构造函数讲义——2023届高考一轮提高讲义数学技巧点拨系列(Word版含答案)

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构造函数讲义——2023届高考一轮提高讲义数学技巧点拨系列(Word版含答案)

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构造函数
【知识点讲解】
1. 幂函数部分
x次数与构造函数之间是对应的
①对于,构造;
一般的,对于,构造.
②对于,构造;
一般的,对于,构造.
2、对数函数部分
①对于,构造.
②对于,构造.
3、三角函数部分
①对于,即,
构造.
②对于,构造.
③对于,构造.
指数函数部分
由于ex≥0,所以一般在题目中都会把其约掉而只剩下f(x)的形式
①对于,构造;
一般的,对于,构造.
②对于,构造;
一般的,对于,构造.
5、解题导语
一般而言,构造函数有以下几个办法:一是根据选项给的特征直接构造函数、二是根据求导的法则来构造。但由于不同的题目有不同的特征而方法不同。例如:当题目给出x>0时一般都要除以或乘上x,还有一种不常见的就是奇函数求导后是偶函数、偶函数求导后是奇函数这一规律来解题。此类问题还会为以后定积分(高中阶段不要求)的学习打下基础。
【例题讲解】
【例1】已知是定义在上的奇函数,当时,且,则不等式的解集是______.
听课笔记:
【跟踪训练1】已知奇函数的定义域为,当讨,,且,则不等式的解集为___________.
听课笔记:
【跟踪训练2】(多选)若定义在上的函数满足,则下列不等式一定正确是( )
A. B. C. D.
听课笔记:
【对点训练】
一、单选题
1.已知定义在上的函数的导函数为,满足,若函数的图像关于直线对称,且,则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
2.设,分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当时,,且,则不等式的解集是( )
A. B. C. D.
3.已知定义在上的函数的导函数为,对任意满足,则下列结论一定正确的是( )
A. B. C. D.
4.已知是定义在上的函数,其导函数为,且不等式恒成立,则下列不等式成立的是( )
A. B. C. D.
5.已知是定义在R上的可导函数,且满足,,,若,则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
6.定义域为R的可导函数的导函数为,满足且,则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
7.若函数在R上可导,且满足,则( )
A. B. C. D.
8.已知函数满足:,,且.若角满足不等式,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
9.设函数是奇函数(x∈R)的导函数,f(﹣1)=0,当x>0时,,则使得f(x)>0成立的x的取值范围是(  )
A.(﹣∞,﹣1)∪(﹣1,0) B.(0,1)∪(1,+∞)
C.(﹣∞,﹣1)∪(0,1) D.(﹣1,0)∪(1,+∞)
10.定义在 上的函数 满足,则不等式 的解集为(  )
A. B. C. D.
11.定义在上的函数的导数为,若对任意实数都有,且函数为奇函数,则不等式的解集是( )
A. B. C. D.
12.设是定义在R上的连续的函数的导函数,(e为自然对数的底数),且,则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
13.已知是函数的导数,且,当时,,则不等式的解集是( )
A. B. C. D.
14.已知奇函数是定义在R上的可导函数,其导函数为,当时,有,则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
15.已知定义在上的偶函数满足,若,则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
16.已知函数是定义在上的可导函数,对于任意的实数,都有,当时,,若,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
17.已知定义在R上的偶函数满足,,若,则关于x的不等式的解集为( )
A.(4,+∞) B.(-∞,4) C.(-∞,3) D.(3,+∞)
18.已知定义在上的偶函数的导函数为,当时,,且,则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
19.设函数在R上存在导数,对于任意的实数,有,当时,,若,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题
20.已知定义在上的函数的导函数为,且,,则下列判断中正确的是( )
A.< B.>0
C.> D.>
21.定义在上的函数的导函数为,且.则对任意,其中,则下列不等式中一定成立的是( )
A. B.
C. D.构造函数
【知识点讲解】
1. 幂函数部分
x次数与构造函数之间是对应的
①对于,构造;
一般的,对于,构造.
②对于,构造;
一般的,对于,构造.
2、对数函数部分
①对于,构造.
②对于,构造.
3、三角函数部分
①对于,即,
构造.
②对于,构造.
③对于,构造.
指数函数部分
由于ex≥0,所以一般在题目中都会把其约掉而只剩下f(x)的形式
①对于,构造;
一般的,对于,构造.
②对于,构造;
一般的,对于,构造.
5、解题导语
一般而言,构造函数有以下几个办法:一是根据选项给的特征直接构造函数、二是根据求导的法则来构造。但由于不同的题目有不同的特征而方法不同。例如:当题目给出x>0时一般都要除以或乘上x,还有一种不常见的就是奇函数求导后是偶函数、偶函数求导后是奇函数这一规律来解题。此类问题还会为以后定积分(高中阶段不要求)的学习打下基础。
【例题讲解】
【例1】已知是定义在上的奇函数,当时,且,则不等式的解集是______.
【答案】
【详解】设,则
因为是定义在上的奇函数,
所以,
所以是上的偶函数,
当时,,所以在上单调递增,
所以在上单调递减.因为,所以,
所以.对于不等式,
当时,,即,解得;
当时,,即,解得,
所以不等式的解集是.
【跟踪训练1】已知奇函数的定义域为,当讨,,且,则不等式的解集为___________.
【答案】【详解】构造函数,则当时,,所以当x>0时单调递增.因为f(2)=0,所以,所以当x>2时,从而.当时,,从而.
又奇函数的图像关于原点中心对称,所以的解集为.
【跟踪训练2】(多选)若定义在上的函数满足,则下列不等式一定正确是( )
A. B.
C. D.
【答案】AD
【详解】因为所以.
设,.则
,则当时,,此时为减函数;
当时,,此时为增函数.
所以,A正确.
. .
因为,所以.所以.
所以
【对点训练】
一、单选题
1.已知定义在上的函数的导函数为,满足,若函数的图像关于直线对称,且,则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
2.设,分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当时,,且,则不等式的解集是( )
A. B. C. D.
3.已知定义在上的函数的导函数为,对任意满足,则下列结论一定正确的是( )
A. B. C. D.
4.已知是定义在上的函数,其导函数为,且不等式恒成立,则下列不等式成立的是( )
A. B. C. D.
5.已知是定义在R上的可导函数,且满足,,,若,则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
6.定义域为R的可导函数的导函数为,满足且,则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
7.若函数在R上可导,且满足,则( )
A. B. C. D.
8.已知函数满足:,,且.若角满足不等式,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
9.设函数是奇函数(x∈R)的导函数,f(﹣1)=0,当x>0时,,则使得f(x)>0成立的x的取值范围是(  )
A.(﹣∞,﹣1)∪(﹣1,0) B.(0,1)∪(1,+∞)
C.(﹣∞,﹣1)∪(0,1) D.(﹣1,0)∪(1,+∞)
10.定义在 上的函数 满足,则不等式 的解集为(  )
A. B. C. D.
11.定义在上的函数的导数为,若对任意实数都有,且函数为奇函数,则不等式的解集是( )
A. B. C. D.
12.设是定义在R上的连续的函数的导函数,(e为自然对数的底数),且,则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
13.已知是函数的导数,且,当时,,则不等式的解集是( )
A. B. C. D.
14.已知奇函数是定义在R上的可导函数,其导函数为,当时,有,则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
15.已知定义在上的偶函数满足,若,则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
16.已知函数是定义在上的可导函数,对于任意的实数,都有,当时,,若,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
17.已知定义在R上的偶函数满足,,若,则关于x的不等式的解集为( )
A.(4,+∞) B.(-∞,4) C.(-∞,3) D.(3,+∞)
18.已知定义在上的偶函数的导函数为,当时,,且,则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
19.设函数在R上存在导数,对于任意的实数,有,当时,,若,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题
20.已知定义在上的函数的导函数为,且,,则下列判断中正确的是( )
A.< B.>0
C.> D.>
21.定义在上的函数的导函数为,且.则对任意,其中,则下列不等式中一定成立的是( )
A. B.
C. D.
【参考答案】
1.C【详解】解:函数的图象关于直线对称,
,,
设,则,又,
;单调递减,
而当时,;不等式,即,解得:,
故不等式的解集为,
2.D【详解】设,则,
时,,递增,
又是奇函数,所以,从而,
由得,,
,所以是奇函数,
所以在时也是增函数,,
所以由得,综上,不等式的解为.
3.A【详解】构造函数,则,因为,故,因此可得在上单调递减,由于,故,
4.B【详解】由题意,构造函数,
则因为不等式恒成立,
所以,即在上单调递增,
对于A选项,因为,即,即,故A选项错误
对于B选项,因为,即,即,故B选项正确
对于C选项,因为,即,即,故C选项错误
对于D选项,因为,即,即,故D选项错误
5.C【详解】不等式可化为,令,由,
得,所以是减函数,
因为,所以的图象关于点对称,即,
又,
分别令,,,,,得,,,,,结合对称性有,
,,
所以,从而,
因此不等式为,所以.
6.C【详解】令,则,∴在R上单调递减,又∵,
∴,即,∴.
7.A【详解】构造函数,函数在上可导,且满足,
,时,函数单调递增,(3)(2),
即,即,
8.A【详解】解:构造函数,,
由化为:,
,函数为上的奇函数,
则,在上单调递减.
若角满足不等式,则,
即,,解得:.
9.D【详解】由题意设,则
∵当x>0时,有,∴当x>0时,,
∴函数在(0,+∞)上为增函数,∵函数f(x)是奇函数,
∴g(﹣x)=g(x),∴函数g(x)为定义域上的偶函数,
g(x)在(﹣∞,0)上递减,由f(﹣1)=0得,g(﹣1)=0,
∵不等式f(x)>0 x g(x)>0,
∴或,即有x>1或﹣1<x<0,
∴使得f(x)>0成立的x的取值范围是:(﹣1,0)∪(1,+∞),
故选:D.
10.D【详解】令 ,则,由于,
故,故在单调递增,而 ,
由,得 ,∴ ,即 ,
∴不等式的解集为,
11.B【详解】因为函数为上的奇函数,则,所以.
原不等式可化为,即.
令,则,
故在上单调递减,且由所以.
12.C【详解】设,则,
∵,∴,函数在R上单调递增,
又,∴,由,可得,
即,又函数在R上单调递增,
所以,即不等式的解集为.
13.D【详解】设,则,
因为当时,,所以当时,,
即在上单调递增,
因为,所以为偶函数,则也是偶函数,所以在上单调递减.
因为,所以,
即,则,解得,
14.C
【详解】令,则,
因为当时,有,所以当时,,
所以在上为增函数,因为为奇函数,所以,
所以,所以为R上的奇函数,
所以在R上为增函数,由,得
,,
所以,因为为奇函数,所以,
所以,得,所以不等式的解集为,
15.A【详解】是偶函数,,则,即是奇函数,
由,可得,构造,则单调递增;,,即的周期为,则,即;不等式可化简为,即,由单调性可得,解得
16.C【详解】解:因为,所以,
令,则,所以为偶函数,
当时,,所以,
所以函数在上单调递增,
根据偶函数对称区间上单调性相反的性质可知在上单调递减,
因为,所以,
所以,即,解得或.
17.A【详解】因为定义在R上的偶函数满足,故,故,即,所以,即的周期为3.又,故,即.因为,即,故构造函数,则,且.综上有在R上单调递增,且.又即,,所以,解得
18.A【详解】因为当时,,所以.
令,则,所以在上单调递减,
因为是定义在上的偶函数,所以是上的奇函数,
又因为是的导函数,所以的图象连续,
故在上单调递减.因为,所以,
所以当时,等价于
解得;当时,等价于,
解得.综上可知,不等式的解集为.
19.D【详解】∵,∴.
令,且,则在上单调递减.
又∵,∴,
∴为奇函数,在上单调递减.∵,
∴.当,即时,,

即,由于在上递减,则,解得:,∴.
当,即时,,即.
由在上递减,则,解得:,所以.
综上所述,实数的取值范围是.
20.CD【详解】令,则,
因为,所以在上恒成立,因此函数在上单调递减,故,即,即,故A错;又,所以,所以在上恒成立,
因为,所以,故B错;
又,所以,即,故C正确;
又,所以,即,故D正确.
21.BD【详解】令,.则,
所以函数在上单调递增.
对于A:由于,所以,即,所以,故A不正确.
对于B:由于,所以,即,所以,故B正确.对于C:由得:,即:,
同理:.两式相加得:,故C不正确.
对于D:;.
两式相减得:
.所以,
即:,故D正确.构造函数(数学技巧点拨系列)——2023 届高考一轮提高讲义
构造函数
【知识点讲解】
1. 幂函数部分
x次数与构造函数之间是对应的
①对于 xf (x) f (x) 0( 0),构造 h(x) xf (x);
一般的,对于 xf (x) nf (x) 0( 0),构造 h(x) xn f (x).
②对于 xf (x) f (x) 0( 0),构造 h x f x ;
x
一般的,对于 xf (x) nf (x) 0( f (x) 0) ,构造 h(x) .
xn
2、对数函数部分
①对于 f (x) ln af (x) 0( 0),构造 h(x) a x f (x) .
②对于 f (x) ln x f (x) 0( 0),构造 h(x) f (x) ln x .
x
3、三角函数部分
①对于 f (x) f (x) tan x(或f (x) f (x) tan x),即 f (x) cos x f (x)sin x 0( 0) ,
构造 h(x) f (x) cos x.
②对于 f (x) cos x f (x)sin x 0( 0) f (x),构造 h(x) .
cos x
f (x)
③对于 0,构造 h(x) ln f (x) .
f (x)
4、指数函数部分
由于 ex≥0,所以一般在题目中都会把其约掉而只剩下 f(x)的形式
f x
①对于 f (x) f (x) 0( 0),构造 h x x ;e
一般的,对于 f (x) nf (x) 0( 0),构造 h(x) f (x) nx .e
第 1 页 Math tips series——2023 College Entrance Examination one-round sprint
构造函数(数学技巧点拨系列)——2023 届高考一轮提高讲义
②对于 f (x) f (x) 0( 0),构造 h x e x f x ;
一般的,对于 f (x) nf (x) 0( 0),构造 h(x) enx f (x).
5、解题导语
一般而言,构造函数有以下几个办法:一是根据选项给的特征直接构造函数、二是根据求
导的法则来构造。但由于不同的题目有不同的特征而方法不同。例如:当题目给出 x>0 时一
般都要除以或乘上 x,还有一种不常见的就是奇函数求导后是偶函数、偶函数求导后是奇函数
这一规律来解题。此类问题还会为以后定积分(高中阶段不要求)的学习打下基础。
【例题讲解】
1
【例 1】已知 f x 是定义在 ,0 U 0, 上的奇函数,当 x 0时, f x xf x 0且 f 2 2,
则不等式 f x 1 的解集是______x .
听课笔记:
【跟踪训练 1】已知奇函数 f x 的定义域为R,当 x 0讨,2 f x f x 0,且 f 2 0,则不
等式 f x 0的解集为___________.
听课笔记:
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x
【跟踪训练 2】(多选)若定义在 (0, )上的函数满足 xf (x) (2 x) f (x) (x 1)e ,则下列不等
x
式一定正确是( )
A 4 f (1) e f
1 3
. B. 4 f (2) ef (1) C. 4ef (2) 9 f (3) D.e2 f
1 16 f (2)
2 2
听课笔记:
【对点训练】
一、单选题
1.已知定义在R上的函数 f x 的导函数为 f x ,满足 f x f x 0,若函数 f x 的图像关
f x
于直线 x 2

对称,且 f 4 1,则不等式 x 1的解集为( )e
A. 2, B. 0, C. ,0 D. , 2
2.设 f x , g x 分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数,当 x 0时, f x g x f x g x 0,
且 f 2 0,则不等式 f x g x 0的解集是( )
A. , 2 0, 2 B. 2,0 0,2 C. , 2 2, D. 2,0 2,
3.已知定义在R上的函数 f x 的导函数为 f x ,对任意 x R满足 f x f x 0,则下列结
论一定正确的是( )
A e2. f 2 e3 f 3 B. e2 f 2 e3 f 3 C e3 f 2 e2 f 3 D e3 f 2 e2. . f 3
4.已知 f (x)是定义在R上的函数,其导函数为 f (x),且不等式 f (x) f (x)恒成立,则下列不等
式成立的是( )
A. ef (1) f (2) B.ef 1 f 0 C. ef 2 f 1 D 2.e f 1 f 1
5.已知 f x 是定义在 R上的可导函数,且满足 f x f x ,f x 6 f x ,f x 1 f 1 x 0,
若 f 9 f 8 1 f x e x,则不等式 0的解集为( )
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A. 3, B. 1, C. 0, D. 6,
6.定义域为 R 的可导函数 y f x 的导函数为 f x ,满足 f x f x 且 f 0 3,则不等式
f x 3ex的解集为( )
A. ,0 B. ,3 C. 0, D. 3,
7.若函数 f x 在 R 上可导,且满足 f x xf x 0,则( )
A. 2 f 3 3 f 2 B.2 f 3 3 f 2 C.3 f 3 2 f 2 D.3 f 3 2 f 2
8.已知函数 f (x)满足: x R, f (x) f ( x) 2cos x,且 f (x) sin x 0.若角 满足不等式
f ( ) f ( ) 0,则 的取值范围是( )
A

. ,
, , 0,
2
B.
2
C.
2 2
D.
2
9.设函数 f x 是奇函数 f x (x∈R)的导函数,f(﹣1)=0,当 x>0时, xf x f x 0,
则使得 f(x)>0成立的 x的取值范围是( )
A.(﹣∞,﹣1)∪(﹣1,0) B.(0,1)∪(1,+∞)
C.(﹣∞,﹣1)∪(0,1) D.(﹣1,0)∪(1,+∞)
1
10.定义在 (0, ) 上的函数 f (x) 满足 xf x 1>0, f 2 ln ,则不等式 f (ex ) x 0 的解集为
2
( )
A. (0,2ln2) B. (0,ln2) C. (ln2,1) D. (ln2, )
11.定义在R上的函数 f (x)的导数为 f (x),若对任意实数 x都有 f (x) f (x),且函数
y f x 2022为奇函数,则不等式 f x 2022ex 0的解集是( )
A. , 2022 B. ( , 0) C. (0, ) D. (2022, )
12.设 f x 是定义在 R 上的连续的函数 f x 的导函数, f x f x 2ex 0(e 为自然对数的
2 x
底数),且 f 2 4e ,则不等式 f x 2xe 的解集为( )
A. 2,0 2, B. e, C. 2, D. , 2 2,
13.已知 f (x)是函数 f (x)的导数,且 f ( x) f (x),当 x 0时, f (x) 3x,则不等式
f (x) f (x 1) 3x 3
2 的解集是( )
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( 1A. ,0)
1 1 1
B. ( , ) C. ( , ) D. ( , )
2 2 2 2
14.已知奇函数 f x 是定义在 R 上的可导函数,其导函数为 f x ,当 x 0时,有 2 f x xf x 0,
2
则不等式 x 2021 f x 2021 4 f 2 0的解集为( )
A. 2019, B. 2021, 2019 C. , 2019 D. 2019,0
3 3 1
15.已知定义在R上的偶函数 f (x)满足 f x

f

x

0, f (2022) ,若 f (x) f ( x),则
2 2 e
不等式 f (x 2)
1
x 的解集为( )e
A. (1, ) B. ( ,1) C. ( ,3) D. (3, )
f x
16 .已知函数 f x 是定义在R上的可导函数,对于任意的实数 x,都有 f x 2x ,当 x 0时,e
f x f x 0,若 ea 1 f 2a 1 f a 2 ,则实数 a的取值范围是( )
A. 1,1 B. 2,2 C. , 1 1, D. , 2 2,
1
17.已知定义在 R 上的偶函数 f x 满足 f (x ) f ( x 1) 0, e4 f (2022) 1,若 f (x) f ( x),
2
1
则关于 x的不等式 f (x 2) x 的解集为( )e
A.(4,+∞) B.(-∞,4) C.(-∞,3) D.(3,+∞)
18 f (x).已知定义在R上的偶函数 y f (x)的导函数为 y f (x),当 x 0时,f (x) 0 f (2) 3x ,且 ,
则不等式 f (2x 1)
6

2x 1的解集为( )
1 3 3 1 3 1 1 1 3A. ,
, , , , ,
2 2
B. C. D.
2 2 2 2 2 2 2
19.设函数 f x 在 R 上存在导数 f x ,对于任意的实数 x,有 f x f x 2x2,当 x ,0
f x 4 2x f m 2 f m 4时, ,若 2m,则实数m的取值范围是( )
m 2
A. 1,2 B. ,1 2, C. 2,2 D. , 1 2,
二、多选题
π
20 .已知定义在 0, 上的函数 f (x)的导函数为 f
(x),且 f (0) 0, f (x) cos x f (x)sin x 0
2
,则下

列判断中正确的是( )
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构造函数(数学技巧点拨系列)——2023 届高考一轮提高讲义
π π
A f 6 π . < f B. f ln >0 6 2 4 3
π π
C f > 3 f D f
π π
. 6 3 . >
2 f
4 3
f x
21 .定义在 0, 上的函数 f x 的导函数为 f x ,且 f x .则对任意 x1, x2 0, ,其x
中 x1 x2,则下列不等式中一定成立的是( )
2
A f ex . 1 f 1 ex x f x 1 x2 11 B. 2 2 f 2
x2 2
C. f x1 x2 f x1 f x2 D. f x1 f x
x2 f x x 12 f x x 1 21 x2
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