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【题型突破】2023年高考数学一轮之考点微综合（新人教A版2019）
点与椭圆的位置关系
【考点梳理】
1、点P(x0，y0)和椭圆的位置关系有3种
(1)点P(x0，y0)在椭圆内 ＋<1.(2)点P(x0，y0)在椭圆上 ＋＝1.(3)点P(x0，y0)在椭圆外 ＋>1.
2、利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
3、圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：
（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；
（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.
【题型归纳】
一、点和椭圆位置关系的判断
1．点与椭圆的位置关系为（ ）
A．在椭圆上 B．在椭圆内 C．在椭圆外 D．不能确定
2．已知椭圆C:，点，则点A与椭圆C的位置关系是（ ）．
A．点A在椭圆C上 B．点A在椭圆C内 C．点A在椭圆C外 D．无法判断
二、根据点和椭圆位置关系求参数
3．点在椭圆的外部，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．若点在椭圆的内部，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知点在椭圆的外部，则直线与圆的位置关系为
A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切
三、点和椭圆位置关系的应用
6．若直线和圆没有公共点，则过点的直线与椭圆的交点个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．不确定
7．已知椭圆经过点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知点在椭圆上，则直线与圆的位置关系为(　　)
A．相交 B．相切
C．相离 D．相交或相切
四、与基本不等式相结合
9．已知函数，且）的图象恒过定点，若点在椭圆上，则的最小值为（ ）
A．12 B．10 C．8 D．9
【巩固训练】
一、单选题
10．已知为椭圆上一点，为椭圆长轴上一点，为坐标原点，有下列结论：①存在点，，使得为等边三角形；②不存在点，，使得为等边三角形；③存在点，，使得；④不存在点，，使得.其中，所有正确结论的序号是
A．①④ B．①③ C．②④ D．②③
11．若点在椭圆的外部，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
12．点在椭圆的内部，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
13．点在直线上，若椭圆上存在两点，使得是等腰三角形，则称椭圆具有性质．下列结论中正确的是（ ）
A．对于直线上的所有点，椭圆都不具有性质
B．直线上仅有有限个点，使椭圆具有性质
C．直线上有无穷多个点（但不是所有的点），使椭圆具有性质
D．对于直线上的所有点，椭圆都具有性质
14．已知椭圆上一点和该椭圆上两动点、，直线、的斜率分别为、，且，则直线的斜率
A．或 B． C． D．的值不确定
15．已知为椭圆：的右焦点，点，，为椭圆上三点，当时，称为“和谐三角形”，则“和谐三角形”有（ ）
A．0个 B．1个 C．3个 D．无数个
16．已知椭圆的焦点分别是，，点M在该椭圆上，如果，那么点M到y轴的距离是　　
A． B． C． D．1
17．下面是对曲线的一些结论，正确的结论是（ ）
①的取值范围是；
②曲线是中心对称图形；
③曲线上除点，外的其余所有点都在椭圆的内部；
④过曲线上任一点作轴的垂线，垂线段中点的轨迹所围成图形的面积不大于；
A．①②④ B．②③④ C．①② D．①③④
18．已知椭圆C：的右焦点为F，点A（ 2，2)为椭圆C内一点.若椭圆C上存在一点P，使得｜PA｜＋｜PF｜＝8，则m的取值范围是
A． B．［9，25］
C． D．［3，5］
19．点与椭圆的位置关系为（ ）
A．在椭圆内 B．在椭圆上 C．在椭圆外 D．不能确定
20．已知椭圆：的长轴顶点为、，点是椭圆上除、外任意一点，直线、在轴上的截距分别为，，则（ ）
A．3 B．4 C． D．
21．已知椭圆经过圆的圆心，则的取值范围是
A． B． C． D．
22．已知曲线，则下列结论正确的是（ ）
①当时，曲线E表示双曲线.焦点在x轴上；
②当时，曲线E表示以原点为圆心，半径为1的圆；
③当时，曲线E围成图形的面积的最小值为π.
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
23．点P(4cosα，2sinα)(α∈R)与椭圆C：＋＝1的位置关系是（ ）
A．点P在椭圆C上 B．点P与椭圆C的位置关系不能确定，与α的取值有关
C．点P在椭圆C内 D．点P在椭圆C外
24．设A，B两点的坐标分别为（﹣1，0），（1，0）.条件甲：A、B、C三点构成以∠C为钝角的三角形；条件乙：点C的坐标是方程x2+2y2=1（y≠0）的解，则甲是乙的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
25．函数（，且）的图象恒过定点，若点在椭圆（，）上，则的最小值为（ ）
A．12 B．14 C．16 D．18
26．设分别为圆和椭圆上的点,则两点间的最大距离是
A． B． C． D．
二、多选题
27．已知椭圆的焦点为、，点在椭圆的内部，点在椭圆上，则（ ）
A． B．椭圆的离心率的取值范围为
C．存在点使得 D．
28．(多选)已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l1与过F2的直线l2交于点M，设M的坐标为(x0，y0)，若l1⊥l2，则下列结论正确的有（ ）
A． B．
C． D．
29．已知焦点在轴上的椭圆过点且离心率为，则（ ）
A．椭圆的标准方程为 B．椭圆经过点
C．椭圆与双曲线的焦点相同 D．直线与椭圆恒有交点
30．已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l1与过F2的直线l2交于点M，设M的坐标为(x0，y0)，若l1⊥l2，则下列结论正确的有（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
31．点P(2,1)在椭圆的内部______.（正确或错误）
32．已知椭圆的两焦点为,点满足,
则的取值范围为_______
33．若椭圆和椭圆的离心率相同，且，给出如下四个结论：
①椭圆和椭圆一定没有公共点；
②；
③；
④.
则所有结论正确的序号是_____.
34．设，分别为椭圆：的左、右焦点，为内一点，为上任意一点.现有四个结论：
①的焦距为2；
②的长轴长可能为；
③的最大值为；
④若的最小值为3，则.
其中所有正确结论的编号是__________.
35．设椭圆的右顶点是，其上存在一点，使，则椭圆的离心率的取值范围为______．
36．已知是椭圆的左焦点，为椭圆上任意一点，点的坐标为，则的最大值为__________．
四、解答题
37．如果直线l：与椭圆C：（）总有公共点，求实数a的取值范围.
38．已知点为椭圆的左顶点，点为右焦点，直线与轴的交点为，且，点为椭圆上异于点的任意一点，直线交于点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)证明：.
39．已知椭圆的焦点，且椭圆的离心率为．
(1)求椭圆的方程；
(2)若、为上不同的两点，动点、满足：，，且在上．
（i）求证：点在上；
（ii）若过焦点，求实数的取值范围．
40．平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别是.以为圆心以3为半径的圆与以为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆上.
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆，P为椭圆上任意一点，过点的直线交椭圆于两点，射线交椭圆于点.求的值；
41．椭圆的左、右焦点分别是、，离心率为，过且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为3.
（1）求椭圆的方程.
（2）已知点，若直线与椭圆相交于两点，且直线，的斜率之和为，求实数的值.
（3）点是椭圆上除长轴端点外的任一点，连接、，设的角平分线交的长轴于点，求的取值范围.
试卷第1页，共3页
参考答案
1．B
【解析】将点的坐标代入椭圆方程，根据不等关系可判断出点与椭圆的位置关系.
【详解】，可知点在椭圆内．
【分析】故选：B.
2．B
【分析】当时，代入椭圆得到，确定范围得到答案.
【详解】当时，代入椭圆得到 ，
故点在椭圆内
故选B
【点睛】本题考查了点与椭圆的关系，意在考查学生的计算能力.
3．B
【分析】根据点在椭圆外部得不等式，解不等式得结果.
【详解】因为点在椭圆的外部，
所以,解得,
故选：B.
4．B
【解析】根据点与椭圆的位置关系即可求解.
【详解】解：，所以
故选：B.
【点睛】考查已知点与圆的位置关系求参数的取值范围，基础题.
5．B
【分析】先根据点在椭圆的外部，求出的范围，求出圆心到直线的距离，再利用几何法判断直线与圆的位置关系即可.
【详解】因为点在椭圆的外部，
所以，即，
则圆的圆心到直线的距离
，
所以直线与圆相交
故选：B
【点睛】本题考查了点与椭圆的位置关系及利用几何法判断直线与圆的位置关系，属于一般题.
6．C
【分析】通过直线与圆、圆与椭圆的位置关系可得点在椭圆内，进而可得结论.
【详解】因为直线和圆没有交点，
所以圆心到直线的距离，
可得：，
即点在圆内，
又因为圆内切于椭圆，
所以点在椭圆内，
即过点的直线与椭圆有两个交点.
故选：C.
7．D
【分析】将点代入得，代入到，根据椭圆的范围进行求解．
【详解】因为椭圆经过点，所以，所以，
则．
因为椭圆经过点，所以，即，
故的取值范围是．
故选：D．
【点睛】本题主要考查椭圆的简单几何性质的应用，属于基础题．
8．D
【分析】由点在椭圆上的m,n的关系,代入圆心到直线的距离的解析式中,可求得d ,即可判断直线与圆的位置关系.
【详解】∵点在椭圆上，∴ ,则
∵圆心(0,0)到直线的距离:
又圆的半径
∴直线与圆相交或相切．
答案：D
【点睛】本题考查了椭圆的简单性质,考查了直线与圆的位置关系, 点到直线的距离公式, 考查了转化思想.难度一般.
9．D
【分析】由题知,进而得且,再结合基本不等式”1”的用法求解即可.
【详解】由于函数，且）向右平移两个单位得：，且），即为函数，且），所以定点，
由于点在椭圆，所以，且
所以，
当且仅当，即时取等号.
故选：D
【点睛】本题考查指数函数过定点问题，基本不等式求最值等，考查运算求解能力，中档题.本题解题的关键在于将函数，且）变形为，且），再根据函数平移变换即可得.
10．A
【分析】利用椭圆的简单几何性质，直接可判断①正确②错误，分情况讨论点、的位置，利用余弦定理判断，即可确定③错误④正确.
【详解】过原点且倾斜角为的直线一定与椭圆有交点，假设轴右侧的交点
是，在长轴上取，则就是等边三角形
故①正确，②错误
若点和点在轴两侧，则一定是锐角
若点和点在轴同侧，不妨设为在轴右侧
设点，则，且
由椭圆性质可知，当点是长轴端点时，最大
因为，，
所以
所以
即，故③错误，④正确
故选：A
【点睛】1.本题考查的是椭圆性质的应用，椭圆关于原点、轴、轴对称.
2.可以用余弦定理判断一个角是锐角、直角还是钝角.
11．B
【解析】根据题中条件，得到，求解，即可得出结果.
【详解】因为点在椭圆的外部，
所以，即，解得或.
故选：B.
12．B
【分析】由题意可得，解不等式即可得解.
【详解】因为点在椭圆的内部，所以有，即，
解得，则的取值范围是．
故选：B.
【点睛】本题考查点与椭圆的位置关系，侧重考查对基础知识的理解和掌握，属于常考题.
13．D
【解析】以点为圆心作圆，则通过改变圆的半径大小，使得圆与椭圆相交于两点，这样，于是是等腰三角形，即可知结论正确的是D．
【详解】取直线上的任意点，以点为圆心作圆，通过改变圆的半径大小，使得圆与椭圆相交于两点，这样，于是是等腰三角形，所以对于直线上的所有点，椭圆都具有性质．
故选：D．
14．C
【分析】根据题意，可以判断点在椭圆上，，设直线、方程分别为，，分别将直线方程与椭圆方程联立，得到点、点坐标，根据斜率公式计算即可．
【详解】由，设直线为，直线为，点为，点为
易知，点在椭圆上，联立直线与椭圆方程得，，由韦达定理得，即，代入直线中得到，即点为；同理可得，点为，
则直线的斜率为，故选C
【点睛】本题考查点与椭圆的位置关系，直线的斜率，直线与椭圆的关系，解题关键在于发现已知点所在位置这个隐藏条件，联立方程后即可得到所求点的表示情况．
15．D
【分析】根据得到为的重心，设，则得到边中点的坐标，要求在椭圆内，且为弦中点，即存在满足要求的“和谐三角形”，从而得到答案.
【详解】因为为椭圆：的右焦点，
所以
因为，所以为的重心，
设边的中点为，则
所以，所以
设，
所以
将，代入椭圆方程得
两式相减，得到
整理得到
所以方程为
当在椭圆内时，
得，而
所以得到
所以当时，
直线与椭圆：一定有两个交点和，
满足为的重心，即满足，
使得为“和谐三角形”，
因此满足要求的情况有无数种，所以“和谐三角形”有无数个.
故选：D.
【点睛】本题考查三角形重心的性质，点差法求弦中点所在的直线，点与椭圆的位置关系，属于中档题.
16．B
【分析】设M（x，y），则椭圆…①，，可得x2+y2=3…②，由①②可求解．
【详解】设M（x，y），则椭圆…①，
∵椭圆的焦点分别是
∵ ，∴x2+y2=3…②
由①②得 ，
∴点M到y轴的距离为，故选B．
【点睛】本题考查了椭圆的方程及向量运算，属于中档题．
17．C
【解析】由曲线方程性质可知①正确；关于原点对称的两个点点，是否都在曲线上，可判断②；令代入验证即可判断③；通过轨迹法求得垂线段中点的轨迹方程，判断轨迹中的点与的关系即可判断④.
【详解】，可知，即，，，，①正确；
将方程中的换成，换成方程不变，故②正确；
，令，则，当时，，点在椭圆的外部，故③错误；
过曲线上任一点作轴的垂线，垂线段中点的轨迹为，即，
在上任取一点，
，
，，即在外，
围成图形的面积大于，故④错误.
故选：C
【点睛】方法点睛：关于对称点的问题可以利用以下知识解决：
①点关于轴对称的点为；
②点关于轴对称的点为；
③点关于原点对称的点为；
④点关于轴对称的点为.
18．A
【分析】设椭圆的左焦点为F'（﹣2，0），由椭圆的定义可得2＝|PF|+|PF'|，即|PF'|＝2﹣|PF|，可得|PA|﹣|PF'|＝8﹣2，运用三点共线取得最值，解不等式可得m的范围，再由点在椭圆内部，可得所求范围．
【详解】椭圆C：的右焦点F（2，0），
左焦点为F'（﹣2，0），
由椭圆的定义可得2＝|PF|+|PF'|，
即|PF'|＝2﹣|PF|，
可得|PA|﹣|PF'|＝8﹣2，
由||PA|﹣|PF'||≤|AF'|＝2，
可得﹣2≤8﹣2≤2，
解得，所以,①
又A在椭圆内，
所以,所以8m-16与①取交集得
故选A．
【点睛】本题考查椭圆的定义和性质的运用，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
19．A
【分析】将点的坐标代入椭圆方程，根据不等关系可判断出点与椭圆的位置关系.
【详解】，所以，点在椭圆内.
故选：A.
【点睛】本题考查点与椭圆位置关系的判断，考查推理能力与计算能力，属于基础题.
20．A
【分析】先设椭圆上点，写出、，求直线、的方程，再表示出，，即得结果.
【详解】椭圆上、，设点，则，，即.
直线的方程为：，令，得，
直线的方程为：，令，得，
故.
故选：A.
21．B
【详解】即为，圆心为（2，1），
∵经过圆的圆心，.
当且仅当时等号成立.
据此可得：的取值范围是.
本题选择B选项.
22．B
【分析】由求得的取值范围，可判断①的正误；将代入曲线的方程，可判断②的正误；由求得的取值范围，判定曲线的形状，可判断③的正误.
【详解】对于①，当时，，则曲线表示双曲线，焦点在轴上，①正确；
对于②，当时，曲线的方程为，可得，曲线为两条平行的直线，②错误；
对于③，当时，，曲线的标准方程为，此时.
当时，曲线表示以原点为圆心，半径为的圆；
当时，曲线表示焦点在轴上的椭圆，此时椭圆的长半轴大于，短半轴为1.
设为椭圆上任意一点，则
所以，即椭圆上的点在圆上或圆外.
即圆在椭圆内（相切于椭圆短轴的两个端点）
所以当曲线围成图形是圆时面积最小.
综上所述，曲线围成图形的面积的最小值为，此时曲线为圆，③正确.
故选：B.
23．D
【解析】将P的坐标代入到椭圆方程的左边，结合同角三角函数的基本关系即可判断点和椭圆的位置关系.
【详解】把点P(2cosα，sinα)(α∈R)代入椭圆方程的左边为＋
＝4（cos2α＋sin2α）＝4>1，因此点P在椭圆外．
故选:D.
24．B
【分析】条件甲：A、B、C三点构成以∠C为钝角的三角形，其对应的图形是单位圆内的部分，条件乙：点C的坐标是方程x2+2y2=1（y≠0）的解，点C所对应的图形是椭圆，得条件乙能推出条件甲，反之不成立.
【详解】设C（x，y），条件甲：A、B、C三点构成以∠C为钝角的三角形，
∴＜0 （x+1，y） （x﹣1，y）＜0 x2+y2＜1.
其对应的图形是单位圆内的部分，
条件乙：点C的坐标是方程x2+2y2=1（y≠0）的解，点C所对应的图形是椭圆，这椭圆在单位圆内.
所以条件乙能推出条件甲，反之不成立，
则甲是乙的必要不充分条件，
故选：B.
【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查动点轨迹的判断，考查圆和椭圆的几何性质，属于中档题.
25．C
【分析】求出的坐标代入椭圆方程，再将化为积为定值的形式，利用基本不等式可求得结果.
【详解】由，即，得，所以，
因为点在椭圆上，所以（，），
所以，
当且仅当时，等号成立.
故选：C
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
26．A
【详解】先求圆心(0,6)与椭圆上任意一点(x,y)之间的距离
==,
当时,取得最大值为,
又因为圆的半径为,
所以两点间的最大距离是.
故选A.
27．ACD
【分析】利用点在椭圆的内部可求得的取值范围，可判断A选项；利用椭圆的离心率公式可判断B选项；求出点的轨迹方程，判断点的轨迹与椭圆的公共点，可判断C选项；利用两点间的距离公式可判断D选项.
【详解】对于A选项，由已知可得，可得，则，A对；
对于B选项，椭圆的离心率为，B错；
对于C选项，设、分别为椭圆的左、右焦点，则、，
记，设点，，，
因为，则，
所以，点在圆上，联立可得，
即圆与椭圆有公共点，C对；
对于D选项，
，D对.
故选：ACD.
28．ACD
【分析】由椭圆，可得：左、右焦点分别为，，设，可得．由，可得直线与直线交点在椭圆的内部．进而判断出A正确；B不正确；C直线与椭圆联立，可得直线与椭圆无交点．而点在椭圆的内部，在直线的左下方，即可判断出正误． D根据，，代入化简即可判断出正误．
【详解】解：由椭圆，可得：，，．
左、右焦点分别为，，
设，则，可得：，．
，直线与直线交点在椭圆的内部．
，A正确；
，B不正确；
直线与椭圆联立，可得：无解，
因此直线与椭圆无交点．
而点在椭圆的内部，在直线的左下方，满足，C正确．
，，，因此D正确．
故选：ACD.
29．ACD
【分析】先根据条件求出椭圆方程，可判断A，B；求出双曲线的焦点可判断C；考虑直线过定点，验证点和椭圆的位置关系可判断D，进而可得正确选项.
【详解】对于A：由已知可得，，所以，可得，
所以椭圆的标准方程为，故选项A正确；
对于B：当时，，椭圆不经过点，故选项B错误；
对于C：双曲线的焦点为，椭圆的焦点为，故椭圆与双曲线的焦点相同，故选项C正确；
对于D：直线恒过点且该点在椭圆内部，所以直线与椭圆恒有交点，故选项D正确，
故选：ACD.
30．AD
【分析】根据轨迹是以斜边为直径的圆，判断在椭圆内或椭圆外即可.
【详解】由题意可得，椭圆的焦点分别为 ，，
因为 ，所以点M在以 为直径的圆上，则短半轴长为 ，所以点M在椭圆内，故A正确；
由 得，则该椭圆的长半轴长为 ，所以点M在椭圆外，故D正确.
故选：AD
31．错误
【分析】根据椭圆内部，外部的条件判断.
【详解】∵，∴点P(2,1)在椭圆的外部，
故答案为：错误.
32．
【分析】先由判断出点P在椭圆内， ，从而得出答案.
【详解】由题意知， ，
因为,
所以点在椭圆内,且点P不与原点O重合,
所以,
所以,
所以,
故答案为:
33．①②
【分析】设，推导出，可判断②的正误；利用点与椭圆的位置关系可判断①的正误；利用椭圆中长半轴长、短半轴长以及半焦距之间的关系可判断③④的正误.
【详解】设，由已知可得，则，
所以，，则，②对；
在椭圆上任取一点，则，
所以，，即点在椭圆内，①对；
因为，则，即，③错；
因为，即，④错.
故答案为：①②.
34．①③④
【分析】利用椭圆的定义和几何性质及点与椭圆的位置关系进行逐项判断即可.
【详解】对于选项①：因为,所以椭圆的焦距为2，故选项①正确；
对于选项②：若椭圆的长轴长为，则，所以椭圆的方程为，
则，从而点在的外部，这与在内矛盾，所以选项②不正确.
对于选项③：因为，为上任意一点，由椭圆的几何性质可知，的最大值为，故选项③正确；
对于选项④：由椭圆定义可知，，
因为，所以，
所以，此时，故选项④正确；
故答案为：①③④
【点睛】本题考查椭圆的定义和几何性质及点与椭圆的位置关系；考查运算求解能力和逻辑推理能力；熟练掌握椭圆的定义和几何性质是求解本题的关键；属于中档题.
35．
【分析】设，由，可知点在以为直径的圆上，根据条件写出圆的方程，化简整理得，将其与椭圆的方程联立，消去，得到关于的一元二次方程，可求得，然后由椭圆的几何性质可得，化简可得和之间的关系，进而可得离心率的范围.
【详解】解：设，由，可知点在以为直径的圆上，
则圆心为，半径为，
则圆的方程是﹐所以①，
又因为点在椭圆上，故②，
把①代入②得，所以，
故，
又，，所以，
又，所以，
所以，则，所以，
因为，故所求的椭圆离心率的取值范围是.
故答案为：.
36．
【详解】∵点为椭圆的左焦点，∴，设椭圆的右焦点，
∵点为椭圆上任意一点，点的坐标为，∴，又∵，
∴，即的最大值为，此时、、共线．
故答案为．
点睛：本题考查椭圆的方程与性质，考查学生转化问题的能力，正确转化是关键.这个题应用到了椭圆中焦半径的性质和焦三角形的性质．一般和焦三角形有关的题，经常和椭圆的定义联系起来，或者焦三角形的周长为定值．
37．
【分析】根据题意直线过的定点在椭圆上或椭圆内，进而，解不等式即可得答案.
【详解】解：由题知直线l：过定点，
因为直线l：与椭圆C：（）总有公共点，
所以点在椭圆上或椭圆内，
所以，由于，所以，
所以实数a的取值范围是
38．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由，右焦点，以及关系，联立可求解出，从而得椭圆的方程；
（2）设点的坐标为，表示出直线的方程，从而得点的坐标，进而表示出和，计算得，再由，代入化简计算，即可得，所以可证明.
(1)
由题知，得，
又因为右焦点为，则，
解得，所以，
所以椭圆的方程为.
(2)
设点的坐标为，则，
所以直线的方程是，
当时，，所以点的坐标为，
所以，，
所以.
因为点在椭圆上，所以，即，
所以
，
又因为和是锐角，
所以.
【点睛】一般椭圆中的动点问题，需要设出动点坐标，然后根据题意列式计算，再由动点满足椭圆的方程代入化简，即可求出定值.
39．(1)
(2)（i）证明见解析；（ii）.
【分析】（1）根据已知条件可得出、，可求得的值，由此可得出椭圆的标准方程；
（2）（i）设点、，可得出，，将点的坐标代入椭圆的方程可得出，然后将点的坐标也代入椭圆的方程，证得即可证得结论成立；
（ii）对直线是否与轴重合进行分类讨论，在直线不与轴重合时，设直线的方程为，将该直线方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，结合（i）中的等式可得出关于的不等式，可求出的取值范围；在直线与轴重合时，求出点、的坐标，可得出点的坐标，求出的值.综合可得出实数的取值范围.
(1)
解：由已知可得，可得，则，
故椭圆的方程为.
(2)
解：（i）设点、，则，，
因为，则点，
同理可得点，
因为点在椭圆上，则，
整理可得，
所以，，
故点也在椭圆上.
（ii）若直线不与轴重合，设直线的方程为，设点、，
联立，可得，
，
由韦达定理可得，，
，
由可得，
整理可得，
解得或；
若直线与轴重合，可设、，则，
由题意可得，解得或.
综上所述，实数的取值范围是.
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：
（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；
（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.
40．（1）（2）
【解析】(1)运用椭圆的离心率公式和的关系，可求得，从而得到椭圆方程.
(2) 设点,,求得点的坐标，分别代入椭圆的方程，化简整理，即可得到答案.
【详解】解：（1）以为圆心以3为半径的圆与以为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆上.
设这两圆的交点为,则
所以，则
又，，可得，
所以椭圆的方程为
（2）由（1）知椭圆的方程为
设点，，由题意知
因为，又，
即，所以，即.
【点睛】本题考查椭圆方程和性质，考查点在椭圆上的应用，属于中档题.
41．（1）；（2）2；（3）.
【分析】（1）利用代入法结合弦长得到等式，再结合椭圆离心率公式、进行求解即可；
（2）直线方程与椭圆方程联立，根据一元二次方程根与系数关系，根的判别式，结合斜率公式进行求解即可；
（3）由角平分线的性质，结合点在椭圆上的性质进行求解即可.
【详解】（1）由于，
将代入椭圆方程，得，
由题意知，又，而，所以，而，
所以，，
所以椭圆的方程为；
（2）设，，
由，消去得，
由，可得，
，，
又直线不经过点上下顶点，且直线与的斜率存在，∴，
∴
即
解得或，因为且
故的值为2；
（3）设，
又，，所以直线，的方程分别为
，，
由题意知，
由于点在椭圆上，所以，，
所以，
因为，，
所以，所以，
因此.
【点睛】关键点睛：利用角平分线的性质是解题的关键.

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