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【题型突破】2023年高考数学一轮之考点微综合（新人教A版2019）
与椭圆有关的轨迹问题
【考点梳理】
求轨迹方程的常用方法
（1）直接法：如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量，如（距离和角）的等量关系，或几何条件简单明了易于表达，只需要把这种关系转化为的等式，就能得到曲线的轨迹方程；
（2）定义法：某动点的轨迹符合某一基本轨迹如直线、圆锥曲线的定义，则可根据定义设方程，求方程系数得到动点的轨迹方程；
（3）几何法：若所求轨迹满足某些几何性质，如线段的垂直平分线，角平分线的性质，则可以用几何法，列出几何式，再代入点的坐标即可；
（4）相关点法（代入法）：若动点满足的条件不变用等式表示，但动点是随着另一动点（称之为相关点）的运动而运动，且相关点满足的条件是明显的或是可分析的，这时我们可以用动点的坐标表示相关点的坐标，根据相关点坐标所满足的方程，求得动点的轨迹方程；
（5）交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现求两个动曲线交点的轨迹问题，这类问题常常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数参数求出所求轨迹的方程.
【题型归纳】
一、直接法
1．已知点、，动点满足：直线的斜率与直线的斜率之积为，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．在平面直角坐标系中，已知定点、，直线与直线的斜率之积为，则动点P的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
3．在平面直角坐标系xOy中，已知点，，M是一个动点，且直线AM，BM的斜率之积是，记M的轨迹为E．
(1)求E的方程；
(2)若过点且不与x轴重合的直线l与E交于P，Q两点，点P关于x轴的对称点为（与Q不重合），直线与x轴交于点G，求点G的坐标．
4．已知点在圆上运动，点在轴上的投影为，动点满足
(1)求动点的轨迹方程
(2)过点的动直线与曲线交于两点，问：是否存在定点，使得的值是定值？若存在，求出点的坐标及该定值；若不存在，请说明理由
二、定义法
5．在平面直角坐标系中，已知点，动点满足，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
6．已知定点，圆：，点Q为圆上动点，线段MQ的垂直平分线交NQ于点P，记P的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)过点M与N作平行直线和，分别交曲线C于点A，B和点D，E，求四边形ABDE面积的最大值．
7．△ABC的周长是8，B（﹣1，0），C（1，0），则顶点A的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
三、相关点法
8．已知圆，从圆上任意一点向轴作垂线段，为垂足，则线段的中点的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，设P是圆上的动点，点D是P在x轴上的射影，M为PD上的一点，且．
(1)当P在圆上运动时，求点M的轨迹C方程；
(2)求点M到直线距离的最大值.
10．已知椭圆：，，过点的动直线与椭圆交于、两点.
(1)求线段的中点的轨迹方程；
(2)是否存在常数，使得为定值？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
【巩固训练】
一、单选题
11．已知定圆，定点，动圆满足与外切且与内切，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
12．已知圆，圆内一定点，动圆过点且与圆内切，设动圆的半径为，则圆心的轨迹方程是（　　）
A． B． C． D．
13．已知中，，，O为AB的中点，P为AB的垂直平分线上一点，且，则CP的最大值为（ ）
A． B． C． D．4
14．已知定圆， ，动圆满足与外切且与内切，则动圆圆心的轨迹方程为
A． B．
C． D．
15．曲线方程的化简结果为
A． B． C． D．
16．若动点满足方程，则动点P的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
17．若动点到定点的距离和它到直线的距离之比是1：2，则下列说法不正确的是（ ）
A．点的轨迹是离心率为的椭圆 B．点的轨迹方程是
C．点的轨迹是长轴长为8的椭圆 D．点的轨迹是短轴长为的椭圆
18．已知点，动点P到直线的距离为d，，则（ ）
A．点P的轨迹是以为直径的圆 B．点P的轨迹曲线的离心率等于
C．点P的轨迹方程为 D．△的周长为定值
19．已知的周长为，，则顶点的轨迹方程为（　　）
A． B．
C． D．
20．当实数m变化时，不在任何直线上的所有点形成的轨迹边界曲线是（ ）
A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．双曲线
21．如图，在棱长为1的正方体中，点M是底面正方形的中心，点P是底面所在平面内的一个动点，且满足，则动点P的轨迹为（ ）
A．圆 B．抛物线 C．双曲线 D．椭圆
22．在中，已知，，且，，成等差数列，则顶点的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
23．动点到两定点，的距离和是，则动点的轨迹为（ ）
A．椭圆 B．双曲线 C．线段 D．不能确定
24．已知圆：，定点，是圆上的一动点，线段的垂直平分线交于点，则点的轨迹的方程是（ ）
A． B．
C． D．
25．已知的周长为，顶点、的坐标分别为、，则点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
26．已知为圆M上任意一点，线段AP的垂直平分线l和半径MP于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
27．已知，是圆上一动点，线段的垂直平分线交于点，则动点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
28．如图所示，圆O的半径为定长r，A是圆O内一 个定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是（ ）
A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆
29．若是圆所在平面内的一定点，是圆上的一动点，线段的垂直平分线与直线相交于点，则点的轨迹不可能是（ ）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
30．已知点，动点P满足，则点P的轨迹为（ ）
A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆
31．已知在中，点，点，若，则点C的轨迹方程为（ ）
A． B．（）
C． D．（）
二、多选题
32．在棱长为1的正方体中，已知点P为侧面上的一动点，则下列结论正确的是（ ）
A．若点P总保持，则动点P的轨迹是一条线段；
B．若点P到点A的距离为，则动点P的轨迹是一段圆弧；
C．若P到直线与直线的距离相等，则动点P的轨迹是一段抛物线；
D．若P到直线与直线的距离比为，则动点P的轨迹是一段双曲线.
33．如图所示，在棱长为1的正方体中，M为的中点，点Р在侧面所在平面上运动，则下列命题正确的是（ ）
A．当点P为的中点时，
B．当点Р在棱上运动时，的最小值为
C．若点Р到直线BC与直线的距离相等，则动点Р的轨迹为抛物线
D．若点Р使得，的面积为定值，则动点P的轨迹是圆
34．已知点，，动点到直线的距离为，，则（ ）
A．点的轨迹是椭圆 B．点的轨迹曲线的离心率等于
C．点的轨迹方程为 D．的周长为定值
35．为椭圆：上的动点，过作切线交圆：于，，过，作切线交于，则（ ）
A．的最大值为 B．的最大值为
C．的轨迹是 D．的轨迹是
36．已知点，，设动点P到直线的距离为d，若，则（ ）
A．点P的轨迹是以为直径的圆 B．点P的轨迹曲线的离心率等于
C．点P的轨迹方程为 D．的周长为定值
37．已知圆的半径为定长，是圆所在平面内一个定点，是圆上任意一点，线段的中垂线和直线交于点，当点在圆上运动时，下列判断正确的是（ ）
A．当点在圆内（不与圆心重合）时，点的轨迹是椭圆
B．点的轨迹可能是一个定点
C．当点在圆外时，点的轨迹是双曲线的一支
D．点的轨迹不可能是抛物线
三、填空题
38．已知一张纸上面有半径为4的圆O，在图O内有一个定点A，且，折叠纸片，使圆上某一点刚好与A点重合，这样的每一种折法，都留下一条直线折痕，当取遍圆上所有点时，所有折痕与的交点形成的曲线记为C，则曲线C上的点到圆O上的点的最大距离为__________．
39．在平面直角坐标系中，△ABC满足A(-1，0)，B(1，0)，，，∠ACB的平分线与点P的轨迹相交于点I，存在非零实数，使得，则顶点C的轨迹方程为________．
40．在直角坐标平面内的△中，、，若，则△面积的最大值为____________.
41．已知B(，0)是圆A：内一点，点C是圆A上任意一点，线段BC的垂直平分线与AC相交于点D.则动点D的轨迹方程为_________________.
42．过椭圆上一点作轴的垂线，垂足为，则线段中点的轨迹方程为___________.
43．在在平面直角坐标系中，O为坐标原点，M、N是椭圆上的两个动点，动点P满足，直线与直线斜率之积为-2，已知平面内存在两定点、，使得为定值，则该定值为_______________.
四、解答题
44．已知点，，动点满足直线与的斜率之积为，记动点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)过点作直线交曲线于两点，试问在轴上是否存在点，使为定值？若存在，求出点的坐标及该定值；若不存在，试说明理由.
45．已知定点、和动点．
(1)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：动点M的轨迹及其方程．
条件①：
条件②：
(2)，求：动点M的轨迹及其方程．
46．点P到点、的距离之和为，求动点P的轨迹方程．
47．在平面直角坐标系中，已知动点C到定点的距离与它到直线的距离之比为.
(1)求动点C的轨迹方程；
(2)点P为直线l上的动点，过点P的动直线m与动点C的轨迹相交于不同的A，B两点，在线段上取点Q，满足，求证：点Q总在一条动直线上且该动直线恒过定点.
48．如图，已知动圆过点），且与圆内切，设动圆圆心的轨迹为曲线．
（1）求曲线的方程；
（2）过圆心的直线交曲线于，两点，问：在轴上是否存在定点，使当直线绕点任意转动时，为定值？若存在，求出点的坐标和的值；若不存在，请说明理由．
49．已知直线与是分别过椭圆的左，右焦点的两条相交但不重合的动直线．与椭圆相交于点A，B，与椭圆相交于点C，D，O为坐标原点．直线的斜率分别为，且满足．
（1）若与x轴重合．．试求椭圆E的方程：
（2）在（1）的条件下，记直线．试问：是否存在定点M，N，使得为定值？若存在．求出定值和定点M，N的坐标：若不存在，请说明理由．
50．已知为圆上一动点，点，线段的垂直平分线交线段于点.
(1)求点的轨迹方程；
(2)设点的轨迹为曲线，过点作曲线的两条互相垂直的弦，两条弦的中点，过点作直线的垂线，垂足为点，是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
试卷第1页，共3页
参考答案
1．C
【分析】根据已知条件可得出、所满足的等式，求出的取值范围，结合二次函数的基本性质可求得的取值范围.
【详解】由题意可知，，整理得，
则，故，
因为，所以，所以，
即．
故选：C．
2．B
【分析】设动点P的坐标为，依题意得到方程，整理即得轨迹方程；
【详解】解：设动点P的坐标为，则由条件得．即．
所以动点P的轨迹C的方程为．
故选：B．
3．(1)
(2)
【分析】（1）设，则可表示出AM，BM的斜率，再利用其乘积为列方程化简可得E的方程；
（2）由题意知，过点F的直线PQ的斜率存在且不为0，可设其方程为，设，，则，将直线方程代入椭圆方程化简，利用根与系数的关系，表示出直线的方程，令，结合前面的式子化简可求出的值，从而可得结果
(1)
设，则直线AM的斜率为，直线BM的斜率为，
∴，整理得，
故E的方程为．
(2)
由题意知，过点F的直线PQ的斜率存在且不为0，可设其方程为，
设，，则，
将代入，得．
则，
∴，．
则直线方程为，
令，则
，
∴点G的坐标为．
4．(1)
(2)存在定点，使得
【分析】（1）设点，根据题意得到，代入即可求得动点的轨迹方程；
（2）①当直线的斜率存在时，设方程为，联立方程组求得，设，得到，
要使得上式为定值，即与无关，求得，得到；②当直线的斜率不存在时，直接验证得到，即可求解.
（1）解：设点，因为，可得，所以，所以，即动点的轨迹的方程为.
（2）解：①当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立方程组，可得，则恒成立，且，因为，设，可得，，要使得上式为定值，即与无关，则满足且，所以，即点，此时；②当直线的斜率不存在时，则直线为 ，可得，所以，综上可得，存在定点，使得
5．C
【分析】由椭圆定义可得点轨迹方程，设，利用数量积的坐标运算可将化为关于的二次函数，结合范围可求得二次函数最值，由此得到结果.
【详解】，点轨迹是以为焦点，为长轴的椭圆，
点轨迹方程为；
设，则，，
，
，当时，.
故选：C.
6．(1)
(2)6
【分析】（1）由椭圆的定义求解
（2）设直线方程后与椭圆方程联立，由韦达定理表示弦长，将面积转化为函数后求求解
(1)
由题意可得，
所以动点P的轨迹是以M，N为焦点，长轴长为4的椭圆，即曲线C的方程为：；
(2)
由题意可设的方程为，
联立方程得，
设，，则由根与系数关系有，
所以
，
根据椭圆的对称性可得，与的距离即为点M到直线的距离，为，
所以四边形ABDE面积为，令得，
由对勾函数性质可知：当且仅当，即时，四边形ABDE面积取得最大值为6．
7．A
【解析】由周长得AB+AC＝6，从而知A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆，再根据已知条件可求得轨迹方程．注意范围．
【详解】解：∵△ABC的两顶点B（﹣1，0），C（1，0），周长为8，∴BC＝2，AB+AC＝6，
∵6＞2，∴点A到两个定点的距离之和等于定值，
∴点A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆，且2a＝6，c＝1，b＝2，
所以椭圆的标准方程是.
故选：A.
【点睛】结论点睛：本题考查求轨迹方程，解题方法是定义法，根据恬条件确定轨迹是椭圆，由已知确定焦距和实轴长，由此易得方程，解题还要注意隐藏条件，因此要去掉直线上的两点．否则出错．
8．A
【解析】利用相关点法即可求解.
【详解】设线段的中点，，
所以，解得，
又点在圆上，
则，即.
故选：A
9．(1)
(2)
【分析】（1）设点， 根据题意得到，代入即可求解；
（2）设平行于直线且与相切的直线，联立方程组，根据与C相切时，求得，得到的方程，结合两平行线间的距离公式，即可求解.
（1）解：设点， 由，可得，即，又因为点在圆上，代入可得，整理得，即点M的轨迹方程.
（2）解：设平行于直线且与相切的直线，联立方程组，整理得，当与C相切时，则满足，解得，即，所以的方程为或，所以点M到直线距离的最大值.
10．(1)
(2)存在，
【分析】(1)①当直线存在斜率时，设、、，，利用点差法求解； ②当直线不存在斜率时，易知，验证即可；
（2）①当直线存在斜率时，设直线的方程为：，与椭圆方程联立，结合韦达定理，利用数量积运算求解； ②当直线不存在斜率时，直线的方程为：，易得、，验证即可.
（1）
解：①当直线存在斜率时，设、、，，
则应用点差法：，两式联立作差得：，
∴，
又∵，
∴，化简得（），
②当直线不存在斜率时，，
综上，无论直线是否有斜率，的轨迹方程为；
（2）
①当直线存在斜率时，设直线的方程为：，
联立并化简得：，
∴恒成立，∴，，
又，，，，
∴，
，
若使为定值，
只需，即，其定值为，
②当直线不存在斜率时，直线的方程为：，则有、，
又，，，，
∴，当时，也为定值，
综上，无论直线是否有斜率，一定存在一个常数，
使为定值.
11．A
【解析】将动圆的轨迹方程表示出来：,利用椭圆的性质将距离转化,最后利用距离关系得到最值.
【详解】定圆， 圆心，半径为1
，圆心，半径为7.
动圆满足与外切且与内切，
设动圆半径为，则
所以动点的轨迹是以，为焦点，8为长轴的椭圆，设其方程为
所以 ， ，则其方程为：
由椭圆的定义可得
所以
当三点不共线时，有
当三点共线时，有
综上有（当三点共线且时取等号）
故选：A
【点睛】关键点睛：本题考查了轨迹方程，椭圆的性质，解答本题的关键是利用椭圆性质变换长度关系，即，将所求问题转化为，再分
三点是否共线讨论，属于中档题.
12．B
【分析】作出图示，根据圆的半径分析得到为定值，结合椭圆的定义可知的轨迹为椭圆，根据长轴长以及焦距求解出轨迹方程.
【详解】设动圆与圆内切于点，
因为，
所以的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆，
所以，所以，
所以轨迹方程为：，
故选：B.
13．C
【分析】以AB的中点O为原点，AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，由椭圆的定义知，点C的轨迹是以A，B为左、右焦点的椭圆（不含长轴两端点），求出点C的轨迹方程，根据两点间的距离公式及二次函数的性质即可求解.
【详解】解：以AB的中点O为原点，AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示：
由椭圆的定义知，点C的轨迹是以A，B为左、右焦点的椭圆（不含长轴两端点），
所以，，
所以标准方程为，
设，，，
则，
因为，且，
所以当时，的最大值为.
故选：C.
14．A
【分析】设动圆圆心，半径为，则，
可得，利用椭圆的定义，即可求动圆圆心的轨迹方程．
【详解】解：设动圆圆心的坐标为，半径为，则，
∴，
由椭圆的定义知，点的轨迹是以为焦点的椭圆，则，
，椭圆的方程为：
故选A．
【点睛】本题考查圆与圆的位置关系，考查椭圆的定义，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
15．D
【分析】根据题意得到给出的曲线方程的几何意义，是动点到两定点的距离之和等于定值，符合椭圆定义，然后计算出相应的得到结果.
【详解】曲线方程，
所以其几何意义是动点到点和点的距离之和等于，符合椭圆的定义. 点和点是椭圆的两个焦点.
因此可得椭圆标准方程，其中，所以
，所以
所以曲线方程的化简结果为.
故选D项.
【点睛】本题考查曲线方程的几何意义，椭圆的定义，求椭圆标准方程，属于简单题.
16．A
【分析】根据方程可以利用几何意义得到动点P的轨迹方程是以与为焦点的椭圆方程，从而求出轨迹方程.
【详解】由题意得：到与的距离之和为8，且8>4，故动点P的轨迹方程是以与为焦点的椭圆方程，故，，所以，，所以椭圆方程为.
故选：A
17．D
【分析】设，根据题意和两点间的距离公式可得点M的轨迹方程，即可得出答案.
【详解】设，由题意知，
整理得，即，
所以点M的轨迹是长轴长、短轴长分别是8，的椭圆，其离心率为.
故选：D
18．C
【分析】设，根据整理可得轨迹方程，利用轨迹方程依次判断各个选项即可得到结果.
【详解】设，则，，由，
，整理可得：，即点轨迹为椭圆且方程为，A错误，C正确；
由方程得：，，则离心率，B错误；
由椭圆定义知：△周长为，D错误.
故选：C.
19．A
【分析】根据三角形的周长和定点，得到点到两个定点的距离之和等于定值，得到点的轨迹是椭圆，椭圆的焦点在轴上，写出椭圆的方程，去掉不合题意的点．
【详解】的周长为12，顶点，，
，，
，
点到两个定点的距离之和等于定值，
点的轨迹是椭圆，
，
，
椭圆的方程：
故选．
【点睛】本题考查椭圆的定义，注意椭圆的定义中要检验两个线段的大小，看能不能构成椭圆，本题是一个易错题，容易忽略掉不合题意的点．
20．B
【分析】将直线看作是关于的一元二次方程，根据题意知，该方程无解时的就是不在任何直线上的所有点形成的轨迹，然后根据判别式建立不等式即可
【详解】可化简为：
则有：
化简可得：
故轨迹边界曲线是：
则不在任何直线上的所有点形成的轨迹边界曲线是椭圆.
故选：B
21．D
【解析】建立适当的空间直角坐标系，求出向量，，代入化简整理为的形式，即可通过判别式判断轨迹.
【详解】在点D处建立如图所示直角坐标系，
正方体的棱长为1，则，，设点，
，，
，，
化简得，
等式两边同时平方可得，
，上式表示椭圆，即点P的轨迹方程为椭圆.
故选：D
【点睛】(1)如果是标准方程，是椭圆方程；或，是双曲线方程；
(2)如果是一般方程：，那么要看判别式的符号：
<0，是椭圆；(特殊情况：一点或无图形)
>0，是双曲线；(特殊情况：两相交直线)
=0，是抛物线；(特殊情况：两平行直线或一直线).
22．D
【解析】根据题意可知，利用椭圆的定义求解即可.
【详解】∵，，成等差数列，
∴，
根据椭圆的定义可知，点的轨迹是以为焦点，长轴的椭圆，
又是三角形的顶点，三点不能共线，故所求的轨迹方程为
.
故选：D
【点睛】本题考查利用定义法求解动点的轨迹方程，求解时，还要注意看轨迹是否为完整的椭圆，如果不是完整的椭圆，则应对其中的变量或进行限制.
23．A
【分析】根据椭圆的定义，即可得答案.
【详解】由题意可得，根据椭圆定义可得，P点的轨迹为椭圆，
故选：A
24．B
【分析】根据定义可判断点的轨迹是以为焦点的椭圆，即可求出轨迹方程.
【详解】由题可得圆心，半径为6，
是垂直平分线上的点，，
，
点的轨迹是以为焦点的椭圆，且，，
，故点的轨迹方程为.
故选：B.
25．D
【分析】分析可知点的轨迹是除去长轴端点的椭圆，求出、的值，结合椭圆焦点的位置可得出顶点的轨迹方程.
【详解】由已知可得，，且、、三点不共线，
故点的轨迹是以、为焦点，且除去长轴端点的椭圆，
由已知可得，得，，则，
因此，点的轨迹方程为.
故选：D.
26．B
【分析】直接由题意可得：，符合椭圆定义，且得到长半轴和半焦距，再由求得，则点的轨迹方程可求．
【详解】解：圆的圆心坐标为，半径为4．
依题意知：，
点的轨迹是以，为焦点的椭圆，
且，，，
所求点的轨迹方程为．
故选：．
27．A
【分析】根据垂直平分线的性质得，再由椭圆的定义可得出点的轨迹是以，为焦点的椭圆，由椭圆的方程可求得动点的轨迹方程.
【详解】解：由题意，可知圆的标准方程为，圆心为，半径为6．
∵线段的垂直平分线交于点，∴，∴，
∴点的轨迹是以，为焦点的椭圆，∴，，，∴其轨迹方程为．
故选：A．
28．A
【分析】连接QA．由已知得|QA|＝|QP|，所以|QO|＋|QA|＝|QO|＋|QP|＝|OP|＝r，然后由椭圆的定义进行判断即可
【详解】连接QA．由已知得|QA|＝|QP|.
所以|QO|＋|QA|＝|QO|＋|QP|＝|OP|＝r.
又因为点A在圆内，所以|OA|＜|OP|，根据椭圆的定义，知点Q的轨迹是以O，A为焦点，r为长轴长的椭圆，
故选：A．
29．D
【分析】由题意可得，点可能在圆的外部，可能在圆的内部（但不和点重合）、可能和点重合、也可能在圆上，在这四种情况下，分别结合椭圆的定义、双曲线的定义、圆的定义求出点的轨迹方程，即可得到答案．
【详解】设圆的半径为，
（1）若点A在圆内不同于点处，如图（1）所示，则有，故点的轨迹是以A 为焦点的椭圆，所以B正确；
（2）若点A与重合，则有，故点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，所以A正确；
（3）若点A在圆上，如图（3）所示，则由垂径定理，线段的垂直平分线必过点，故与重合，故点的轨迹是一个点；
（4）若点A在圆外，如图（4）所示，
则，
所以，故点的轨迹是以A 为焦点的双曲线右支，当的垂直平分线交的延长线于点时，的轨迹是以A 为焦点的双曲线左支，所以C正确；
故选:D.
30．A
【分析】根据椭圆的定义即可求解.
【详解】解： ，
故，
又，
根据椭圆的定义可知：P的轨迹为椭圆.
故选：A.
31．B
【分析】设动点,由两点间斜率公式及倾斜角的关系,可得的方程,化简即可得动点C的轨迹方程,排除不符合要求的点即可.
【详解】设
由两点间斜率公式可得
由斜率与倾斜角关系,结合可得
变形可得
当时,C与A或B重合,不合题意
所以点C的轨迹方程为（）
故选:B
【点睛】本题考查了轨迹方程的求法,两点间斜率公式,注意斜率与倾斜角关系,排除掉不符合要求的点,属于基础题.
32．ABD
【解析】由平面且平面平面，即可判断A；根据球的性质及与正方体的截面性质即可判断B；作，，连接，作.建立空间直角坐标系，由即可求得动点P的轨迹方程，即可判断C；根据题意，由距离比即可求得轨迹方程，进而判断D.
【详解】对于A，，且，所以平面，平面平面，故动点P的轨迹为线段，所以A正确；
对于B，点P的轨迹为以A为球心、半径为的球面与面的交线，即为一段圆弧，所以B正确；
对于C，作，，连接；作.由，在面内，以C为原点、以直线、、为x，y，z轴建立平面直角坐标系，如下图所示：
设，则，化简得，P点轨迹所在曲线是一段双曲线，所以C错误.
对于D，由题意可知点P到点的距离与点P到直线的距离之比为，结合C中所建立空间直角坐标系，可得，所以，代入可得，化简可得，故点P的轨迹为双曲线，所以D正确.
综上可知，正确的为ABD.
故选：ABD.
【点睛】本题考查了空间几何体中截面的形状判断，空间直角坐标系的综合应用，轨迹方程的求法，属于难题.
33．AC
【分析】对于A项，过P作的垂线，垂足为N，证明，即可判断正误；
对于B项，将平面与平面沿如图展开，即可求出的最小值，即可判断正误；
对于C项，点P到直线的距离即P到点的距离，则点P到直线BC的距离等于它到点的距离，所以点P的轨迹是抛物线，即可判断正误；
因为三角形面积为定值，以为底，则底边长一定，从而可得P到直线的距离为定值，分析可得，点P在以为轴线的圆柱面与平面的交线上，且与圆柱的轴线斜交，由平面与圆柱面的截面的性质判断，即可判断D选项.
【详解】解：对于A项，过P作的垂线，垂足为N，，，所以，所以，故A正确；
对于B项，将平面与平面沿如图展开，
，故B错误；
对于C项，点P到直线的距离即P到点的距离，则点P到直线BC的距离等于它到点的距离，所以点P的轨迹是抛物线，故C正确；
因为三角形面积为定值，以为底，则底边长一定，从而可得P到直线的距离为定值，分析可得，点P在以为轴线的圆柱面与平面的交线上，且与圆柱的轴线斜交，由平面与圆柱面的截面的性质判断，可得P的轨迹为椭圆，D错误，
故选：AC.
34．AC
【解析】设，根据整理可得轨迹方程，利用轨迹方程依次判断各个选项即可得到结果.
【详解】设，则，，
，，整理可得：，
即点轨迹方程为，C正确；
由方程知点轨迹为椭圆，A正确；
由方程得：，，离心率，B错误；
由椭圆定义知：周长为，D错误.
故选：AC.
35．AC
【解析】设出点的坐标，分别写出直线方程，根据系数相等，求得坐标之间的关系，结合几何关系，即可求得三角形得面积，结合均值不等式则面积的最大值可解；利用相关点法，即可求得动点的轨迹方程.
【详解】根据题意，作图如下：
不妨设点的坐标为，点坐标为，
故切点所在直线方程为：；
又点为椭圆上的一点，
故切线方程所在直线方程为：；
故可得.即
不妨设直线交于点，故
设直线方程为：，
故，又，
故可得三角形的面积
，
当且仅当，且时，即时取得最大值.
因为点在椭圆上，故，
又，
故可得，整理得.
故动点的轨迹方程为：.
故选：.
【点睛】本题考查切点弦直线方程、椭圆的切线方程，以及均值不等式的利用，轨迹方程的求解，属综合困难题.
36．BC
【分析】设动点的坐标，利用等式建立方程、化简得到动点轨迹方程，再利用椭圆的相关知识进行求解.
【详解】设，则，，所以由，得，整理可得，即点P的轨迹为椭圆且方程为，故A错误，C正确；由轨迹方程得，，则离心率，故B正确；由椭圆定义知，的周长为，故D错误．
故选：BC．
37．ABD
【分析】利用椭圆的定义可判断A选项的正误；考虑点在圆上，利用圆的几何性质可判断B选项的正误；利用双曲线的定义可判断C选项的正误；考查点与圆心重合，结合ABC选项可判断D选项的正误.
【详解】由中垂线的定义可知，.
对于A选项，点在圆内，则，所以，，
所以，点的轨迹为椭圆，A选项正确；
对于B选项，若点在圆上，由圆的几何性质可知，过圆心，则直线与的交点为，则点与点重合，B选项正确；
对于C选项，点在圆外，则，所以，，
所以，点的轨迹为双曲线的一支，C选项正确；
对于D选项，若点与点重合，则为的中点，则，
此时，点的轨迹为圆，结合ABC选项可知，点的轨迹不可能是抛物线，D选项正确.
故选：ABD.
【点睛】方法点睛：求动点的轨迹方程有如下几种方法：
（1）直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程；
（2）定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程；
（3）相关点法：用动点的坐标、表示相关点的坐标、，然后代入点的坐标所满足的曲线方程，整理化简可得出动点的轨迹方程；
（4）参数法：当动点坐标、之间的直接关系难以找到时，往往先寻找、与某一参数得到方程，即为动点的轨迹方程；
（5）交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程.
38．6
【分析】先用定义法求出折痕与的交点M的轨迹方程为：，再求出曲线C上点到圆心O的距离最大值，进而求出曲线C上的点到圆O上的点的最大距离.
【详解】以OA的中点G为坐标原点，OA所在直线为x轴，垂直OA为y轴建立平面直角坐标系，可知，，设折痕与和分别交于M，N两点，则MN⊥，连接MA，所以，所以，故所有折痕与的交点M的轨迹为以O，A为焦点，4为长轴的椭圆，故椭圆方程为：，设曲线C上点坐标为，则，当时，取得最大值，最大值为2，故曲线C上的点到圆O上的点的最大距离为2+4=6.
故答案为：6
39．
【分析】设，先说明是的重心，点为的内心，求出，得到即得解.
【详解】解：设，因为，所以是的重心，
因为，所以，
所以, 所以点在的角平分线上，
因为∠ACB的平分线与点P的轨迹相交于点I，所以点为的内心.
所以点，即，
又，所以与轴平行，又，
所以,
所以点的轨迹是以为焦点，长轴长为4的椭圆，，
当是椭圆的长轴的端点时，不能构成三角形，所以不能取到椭圆的长轴的端点；
当是椭圆的短轴的端点时，与已知存在非零实数，使得矛盾，所以不能取到椭圆的短轴的端点.
又椭圆的焦距为2，所以椭圆的方程为.
所以点的轨迹方程为.
故答案为：
40．
【解析】由正弦定理可得，结合椭圆的定义可得点的轨迹方程，即可得解.
【详解】因为，，所以，
所以点的轨迹是以、为左右焦点，长轴长的椭圆（不在x轴上），
该椭圆焦距，所以，
所以点的轨迹方程为，
当时，，
所以面积的最大值.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用正弦定理转化条件为，再结合椭圆的定义即可得解.
41．
【分析】利用椭圆的定义可得轨迹方程.
【详解】连接，由题意，，则，
由椭圆的定义可得动点D的轨迹为椭圆，其焦点坐标为，长半轴长为2，
故短半轴长为1，故轨迹方程为：.
故答案为：.
42．
【分析】相关点法求解轨迹方程.
【详解】设，则，则，即，因为，
代入可得，即的轨迹方程为.
故答案为：
43．
【分析】先设P（x，y），M（x1，y1），N（x2，y2），利用坐标表示求动点P轨迹方程，最后根据椭圆定义求结果.
【详解】设P（x，y），M（x1，y1），N（x2，y2），
则由，得（x，y）=2（x1，y1）-（x2，y2），
即x=2x1-x2，y=2y1-y2，
∵点M，N在椭圆上，所以，，
故2x2+y2=（8x12+2x22-8x1x2）+（4y12+y22-4y1y2）=20-4（2x1x2+y1y2），
设k0M，kON分别为直线OM，ON的斜率，根据题意可知k0MkON=-2，
∴y1y2+2 x1x2=0，
∴2x2+y2=20，
所以P在椭圆2x2+y2=20上；
设该椭圆的左，右焦点为F1，F2，
由椭圆的定义可推断出为定值，该定值为
故答案为：
【点睛】本题主要考查了椭圆定义及简单的几何性质．充分考查了用代数的方法来处理平面几何问题的手段．
44．(1)
(2)存在点，使得为定值.
【分析】（1）表示出与的斜率，由斜率之积为，即可求得E的方程；
（2）分直线的斜率为零和不为零两种情况分别计算.
(1)
设，易得，直线的斜率为，直线的斜率为，
则，
整理得，则曲线E方程为；
(2)
当直线的斜率为不为0时，设直线的方程为，设定点
联立方程组，消可得，
设，，
可得，，
所以
.
要使上式为定值，则，解得，
此时
当直线的斜率为0时，，，此时，也符合.
所以，存在点，使得为定值.
45．(1)答案见解析；
(2)答案见解析.
【分析】（1）根据不同的选择，结合椭圆的定义，即可求得动点的轨迹及其方程；
（2）对的取值范围进行分类讨论，结合不同情况求得对应的轨迹及方程即可.
(1)
选择条件①：，因为，
故点的轨迹是以为焦点的椭圆，设其方程为，
则，，故其方程为：.
即选择条件①，点的轨迹是椭圆，其方程为；
选择条件②：，因为，
故点的轨迹是线段，其方程为.
(2)
因为，
当时，此时动点不存在，没有轨迹和方程；
当时，此时，
由（1）可知，此时动点的轨迹是线段，其方程为；
当时，此时，
此时点的轨迹是以为焦点的椭圆，其方程为.
综上所述：当时，动点没有轨迹和方程；
当时，动点的轨迹是线段，其方程为；
当时，动点的轨迹是以为焦点的椭圆，其方程为.
46．见解析
【分析】分，和三种情况进行讨论，结合椭圆的定义即可求解.
【详解】解：由题意，，
当时，点P到点、的距离之和为8，所以动点P的轨迹为线段，
所以动点P的轨迹方程为；
当时，点P到点、的距离之和为，所以由椭圆的定义知动点P的轨迹为以、为焦点，长轴长为的椭圆，
所以，
所以动点P的轨迹方程为；
当时，点P到点、的距离之和为，所以动点P的轨迹不表示任何曲线，无轨迹方程.
47．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）直接根据题意翻译条件为代数式，即可求解.
（2）设点设直线，将条件翻译成代数式，联立直线方程和椭圆方程，再利用韦达定理消元即可.
(1)
设动点，由动点C到定点的距离与它到直线的距离之比为.
得，
化简得，即点C的轨迹方程为
(2)
设，直线的斜率显然存在设为k，则的方程为.
因为A，P，B，Q四点共线，不妨设，
由可得，
即，
所以
可得，化简可得.（*）
联立直线和椭圆C的方程：
，消去y得：，
由韦达定理，，.代入（*）
化简得，即
又代入上式：，化简：，
所以点Q总在一条动直线上，且该直线过定点
48．（1）；（2）存在点，使得为定值.
【解析】（1）由题意知，于是，结合椭圆定义可得曲线方程；
（2）当直线与轴不重合时，设直线的方程为，代入，由韦达定理得 ，，再讨论能否让为定值；再补充当直线与轴重合时的情况.
【详解】（1）由圆的方程知，圆心为，半径为.
设圆和圆内切于点，则，，三点共线，且.
因为圆过点，则，于是，
所以圆心的轨迹是以，为焦点的椭圆.
因为，则，又，则，所以曲线的方程是.
（2）当直线与轴不重合时，设直线的方程为，代入，得，
即.
设点，，则，.
设点，则，，
.
若为定值，则，解得，此时为定值.
当直线与轴重合时，点，.对于点，则．
，此时.
综上分析，存在点，使得为定值.
【点晴】方法点睛：求轨迹方程的常用方法
（1）直接法：如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量，如（距离和角）的等量关系，或几何条件简单明了易于表达，只需要把这种关系转化为的等式，就能得到曲线的轨迹方程；
（2）定义法：某动点的轨迹符合某一基本轨迹如直线、圆锥曲线的定义，则可根据定义设方程，求方程系数得到动点的轨迹方程；
（3）几何法：若所求轨迹满足某些几何性质，如线段的垂直平分线，角平分线的性质，则可以用几何法，列出几何式，再代入点的坐标即可；
（4）相关点法（代入法）：若动点满足的条件不变用等式表示，但动点是随着另一动点（称之为相关点）的运动而运动，且相关点满足的条件是明显的或是可分析的，这时我们可以用动点的坐标表示相关点的坐标，根据相关点坐标所满足的方程，求得动点的轨迹方程；
（5）交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现求两个动曲线交点的轨迹问题，这类问题常常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数参数求出所求轨迹的方程.
49．（1）；（2）存在点，定值为．
【分析】（1）由与x轴重合可知轴，此时有先解出a，然后将代入椭圆方程可得到a,b的关系，进而解出b，得到答案；
（2）先讨论直线或的斜率不存在时求出交点P的坐标；然后考虑二者斜率都存在的情况，因为问题是“是否存在定点M，N，使得为定值？”我们可以设出P的坐标，根据求出它的轨迹方程，事先猜想应当是椭圆，而两个定点应该是对应的焦点.
【详解】（1）当与x轴重合时，，故，即轴．
故当时，
由，得．
由，得．
所以椭圆E的方程是．
（2）如图所示，焦点的坐标分别为．
当直线或的斜率不存在时，点P的坐标为或．
当直线和的斜率都存在时，设斜率分别为，点．
联立，得．
因为直线过椭圆内一点，则，，
则
．
同理可得，
因为，所以，化简得．
由题意，知，所以．
设点，则，所以，
化简得，而且当直线或的斜率不存在时，点P的坐标为或，也满足此方程．
所以点在椭圆上，根据椭圆定义可知存在点，使得为定值，定值为．
【点睛】本题第（2）问比较新颖，问题的关键点在于如何理解“是否存在定点M，N，使得为定值？”，我们应当立马想到椭圆的定义.接下来就比较套路，根据利用根与系数的关系进行化简，得出点P的轨迹方程，此题非常经典，可以作为范题归纳.
50．(1)
(2)存在点，使得为定值
【分析】（1）根据垂直平分线性质可知，可得，满足椭圆定义，由此可求得点轨迹方程；
（2）若两条互相垂直的弦所在直线的斜率均存在，假设直线方程，与椭圆联立后可得两点坐标，设与轴交于，利用可求得恒过定点；当直线斜率不存在或两条垂直的弦其中一条斜率不存在时，可验证知依然恒过定点，由此可知恒过定点，可知在以中点为圆心，为直径的圆上，由此可确定满足题意的点.
(1)
由题意得：圆，则圆心，半径；
设中点为，则为线段的垂直平分线，，
，
点轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆，即，，，
点轨迹方程为：；
(2)
①若两条互相垂直的弦所在直线的斜率均存在，则可设直线，
由得：，
设直线与曲线交于，，则，
，；
，直线，同理可得：，，
设直线与轴交于点，
则当直线斜率存在时，由得：，
，即直线恒过点；
当直线斜率不存在时，由得：，则，
则直线恒过点；
②若两条互相垂直的弦所在直线中有一条斜率不存在，则直线为轴，恒过；
综上所述：直线恒过点；
，在以中点为圆心，为直径的圆上，
若，则为定值；
存在点，使得为定值.
【点睛】关键点点睛：本题考查利用椭圆定义求解轨迹方程、直线与椭圆问题中的定点定值问题的求解；本题求解定点的关键是能够确定直线过定点，得到动点所满足的轨迹为圆，进而可知其到圆心的距离为定值.

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