资源简介 【题型突破】2023年高考数学一轮之考点微综合(新人教A版2019)椭圆焦点三角形的周长问题【考点梳理】焦点三角形:椭圆上的点P(x0,y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形. r1=|PF1|,r2=|PF2|,∠F1PF2=θ,△PF1F2的面积为S,则在椭圆+=1(a>b>0)中:①焦点三角形的周长为2(a+c);②4c2=r+r-2r1r2cosθ;③当r1=r2时,即点P的位置为短轴端点时,θ最大;④S=r1r2sinθ=b2tan=c,当=b时,即点P的位置为短轴端点时,S取最大值,最大值为bc.【题型归纳】一、求焦点三角形的周长问题1.已知椭圆C:的左右焦点分别为F1、F2,过左焦点F1,作直线交椭圆C于A、B两点,则三角形ABF2的周长为( )A.10 B.15 C.20 D.252.已知点是椭圆上的任意点,是椭圆的左焦点,是的中点,则的周长为( )A. B. C. D.3.已知分别为椭圆的左、右焦点,直线与椭圆交于P,Q两点,则的周长为______.4.椭圆C:的左、右焦点分别为,,P为椭圆上异于左右顶点的任意一点,、的中点分别为M、N,O为坐标原点,四边形OMPN的周长为4,则的周长是_____.二、与焦点三角形周长有关的最值问题5.若F为椭圆C:的右焦点,A,B为C上两动点,则△ABF周长的最大值为( )A.4 B.8 C.10 D.206.已知椭圆的左、右焦点分别为,,过的直线交椭圆于,两点,若的最大值为10,则的值是( )A. B. C. D.7.直线l过椭圆的中心,交椭圆于A,B两点,F是椭圆的一个焦点,则周长的最小值为( )A.14 B.16 C.18 D.208.已知椭圆的方程为,过椭圆中心的直线交椭圆于A、B两点,是椭圆的右焦点,则的周长的最小值为______.9.设、是椭圆的左右焦点,过的直线交椭圆于、两点,则的最大值为______.三、已知焦点三角形周长求参数10.已知椭圆C:的左 右焦点分别为,,点P在椭圆C上,的周长为16,则___________.四、与内切圆的结合11.已知椭圆:的左、右焦点分别为,,如图是过且垂直于长轴的弦,则的内切圆方程是( )A. B.C. D.12.已知椭圆,、为的左、右焦点,是椭圆上的动点,则内切圆半径的最大值为________.五、与平面向量相结合13.已知椭圆的左、右焦点分别为,,点A,B是椭圆C上关于x轴对称的两点.若的周长的最大值为8,且的周长最大时,,则椭圆C的标准方程为______.【巩固训练】一、单选题14.设,是椭圆:的左、右焦点,为坐标原点,点在椭圆上,延长交椭圆于点,且,若的面积为,则( )A. B. C. D.15.已知,分别是椭圆的左 右焦点,过的直线与椭圆交于A,B两点,C,D分别为线段,的中点,的周长为4,当A为椭圆E的上顶点时,,则椭圆E的离心率为( )A. B. C. D.二、多选题16.在平面直角坐标系xOy中,已知F1,F2分别是椭圆的左,右焦点,点A,B是椭圆C上异于长轴端点的两点,且满足,则( )A.△ABF2的周长为定值 B.AB的长度最小值为1C.若AB⊥AF2,则λ=3 D.λ的取值范围是[1,5]17.已知椭圆的左、右焦点分别为、,过的直线与交于,两点,则( )A.的周长为4B.的周长为8C.椭圆上的点到焦点的最短距离为1D.椭圆上的点到焦点的最短距离为318.已知椭圆的左、右焦点分别是,,为椭圆上一点,则下列结论正确的是( )A.的周长为6 B.的面积为C.的内切圆的半径为 D.的外接圆的直径为19.已知椭圆M:的左右焦点分别为,左右顶点分别为,P是椭圆上异于的任意一点,则下列说法正确的是( )A.周长为B.面积最大值为C.存在点P满足:D.若面积为,则点P横坐标为20.已知椭圆C:的左 右两个端点分别为,P为椭圆上一动点,M(1,1)则下列说法正确的是( )A.△P的周长为8 B.△P的最大面积为2C.存在点P使得 D.|PM|+|P|的最大值为721.已知椭圆的左、右焦点分别为,为上一点,则( )A.的离心率为 B.的周长为C. D.22.已知椭圆的左,右焦点为F1,F2,点P为椭圆C上的动点(P不在x轴上),则( )A.椭圆C的焦点在x轴上 B.△的周长为C.的取值范围为 D.椭圆的离心率为三、填空题23.已知分别为椭圆的左右焦点,倾斜角为的直线经过,且与椭圆交于两点,则△的周长为___.24.已知分别为椭圆的左右焦点,直线 椭圆交于两点,则△的周长为_________.25.已知椭圆两焦点、,为椭圆上一点,若,则的内切圆半径为______试卷第1页,共3页参考答案1.C【分析】根据椭圆的定义求解即可【详解】由题意椭圆的长轴为,由椭圆定义知∴故选:C2.A【分析】设椭圆的另一个焦点为,连接,利用中位线的性质结合椭圆的定义可求得结果.【详解】在椭圆中,,,,如图,设椭圆的另一个焦点为,连接,因为、分别为、的中点,则,则的周长为,故选:A.3.【分析】首先得到椭圆的焦点坐标,即可判断直线过左焦点,再根据椭圆的定义计算可得;【详解】解:椭圆,所以,即、,直线过左焦点,所以,,,所以;故答案为:4.【分析】先证明则四边形OMPN是平行四边形,进而根据椭圆定义求出a,再求出c,最后求出答案.【详解】因为M,O,N分别为的中点,所以,则四边形OMPN是平行四边形,所以,由四边形OMPN的周长为4可知,,即,则,于是的周长是.故答案为:.5.D【分析】设为椭圆的左焦点,则由椭圆的定义可得:,当共线时,△ABF周长取得最大值,从而可得出答案.【详解】解:设为椭圆的左焦点,则由椭圆的定义可得:,当共线时,,当不共线时,,所以△ABF周长的最大值为20.故选:D.6.C【分析】利用椭圆定义得到,再由过椭圆焦点的弦中通径的长最短,进而可得,即得.【详解】∵,为椭圆的两个焦点,∴,,的周长为,即,若最小,则最大.又当轴时,最小,此时,故,解得.故选:C.7.B【分析】利用椭圆的对称性,再利用椭圆的定义,将的周长化简为,再根据椭圆的性质,可得,即周长的最小值为16【详解】如图,E,F是椭圆的两个焦点,则四边形AEBF是平行四边形,结合椭圆的对称性周长为:又有:则有:周长的最小值为16故选:B8.10【分析】连接,,则由椭圆的中心对称性将的周长转化为,所以当取最小值时,周长最小【详解】解:椭圆的方程为,∴,,,连接,,则由椭圆的中心对称性可得的周长,当AB位于短轴的端点时,取最小值,最小值为,.故答案为:109.【分析】根据椭圆的定义,化简得,进而得到,结合椭圆的焦点弦的性质,即可求解.【详解】由题意,椭圆,可得,即,根据椭圆的定义,可得,则,所以,当垂直于轴时,取得最小值,此时取得最大值,此时,所以的最大值为.故答案为:.10.5【分析】设焦距为2c,根据题意和椭圆的定义可得,结合计算即可得出结果.【详解】设焦距为2c,因为的周长为16,所以,化简得①.又,所以,可得②,由①②,解得.故答案为:511.C【分析】根据等面积法求得内切圆的半径,进而求得内切圆的圆心,从而求得内切圆的方程.【详解】依题意,所以,,则,,,设内切圆的圆心为,半径为,则,故有,解得,由,或(舍),所以的内切圆方程为.故选:C12.##1.5【分析】根据椭圆定义可得,结合内切圆半径,显然当为短轴顶点时最大,即内切圆半径的最大,此时,代入求解.【详解】∵,则∴的周长∵内切圆半径,则内切圆半径的最大即为最大显然当为短轴顶点时最大,此时则故答案为:.13.##【分析】由题可得当AB过时,的周长的最大,结合条件可得.【详解】设,如图,∵的周长为,当且仅当AB过时,取等号,∴,即,此时,所以,故,又,∴,,又,∴,∴椭圆C的标准方程为.故答案为:.14.D【分析】利用的面积可知进而求得.即可得△的是等边三角形,从而求得.【详解】由题意可知的面积为,故 ,在中,设,由余弦定理可得,即,则,所以的面积,即 ,所以,即,由于 ,.又.所以△的是等边三角形,即,由椭圆的定义可得,即有则,则,则,,则.故选:.15.A【分析】根据题意结合椭圆的定义可求出,再利用椭圆的几何性质,求出点M坐标,代入到椭圆方程,求得c,即可求得答案.【详解】由椭圆的定义知,,,∴,∵C,D分别为线段,的中点,∴,∴的周长为,∴;当A为椭圆E的上顶点时,,过点B作轴,垂足为M,显然(O为坐标原点),∵,∴,即,∴,,∴,∴,∴,∴椭圆E的离心率,故选:A.16.AC【分析】根据椭圆的定义结合椭圆中焦点弦的几何意义,可判断A、B两项,设直线的方程,与椭圆的方程联立,利用韦达定理求解参数的值或取值范围,即可判断C、D项.【详解】因为,则三点共线,周长是定值,A对.,B错.∵,则,A在上、下顶点处,不妨设,则解得或,,,,C对.令消x可得,时,时,∴,D错.故选:AC.17.BC【分析】根据椭圆的定义和椭圆的几何性质,即可求得三角形的周长和最短距离,得到答案.【详解】由题意,椭圆,可得,则,则的周长为,又由椭圆的几何性质,可得椭圆上的点到焦点的最短距离为.故选:BC18.ABC【分析】求得,进而求得,由此对选项进行分析,从而确定正确选项.【详解】椭圆的左、右焦点分别是,,为椭圆上一点,,所以.所以的周长为,A正确.的面积为,B正确.设的内切圆的半径为,则,C选项正确.为锐角,,所以的外接圆的直径为,D选项错误.故选:ABC19.BD【分析】根据椭圆的定义判断A,利用椭圆的性质可得面积最大值判断B,求出当是短轴端点时的后可判断C,由三角形面积求得点坐标后可判断D.【详解】由题意,,,短轴一个端点,由题知,故周长为,故A错误;利用椭圆的性质可知面积最大值为,故B正确;因为,所以,从而,而是椭圆上任一点时,当是短轴端点时最大,因此不存在点满足,故C错误;因为,,则,,故D正确.故选:BD.20.ABD【分析】对A,可得的周长为,故选项A正确;对B,当P为椭圆短轴顶点时,的面积最大,且最大面积为,故选项B正确;对C,当P为椭圆短轴顶点时,为最大, 为锐角,所以不存在点P使得,故选项C错误;对D, ,所以选项D正确.【详解】解:对A,由椭圆,可得的周长为:,故选项A正确;对B,当P为椭圆短轴顶点时,的面积最大,且最大面积为:,故选项B正确;对C,当P为椭圆短轴顶点时,为最大,此时,即为锐角,所以不存在点P使得,故选项C错误;对D,由椭圆,所以,又,所以,所以,故选项D正确.故选:ABD.21.CD【分析】由椭圆方程可确定,根据离心率,焦点三角形周长为可确定AB错误;当为椭圆短轴端点时最大,由此可确定,知C正确;根据可知D正确.【详解】对于A,由椭圆方程知:,,离心率,A错误;对于B,由椭圆定义知:,,的周长为,B错误;对于C,当为椭圆短轴端点时,,,,即,,C正确;对于D,,,,D正确.故选:CD.22.ABD【分析】由椭圆方程确定椭圆参数值,A根据参数a、b的大小关系判断;B由△的周长为判断;C根据椭圆的有界性判断;D直接求离心率判断.【详解】A:由椭圆方程知:,故椭圆C的焦点在x轴上,正确;B:由,且△的周长为,正确;C:由P为椭圆C上的动点且不在x轴上,则,错误;D:椭圆的离心率为,正确.故选:ABD23.20【分析】利用椭圆的定义有,进而求△的周长即可.【详解】由椭圆方程知:,而,又△ABF2的周长是 .故答案为:20.24.【分析】分析知,直线过椭圆的左焦点,所以△的周长为,即可求出答案.【详解】由椭圆的方程知:,而直线令,所以直线过椭圆的左焦点,由椭圆的定义知:,,则△的周长为:故答案为:.25.##【分析】根据椭圆的方程求得,得,设出,,利用余弦定理可求得的值,得到△的面积,再由等面积法求出△内切圆的半径.【详解】由题意方程可得,,,,即,设,,则根据椭圆的定义可得:,①在中,,根据余弦定理可得:,②联立①②得,,设△内切圆半径为,△的周长为,面积为,则 ,,故答案为: 展开更多...... 收起↑ 资源预览