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2023届高考数学微专题讲义之函数性质
题型归类
题型一：利用奇偶性、周期性求值
例1．（2014·全国·高考真题（文））奇函数的定义域为，若为偶函数，且，则
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】试题分析：是偶函数，则 的图象关于直线对称，又 是奇函数，则，且 是周期函数，且周期为8，所以．故选D．
考点：函数的奇偶性，周期性．
【名师点睛】解函数问题时，有些隐含性质需我们已知条件找出，特别是周期性．当函数具有两个对称时函数一般也是周期函数．当函数是奇函数，又有对称轴时，则函数一定是周期函数，且周期为；若有两条对称轴和，则函数是周期函数，是函数的一个周期；同样若有两个对称中心 和，则函数是周期函数， 是函数的一个周期；
例2．（2022·全国·高考真题）已知函数的定义域为R，且，则（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】A
【分析】根据题意赋值即可知函数的一个周期为，求出函数一个周期中的的值，即可解出．
【详解】因为，令可得，，所以，令可得，，即，所以函数为偶函数，令得，，即有，从而可知，，故，即，所以函数的一个周期为．
因为，，，，，所以
一个周期内的．由于22除以6余4，
所以．
故选：A．
题型二：求函数单调区间
例1．（2022·海南华侨中学模拟预测）函数的单调递增区间是
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】由>0得：x∈( ∞, 2)∪(4,+∞)，
令t=，则y=lnt，
∵x∈( ∞, 2)时,t=为减函数；
x∈(4,+∞)时,t=为增函数；
y=lnt为增函数，
故函数f(x)=ln()的单调递增区间是(4,+∞)，
故选D.
点睛：形如的函数为,的复合函数，为内层函数,为外层函数.
当内层函数单增，外层函数单增时，函数也单增；
当内层函数单增，外层函数单减时，函数也单减；
当内层函数单减，外层函数单增时，函数也单减；
当内层函数单减，外层函数单减时，函数也单增.
简称为“同增异减”.
题型三：利用对称性求值
例1．（2016·全国·高考真题（理））已知函数满足，若函数与图像的交点为则
A．0 B． C． D．
【答案】B
【详解】试题分析：由题意得,函数和的图象都关于对称,所以两函数的交点也关于对称,对于每一组对称点和，都有.从而.故选B.
考点：函数的性质.
【易错点睛】本题主要考查了函数的性质.本题作为高考选择题的压轴题,考生的易错点是不明确本题要考察的知识点是什么,不知道正确利用两个函数的对称性（中心对称）,确定两个函数的交点也是关于对称,最后正确求和得出结论.本题考查了函数的对称性,但不是从奇偶性的角度进行考查,从而提高了考试的难度.
例2．（2013·辽宁·高考真题（文））已知函数
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】试题分析：设，则，
，所以，所以答案为D.
考点：1.对数函数的运算律；2.换元法.
题型四：利用奇偶性、单调性解不等式
例1．（2015·天津·高考真题（文））已知定义在R上的函数为偶函数,记,则,的大小关系为
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由 为偶函数得,所以, ,所以,故选B.
考点：本题主要考查函数奇偶性及对数运算.
例2．（2013·天津·高考真题（文））已知函数是定义在R上的偶函数, 且在区间单调递增. 若实数a满足, 则a的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】试题分析：函数是定义在上的偶函数，∴，等价为），即．∵函数是定义在上的偶函数，且在区间单调递增，∴）等价为．即，∴，解得,故选项为C．
考点：（1）函数的奇偶性与单调性；（2）对数不等式.
【思路点晴】本题主要考查对数的基本运算以及函数奇偶性和单调性的应用，综合考查函数性质的综合应
用根据函数的奇偶数和单调性之间的关系，综合性较强.由偶函数结合对数的运算法则得：，即，结合单调性得：将不等式进行等价转化即可得到结论.
题型五：根据函数的平移伸缩解题
例1．（2019·全国·高考真题（理））设函数的定义域为R，满足，且当时，.若对任意，都有，则m的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题为选择压轴题，考查函数平移伸缩，恒成立问题，需准确求出函数每一段解析式，分析出临界点位置，精准运算得到解决．
【详解】时，，，，即右移1个单位，图像变为原来的2倍．
如图所示：当时，，令，整理得：，（舍），时，成立，即，，故选B．
【点睛】易错警示：图像解析式求解过程容易求反，画错示意图，画成向左侧扩大到2倍，导致题目出错，需加深对抽象函数表达式的理解，平时应加强这方面练习，提高抽象概括、数学建模能力．
二、真题、模拟题演练
1．（2016·山东·高考真题（文））已知函数的定义域为.当时，；当时，；当时，.则
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】试题分析：当时,,所以当时,函数是周期为的周期函数,所以,又函数是奇函数,所以,故选D．
考点：函数的周期性和奇偶性．
2．（2016·全国·高考真题（文））已知函数f（x）（x∈）满足f（x）=f（2 x），若函数 y=|x2 2x 3|与y=f（ x）图像的交点为（x1,y1），（x2,y2），…，（xm,ym），则
A．0 B．m C．2m D．4m
【答案】B
【详解】试题分析：因为的图像都关于对称，所以它们图像的交点也关于对称，当为偶数时，其和为；当为奇数时，其和为，因此选B.
【考点】 函数图像的对称性
【名师点睛】如果函数，，满足，恒有，那么函数的图象有对称轴；如果函数，，满足，恒有，那么函数的图象有对称中心.
3．（2015·全国·高考真题（文））设函数,则使成立的的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】试题分析：，定义域为，∵，∴函数为偶函数，当时，函数单调递增，根据偶函数性质可知：得成立，∴，∴，∴的范围为故答案为A.
考点：抽象函数的不等式.
【思路点晴】本题考查了偶函数的性质和利用偶函数图象的特点解决实际问题，属于基础题型，应牢记．根据函数的表达式可知函数为偶函数，根据初等函数的性质判断函数在大于零的单调性为递增，根据偶函数关于原点对称可知，距离原点越远的点，函数值越大，把可转化为，解绝对值不等式即可．
4．（2008·全国·高考真题（理））设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】由f(x)为奇函数可知，
＝<0.
而f(1)＝0，则f(－1)＝－f(1)＝0.
当x>0时，f(x)<0＝f(1)；
当x<0时，f(x)>0＝f(－1)．
又∵f(x)在(0，＋∞)上为增函数，
∴奇函数f(x)在(－∞，0)上为增函数．所以0点睛：解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为的形式，然后根据函数的单调性去掉“”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内
5．（2021·全国·高考真题）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】推导出函数是以为周期的周期函数，由已知条件得出，结合已知条件可得出结论.
【详解】因为函数为偶函数，则，可得，
因为函数为奇函数，则，所以，，
所以，，即，
故函数是以为周期的周期函数，
因为函数为奇函数，则，
故，其它三个选项未知.
故选：B.
6．（2017·全国·高考真题（理））函数在单调递增，且为奇函数，若，则满足的的取值范围是．
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】 是奇函数，故 ；又 是增函数，，即 则有 ，解得 ，故选D.
【点睛】解本题的关键是利用转化化归思想，结合奇函数的性质将问题转化为
，再利用单调性继续转化为，从而求得正解.
7．（2022·天津·南开中学模拟预测）设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】通过是奇函数和是偶函数条件，可以确定出函数解析式，进而利用定义或周期性结论，即可得到答案．
【详解】因为是奇函数，所以①；
因为是偶函数，所以②．
令，由①得：，由②得：，
因为，所以，
令，由①得：，所以．
思路一：从定义入手．
所以．
思路二：从周期性入手
由两个对称性可知，函数的周期．
所以．
故选：D．
【点睛】在解决函数性质类问题的时候，我们通常可以借助一些二级结论，求出其周期性进而达到简便计算的效果．
8．（2009·山东·高考真题（文））已知定义在上的奇函数满足，且在区间上是增函数，则
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由，得到函数的周期是8，然后利用函数的奇偶性和单调性之间的关系进行判断大小.
【详解】因为满足，所以，
所以函数是以8为周期的周期函数，
则.
由是定义在上的奇函数，
且满足，得.
因为在区间上是增函数，是定义在上的奇函数，
所以在区间上是增函数，
所以，即.
【点睛】在比较，，，的大小时，首先应该根据函数的奇偶性与周期性将，，，通过等值变形将自变量置于同一个单调区间，然后根据单调性比较大小．
9．（2022·全国·高考真题（理））已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据对称性和已知条件得到，从而得到，，然后根据条件得到的值，再由题意得到从而得到的值即可求解.
【详解】因为的图像关于直线对称，
所以，
因为，所以，即，
因为，所以，
代入得，即，
所以，
.
因为，所以，即，所以.
因为，所以，又因为，
联立得，，
所以的图像关于点中心对称，因为函数的定义域为R，
所以
因为，所以.
所以.
故选：D
【点睛】含有对称轴或对称中心的问题往往条件比较隐蔽，考生需要根据已知条件进行恰当的转化，然后得到所需的一些数值或关系式从而解题.
二、填空题
10．（2022·山东泰安·二模）已知是奇函数，且当时，.若，则__________.
【答案】-3
【分析】当时，代入条件即可得解.
【详解】因为是奇函数，且当时，．
又因为，，
所以，两边取以为底的对数得，所以，即．
【点睛】本题主要考查函数奇偶性，对数的计算．渗透了数学运算、直观想象素养．使用转化思想得出答案．
11．（2012·全国·高考真题（文））设函数的最大值为，最小值为，则=___________ .
【答案】2
【详解】，令，则为奇函数，
所以的最大值和最小值和为0，又.
有，即.
答案为：2.
12．（2021·全国·高考真题）已知函数是偶函数，则______.
【答案】1
【分析】利用偶函数的定义可求参数的值.
【详解】因为，故，
因为为偶函数，故，
时，整理得到，
故，
故答案为：1
13．（2016·天津·高考真题（理））已知是定义在R上的偶函数，且在区间上单调递增.若实数满足，则的取值范围是______.
【答案】
【详解】由题意在上单调递减，又是偶函数，
则不等式可化为，则，，解得．
14．（2015·全国·高考真题（理））若函数为偶函数，则_____．
【答案】1
【详解】试题分析：由函数为偶函数函数为奇函数，
．
考点：函数的奇偶性．
【方法点晴】本题考查导函数的奇偶性以及逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力、特殊与一般思想、数形结合思想与转化思想，具有一定的综合性和灵活性，属于较难题型．首先利用转化思想，将函数为偶函数转化为 函数为奇函数，然后再利用特殊与一般思想，取．
15．（2018·全国·高考真题（文））已知函数，，则________．
【答案】
【分析】发现，计算可得结果.
【详解】因为，
，且，则.
故答案为-2
【点睛】本题主要考查函数的性质，由函数解析式，计算发现是关键，属于中档题.
16．（2017·浙江·高考真题）已知，函数在区间[1,4]上的最大值是5，则a的取值范围是__________
【答案】
【详解】，分类讨论：
①当时，，
函数的最大值，舍去；
②当时，，此时命题成立；
③当时，，则：
或，解得：或
综上可得，实数的取值范围是．
【名师点睛】本题利用基本不等式，由，得，通过对解析式中绝对值符号的处理，进行有效的分类讨论：①；②；③，问题的难点在于对分界点的确认及讨论上，属于难题．解题时，应仔细对各种情况逐一进行讨论．
17．（2017·江苏·高考真题）已知函数，其中e是自然数对数的底数，若，则实数a的取值范围是_________．
【答案】
【详解】因为，所以函数是奇函数，
因为，所以数在上单调递增，
又，即，所以，即，
解得，故实数的取值范围为．
点睛:解函数不等式时，首先根据函数的性质把不等式转化为的形式，然后根据函数的单调性去掉“”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意与的取值应在函数的定义域内．2023届高考数学微专题讲义之函数性质
题型归类
题型一：利用奇偶性、周期性求值
例1．（2014·全国·高考真题（文））奇函数的定义域为，若为偶函数，且，则
A． B． C． D．
例2．（2022·全国·高考真题）已知函数的定义域为R，且，则（ ）
A． B． C．0 D．1
题型二：求函数单调区间
例1．（2022·海南华侨中学模拟预测）函数的单调递增区间是
A． B．
C． D．
题型三：利用对称性求值
例1．（2016·全国·高考真题（理））已知函数满足，若函数与图像的交点为则
A．0 B． C． D．
例2．（2013·辽宁·高考真题（文））已知函数
A． B． C． D．
题型四：利用奇偶性、单调性解不等式
例1．（2015·天津·高考真题（文））已知定义在R上的函数为偶函数,记,则,的大小关系为
A． B． C． D．
例2．（2013·天津·高考真题（文））已知函数是定义在R上的偶函数, 且在区间单调递增. 若实数a满足, 则a的取值范围是
A． B． C． D．
题型五：根据函数的平移伸缩解题
例1．（2019·全国·高考真题（理））设函数的定义域为R，满足，且当时，.若对任意，都有，则m的取值范围是
A． B．
C． D．
二、真题、模拟题演练
1．（2016·山东·高考真题（文））已知函数的定义域为.当时，；当时，；当时，.则
A． B． C． D． 2．（2016·全国·高考真题（文））已知函数f（x）（x∈）满足f（x）=f（2 x），若函数 y=|x2 2x 3|与y=f（ x）图像的交点为（x1,y1），（x2,y2），…，（xm,ym），则
A．0 B．m C．2m D．4m
3．（2015·全国·高考真题（文））设函数,则使成立的的取值范围是
A． B．
C． D．
4．（2008·全国·高考真题（理））设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为
A． B．
C． D．
5．（2021·全国·高考真题）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2017·全国·高考真题（理））函数在单调递增，且为奇函数，若，则满足的的取值范围是．
A． B． C． D．
7．（2022·天津·南开中学模拟预测）设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2009·山东·高考真题（文））已知定义在上的奇函数满足，且在区间上是增函数，则
A． B．
C． D．
9．（2022·全国·高考真题（理））已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
10．（2022·山东泰安·二模）已知是奇函数，且当时，.若，则__________.
11．（2012·全国·高考真题（文））设函数的最大值为，最小值为，则=___________ .
12．（2021·全国·高考真题）已知函数是偶函数，则______.
13．（2016·天津·高考真题（理））已知是定义在R上的偶函数，且在区间上单调递增.若实数满足，则的取值范围是______.
14．（2015·全国·高考真题（理））若函数为偶函数，则_____．
15．（2018·全国·高考真题（文））已知函数，，则________．
16．（2017·浙江·高考真题）已知，函数在区间[1,4]上的最大值是5，则a的取值范围是__________
17．（2017·江苏·高考真题）已知函数，其中e是自然数对数的底数，若，则实数a的取值范围是_________．

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