讲　同角三角函数的基本关系与诱导公式
1.同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1．
(2)商数关系：＝tan_α(α≠＋kπ，k∈Z)．
2．三角函数的诱导公式
公式 一 二 三 四 五 六
角 2kπ＋α (k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α
正弦 sin α －sin_α －sin_α sin_α cos_α cos_α
余弦 cos_α －cos_α cos_α －cos_α sin_α －sin_α
正切 tan α tan_α －tan_α －tan_α
口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限
考点1 同角三角函数的基本关系的应用
[名师点睛]
1.利用同角三角函数的基本关系求解问题的关键是熟练掌握同角三角函数的基本关系的正用、逆用、变形．同角三角函数的基本关系本身是恒等式，也可以看作是方程，对于一些问题，可利用已知条件，结合同角三角函数的基本关系列方程组，通过解方程组达到解决问题的目的．　
2.若已知正切值，求一个关于正弦和余弦的齐次式的值，则可以通过分子、分母同时除以一个余弦的齐次幂将其转化为一个关于正切的分式，代入正切值就可以求出这个分式的值，这是同角三角函数关系中的一类基本题型．　
3.对于sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α这三个式子，知一可求二，若令sin α＋cos α＝t，则sin αcos α＝，sin α－cos α＝±(注意根据α的范围选取正、负号)，体现了方程思想的应用．　
[典例]　
1．（2022·广东惠州·一模）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，且，，
所以，，
所以.
故选：A.
2．（2022·全国·模拟预测）若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，，
.
故选：A.
3．（2022·广东潮州·二模）已知，，则______．
【答案】
【解析】，得，
，
因为，所以，
故．
故答案为：
[举一反三]　
1．（2022·北京房山·二模）已知是第一象限角，且角的终边关于y轴对称，则( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵是第一象限角，∴，，
∵角的终边关于y轴对称，∴．
故选：D．
2．（2022·广西·高三阶段练习）已知角a终边落在第二象限，且，则（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】D
【解析】根据题意，因为角a终边落在第二象限，
所以，则，
故选：D.
3．（2022·广东·模拟预测）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，所以．
故选：B．
4．（2022·河北张家口·三模）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解：，
所以
.
故选：A
5．（2022·浙江·模拟预测）若，则__________；___________．
【答案】
【解析】解：因为，，
所以，，
又，解得或（舍去），
所以，
故答案为：；
6．（2022·河北·模拟预测）若，则___________.
【答案】
【解析】由题意，
，因为，所以，解得.
故答案为：.
7．（2022·河北唐山·三模）若，则___________．
【答案】4
【解析】因为，两边同时平方得，即，所以，
因此，
故答案为：4.
8．（2022·山东聊城·高三期末）已知，且，则的值为________.
【答案】
【解析】
，，
又，所以，所以，
，
故答案为：
9．（2022·全国·高三专题练习）已知，且．
（1）求的值；
（2）求的值．
【解】（1），
，，
，，，
，
．
（2）由（1），可得，，
，
，，．
10．（2022·全国·高三专题练习）（1）已知是角终边上一点，求，，的值；
（2）已知，求下列各式的值：
①；
②．
【解】（1）是角终边上一点，
则，，.
（2）由，则，
①.
②
考点2 诱导公式的应用
[名师点睛]
1．学会巧妙过渡，熟知将角合理转化的流程
也就是：“负化正，大化小，化到锐角就好了．”
2．明确三角函数式化简的原则和方向
(1)切化弦，统一名．
(2)用诱导公式，统一角．
(3)用因式分解将式子变形，化为最简．
也就是：“统一名，统一角，同角名少为终了．
[典例]　
1．（2022·河北沧州·模拟预测）( )
A．3 B．4 C． D．
【答案】B
【解析】
＝
＝．
2．（2022·浙江·高三专题练习）已知
（1）化简；
（2）若角的终边经过点，求.
【解】解：（1）
（2）角的终边经过点，
[举一反三]　
1．（2022·广东茂名·模拟预测）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
故选：B.
2．（2022·福建三明·模拟预测）若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】.
故选：A.
3．（2022·湖北·襄阳五中模拟预测）已知函数，且，则的值为（　　）
A．-1 B．1 C．3 D．-3
【答案】D
【解析】，
所以.
.
故选：D
4．（2022·全国·高三专题练习）已知
（1）化简；
（2）若且求的值；
（3）求满足的的取值集合.
【解】（1）；
（2）由（1）可得，则，
，即
；
（3）由题意得，，
，即，
所以的取值集合为.
考点3 同角三角函数的基本关系式与诱导公式综合应用
[名师点睛]
1．利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形．
2．注意角的范围对三角函数值符号的影响．
[典例]　
1．（2022·全国·高三专题练习）若，求的值．
【解】原式=
==
=-，
因为，
所以，所以为第一象限角或第四象限角．
(1)当为第一象限角时，=，
所以=，所以原式=-.
(2)当为第四象限角时，=-，
所以=-，所以原式=.
综上，原式=.
2．（2022·全国·高三专题练习）（1）已知，求的值
（2）已知，，求的值．
【解】(1)
所以
（2）由，则，所以
由，则
设，则
由，所以
[举一反三]　
1．（2022·辽宁葫芦岛·二模）若，则（ ）
A． B． C．-3 D．3
【答案】C
【解析】，分子分母同除以，
，解得：
故选：C
2．（2022·湖南衡阳·三模）已知为角终边上一点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】为角终边上一点，，
.
故选：C.
3．（2022·广东韶关·二模）已知 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题知，有，
所以
，
故选：C．
4．（2022·山东·德州市教育科学研究院二模）已知角θ的终边过点，且，则tanθ=____________．
【答案】
【解析】角θ的终边过点
，
即
点在第四象限，
解得：（舍去）或
.
故答案为：.
5．（2022·福建龙岩·模拟预测）已知为锐角，，则___________.
【答案】
【解析】因为，
所以，
所以，
又因为为锐角，
所以，
故答案为：.
6．（2022·浙江绍兴·模拟预测）已知，且，则__________，__________．
【答案】
【解析】，
∵，∴，
，
故答案为：；﹒
7．（2022·山东·聊城二中高三开学考试）已知.
(1)化简；
(2)若，，求的值.
【解】(1)
(2)若，则
，
8．（2022·浙江·高三专题练习）已知是关于的方程的两个实根，且.
（1）求的值；
（2）求的值.
【解】解：，是关于的方程的两个实根，
，解得：，
又，，
，解得：
（1）
（2）

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