椭圆焦点三角形的周长问题——讲义【题型突破】2023届高考数学一轮之考点微综合(新人教A版2019)(Word版含答案)

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椭圆焦点三角形的周长问题——讲义【题型突破】2023届高考数学一轮之考点微综合(新人教A版2019)(Word版含答案)

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【题型突破】2023年高考数学一轮之考点微综合(新人教A版2019)
椭圆焦点三角形的周长问题
【考点梳理】
焦点三角形:椭圆上的点P(x0,y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形. r1=|PF1|,r2=|PF2|,∠F1PF2=θ,△PF1F2的面积为S,则在椭圆+=1(a>b>0)中:
①焦点三角形的周长为2(a+c);
②4c2=r+r-2r1r2cosθ;
③当r1=r2时,即点P的位置为短轴端点时,θ最大;
④S=r1r2sinθ=b2tan=c,当=b时,即点P的位置为短轴端点时,S取最大值,最大值为bc.
【题型归纳】
一、求焦点三角形的周长问题
1.已知椭圆C:的左右焦点分别为F1、F2,过左焦点F1,作直线交椭圆C于A、B两点,则三角形ABF2的周长为( )
A.10 B.15 C.20 D.25
2.已知点是椭圆上的任意点,是椭圆的左焦点,是的中点,则的周长为( )
A. B. C. D.
3.已知分别为椭圆的左、右焦点,直线与椭圆交于P,Q两点,则的周长为______.
4.椭圆C:的左、右焦点分别为,,P为椭圆上异于左右顶点的任意一点,、的中点分别为M、N,O为坐标原点,四边形OMPN的周长为4,则的周长是_____.
二、与焦点三角形周长有关的最值问题
5.若F为椭圆C:的右焦点,A,B为C上两动点,则△ABF周长的最大值为( )
A.4 B.8 C.10 D.20
6.已知椭圆的左、右焦点分别为,,过的直线交椭圆于,两点,若的最大值为10,则的值是( )
A. B. C. D.
7.直线l过椭圆的中心,交椭圆于A,B两点,F是椭圆的一个焦点,则周长的最小值为( )
A.14 B.16 C.18 D.20
8.已知椭圆的方程为,过椭圆中心的直线交椭圆于A、B两点,是椭圆的右焦点,则的周长的最小值为______.
9.设、是椭圆的左右焦点,过的直线交椭圆于、两点,则的最大值为______.
三、已知焦点三角形周长求参数
10.已知椭圆C:的左 右焦点分别为,,点P在椭圆C上,的周长为16,则___________.
四、与内切圆的结合
11.已知椭圆:的左、右焦点分别为,,如图是过且垂直于长轴的弦,则的内切圆方程是( )
A. B.
C. D.
12.已知椭圆,、为的左、右焦点,是椭圆上的动点,则内切圆半径的最大值为________.
五、与平面向量相结合
13.已知椭圆的左、右焦点分别为,,点A,B是椭圆C上关于x轴对称的两点.若的周长的最大值为8,且的周长最大时,,则椭圆C的标准方程为______.
【巩固训练】
一、单选题
14.设,是椭圆:的左、右焦点,为坐标原点,点在椭圆上,延长交椭圆于点,且,若的面积为,则( )
A. B. C. D.
15.已知,分别是椭圆的左 右焦点,过的直线与椭圆交于A,B两点,C,D分别为线段,的中点,的周长为4,当A为椭圆E的上顶点时,,则椭圆E的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多选题
16.在平面直角坐标系xOy中,已知F1,F2分别是椭圆的左,右焦点,点A,B是椭圆C上异于长轴端点的两点,且满足,则( )
A.△ABF2的周长为定值 B.AB的长度最小值为1
C.若AB⊥AF2,则λ=3 D.λ的取值范围是[1,5]
17.已知椭圆的左、右焦点分别为、,过的直线与交于,两点,则( )
A.的周长为4
B.的周长为8
C.椭圆上的点到焦点的最短距离为1
D.椭圆上的点到焦点的最短距离为3
18.已知椭圆的左、右焦点分别是,,为椭圆上一点,则下列结论正确的是( )
A.的周长为6 B.的面积为
C.的内切圆的半径为 D.的外接圆的直径为
19.已知椭圆M:的左右焦点分别为,左右顶点分别为,P是椭圆上异于的任意一点,则下列说法正确的是( )
A.周长为
B.面积最大值为
C.存在点P满足:
D.若面积为,则点P横坐标为
20.已知椭圆C:的左 右两个端点分别为,P为椭圆上一动点,M(1,1)则下列说法正确的是( )
A.△P的周长为8 B.△P的最大面积为2
C.存在点P使得 D.|PM|+|P|的最大值为7
21.已知椭圆的左、右焦点分别为,为上一点,则( )
A.的离心率为 B.的周长为
C. D.
22.已知椭圆的左,右焦点为F1,F2,点P为椭圆C上的动点(P不在x轴上),则( )
A.椭圆C的焦点在x轴上 B.△的周长为
C.的取值范围为 D.椭圆的离心率为
三、填空题
23.已知分别为椭圆的左右焦点,倾斜角为的直线经过,且与椭圆交于两点,则△的周长为___.
24.已知分别为椭圆的左右焦点,直线 椭圆交于两点,则△的周长为_________.
25.已知椭圆两焦点、,为椭圆上一点,若,则的内切圆半径为______
试卷第1页,共3页
参考答案
1.C
【分析】根据椭圆的定义求解即可
【详解】由题意椭圆的长轴为,由椭圆定义知

故选:C
2.A
【分析】设椭圆的另一个焦点为,连接,利用中位线的性质结合椭圆的定义可求得结果.
【详解】在椭圆中,,,,
如图,设椭圆的另一个焦点为,连接,
因为、分别为、的中点,则,
则的周长为,
故选:A.
3.
【分析】首先得到椭圆的焦点坐标,即可判断直线过左焦点,再根据椭圆的定义计算可得;
【详解】解:椭圆,所以,即、,
直线过左焦点,所以,,,
所以;
故答案为:
4.
【分析】先证明则四边形OMPN是平行四边形,进而根据椭圆定义求出a,再求出c,最后求出答案.
【详解】因为M,O,N分别为的中点,所以,则四边形OMPN是平行四边形,所以,由四边形OMPN的周长为4可知,,即,则,于是
的周长是.
故答案为:.
5.D
【分析】设为椭圆的左焦点,则由椭圆的定义可得:,当共线时,△ABF周长取得最大值,从而可得出答案.
【详解】解:设为椭圆的左焦点,
则由椭圆的定义可得:

当共线时,,
当不共线时,,
所以△ABF周长的最大值为20.
故选:D.
6.C
【分析】利用椭圆定义得到,再由过椭圆焦点的弦中通径的长最短,进而可得,即得.
【详解】∵,为椭圆的两个焦点,
∴,,
的周长为,
即,
若最小,则最大.
又当轴时,最小,此时,
故,
解得.
故选:C.
7.B
【分析】利用椭圆的对称性,再利用椭圆的定义,将的周长化简为,再根据椭圆的性质,可得,即周长的最小值为16
【详解】
如图,E,F是椭圆的两个焦点,则四边形AEBF是平行四边形,结合椭圆的对称性
周长为:
又有:
则有:周长的最小值为16
故选:B
8.10
【分析】连接,,则由椭圆的中心对称性将的周长转化为,所以当取最小值时,周长最小
【详解】解:椭圆的方程为,∴,,,
连接,,则由椭圆的中心对称性可得
的周长,
当AB位于短轴的端点时,取最小值,最小值为,

故答案为:10
9.
【分析】根据椭圆的定义,化简得,进而得到,结合椭圆的焦点弦的性质,即可求解.
【详解】由题意,椭圆,可得,即,
根据椭圆的定义,可得,
则,
所以,
当垂直于轴时,取得最小值,此时取得最大值,
此时,所以的最大值为.
故答案为:.
10.5
【分析】设焦距为2c,根据题意和椭圆的定义可得,结合计算即可得出结果.
【详解】设焦距为2c,因为的周长为16,
所以,化简得①.
又,所以,
可得②,由①②,解得.
故答案为:5
11.C
【分析】根据等面积法求得内切圆的半径,进而求得内切圆的圆心,从而求得内切圆的方程.
【详解】依题意,所以,

则,,,
设内切圆的圆心为,半径为,则

故有,解得,
由,或(舍),
所以的内切圆方程为.
故选:C
12.##1.5
【分析】根据椭圆定义可得,结合内切圆半径,显然当为短轴顶点时最大,即内切圆半径的最大,此时,代入求解.
【详解】∵,则
∴的周长
∵内切圆半径,则内切圆半径的最大即为最大
显然当为短轴顶点时最大,此时

故答案为:.
13.##
【分析】由题可得当AB过时,的周长的最大,结合条件可得.
【详解】设,如图,
∵的周长为,
当且仅当AB过时,取等号,
∴,即,
此时,所以,
故,又,
∴,,又,
∴,
∴椭圆C的标准方程为.
故答案为:.
14.D
【分析】利用的面积可知进而求得.即可得△的是等边三角形,从而求得.
【详解】由题意可知的面积为,
故 ,
在中,设,
由余弦定理可得,


则,
所以的面积
,即 ,
所以,即,
由于 ,.
又.所以△的是等边三角形,即,
由椭圆的定义可得,
即有则,则,则,
,则.
故选:.
15.A
【分析】根据题意结合椭圆的定义可求出,再利用椭圆的几何性质,求出点M坐标,代入到椭圆方程,求得c,即可求得答案.
【详解】由椭圆的定义知,,,
∴,
∵C,D分别为线段,的中点,∴,
∴的周长为,
∴;
当A为椭圆E的上顶点时,,
过点B作轴,垂足为M,显然(O为坐标原点),
∵,∴,即,
∴,,∴,
∴,
∴,∴椭圆E的离心率,
故选:A.
16.AC
【分析】根据椭圆的定义结合椭圆中焦点弦的几何意义,可判断A、B两项,设直线的方程,与椭圆的方程联立,利用韦达定理求解参数的值或取值范围,即可判断C、D项.
【详解】因为,则三点共线,周长是定值,A对.
,B错.
∵,则,A在上、下顶点处,不妨设,则
解得或,,,,C对.

消x可得,
时,
时,∴,D错.
故选:AC.
17.BC
【分析】根据椭圆的定义和椭圆的几何性质,即可求得三角形的周长和最短距离,得到答案.
【详解】由题意,椭圆,可得,则,
则的周长为,
又由椭圆的几何性质,可得椭圆上的点到焦点的最短距离为.
故选:BC
18.ABC
【分析】求得,进而求得,由此对选项进行分析,从而确定正确选项.
【详解】椭圆的左、右焦点分别是,,
为椭圆上一点,,
所以.
所以的周长为,A正确.
的面积为,B正确.
设的内切圆的半径为,则,C选项正确.
为锐角,

所以的外接圆的直径为,D选项错误.
故选:ABC
19.BD
【分析】根据椭圆的定义判断A,利用椭圆的性质可得面积最大值判断B,求出当是短轴端点时的后可判断C,由三角形面积求得点坐标后可判断D.
【详解】由题意,,,短轴一个端点,
由题知,故周长为,故A错误;
利用椭圆的性质可知面积最大值为,故B正确;
因为,所以,从而,而是椭圆上任一点时,当是短轴端点时最大,因此不存在点满足,故C错误;
因为,,
则,,故D正确.
故选:BD.
20.ABD
【分析】对A,可得的周长为,故选项A正确;
对B,当P为椭圆短轴顶点时,的面积最大,且最大面积为,故选项B正确;
对C,当P为椭圆短轴顶点时,为最大, 为锐角,所以不存在点P使得,故选项C错误;
对D, ,所以选项D正确.
【详解】解:对A,由椭圆,可得的周长为:,故选项A正确;
对B,当P为椭圆短轴顶点时,的面积最大,且最大面积为:,故选项B正确;
对C,当P为椭圆短轴顶点时,为最大,此时,即为锐角,所以不存在点P使得,故选项C错误;
对D,由椭圆,所以,又,所以,所以,故选项D正确.
故选:ABD.
21.CD
【分析】由椭圆方程可确定,根据离心率,焦点三角形周长为可确定AB错误;
当为椭圆短轴端点时最大,由此可确定,知C正确;
根据可知D正确.
【详解】对于A,由椭圆方程知:,,离心率,A错误;
对于B,由椭圆定义知:,,
的周长为,B错误;
对于C,当为椭圆短轴端点时,,
,,即,
,C正确;
对于D,,,,D正确.
故选:CD.
22.ABD
【分析】由椭圆方程确定椭圆参数值,A根据参数a、b的大小关系判断;B由△的周长为判断;C根据椭圆的有界性判断;D直接求离心率判断.
【详解】A:由椭圆方程知:,故椭圆C的焦点在x轴上,正确;
B:由,且△的周长为,正确;
C:由P为椭圆C上的动点且不在x轴上,则,错误;
D:椭圆的离心率为,正确.
故选:ABD
23.20
【分析】利用椭圆的定义有,进而求△的周长即可.
【详解】由椭圆方程知:,而,
又△ABF2的周长是 .
故答案为:20.
24.
【分析】分析知,直线过椭圆的左焦点,所以△的周长为,即可求出答案.
【详解】由椭圆的方程知:,而直线令,所以直线过椭圆的左焦点,由椭圆的定义知:
,,则△的周长为:
故答案为:.
25.##
【分析】根据椭圆的方程求得,得,设出,,利用余弦定理可求得的值,得到△的面积,再由等面积法求出△内切圆的半径.
【详解】由题意方程可得,,,,即,
设,,
则根据椭圆的定义可得:,①
在中,,
根据余弦定理可得:,②
联立①②得,
,
设△内切圆半径为,
△的周长为,面积为,
则 ,

故答案为:

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