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【题型突破】2023年高考数学一轮之考点微综合（新人教A版2019）
椭圆焦点三角形的应用
【考点梳理】
椭圆的焦点三角形是描述椭圆上的点到焦点的距离、焦距之间的相互制约关系的一个载体. 由于其位置、边的特殊性决定了它易于同椭圆的定义、长轴长、离心率等几何量发生联系，内容丰富多彩.
【题型归纳】
一、求边
1．设椭圆的左右焦点分别为，，点P在椭圆上，且满足，则的值是（ ）
A．14 B．17 C．20 D．23
2．设，为椭圆的两个焦点，点P在椭圆上，若线段的中点在y轴上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．已知椭圆：的左、右两个焦点分别为、，过的直线交椭圆于两点.若是等边三角形，则的值等于_________.
二、求角
4．已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，若，则（ ）
A． B． C． D．
5．椭圆的焦点为点在椭圆上，若则的大小为___．
6．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线与交于A，B两点，满足且，则______．
7．已知、分别是椭圆的左、右焦点，P是椭圆上一点，若，则这样的点P有______个．
8．已知点为椭圆的左焦点，过原点的直线交椭圆于两点，点是椭圆上异于的一点，直线的斜率分别为，且，若，则________．
三、求范围
9．设为椭圆的焦点，若在椭圆上存在点，满足，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
10．已知点P在椭圆上，为椭圆的两个焦点，求的取值范围．
11．已知椭圆的左、右焦点为，，点P为椭圆上动点，则的值是______；的取值范围是______．
四、求离心率
12．已知椭圆）的左 右焦点分别为和为C上一点，且的内心为，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
13．已知椭圆：与双曲线：（，）具有共同的焦点，，离心率分别为，，且.点是椭圆和双曲线的一个交点，且，则（ ）
A． B． C． D．
14．已知点，分别是椭圆和双曲线的公共焦点，，分别是和的离心率，点P为和的一个公共点，且，若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
一、单选题
15．已知椭圆：，，分别为它的左右焦点，，分别为它的左右顶点，已知定点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中不正确的是（ ）
A．存在点，使得 B．直线与直线斜率乘积为定值
C．有最小值 D．的范围为
16．椭圆与双曲线共焦点，，它们的交点为，且.若椭圆的离心率为，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
17．已知点，分别是椭圆的左、右焦点，点A是椭圆上一点，点О为坐标原点，若，直线的斜率为，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B．
C． D．
18．设双曲线与椭圆：有公共焦点，.若双曲线经过点，设为双曲线与椭圆的一个交点，则的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
19．阿基米德是古希腊著名的数学家 物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积，已知在平面直角坐标系中，椭圆的面积为，两焦点与短轴的一个端点构成等边三角形，则椭圆的标准方程是（ ）
A． B． C． D．
20．已知，为椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点，椭圆的离心率为，M为椭圆上一动点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
21．椭圆与双曲线有相同的焦点，，离心率互为倒数，为椭圆上任意一点，则角的最大值为（ ）
A． B． C． D．
22．已知椭圆的左右焦点分别为，，椭圆上有两点，（点A在x轴上方），满足，若，则直线的斜率为（ ）
A． B． C．2 D．3
23．椭圆的左、右焦点分别为、，上存在两点、满足，，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
24．已知椭圆：（）与双曲线：（）有相同的焦点、，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点为椭圆与双曲线的交点，且，则取最大值时的值为（ ）
A． B．
C． D．
25．已知，是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若以为直径的圆过点P，且，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
26．已知分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上一点，且，若，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
27．已知椭圆的左 右焦点分别是，，直线与椭圆交于，两点，，且，则椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
28．若椭圆的左、右焦点分别为、，点P为椭圆C上一动点，则下列说法中不正确的是（ ）
A．当点P不在x轴上时，的周长是6
B．当点P不在x轴上时，面积的最大值为
C．存在点P，使
D．的取值范围是
29．传说，意大利的西西里岛有个山洞是用来关押罪犯的，罪犯们曾多次密谋商议逃跑，但不管多完美的计划都会被狱率发现，原来山洞内的空间是一个椭球体，最大截面部分是一个椭圆面，罪犯和狱率所待的地方正好是椭圆的两个焦点，罪犯们说的话经过洞壁的反射，最终都传向了狱警所在的地方，即椭圆的另一个焦点，这里面含着椭圆的光学性质.请利用椭圆的该性质解决下列问题：已知是椭圆：上的点.、是椭圆的左右焦点，，为坐标原点，到椭圆在处的切线的距离为（ ）
A． B． C． D．
30．在平面直角坐标系中，若△ABC的顶点和，顶点B在椭圆上，则的值是（ ）
A． B．2 C． D．4
31．已知是椭圆的两个焦点，是椭圆上任意一点，过引的外角平分线的垂线，垂足为，则与短轴端点的最近距离为（ ）
A． B． C． D．
32．已知为椭圆和双曲线的公共焦点，P为其一个公共点，且，，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
33．已知点P在以为左，右焦点的椭圆上，在中，若，，则（ ）
A． B． C． D．
34．已知椭圆的左、右焦点分别为，，焦距为，直线与椭圆的一个交点为在第一象限）满足，则该椭圆的离心率为　　
A． B． C． D．
35．椭圆的焦点为，，点P在椭圆上，如果线段的中点在y轴上，那么的值为（ ）
A．7 B．5 C． D．
36．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，短轴长为2，为坐标原点，点在上且（为椭圆的半焦距），直线与交于另一个点，若，则的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
37．已知，是椭圆的两焦点，是椭圆上任一点，从引外角平分线的垂线，垂足为，则点的轨迹为（ ）
A．圆 B．两个圆 C．椭圆 D．两个椭圆
38．已知点M是椭圆上任意一点，两个焦点分别为，若的最大值为8，则a的值为（ ）
A．8 B．4 C． D．2
39．设椭圆(m>0)的左焦点为F，点P在椭圆上且在第一象限，直线PF与圆相交于A.B两点，若A，B是线段PF的两个三等分点，则直线PF的斜率为（ ）
A． B． C． D．
40．已知椭圆的左、右焦点分别为、，第一象限内的点在椭圆上，且满足，点在线段、上，设，将沿翻折，使得平面与平面垂直，要使翻折后的长度最小，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
41．已知椭圆的左，右焦点分别为，A，B两点都在C上，且A，B关于坐标原点对称，则（ ）
A．的最大值为 B．为定值
C．C的焦距是短轴长的2倍 D．存在点A，使得
42．已知椭圆的左 右焦点分别为，上顶点为B，且，点P在C上，线段与交于Q，，则（ ）
A．椭圆C的离心率为 B．椭圆C上存在点K，使得
C．直线的斜率为 D．平分
43．设椭圆：的左、右焦点分别为，，点为椭圆上一动点，则下列说法中正确的是（ ）
A．当点不在轴上时，的周长是6
B．当点不在轴上时，面积的最大值为
C．存在点，使
D．的取值范围是
44．已知是椭圆上一点，椭圆的左 右焦点分别为，且，则（ ）
A．的周长为 B．
C．点到轴的距离为 D．
45．点，为椭圆C的两个焦点，若椭圆C上存在点P，使得，则椭圆C方程可以是（ ）
A． B．
C． D．
46．已知是椭圆：上一点，，为其左右焦点，且的面积为，则下列说法正确的是( )
A．点纵坐标为
B．
C．的周长为
D．的内切圆半径为
三、填空题
47．已知点在焦点为、的椭圆上，若，则的值为______．
48．已知椭圆的左、右焦点分别为、，为椭圆上一点，，，则______．
49．椭圆的两个焦点为 ，点P在椭圆C上，且，，，则椭圆C的方程为___________.
50．如图，已知，分别为椭圆C：的左、右焦点，A为C上位于第一象限内的一点，与y轴交于点B，若，则C的离心率为______．
51．设椭圆的左、右两焦点分别为，，是上的点，则使得是直角三角形的点的个数为_________.
四、解答题
52．已知椭圆的离心率，且过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）设过点在这个椭圆上，且，求的余弦值；
（3）设过点的直线与椭圆交于，两点，当是中点时，求直线方程.
53．椭圆焦距为4，经过点，，分别为它的左右焦点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）求外接圆的标准方程．
54．已知曲线C上的任意一点M到定点的距离和它到定直线的距离的比是．
(1)求曲线C的方程．
(2)点A与点B关于y轴对称，讨论曲线C上是否存在位于第一象限的点N，使得为等腰三角形，若存在，求出N的坐标，若不存在，说明理由．
55．已知椭圆C：的离心率为，点在椭圆C上．
（1）求椭圆的方程；
（2）设，分别是椭圆C的上、下焦点，过的直线l与椭圆C交于不同的两点A、B，求的内切圆的半径的最大值．
56．已知平面上两点，，动点满足.
(1)求动点的轨迹的标准方程；
(2)当动点满足时，求点的纵坐标.
57．已知椭圆的左 右焦点分别为，点为精圆上一点，，|
（1）求椭圆的方程方程；
（2）求点的坐标.
试卷第1页，共3页
参考答案
1．D
【分析】根据椭圆方程和椭圆的定义求出，再通过余弦定理和平面向量数量积的定义即可求得答案.
【详解】设，由题意.
易知，，则，，于是由余弦定理可得，即.
故选：D.
2．C
【分析】由中位线定理以及椭圆方程得出，再由椭圆的定义得出，再求的值.
【详解】由椭圆的定义可知，，由中位线定理可知，，将代入中，解得，即，，故
故选：C
3．
【分析】因为是等边三角形，可得轴，再根据椭圆的定义可得，进而求得，再根据椭圆中的关系求解即可
【详解】因为是等边三角形，故，故关于轴对称，故轴.故，，故，又，故，故，即，所以，
故答案为：
4．C
【分析】根据椭圆方程求得，由椭圆的定义，得，求得，所以，在中，再由余弦定理列出方程，求得，即可求解．
【详解】解：由题意，椭圆方程，可得，
所以焦点，
又由椭圆的定义，可得，因为，所以，
在中，由余弦定理可得,
所以，解得，
又由，所以.
故选:C．
5．
【分析】椭圆的定义，可得，根据三角形的余弦定理，可得答案.
【详解】，．
在中，，
．
故答案为：.
6．
【分析】根据椭圆的定义，结合勾股定理可得求得，再根据与，进而根据求解即可
【详解】因为，，所以，．设，根据椭圆定义可得，所以．因为，所以，所以，即，解得．所以，则，，所以．
故答案为：
7．2
【分析】由椭圆焦点三角形的性质知：最大时P在椭圆的上下顶点上，应用余弦定理求得的最大角，进而判断点P的个数.
【详解】由题设，最大时P在椭圆的上下顶点上，
此时，又，
所以，故这样的点P有2个，恰好为上下顶点.
故答案为：2
8．##-0.25
【分析】由条件化简可得的关系，由结合椭圆的定义可求，再由余弦定理求.
【详解】设，，由已知可得，，
所以，所以
因为，所以，
，所以，
所以，故，
设椭圆的右焦点为，因为互相平分可得四边形为平行四边形，
所以，又，，
所以，
，
所以，
9．A
【分析】根据椭圆性质要使题设条件成立只需在椭圆左右顶点时，此时应用余弦定理可得，进而求n的范围.
【详解】由椭圆的性质知：当在椭圆左右顶点时最大，
∴椭圆上存在一点使，只需在椭圆左右顶点时，
此时，，即，
又，
∴，解得，又，
∴.
故选：A.
10．.
【分析】由椭圆的定义，可得，进而可得，然后利用二次函数的性质即得.
【详解】由题可知，，
因为，
∴时，有最大值，或时，有最小值，
即的取值范围为.
11．
【分析】根据椭圆定义即可求得；设出点的坐标，求得的坐标，利用向量数量积的坐标运算，结合点横坐标的取值范围，即可求得结果.
【详解】对椭圆，其，焦点坐标分别为，
由椭圆定义可得：；
设点的坐标为，则，且，
故，
又，故，即的取值范围为：.
故答案为：；.
12．D
【分析】利用角平分线定理可得，进而可得，结合条件即得.
【详解】连接，延长交轴于，则
，又，，
所以，
故，即，
又，
所以，即.
故选：D.
13．C
【分析】设，.根据圆锥曲线定义与勾股定理可得，从而可得，结合，可得结果.
【详解】设，.
在椭圆中，，
所以.
在双曲线中，，
所以，
所以，即，
得，即.
因为，所以，解得.
故选：C
14．D
【解析】利用椭圆和双曲线的定义以及余弦定理可得到方程，由此得到关于离心率的方程求得结果.
【详解】设椭圆长半轴长为，双曲线实半轴长为，焦点坐标为，，
不妨设为第一象限内的点，则，，
则，
由余弦定理得：，
，，又，，
.
故选：.
【点睛】本题考查共焦点的椭圆与双曲线问题的求解，关键是能够熟练应用椭圆和双曲线的定义，利用余弦定理构造等量关系，配凑出关于椭圆和双曲线离心率的方程.
15．A
【分析】根据的值判断A选项；通过计算直线与直线斜率乘积判断B选项；结合椭圆的定义以及基本不等式判断C选项；结合椭圆的定义来判断D选项.
【详解】对于A，依题意，
，A选项错误.
对于B，设，则，
，为定值，B选项正确.
对于C，，
，
当且仅当时等号成立.C选项正确.
对于D，Q在椭圆外，设直线、与椭圆相交于如图所示，
则，
，，
，即，
所以
所以.D选项正确.
故选：A
16．B
【解析】根据椭圆和双曲线的定义以及焦点三角形中用余弦定理、离心率公式即可求解.
【详解】不妨设P为第一象限的点，
在椭圆中： ① ,
在双曲线中: ②,
联立①②解得, ,
在中由余弦定理得：
即
即
椭圆的离心率，
双曲线的离心率，
故选：B
【点睛】本题考查椭圆和双曲线的定义和性质，考查离心率的求法，考查三角形的三边关系，考查运算能力，属于中档题．
17．D
【分析】由题可得，结合条件可得，即求.
【详解】如图，由，得，故．
因为直线的斜率为，
所以，所以，
又，所以，，
又，
故，得，
所以.
故选：D．
18．A
【分析】求出双曲线方程，根据椭圆和双曲线的第一定义求出的长度，从而根据余弦定理求出的余弦值
【详解】由题得，双曲线中，所以，双曲线方程为：，假设在第一象限，根据椭圆和双曲线的定义可得： ，解得：，，所以根据余弦定理，
故选：A
19．A
【分析】由椭圆的面积为和两焦点与短轴的一个端点构成等边三角形，得到求解.
【详解】由题意得，解得，
所以椭圆的标准方程是.
故选：A
20．A
【分析】利用余弦定理列式，结合椭圆的定义以及基本不等式求得的最大值.
【详解】设，
，
在三角形中，由余弦定理得：
.
由于，所以的最大值为.
故选：A
21．D
【分析】设椭圆方程为，根据条件列方程求出，即可求出椭圆方程，当点为椭圆短轴端点时角最大，利用余弦定理可求得该角.
【详解】设椭圆方程为，
则，解得，
则椭圆方程为，
当点为椭圆短轴端点时角最大，
此时，
因为，
故选：D.
22．C
【分析】因为，所以设，根据比例关系和椭圆的定义分别求出，的长，由勾股定理可知，在中，求的值即为直线的斜率，计算正切值即可求出结果.
【详解】解：因为，所以设，则有，根据椭圆定义：，可知：，，因为，所以，即，解得：
所以，，在中，即为直线的斜率，又，所以直线的斜率为2.
故选：C.
23．A
【分析】作点关于原点的对称点，连接、、、，推导出、、三点共线，利用椭圆的定义可求得、、、，推导出，利用勾股定理可得出关于、的齐次等式，即可求得该椭圆的离心率.
【详解】作点关于原点的对称点，连接、、、，
则为、的中点，故四边形为平行四边形，故且，则，
所以，，故、、三点共线，
由椭圆定义，，有，所以，则，
再由椭圆定义，有，
因为，所以，
在中，即，所以，离心率．
故选：A.
24．B
【分析】由椭圆的定义及双曲线的定义结合余弦定理可得，，的关系，由此可得，再利用三角换元求的最大值，并求此时的的值.
【详解】设为第一象限的交点，、，
则、，解得、，
在中，由余弦定理得：，
∴，∴，
∴，∴，∴，
设，，则，
当时，取得最大值，此时，，，
故选：B
25．B
【分析】根据题意，在中，设，则，进而根据椭圆定义得，进而可得离心率.
【详解】在中，
设，则，
又由椭圆定义可知
则离心率，
故选：B.
【点睛】本题考查椭圆离心率的计算，考查运算求解能力，是基础题.本题解题的关键在于根据已知条件，结合椭圆的定义，在焦点三角形中根据边角关系求解.
26．C
【分析】利用椭圆定义和勾股定理可构造齐次方程求得离心率.
【详解】设，则，由椭圆定义知：；
，，即，，
，椭圆的离心率.
故选：C.
27．B
【分析】根据椭圆的对称性可知，，设，由以及椭圆定义可得，，在中再根据余弦定理即可得到，从而可求出椭圆的离心率．
【详解】
由椭圆的对称性，得.设，则.由椭圆的定义，知，即，解得，故，.
在中，由余弦定理，得，即，则，故.
故选：B.
28．C
【分析】根据椭圆定义以及焦距即可判断选项A；当点位于上下顶点时，面积的最大即可判断选项B；当点为椭圆短轴的一个端点时，为最大与比较即可判断选项C；当点为椭圆的左右顶点时取得最值，即可判断选项D.
【详解】由椭圆方程可知，，从而．
对于选项A；根据椭圆定义，，又，所以的周长是 ，故选项A正确；
对于选项B：设点，因为，则．
因为，则面积的最大值为，故选项B正确；
对于选项C：由椭圆性质可知，当点为椭圆短轴的一个端点时，为最大．
此时，，又，
则为正三角形，，
所以不存在点，使，故选项C错误；
对于选项D：由椭圆的性质可知，当点为椭圆的右顶点时，取最大值，此时；
当点为椭圆的左顶点时，取最小值，此时，所以，故选项D正确．
故选：C.
【点睛】结论点睛：椭圆中焦点三角形的有关结论
以椭圆上一点和焦点为顶点的中，若，则
（1）焦点三角形的周长为；
（2）当点为椭圆短轴的一个端点时，为最大；
（3），当时，即点为椭圆短轴的一个端点时取最大值，为；
（4）.
29．B
【分析】先求出的坐标，再求出的角平分线与的交点，从而可求切线方程，故可得到椭圆在处的切线的距离.
【详解】
由椭圆的对称性，不妨设在第一象限.
由椭圆方程可得半焦距，故，且，
因为，故，
故即，
所以，
故即，故，
所以，同理，
设的平分线交轴于，则，
故，故，故，
由题设中的椭圆性质可得过切线与垂直，故切线的斜率为，
故切线的方程为：，
故原点到切线的距离为，
故选：B
30．A
【分析】由题设易知为椭圆的两个焦点，结合椭圆定义及焦点三角形性质有，，最后应用正弦定理的边角关系即可求目标式的值.
【详解】由题设知：为椭圆的两个焦点，而B在椭圆上，
所以，，
由正弦定理边角关系知：.
故选：A
31．C
【分析】由可知，又已知OQ是△F1F2M的中位线，点Q与y轴重合时，Q与短轴端点距离最近.
【详解】解：设F1Q的延长线交F2P的延长线于点M，则由题意知
∵
∴
由题意知OQ是△F1F2M的中位线
∴
∴Q点的轨迹是以O为圆心，以6为半径的圆
∴当点Q与y轴重合时，Q与短轴端点取最近距离
故选：C．
32．D
【解析】方法一：由题知：，，不妨设点在第一象限，设，进而得，，故在中，由余弦定理得得， ，，由于， ，即
方法二：根据题意不妨设点在第一象限，则有正弦定理得在半径为的圆在第一象限的圆弧上，根据三角形面积公式得得，由于，进而得.
【详解】解：方法一：
如图1，设椭圆方程为，双曲线方程为，
由题知：，，
不妨设点在第一象限，设，
所以在椭圆中，有，在双曲线中有，
所以，，
所以在中，由余弦定理得：
，
整理得，所以
所以，
由于，
所以，，故
所以，即
故选：D.
方法二：
如图2，不妨设点在第一象限，由正弦定理得三角形外接圆的半径为，
所以在半径为，圆心为的圆在第一象限的圆弧（不包含端点）上，
所以，所以，
所以，
由向量数量积定义得，
由三角形面积公式得：
，
，
所以，
所以，
所以.
故选：D.
【点睛】本题考查椭圆与双曲线的焦点三角形问题，考查化归转化思想和运算求解能力，是中档题.解法一的关键是根据椭圆与双曲线的定义分别将，用椭圆的长半轴与双曲线的实半轴表示，并在焦点三角形中结合余弦定理得，故，再根据即可得范围；本题解题法二的关键是由已知条件可设点在第一象限，进而得在半径为，圆心为的圆在第一象限的圆弧（不包含端点）上，进而利用面积公式求解.
33．B
【解析】根据正弦定理，结合椭圆定义化简求结果.
【详解】中，
所以
故选：B
【点睛】本题考查正弦定理、椭圆定义，考查综合分析求解能力，属中档题.
34．C
【解析】由已知画出图形，由已知直线方程可得直线的倾斜角，结合，可得焦点三角形为直角三角形，再由椭圆定义及勾股定理列式求得椭圆离心率．
【详解】如图所示，
由直线，可知该直线的斜率为，倾斜角．
因为，
，，
得．
设，，则，
解得，可得．
该椭圆的离心率．
故选：．
【点睛】离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解．
35．A
【分析】根据线段PF1的中点M在y轴上，推出轴，由此可设P(3，b)，代入椭圆方程求出，再根据两点间的距离公式求出和可得解.
【详解】由＝1可知，，
所以，
所以F1(－3，0)，F2(3，0)，
∵线段PF1的中点M在y轴上，且原点为线段的中点，
所以，所以轴，
∴可设P(3，b)，
把P(3，b)代入椭圆＝1，得.
∴|PF1|＝，|PF2|＝.
∴.
故选：A.
36．A
【分析】先由已知可得三角形是以点P为直角顶点的三角形，设出，根据椭圆的定义求出m，再根据三角形为等腰直角三角形即可求解.
【详解】由题意知，所以点，，在以为圆心，为直径的圆上，连接，则.设，
由于，所以，，
根据椭圆的定义可知，，所以，
所以，则.又，
所以为等腰直角三角形，可得.
由题意知，又，所以，
所以的标准方程为，
故选：A.
【点睛】关键点点睛：一是圆的性质的应用，即得到；二是椭圆定义的应用，即利用椭圆的定义得到．
37．A
【分析】设的延长线交的延长线于点，由椭圆性质推导出，由题意知是△的中位线，从而得到点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆．
【详解】是焦点为、的椭圆上一点
为的外角平分线，，
设的延长线交的延长线于点，如图，
，
，
，
由题意知是△的中位线，
，
点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆．
故选：A
38．C
【分析】有椭圆的定义知，，
再利用基本不等式可得，即可得a的值.
【详解】由，所以，
当且仅当时取等号，故，所以．
故选：C
【点睛】本题考查了椭圆的定义和基本不等式，属于基础题.
39．B
【分析】取中点，可得也为中点，可得，设，根据，可得，再利用等面积可求点坐标，即可求出斜率.
【详解】取中点，由A，B是线段PF的两个三等分点可得也为中点，
连接，则，
设为右焦点，为中点，，，
设，又，
由椭圆定义，
在中，，则可得，
则，
即，即，解得，代入椭圆可得，
则直线PF的斜率为.
故选：B.
【点睛】关键点睛：解决本题的关键是得出，然后利用焦点三角形的相关性质建立关系求解.
40．A
【分析】利用椭圆的定义、勾股定理可求得、，翻折前，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，设，其中，翻折后，利用勾股定理求出关于的表达式，利用正弦型函数的有界性可求得的最小值及的值，再利用角平分线的性质可求得的值.
【详解】在椭圆中，，，，，
因为，且点为第一象限内的点，则，可得，
翻折前，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，
设，其中，
则，，，
，
所以，，
翻折后，如下图所示：
因为平面平面，平面平面，平面，
，平面，
平面，，又因为，
，
，则，故当时，即当时，取得最小值，
则在翻折前，在中，为的角平分线，
所以，，即.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题考查线段长度最值的求解，解题的关键就是将引入某角为自变量，将的长度表示为该角为自变量的三角函数，结合三角函数的有界性来求解.
41．ABD
【分析】根据椭圆的简单几何性质，对各选项逐一分析即可求解.
【详解】解：由题意，，
所以，，所以A正确，C错误；
由椭圆的对称性知，，所以B正确；
当A在y轴上时，，则为钝角，所以存在点A，使得，所以D正确.
故选：ABD.
42．ACD
【分析】根据给定条件用椭圆半焦距c表示a，b以及点Q的坐标，再逐一分析各个选项即可判断作答.
【详解】令椭圆半焦距为c，则，由得，，椭圆，
，而，则点，
对于A，椭圆C的离心率，A正确；
对于B，设，即有，，
即为锐角，B不正确；
对于C，直线的斜率，C正确；
对于D，直线的方程为，点Q到直线的距离，
即点Q到直线与的距离相等，则平分，D正确.
故选：ACD
43．ABD
【解析】根据椭圆定义以及焦距即可判断选项A；当点位于上下顶点时，面积的最大即可判断选项B；当点为椭圆短轴的一个端点时，为最大与比较即可判断选项C；当点为椭圆的左右顶点时取得最值，即可判断选项D.
【详解】由椭圆方程可知，，从而．
对于选项A:根据椭圆定义，，又，所以的周长是 ，故选项A正确；
对于选项B：设点，因为，则．
因为，则面积的最大值为，故选项B正确；
对于选项C：由椭圆性质可知，当点为椭圆短轴的一个端点时，为最大．
此时，，又，则为正三角形，，
所以不存在点，使，故选项C错误；
由图可知，当点为椭圆的右顶点时，取最大值，此时；
对于选项D：当点为椭圆的左顶点时，取最小值，此时，所以，故选项D正确．
故选：ABD
【点睛】结论点睛：椭圆中焦点三角形的有关结论
以椭圆上一点和焦点为顶点的中，若，则
（1）焦点三角形的周长为；
（2）当点为椭圆短轴的一个端点时，为最大；
（3），当时，即点为椭圆短轴的一个端点时取最大值，为；
（4）.
44．BCD
【分析】A．根据椭圆定义分析的周长并判断；
B．根据椭圆定义以及已知条件先求解出的值，结合三角形的面积公式求解出并判断；
C．根据三角形等面积法求解出点到轴的距离并判断；
D．根据向量数量积运算以及的值求解出结果并判断.
【详解】A．因为，
所以，故错误；
B．因为，，
所以，
所以，所以，故正确；
C．设点到轴的距离为，
所以，所以，故正确；
D．因为，故正确；
故选：BCD.
45．AC
【分析】设椭圆上顶点为B，由题满足，即，可得，即可得出答案.
【详解】设椭圆方程为，
设椭圆上顶点为B，椭圆上存在点，使得，
则需，
，
即，，，
则，所以选项AC满足.
故选：AC.
46．BCD
【分析】对于选项A：首先求出焦距，然后利用三角形面积即可求解；对于选项B：结合椭圆定义，利用余弦定理求解焦点三角形面积，根据已知条件即可求解；对于选项C：根据椭圆方程和定义即可求解；对于选项D：利用三角形面积与内切圆半径之间的关系求解即可.
【详解】不妨设，，由题意可知，椭圆的长半轴长，短半轴长，
故，即，
对于选项A：因为的面积为，故A错误；
对于选项B：不妨令，，，
由椭圆定义可知，，且，
故利用余弦定理可得，，
从而的面积，
因为，的面积为，所以，故B正确；
对于选项C：由的周长为，故C正确；
对于选项D：由面积，(其中为内切圆半径)，解得，，故D正确.
故选：BCD.
47．
【分析】利用勾股定理结合椭圆的定义可求得的值.
【详解】在椭圆中，，，则，，
由椭圆的定义可得，
因为，则，
所以，.
故答案为：.
48．
【解析】作出图形，利用椭圆的定义可求得，利用余弦定理可求得的值，进而可求得的值.
【详解】根据椭圆的定义：，
在焦点中，由余弦定理可得：，
，则，所以，.
故答案为：.
【点睛】本题考查利用椭圆的定义和余弦定理求椭圆方程中的参数，考查计算能力，属于中等题.
49．
【分析】利用椭圆的定义可得，进而可得，即得.
【详解】∵，，，
∴，又，
∴，，
∴，
∴，
∴椭圆C的方程为.
故答案为：.
50．
【分析】根据线段的垂直平分线及锐角三角函数，再利用椭圆的定义，结合椭圆的离心率公式即可求解.
【详解】由题意知, ，设，
由，得，,
,,
在中，，，
在中，；
根据椭圆的定义，，
所以．
故答案为：
51．6
【分析】根据椭圆的性质判断为上下顶点时的大小判断直角三角形个数，再加上、对应直角三角形个数，即可得结果.
【详解】由椭圆性质知：当为上下顶点时最大，此时，，
所以，故焦点三角形中最大为，故有2个；
又、对应的直角三角形各有2个；
综上，使得是直角三角形的点的个数为6个.
故答案为：6
52．（1）；（2）；（3）.
【解析】（1）根据待定系数求解即可得答案；
（2）根据椭圆的定义结合已知条件得，，再根据余弦定理求解即可得答案；
（3）设，，根据点差法求解直线的斜率，再根据点斜式求方程即可.
【详解】解：（1）设椭圆的焦距为，则，∴，
∴椭圆的方程为.
（2）因为点在椭圆上，所以，
又，所以，，
因为，由余弦定理得
，
故的余弦值.
（3）设，，
则，，
∴，
又，
∴ ，
∴ 直线方程为
即.
【点睛】本题考查待定系数法求椭圆方程，椭圆的焦点三角形，中点弦方程，考查运算能力，是中档题.
53．（1）；（2）．
【解析】（1）由题意可得，再将点代入椭圆的方程，结合即可求出的值，进而求出椭圆C的标准方程；
（2）先判断是直角三角形，利用直角三角形外接圆的圆心即为斜边中点，结合点的坐标即可求出外接圆的方程.
【详解】（1）由题意可得 ，解得
所以方程为：．
（2）由，，
所以，所以是直角三角形，为外接圆直径，
故圆心，半径为，
所求外接圆标准方程为．
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是判断是直角三角形，斜边即是外接圆的直径.
54．(1)；
(2)
【分析】（1）设点，直接根据条件列式计算即可；
（2）设点，可确定等腰三角形的底是，再利用面积法可得点N的坐标.
（1）设点，则根据题意得，整理得.即曲线C的方程为；
（2）假设存在位于第一象限的点N，使得为等腰三角形， 又，且为椭圆的焦点，设点，当等腰三角形的底是时，N点为椭圆短轴端点，不符合题意；当等腰三角形的底是时，则，解得，则，当等腰三角形的底是时，，此时点N不在第一象限.综上存在位于第一象限的点N，使得为等腰三角形，其坐标为.
55．（1）；（2）.
【解析】（1）根据椭圆离心率以及点在椭圆上，结合得到关于的方程组，求解出的值，则椭圆方程可求；
（2）根据等面积法将内切圆的半径与联系在一起，采用联立方程思想并结合韦达定理以及基本不等式求解出的最大值，从而内切圆的半径的最大值可求.
【详解】（1）因为，且在椭圆上，所以，所以，
所以椭圆方程为：；
（2）设，内切圆的半径为，由条件可知直线的斜率存在，故设直线，
因为，且，，
所以，所以，所以当取最大值时有最大值，
又，所以，所以，
所以，
所以，
取等号时，即，
所以，所以内切圆的半径最大值为.
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中求解三角形面积的常用方法：
（1）利用弦长以及点到直线的距离公式，结合底高，表示出三角形的面积；
（2）根据直线与圆锥曲线的交点，利用公共底或者公共高的情况，将三角形的面积表示为或；
（3）借助三角形内切圆的半径，将三角形面积表示为（为三角形三边长度，为内切圆半径）.
56．(1)
(2)
【分析】（1）根据椭圆的定义即可得点的轨迹是以为焦点的椭圆且，再求方程即可；
（2）由焦点三角形的知识得，再根据求解即可.
(1)
解：动点满足，
所以点的轨迹是以为焦点的椭圆且，
又因为，是焦点，所以椭圆焦点在轴且，，
故动点的轨迹的标准方程为.
(2)
解：由（1）知，是椭圆的两个焦点，设，
在中，因为，
所以，即
又，所以，
在中，
又，所以，得点的纵坐标为
57．（1）；（2）或.
【解析】（1）由定义可求出，由余弦定理可求出，即可求出，得出椭圆方程；
（2）点的坐标为，根据的面积关系可求出，再把点代入椭圆即可求出.
【详解】解：（1）设椭圆的焦距为
由椭圆的定义，有
在中
，
有，得，
故椭圆的方程为；
（2）设点的坐标为
，
又由，有，解得，
将点的坐标代入椭圆的方程有，解得，
故点的坐标为或.
【点睛】结论点睛：本题考查焦点三角形问题，解决此类问题常用椭圆的定义结合余弦定理求解.

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