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【题型突破】2023年高考数学一轮之考点微综合（新人教A版2019）
椭圆焦点三角形的面积问题
【考点梳理】
焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形. r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆＋＝1(a＞b＞0)中：
①焦点三角形的周长为2(a＋c)；
②4c2＝r＋r－2r1r2cosθ；
③当r1＝r2时，即点P的位置为短轴端点时，θ最大；
④S＝r1r2sinθ＝b2tan＝c，当＝b时，即点P的位置为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc.
【题型归纳】
一、求椭圆焦点三角的面积
1．已知点是椭圆上一点，是其左右焦点，且，则三角形的面积为_________
2．已知点是椭圆上的点，点是椭圆的两个焦点，若中有一个角的大小为，则的面积为______．
3．设是椭圆的两个焦点，P是椭圆上的点，且，则的面积为（ ）
A． B． C．4 D．6
4．设是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，且.则的面积为（ ）
A．6 B． C．8 D．
5．已知点F1，F2分别是椭圆的左右焦点，点M在椭圆C上，且满足，则的面积为___________.
6．已知椭圆的焦点为，，若椭圆C上存在一点P，使得，且△的面积等于4.则实数b的值为___________.
二、椭圆焦点三角形面积的最值问题
7．已知、为椭圆的左、右焦点，M为上的点，则面积的最大值为（ ）
A． B．2 C． D．4
三、已知椭圆焦点三角形面积求边
8．设、是椭圆的两个焦点，为坐标原点，点在上，且的面积为，则（ ）
A． B． C． D．
9．已知分别是椭圆的左，右焦点，点M是椭圆C上的一点，且的面积为1，则椭圆C的短轴长为（ ）
A．1 B．2 C． D．4
四、与内切圆相结合
10．已知椭圆两焦点、，为椭圆上一点，若，则的内切圆半径为______
五、与平面向量相结合
11．已知是椭圆上的点，、分别是椭圆的左、右焦点，若，则的面积为（ ）
A． B． C． D．9
12．已知、是椭圆的两个焦点，P为椭圆C上一点，且．若的面积为9，求实数b的值．
【巩固训练】
一、单选题
13．已知点在椭圆上，与分别为左、右焦点，若，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
14．已知椭圆：，，分别为它的左右焦点，，分别为它的左右顶点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中错误的是（ ）
A．离心率 B．的周长为18
C．直线与直线斜率乘积为定值 D．若，则的面积为8
15．已知椭圆的左 右焦点分别为，，点是椭圆上一点，点是线段上一点，且，，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
16．椭圆的左、右焦点分别为，，点P在椭圆C上，若方程所表示的直线恒过定点M，点Q在以点M为圆心，C的长轴长为直径的圆上，则下列说法正确的是（ ）
A．椭圆C的离心率为 B．的最大值为4
C．的面积可能为2 D．的最小值为
17．已知椭圆，若P在椭圆上，、是椭圆的左、右焦点，则下列说法正确的有（ ）
A．若，则 B．面积的最大值为
C．的最大值为 D．满足是直角三角形的点有个
18．已知椭圆的左、右焦点分别是，，为椭圆上一点，则下列结论正确的是（ ）
A．的周长为6 B．的面积为
C．的内切圆的半径为 D．的外接圆的直径为
19．双曲线的左，右焦点分别为，，点P在C上.若是直角三角形，则的面积为（ ）
A． B． C．4 D．2
20．已知P是椭圆：上的动点，过直线与椭圆交于两点，则（ ）
A．的焦距为 B．当为中点时，直线的斜率为
C．的离心率为 D．若，则的面积为1
21．设椭圆的左右焦点为，，是上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．离心率
B．面积的最大值为
C．以线段为直径的圆与直线相切
D．的最小值为0
三、填空题
22．设是椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，且，则的面积等于_______.
23．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，点P在椭圆上，⊥x轴，则的面积为_________．
四、解答题
24．设椭圆的左、右焦点分别为、，点P，Q为椭圆C上任意两点，且，若的周长为8，面积的最大值为2．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设椭圆C内切于矩形ABCD（椭圆与矩形四条边均相切），求矩形ABCD面积的最大值．
25．已知椭圆的两焦点分别为、，为椭圆上一点，且．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若点在第二象限，，求△的面积．
26．已知圆圆心为M，定点，动点A在圆M上，线段AN的垂直平分线交线段MA于点P
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)若点Q是曲线C上一点，且，求的面积.
试卷第1页，共3页
参考答案
1．
【分析】由椭圆方程可得，利用椭圆定义和余弦定理可构造方程求得，由三角形面积公式可求得结果.
【详解】由椭圆方程知：，，则；
由椭圆定义知：，
由余弦定理得：，
，解得：，
.
故答案为：.
2．或##或
【分析】由椭圆方程可求得；当时，由焦点三角形面积公式可求得；当时，利用余弦定理可构造方程求得，由三角形面积公式可得结果.
【详解】由椭圆方程知：，，则；
若，则；
若，设，则，
由余弦定理得：，解得：，
；
同理可得：当时，.
综上所述：的面积为或.
故答案为：或.
3．D
【分析】根据椭圆的定义求出，从而判断出为直角三角形，然后即可求出的面积.
【详解】易知，，所以，，即，
由椭圆的定义，知，又因为，
所以，又，
所以为直角三角形，所以.
故选：D.
4．B
【分析】利用椭圆的几何性质，得到，，进而利用得出，进而可求出
【详解】解：由椭圆的方程可得，
所以，得
且，，
在中，由余弦定理可得
，
而，所以，，
又因为，，所以，
所以，
故选：B
5．1
【分析】设，则可得，再由可得，而点在椭圆上，则有，求出，从而可求出的面积
【详解】由题意可得，则，
设，则，
因为，
所以，所以，
因为点在椭圆上，
所以，
解得，
所以的面积为，
故答案为：1
6．2
【分析】由三角形面积公式、向量数量积的坐标表示及P在椭圆上列方程可得、，即可求参数b.
【详解】由题设，，且，可得，
又，则，
综上，，又，则.
故答案为：2
7．A
【分析】由于为定值，所以当点到的距离最大时，面积取得最大值，即当与短轴的一个端点重合时，面积的最大
【详解】由，得，
所以，
由椭圆的性质可知当与短轴的一个端点重合时，面积的最大，
所以面积的最大值为
，
故选：A
8．A
【分析】根据三角形的面积可求得点的坐标，由此可求得的值.
【详解】在椭圆中，，，则，所以，，
，所以，所以，
则，
故选：A.
9．B
【分析】首先分别设，，再根据椭圆的定义和性质列出等式，即可求解椭圆的短轴长.
【详解】设，，
所以，即，
即，得，短轴长为.
故选：B
10．##
【分析】根据椭圆的方程求得，得，设出，，利用余弦定理可求得的值，得到△的面积，再由等面积法求出△内切圆的半径．
【详解】由题意方程可得，，，，即,
设，，
则根据椭圆的定义可得：，①
在中，，
根据余弦定理可得：，②
联立①②得，
,
设△内切圆半径为，
△的周长为，面积为，
则 ，
，
故答案为：
11．A
【分析】由已知可得，然后利用余弦定理和椭圆定义列方程组可解.
【详解】因为，
所以，
又
记，则，
②2-①整理得：，所以
故选：A
12．
【分析】由题意以及椭圆的几何性质列方程即可求解.
【详解】因为，所以，
所以为直角三角形，
，，
，
即，
，
所以，所以．所以；
综上，b=3.
13．A
【分析】由椭圆的定义结合余弦定理解得，通过三角形面积公式即可求得答案.
【详解】由， ，又，解得，
.
故选：A.
14．D
【分析】根据离心率的定义可判断A；利用椭圆的定义可判断B；求出可判断C；利用勾股定理以及椭圆的定义求出可判断D.
【详解】由，可得，，，
A，离心率，故A正确；
B，的周长为，故B正确.
C，设，，故C正确；
D，，，
又因为，所以，
即，解得,
所以，故D错误.
故选：D
15．B
【分析】由椭圆定义得，由余弦定理可得，再由三角形面积公式得和的关系，从而求得，然后可得离心率．
【详解】解：设，，则，
由余弦定理得，
即，
所以，
因为，
所以，
整理得，即，整理得，
所以，，，
故选：B.
16．ABD
【分析】A：根据椭圆方程可直接求得，，，和离心率；B：由椭圆的定义可得，结合不等式代入运算；C：点P位于椭圆的上、下顶点时，的面积取得最大，计算判断；D：利用椭圆定义和圆的性质转化处理．
【详解】对于选项A，由椭圆C的方程知，，，所以离心率，故选项A正确；
对于选项B，由椭圆的定义可得，所以，即的最大值为4，故选项B正确；
对于选项C，当点P位于椭圆的上、下顶点时，的面积取得最大值，故选项C错误；
对于选项D，易知，则圆，所以，故选项D正确，
故选：ABD．
17．ABC
【分析】利用余弦定理可判断A选项；利用三角形的面积公式可判断B选项；利用椭圆的定义可判断C选项；利用平面向量的数量积可判断D选项.
【详解】在椭圆中，，，，且，
对于A选项，当时，则，
由余弦定理可得，
因为，所以，，A对；
对于B选项，当点为椭圆的短轴顶点时，点到轴的距离最大，
所以，面积的最大值为，B对；
对于C选项，因为，即，
所以，，C对；
对于D选项，当或时，为直角三角形，此时满足条件的点有个，
当为直角顶点时，设点，则，
，，，
所以，，，此时，满足条件的点有个，
综上所述，满足是直角三角形的点有个，D错.
故选：ABC.
18．ABC
【分析】求得，进而求得，由此对选项进行分析，从而确定正确选项.
【详解】椭圆的左、右焦点分别是，，
为椭圆上一点，，
所以.
所以的周长为，A正确.
的面积为，B正确.
设的内切圆的半径为，则，C选项正确.
为锐角，
，
所以的外接圆的直径为，D选项错误.
故选：ABC
19．AC
【分析】根据双曲线方程求出，再根据对称性只需考虑或.当时，将代入双曲线方程，求出，即可求出三角形面积，当时，由双曲线的定义可知，再由勾股定理求出，即可得解；
【详解】解：由双曲线可得.根据双曲线的对称性只需考虑或.
当时，将代入可得，所以的面积为.
当时，由双曲线的定义可知，
，由勾股定理可得.
因为，
所以，此时的面积为
综上所述，的面积为4或.
故选：.
20．CD
【分析】由题知，，进而根据离心率公式和焦距可判断A，C；对于B，利用中点弦的直线的斜率公式直接计算即可判断；对于D选项，结合椭圆定义得，进而计算面积即可判断.
【详解】解：由题知，所以，故焦距为，故A选项错误；
对于B选项，当为中点时，由中点弦公式得，故B选项错误；
对于C选项，椭圆的离心率为，故C选项正确；
对于D选项，，则，即，代入数据得，
所以的面积为，故D选项正确；
故选：CD
21．CD
【分析】求出离心率可判断A；计算面积的最大值可判断B；求出圆的方程，再判断圆心到直线的距离与半径的关系可判断C；设进行数量积的坐标运算结合可判断D，进而可得正确选项.
【详解】对于A：由椭圆可知，，，，
所以左、右焦点分别为，，离心率，故选项A错误；
对于B：，当点与椭圆的上下顶点重合时，面积的最大，
所以面积的最大值为，故选项B错误；
对于C：以线段为直径的圆的圆心，半径为1，
由圆心到直线的距离，
所以以线段为直径的圆与直线相切，故选项C正确；
对于D：设，，
，则的最小值为，
故选项D正确；
故选：CD．
22．
【分析】先利用定义求出的各边，再求出，即可求出的面积.
【详解】由，且，
在中，∠
.
故答案为：
23．##
【分析】⊥x轴可得P点横坐标，再根据点P在椭圆上，求出P的纵坐标，代入三角形面积公式即可求解.
【详解】由题意不妨设﹣，0)，，0)，
∵P⊥x轴，∴P(，±)，
∵△P的面积＝|P|||＝2＝，
故答案为：．
24．(1)
(2)12
【分析】（1）根据椭圆的定义可知，即可求出，再根据及、、的关系计算可得；
（2）当矩形ABCD中有一条边与坐标轴平行时，直接求出矩形的面积，当矩形ABCD的边都不与坐标轴平行时，设出直线方程，联立直线与椭圆方程，消元、根据求出，同理得，再由平行线之间的距离公式求出，，即可求出，最后利用基本不等式计算可得；
(1)
解：由得P、、Q三点共线，
因为三角形的周长为8，即，
所以，则．
当P点为椭圆上或下顶点时的面积最大，
即，
由，解得，
所以椭圆C的方程为．
(2)
解：当矩形ABCD中有一条边与坐标轴平行时，则另外三条边也与坐标轴平行，
矩形ABCD的两条边长分别为，，
此时．
当矩形ABCD的边都不与坐标轴平行时，由对称性，
不妨设直线AB的方程为：，则CD的方程为：，
AD的方程为：，BC的方程为：．
由，得，
令得，同理得，
矩形ABCD的边长分别为，，
∴，
，
当且仅当时取等号，所以矩形ABCD面积的最大值是12．
综上所述，矩形ABCD面积的最大值是12．
25．(1)
(2)
【分析】（1）根据椭圆的定义得，进而得答案；
（2）根据余弦定理，结合椭圆定义，解决焦点三角形的面积问题即可.
(1)
解:∵椭圆的两焦点分别为、，
∴设椭圆的方程为，，
，
．，
椭圆的标准方程为．
(2)
解：在△中，由余弦定理得，
即，
，
，
．
26．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意中的几何关系，判断动点的轨迹为椭圆，写出其方程即可；
（2）利用椭圆定义结合余弦定理，即可求得，再求三角形面积即可.
(1)
由已知，故，
所以P点轨迹是以M、N为焦点的椭圆，
设P点轨迹方程为，则，
所以P点轨迹方程为.
(2)
不妨设，由椭圆定义可得，又，
则在中，由余弦定理可得：，
解得.
故的面积.

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