资源简介

1.2空间向量基本定理
【知识点梳理】
知识点01：空间向量基本定理及样关概念的理解
空间向量基本定理：
如果空间中的三个向量，，不共面，那么对空间中的任意一个向量，存在唯一的有序实数组，使得.其中，空间中不共面的三个向量，，组成的集合{，，}，常称为空间向量的一组基底.此时，，，都称为基向量；如果，则称为在基底{，，}下的分解式.
知识点2：空间向量的正交分解
单位正交基底：如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用表示.
正交分解：把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解.
知识点3：用空间向量基本定理解决相关的几何问题
用已知向量表示某一向量的三个关键点：
(1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．
(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量．
(3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立
【题型归纳目录】
题型一：基底的判断
题型二：基底的运用
题型三：正交分解
题型四：用空间向量基本定理解决相关的几何问题
【典型例题】
题型一：基底的判断
例1．（2022·重庆八中模拟预测）若构成空间的一个基底，则下列向量也可以构成空间中的一个基底的是（ ）
A． B．
C． D．
例2．（2022·全国·高二课时练习）设，，，且是空间的一个基底，给出下列向量组：①；②；③；④，则其中可以作为空间的基底的向量组有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
例3．（2022·湖南·高二课时练习）已知，，是不共面的三个向量，下列能构成一组基的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
例4．（多选题）（2022·江苏·沛县教师发展中心高二阶段练习）若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（ ）
A．，， B．，， C．，， D．，，
【方法技巧与总结】
空间向量基底.不共面的三个向量构成空间向量的基底.
题型二：基底的运用
例5．（2022·江苏·涟水县第一中学高二阶段练习）如图，OABC是四面体，G是的重心，是OG上一点，且，则（ ）
A． B．=
C．= D．=
例6．（2022·广东·佛山市南海区桂城中学高二阶段练习）在四面体中，，，，点在上，且，是的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
例7．（2022·江苏南通·高二期中）如图所示，空间四边形OABC中，，，，点M在OA上，且，M为OA中点，N为BC中点，则等于（ ）
A． B． C． D．
例8．（2022·江苏·泰州中学高二期中）在四棱柱中，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【方法技巧与总结】
1.空间中，任一向量都可以用一组基底表示，且只要基底确定，则表示形式是唯一的.
2.用基底表示空间向量时，一般要结合图形，运用向量加法、减法的平行四边形法则、三角形法则，以及数乘向量的运算法则，逐步向基向量过渡，直至全部用基向量表示.
3.在空间几何体中选择基底时，通常选取公共起点最集中的向量或关系最明确的向量作为基底，例如，在正方体、长方体、平行六面体、四面体中，一般选用从同一顶点出发的三条棱所对应的向量作为基底.
题型三：正交分解
例9．（2021·湖北·武汉市钢城第四中学高二阶段练习）设是空间的一个单位正交基底，且向量 ， 是空间的另一个基底，则用该基底表示向量____________.
例10．（2021·江苏镇江·高二期中）若是一个单位正交基底，且向量，，______．
例11．（2021·广东·广州市培英中学高二阶段练习）向量是空间的一个单位正交基底，向量在基底下的坐标为，则在基底的坐标为__________．
例12．（2022·全国·高一专题练习）向量正交分解中，两基底的夹角等于（ ）
A．45° B．90° C．180° D．不确定
【方法技巧与总结】
正交基底的三个向量共起点
题型四：用空间向量基本定理解决相关的几何问题
例13．（2021·湖北·武汉市钢城第四中学高二阶段练习）如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=AA1=1，∠BAD=∠BAA1=60°，∠DAA1=120°.求：
(1)的值.
(2)线段AC1 的长
例14．（2021·全国·高二课时练习）已知空间四边形OABC中，，且OA=OB=OC，M，N分别是OA，BC的中点，G是MN的中点，求证：OG⊥BC．
例15．（2021·全国·高二专题练习）已知平行六面体的底面是边长为1的菱形，且，.
（1）证明：；
（2）求异面直线与夹角的余弦值.
例16．（2022·福建宁德·高二期中）如图，已知平行六面体中，底面ABCD是边长为2的菱形，，，M为与的交点，设，，．
(1)用，，表示并求BM的长；
(2)求点A到直线BM的距离．
【方法技巧与总结】
应用空间向量基本定理可以证明空间的线线垂直、线线平行,可求两条异面直线所成的角等.
首先根据几何体的特点,选择一个基底,把题目中涉及的两条直线所在的向量用基向量表示.
(1)若证明线线垂直,只需证明两向量数量积为0;
(2)若证明线线平行,只需证明两向量共线;
(3)若要求异面直线所成的角,则转化为两向量的夹角(或其补角).
【同步练习】
一、单选题
1．（2022·四川省成都市新都一中高二期中（理））已知，，，为空间中四点，任意三点不共线，且，若，，，四点共面，则的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．（2022·江苏扬州·高二期中）如图，在正方体中，，，，若为的中点，在上，且，则等于（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·福建龙岩·高二期中）在平行六面体中，点是线段的中点，，设，，，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·江苏扬州·高二期中）如图，在平行六面体中，为和的交点，若，，，则下列式子中与相等的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·全国·高二课时练习）如图所示，在正方体中，下列各式中运算结果为向量的个数是（ ）
①； ②；
③； ④．
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（2022·全国·高二课时练习）设，，，且是空间的一个基底，给出下列向量组：①；②；③；④，则其中可以作为空间的基底的向量组有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（2021·安徽池州·高二期中）如图，已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC.M，N分别是对边OB，AC的中点，点G在线段MN上，，现用基向量表示向量，设，则的值分别是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
8．（2022·广东·高二阶段练习）在三棱锥中，P为内一点，若，，，则（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．（2022·福建福州·高二期中）如图，在平行六面体中，，，．若，，则（ ）
A． B．
C．A，P，三点共线 D．A，P，M，D四点共面
10．（2021·浙江·金华市曙光学校高二阶段练习）已知点为三棱锥的底面所在平面内的一点，且（，），则，的值可能为（ ）
A．， B．， C．， D．，
11．（2022·浙江宁波·高二期末）若，，是三个不共面的单位向量，且两两夹角均为，则（ ）
A．的取值范围是
B．能构成空间的一个基底
C．“”是“P，A，B，C四点共面”的充分不必要条件
D．
12．（2022·全国·高二课时练习）已知单位向量，，两两的夹角均为，若空间向量满足，则有序实数组称为向量在“仿射”坐标系Oxyz（O为坐标原点）下的“仿射”坐标，记作，则下列命题中，真命题有（ ）
A．已知，，则
B．已知，，其中，则当且仅当时，向量，的夹角取得最小值
C．已知，，则
D．已知，，，则三棱锥的表面积
三、填空题
13．（2022·全国·高二课时练习）在长方体中，若是棱的中点，是面对角线与的交点，则向量与、___________.（填“共面”或“不共面”）
14．（2022·全国·高二课时练习）正方体中，点是上底面的中心，若，则___________.
15．（2022·全国·高二课时练习）四面体OABC的所有棱长都等于，E，F，G分别为OA，OC，BC中点，则___________.
16．（2021·湖北孝感·高二期中）如图所示，三棱柱中，，分别是和上的点，且，设，则的值为___________.
四、解答题
17．（2022·全国·高二课时练习）如图，在平行六面体中，，，两两夹角为60°，长度分别为2，3，1，点在线段上，且，记，，．试用，，表示．
18．（2022·全国·高二课时练习）已知A B C三点不共线，O为平面ABC外一点.
(1)若，判断 三个向量是否共面，以及M是否在平面ABC上；
(2)若，判断M是否在平面ABC上；
(3)请给出空间某点在某一平面上的一个充要条件（不必证明）.
19．（2022·浙江·於潜中学高二期中）如图所示，在四棱锥中，，且，底面为正方形.
(1)设试用表示向量；
(2)求的长.
20．（2022·湖南·高二课时练行六面体中，，，．
(1)用，，表示向量；
(2)设G，H分别是侧面和对角线的交点，用，，表示．
21．（2022·江苏·扬州中学高二阶段练习）如图，在四面体OABC中，M是棱OA上靠近A的三等分点，N是棱BC的中点，P是线段MN的中点．设，，．
(1)用，，表示向量；
(2)若，且满足 （从下列三个条件中任选一个，填上序号：①；②；③，则可求出的值；并求出的大小．
22．（2022·全国·高二课时练习）如图，三棱柱中，底面边长和侧棱长都等于1，．
(1)设，，，用向量表示，并求出的长度；
(2)求异面直线与所成角的余弦值
1.2空间向量基本定理
【知识点梳理】
知识点01：空间向量基本定理及样关概念的理解
空间向量基本定理：
如果空间中的三个向量，，不共面，那么对空间中的任意一个向量，存在唯一的有序实数组，使得.其中，空间中不共面的三个向量，，组成的集合{，，}，常称为空间向量的一组基底.此时，，，都称为基向量；如果，则称为在基底{，，}下的分解式.
知识点2：空间向量的正交分解
单位正交基底：如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用表示.
正交分解：把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解.
知识点3：用空间向量基本定理解决相关的几何问题
用已知向量表示某一向量的三个关键点：
(1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．
(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量．
(3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立
【题型归纳目录】
题型一：基底的判断
题型二：基底的运用
题型三：正交分解
题型四：用空间向量基本定理解决相关的几何问题
【典型例题】
题型一：基底的判断
例1．（2022·重庆八中模拟预测）若构成空间的一个基底，则下列向量也可以构成空间中的一个基底的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由空间向量基底的定义即可得出答案.
【详解】
选项A：令，则，，A正确；
选项B：因为，所以不能构成基底；
选项C：因为，所以不能构成基底；
选项D：因为，所以不能构成基底．
故选：A.
例2．（2022·全国·高二课时练习）设，，，且是空间的一个基底，给出下列向量组：①；②；③；④，则其中可以作为空间的基底的向量组有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】
【分析】
以为顶点作，，，作出平行六面体，根据空间向量的加法法则作出，，然后判断各组向量是否共面可得结论．
【详解】
如图，作平行六面体，，，，
则，，，，
由平行六面体知，共面，不共面，不共面，不共面，
因此可以作为空间的基底的有3组．
故选：C．
例3．（2022·湖南·高二课时练习）已知，，是不共面的三个向量，下列能构成一组基的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】C
【解析】
【分析】
由不共面的三个向量能构成一组基底判断.
【详解】
A. 因为=，则三个向量共面，所以三个向量不能构成一组基底；
B. 因为=，则三个向量共面，所以三个向量不能构成一组基底；
C. 假设，，共面，则必存在x，y，有，因为，，是不共面，则，不成立，则三个向量不共面，所以三个向量能构成一组基底；
D. 因为，则三个向量共面，所以三个向量不能构成一组基底；
故选：C
例4．（多选题）（2022·江苏·沛县教师发展中心高二阶段练习）若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（ ）
A．，， B．，， C．，， D．，，
【答案】ABD
【解析】
【分析】
逐项判断各选项的向量是否不共面，从而可得正确的选项.
【详解】
对于A，因为，故，，共面；
对于B，因为，故，，共面；
对于D，因为，故，，共面；
对于C，若，，共面，则存在实数，使得：，
，故共面，
这与构成空间的一个基底矛盾，
故选：ABD
【方法技巧与总结】
空间向量基底.不共面的三个向量构成空间向量的基底.
题型二：基底的运用
例5．（2022·江苏·涟水县第一中学高二阶段练习）如图，OABC是四面体，G是的重心，是OG上一点，且，则（ ）
A． B．=
C．= D．=
【答案】B
【解析】
【分析】
利用向量加法减法的几何意义并依据空间向量基本定理去求向量
【详解】
连接AG并延长交BC于N，连接ON，
由G是的重心，可得，
则
则
故选：B
例6．（2022·广东·佛山市南海区桂城中学高二阶段练习）在四面体中，，，，点在上，且，是的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
利用空间向量的线性运算可得出关于、的表达式，再利用可求得结果.
【详解】
由已知，
所以，，
故选：D.
例7．（2022·江苏南通·高二期中）如图所示，空间四边形OABC中，，，，点M在OA上，且，M为OA中点，N为BC中点，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据空间向量的加减运算，即可求得答案.
【详解】
由题意得：，
故选：A
例8．（2022·江苏·泰州中学高二期中）在四棱柱中，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意利用空间向量基本定理求解即可
【详解】
因为，所以，
所以
，
所以A错误
因为，所以，
所以
,
故选：D
【方法技巧与总结】
1.空间中，任一向量都可以用一组基底表示，且只要基底确定，则表示形式是唯一的.
2.用基底表示空间向量时，一般要结合图形，运用向量加法、减法的平行四边形法则、三角形法则，以及数乘向量的运算法则，逐步向基向量过渡，直至全部用基向量表示.
3.在空间几何体中选择基底时，通常选取公共起点最集中的向量或关系最明确的向量作为基底，例如，在正方体、长方体、平行六面体、四面体中，一般选用从同一顶点出发的三条棱所对应的向量作为基底.
题型三：正交分解
例9．（2021·湖北·武汉市钢城第四中学高二阶段练习）设是空间的一个单位正交基底，且向量 ， 是空间的另一个基底，则用该基底表示向量____________.
【答案】
【解析】
【分析】
设，由空间向量分解的唯一性，，列出方程组求解即可
【详解】
由题意，不妨设
由空间向量分解的唯一性：
故，解得
则
故答案为：
例10．（2021·江苏镇江·高二期中）若是一个单位正交基底，且向量，，______．
【答案】
【解析】
【分析】
由条件可得，，利用向量的数量积的运算性质可得答案.
【详解】
由是一个单位正交基底，则，
故答案为：
例11．（2021·广东·广州市培英中学高二阶段练习）向量是空间的一个单位正交基底，向量在基底下的坐标为，则在基底的坐标为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据空间向量的基本定理：设坐标，分别以、为基底表示，即可得方程组求参数，进而确定坐标.
【详解】
由题意知：，若在基底的坐标为，
∴，
∴，可得，
∴在基底的坐标为.
故答案为：
例12．（2022·全国·高一专题练习）向量正交分解中，两基底的夹角等于（ ）
A．45° B．90° C．180° D．不确定
【答案】B
【解析】
【分析】
由向量的正交分解的概念即可得出答案.
【详解】
把一个向量分解为两个相互垂直的向量叫作向量的正交分解，故向量的夹角为90°.
故选：B.
【方法技巧与总结】
正交基底的三个向量共起点
题型四：用空间向量基本定理解决相关的几何问题
例13．（2021·湖北·武汉市钢城第四中学高二阶段练习）如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=AA1=1，∠BAD=∠BAA1=60°，∠DAA1=120°.求：
(1)的值.
(2)线段AC1 的长
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）直接套用向量的内积公式即可；
（2）选取作为一组基底，用基底表示，
=代入求解即可得出答案.
(1)
=
=.
(2)
选取作为一组基底，
则，
则
=
=
=
=
=
=.
例14．（2021·全国·高二课时练习）已知空间四边形OABC中，，且OA=OB=OC，M，N分别是OA，BC的中点，G是MN的中点，求证：OG⊥BC．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】
取定基底向量，并分别记为，再用基底表示出和，然后借助数量积即可计算作答.
【详解】
在空间四边形OABC中，令，则，
令，G是MN的中点，如图，
则，，
于是得
，
因此，，
所以OG⊥BC.
例15．（2021·全国·高二专题练习）已知平行六面体的底面是边长为1的菱形，且，.
（1）证明：；
（2）求异面直线与夹角的余弦值.
【答案】（1）证明见详解；（2）
【解析】
（1）由题，选定空间中三个不共面的向量为基向量，只需证明即可；
（2）用基向量求解向量的夹角即可，先计算向量的数量积，再求模长，代值计算即可.
【详解】
设，，
由题可知：两两之间的夹角均为，且，
（1）由
所以即证.
（2）由，又
所以，
又
则
又异面直线夹角范围为
所以异面直线夹角的余弦值为.
【点睛】
本题考查用基向量求解空间向量的问题，涉及异面直线的夹角，以及线线垂直的证明，是难得的好题，值得总结此类方法.
例16．（2022·福建宁德·高二期中）如图，已知平行六面体中，底面ABCD是边长为2的菱形，，，M为与的交点，设，，．
(1)用，，表示并求BM的长；
(2)求点A到直线BM的距离．
【答案】(1)，BM的长为．
(2)2
【解析】
【分析】
(1)根据空间向量的基本定理可得，利用空间向量的几何意义，等式两边同时平方，计算即可；
(2)由(1)可得，进而可得，即为点A到直线BM的距离.
(1)
又，，，
故BM的长为．
(2)
由（1）知，，
∴，
所以，则为点A到直线BM的距离，
又，故点A到直线BM的距离为2．
【方法技巧与总结】
应用空间向量基本定理可以证明空间的线线垂直、线线平行,可求两条异面直线所成的角等.
首先根据几何体的特点,选择一个基底,把题目中涉及的两条直线所在的向量用基向量表示.
(1)若证明线线垂直,只需证明两向量数量积为0;
(2)若证明线线平行,只需证明两向量共线;
(3)若要求异面直线所成的角,则转化为两向量的夹角(或其补角).
【同步练习】
一、单选题
1．（2022·四川省成都市新都一中高二期中（理））已知，，，为空间中四点，任意三点不共线，且，若，，，四点共面，则的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【解析】
【分析】
根据四点共面结论：若四点共面，则且，
【详解】
若，，，四点共面，则，则
故选：D．
2．（2022·江苏扬州·高二期中）如图，在正方体中，，，，若为的中点，在上，且，则等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用空间向量的线性元素和空间向量的基本定理求解.
【详解】
，
，
故选：B
3．（2022·福建龙岩·高二期中）在平行六面体中，点是线段的中点，，设，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用向量加法的平行四边形法则，减法的三角形法则即可求解
【详解】
因为为中点，
所以
所以
即
故选：B
4．（2022·江苏扬州·高二期中）如图，在平行六面体中，为和的交点，若，，，则下列式子中与相等的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据空间向量的加减运算，表示出向量，即得答案.
【详解】
,
故选;A
5．（2022·全国·高二课时练习）如图所示，在正方体中，下列各式中运算结果为向量的个数是（ ）
①； ②；
③； ④．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】
【分析】
根据空间向量的加法法则判断．
【详解】
由正方体，空间向量的加法法则可得．
；；
；．
故选：D．
6．（2022·全国·高二课时练习）设，，，且是空间的一个基底，给出下列向量组：①；②；③；④，则其中可以作为空间的基底的向量组有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】
【分析】
以为顶点作，，，作出平行六面体，根据空间向量的加法法则作出，，然后判断各组向量是否共面可得结论．
【详解】
如图，作平行六面体，，，，
则，，，，
由平行六面体知，共面，不共面，不共面，不共面，
因此可以作为空间的基底的有3组．
故选：C．
7．（2021·安徽池州·高二期中）如图，已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC.M，N分别是对边OB，AC的中点，点G在线段MN上，，现用基向量表示向量，设，则的值分别是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】C
【解析】
【分析】
结合图形,由M、N是OM、BC的中点,用表示出,从而得出,即可得出.
【详解】
连结ON.
因为M，N分别是对边OB，AC的中点，所以，，
所以.
又，所以.
.
故选：C
8．（2022·广东·高二阶段练习）在三棱锥中，P为内一点，若，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
延长PB到，使得，延长PC到，使得，连接，，，根据 ，，，得到P是的重心求解.
【详解】
延长PB到，使得，延长PC到，使得，连接，，，如图所示：
因为，，，
所以，
所以P是的重心，
所以，即，
所以，
整理得．
故选：C
二、多选题
9．（2022·福建福州·高二期中）如图，在平行六面体中，，，．若，，则（ ）
A． B．
C．A，P，三点共线 D．A，P，M，D四点共面
【答案】BD
【解析】
【分析】
根据空间向量运算判断AB选项的正确性，根据三点共线、四点共面的知识判断CD选项的正确性.
【详解】
，A选项错误.
，B选项正确.
则是的中点，
，
，
则不存在实数使，所以C选项错误.
，
由于直线，所以四点共面，所以D选项正确.
故选：BD
10．（2021·浙江·金华市曙光学校高二阶段练习）已知点为三棱锥的底面所在平面内的一点，且（，），则，的值可能为（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】CD
【解析】
【分析】
根据平面向量基本定理，结合空间向量加法的几何意义进行求解即可.
【详解】
因为点为三棱锥的底面所在平面内的一点，
所以由平面向量基本定理可知：
，
化简得：，显然有，
而，所以有，
当，时，，所以选项A不可能；
当，时，，所以选项B不可能；
当，时，，所以选项C可能；
当，时，，所以选项D可能，
故选：CD
11．（2022·浙江宁波·高二期末）若，，是三个不共面的单位向量，且两两夹角均为，则（ ）
A．的取值范围是
B．能构成空间的一个基底
C．“”是“P，A，B，C四点共面”的充分不必要条件
D．
【答案】BD
【解析】
【分析】
根据给定条件结合空间向量相关知识逐一分析各个选项即可判断作答.
【详解】
因，，是三个不共面的单位向量，且两两夹角均为，则三棱锥是侧棱长为1的正三棱锥，如图，
作平面于点，连接，则，
，，中，由余弦定理得，
于是得，A不正确；
因，，是不共面的，由空间向量基底的意义知，B正确；
假定P，A，B，C四点共面，依题意，存在唯一实数对使得，即，
而，由空间向量基本定理知，此方程组无解，则有P，A，B，C四点不共面，
“”是“P，A，B，C四点共面”的不充分不必要条件，C不正确；
，D正确.
故选：BD
12．（2022·全国·高二课时练习）已知单位向量，，两两的夹角均为，若空间向量满足，则有序实数组称为向量在“仿射”坐标系Oxyz（O为坐标原点）下的“仿射”坐标，记作，则下列命题中，真命题有（ ）
A．已知，，则
B．已知，，其中，则当且仅当时，向量，的夹角取得最小值
C．已知，，则
D．已知，，，则三棱锥的表面积
【答案】BC
【解析】
【分析】
理解仿射向量的概念，利用空间向量共线定理及数量积运算即可﹒
【详解】
．
因为，且，所以，故A错误．
如图所示：
设，，则点A在xOy平面内，点B在z轴上，
由图易知当时，最小，
即向量，的夹角取得最小值，故B正确．
根据“仿射”坐标的定义，可得
，故C正确．
由已知可得三棱锥为正四面体，棱长为1，
其表面积，故D错误．
故选：BC
三、填空题
13．（2022·全国·高二课时练习）在长方体中，若是棱的中点，是面对角线与的交点，则向量与、___________.（填“共面”或“不共面”）
【答案】不共面
【解析】
【分析】
设，，，利用空间向量的基本定理可得出关于的表达式，即可得出结论.
【详解】
如下图所示：
设，，，
则
，
因此，向量与、不共面.
故答案为：不共面.
14．（2022·全国·高二课时练习）正方体中，点是上底面的中心，若，则___________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据向量线性运算，利用表示出，由此可得的值.
【详解】
，
，，，.
故答案为：.
15．（2022·全国·高二课时练习）四面体OABC的所有棱长都等于，E，F，G分别为OA，OC，BC中点，则___________.
【答案】##0.5
【解析】
【分析】
取定空间的一个基底，用基底表示，，再计算空间向量数量积作答.
【详解】
四面体OABC的所有棱长都等于，则此四面体是正四面体，不共面，
，因E，F，G分别为OA，OC，BC中点，
则，，
所以.
故答案为：
16．（2021·湖北孝感·高二期中）如图所示，三棱柱中，，分别是和上的点，且，设，则的值为___________.
【答案】
【解析】
【分析】
把三个向量看作是基向量，由向量的线性运算将用三个基向量表示出来，由此能求出结果.
【详解】
解：由题意三棱柱中， 分别是B 上的点，
且，，
则
，
，
.
故答案为：.
四、解答题
17．（2022·全国·高二课时练习）如图，在平行六面体中，，，两两夹角为60°，长度分别为2，3，1，点在线段上，且，记，，．试用，，表示．
【答案】
【解析】
【分析】
利用空间向量的线性运算，即可用，，表示.
【详解】
因为在平行六面体中，点在线段上，且，
所以
.
18．（2022·全国·高二课时练习）已知A B C三点不共线，O为平面ABC外一点.
(1)若，判断 三个向量是否共面，以及M是否在平面ABC上；
(2)若，判断M是否在平面ABC上；
(3)请给出空间某点在某一平面上的一个充要条件（不必证明）.
【答案】(1)向量 共面，M在平面ABC上
(2)M在平面ABC上
(3)存在实数x y z，满足，且
【解析】
【分析】
（1）利用向量四点共面的表达式，，则可判断是否空面；
（2）利用向量四点共面的表达式，且，判断点在面内问题；
（3）且可采用向量的四点共面的证明方式证明.
(1)
因为，所以，
所以，
所以，所以向量 共面.
而它们有共同的起点M，所以M A B C共面，即M在平面ABC上；
(2)
因为，所以，
所以，
所以，所以向量 共面.
而它们有共同的起点M，所以M A B C共面，即M在平面ABC上；
(3)
若O为平面ABC外的一点，则点P在平面ABC上的充要条件是：“存在实数x y z，满足，且.”
证明：必要性，由，且，
则，
所以，
即，说明点P在平面ABC上
充分性，若点P在平面ABC上，O为平面ABC外的一点
则，
所以，
则，
令，则，且.
19．（2022·浙江·於潜中学高二期中）如图所示，在四棱锥中，，且，底面为正方形.
(1)设试用表示向量；
(2)求的长.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）将，代入中化简即可得出答案.
（2）利用，结合向量数量积运算律计算即可.
(1)
∵M是PC的中点，
∴.
∵，∴，
结合，，，
得.
(2)
∵，
∴，∵，
∴，，
∴
.
∴，即BM的长等于.
20．（2022·湖南·高二课时练行六面体中，，，．
(1)用，，表示向量；
(2)设G，H分别是侧面和对角线的交点，用，，表示．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）由空间向量基本定理求解；
（2）由空间向量基本定理求解．
(1)
由向量的线性运算得：
；
(2)
21．（2022·江苏·扬州中学高二阶段练习）如图，在四面体OABC中，M是棱OA上靠近A的三等分点，N是棱BC的中点，P是线段MN的中点．设，，．
(1)用，，表示向量；
(2)若，且满足 （从下列三个条件中任选一个，填上序号：①；②；③，则可求出的值；并求出的大小．
【答案】(1)
(2)①②③
【解析】
【分析】
（1）连接由 可得答案；
（2）选①，对两边平方代入已知再开方可得答案；
选②，对两边平方代入已知再开方可得答案；
③对两边平代入已知再开方可得答案.
(1)
连接，因为N是棱BC的中点，所以，因为 M是棱OA上靠近A的三等分点，所以
.
(2)
选①，
因为，，所以
，所以；
选②，
因为，，所以
，所以；
③，
因为，，所以
，所以.
22．（2022·全国·高二课时练习）如图，三棱柱中，底面边长和侧棱长都等于1，．
(1)设，，，用向量表示，并求出的长度；
(2)求异面直线与所成角的余弦值．
【答案】(1)；
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据向量加减法运算法则可得，根据计算可得的长度；
（2）根据空间向量的夹角公式计算可得结果.
(1)
，
因为，同理可得，
所以
(2)
因为，所以，
因为，
所以．
所以异面直线与所成角的余弦值为

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