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2．5 直线与圆、圆与圆的位置关系
【知识点梳理】
知识点一：直线与圆的位置关系
1．直线与圆的位置关系：
（1）直线与圆相交，有两个公共点；
（2）直线与圆相切，只有一个公共点；
（3）直线与圆相离，没有公共点．
2．直线与圆的位置关系的判定：
（1）代数法：
判断直线与圆C的方程组成的方程组是否有解．如果有解，直线与圆C有公共点．
有两组实数解时，直线与圆C相交；
有一组实数解时，直线与圆C相切；
无实数解时，直线与圆C相离．
（2）几何法：
由圆C的圆心到直线的距离与圆的半径的关系判断：
当时，直线与圆C相交；
当时，直线与圆C相切；
当时，直线与圆C相离．
知识点诠释：
（1）当直线和圆相切时，求切线方程，一般要用到圆心到直线的距离等于半径，记住常见切线方程，可提高解题速度；求切线长，一般要用到切线长、圆的半径、圆外点与圆心连线构成的直角三角形，由勾股定理解得．
（2）当直线和圆相交时，有关弦长的问题，要用到弦心距、半径和半弦构成的直角三角形，也是通过勾股定理解得，有时还用到垂径定理．
（3）当直线和圆相离时，常讨论圆上的点到直线的距离问题，通常画图，利用数形结合来解决．
知识点二：圆的切线方程的求法
1．点在圆上，如图．
法一：利用切线的斜率与圆心和该点连线的斜率
的乘积等于，即．
法二：圆心到直线的距离等于半径．
2．点在圆外，则设切线方程：，变成一般式：，因为与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出．
知识点诠释：
因为此时点在圆外，所以切线一定有两条，即方程一般是两个根，若方程只有一个根，则还有一条切线的斜率不存在，务必要把这条切线补上．
常见圆的切线方程：
（1）过圆上一点的切线方程是；
（2）过圆上一点的切线方程是
．
知识点三：求直线被圆截得的弦长的方法
1．应用圆中直角三角形：半径，圆心到直线的距离，弦长具有的关系，这也是求弦长最常用的方法．
2．利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长．
知识点四：圆与圆的位置关系
1．圆与圆的位置关系：
（1）圆与圆相交，有两个公共点；
（2）圆与圆相切（内切或外切），有一个公共点；
（3）圆与圆相离（内含或外离），没有公共点．
2．圆与圆的位置关系的判定：
（1）代数法：
判断两圆的方程组成的方程组是否有解．
有两组不同的实数解时，两圆相交；
有一组实数解时，两圆相切；
方程组无解时，两圆相离．
（2）几何法：
设的半径为，的半径为，两圆的圆心距为．
当时，两圆相交；
当时，两圆外切；
当时，两圆外离；
当时，两圆内切；
当时，两圆内含．
知识点诠释：
判定圆与圆的位置关系主要是利用几何法，通过比较两圆的圆心距和两圆的半径的关系来确定，这种方法运算量小．也可利用代数法，但是利用代数法解决时，一是运算量大，二是方程组仅有一解或无解时，两圆的位置关系不明确，还要比较两圆的圆心距和两圆半径的关系来确定．因此，在处理圆与圆的位置关系时，一般不用代数法．
3．两圆公共弦长的求法有两种：
方法一：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求其长．
方法二：求出公共弦所在直线的方程，利用勾股定理解直角三角形，求出弦长．
4．两圆公切线的条数
与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，圆的公切线包括外公切线和内公切线两种．
（1）两圆外离时，有2条外公切线和2条内公切线，共4条；
（2）两圆外切时，有2条外公切线和1条内公切线，共3条；
（3）两圆相交时，只有2条外公切线；
（4）两圆内切时，只有1条外公切线；
（5）两圆内含时，无公切线．
【题型归纳目录】
题型一：不含参数（含参数）的直线与圆的位置关系
题型二：由直线与圆的位置关系求参数、求直线与圆的交点坐标
题型三：切线与切线长问题
题型四：弦长问题
题型五：判断圆与圆的位置关系
题型六：由圆的位置关系确定参数
题型七：公共弦与切点弦问题
题型八：公切线问题
题型九：圆中范围与最值问题
题型十：圆系问题
【典型例题】
题型一：不含参数（含参数）的直线与圆的位置关系
例1．（2022·全国·高二课时练习）直线和圆的位置关系为（ ）
A．相交 B．相切或相交 C．相离 D．相切
例2．（2022·西藏·林芝市第二高级中学高一期末）圆x2＋y2－2x＋4y＝0与直线2x+y+1＝0的位置关系为（　 　）
A．相离 B．相切 C．相交 D．以上都有可能
例3．（2022·全国·高三专题练习）直线与圆的位置关系为（ ）
A．相切 B．相交
C．相离 D．由的取值确定
例4．（2022·全国·高二专题练习）圆与直线的位置关系为（ ）
A．相切 B．相离 C．相交 D．无法确定
【方法技巧与总结】
直线与圆的位置关系判断方法
法一抓住直线与圆的位置关系的代数特征，从而转化为对方程的解的研究，这是研究直线与曲线的位置关系的基本方法；法二抓住直线与圆的位置关系的几何特征，从而转化为研究圆心到直线的距离，抓住几何特征对于研究圆的问题特别有效；法三通过判定直线过圆内一定点，从而使问题获证．由上述三种解法可知，解题的切入点不同，解法就有优劣之分．因此，在解题时，审题要慢，要仔细地分析题意，透彻地理解题意，挖掘其中的隐含条件，从而找到解决问题的捷径．
题型二：由直线与圆的位置关系求参数、求直线与圆的交点坐标
例5．（2022·福建省福州第二中学高二期末）已知直线平分圆：，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
例6．（2022·全国·高二课时练习）若直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
例7．（2022·全国·高三专题练习）若直线y＝x+b与曲线x恰有一个公共点，则b的取值范围是（　　）
A．﹣1＜b≤1 B．﹣1≤b≤1
C．b≤﹣1 D．﹣1＜b≤1或b
例8．（2022·全国·高三专题练习）若方程有两个不等的实根，则实数b的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
例9．（2022·全国·高三专题练习）已知直线与圆相交于，两点，则的值为（ ）
A． B．16 C． D．8
例10．（2022·全国·高三专题练习）已知圆上仅有一点到直线的距离为1，则实数a的值为（ ）．
A．11 B． C．1 D．4
例11．（2022·全国·高三专题练习）如果圆上总存在两个点到原点的距离为，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
例12．（2022·全国·高三专题练习）若直线 与圆 相交于 两点， 且 （其中 为原点）， 则 的值为（ ）
A． 或 B． C． 或 D．
例13．（2022·全国·高三专题练习）已知直线过点且斜率为1，若圆上恰有3个点到的距离为1，则的值为（ ）
A． B． C． D．
例14．（2022·全国·高二课时练习）若圆上存在四个点到直线的距离为，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．或
例15．（2022·江西·南昌大学附属中学高二期末（理））已知圆上有三个点到直线的距离等于1，则的值为（ ）
A． B． C． D．1
例16．（2022·四川省绵阳南山中学高二阶段练习（文））已知直线：和圆：，且圆上至少存在两点到直线的距离为1，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
例17．（2022·全国·高二课时练习）若圆与轴、轴均有公共点，则实数的取值范围是______．
【方法技巧与总结】
直接联立求解．
题型三：切线与切线长问题
例18．（2022·全国·高三专题练习）已知圆：，为过的圆的切线，为上任一点，过作圆：的切线，则切线长的最小值是__________．
例19．（2022·天津市武清区杨村第一中学模拟预测）由直线上的点向圆引切线（为切点），则线段的最小长度为________．
例20．（2022·云南玉溪·高二期末）已知直线经过点，且与圆相切，则的方程为（ ）
A． B． C． D．
例21．（2022·辽宁·大连市一0三中学模拟预测）过点作圆的切线，则切线方程为（ ）
A． B． C． D．或
例22．（2022·全国·高三专题练习）已知圆．求满足下列条件的切线方程．
（1）过点；
（2）过点．
例23．（2022·江苏连云港·模拟预测）直线与圆相切，则的值为（ ）
A． B．1 C． D．
例24．（多选题）（2022·全国·高二课时练习）过点作与圆相切的直线l，则直线l的方程为（ ）
A． B．
C． D．
例25．（多选题）（2022·全国·高二单元测试）设有一组圆Ck：，下列说法正确的是（　　）
A．这组圆的半径均为1
B．直线2x－y＋2＝0平分所有的圆Ck
C．存在无穷多条直线l被所有的圆Ck截得的弦长相等
D．存在一个圆Ck与x轴与y轴均相切
【方法技巧与总结】
求圆的切线方程一般有三种方法：
（1）直接法：应用常见结论，直接写出切线方程；
（2）待定系数法；
（3）定义法．
一般地，过圆外一点可向圆作两条切线，在后两种方法中，应注意斜率不存在的情况．
题型四：弦长问题
例26．（2022·安徽省太和中学高三阶段练习）在平面直角坐标系中，圆被直线截得的弦长2，则实数的值为___________．
例27．（2022·河南·高三阶段练习（文））直线与圆C：相交于M，N两点，则______．
例28．（2022·全国·高二课时练习）设圆的圆心为C，直线l过，且与圆C交于A，B两点，若，则直线l的方程为___________．
例29．（2022·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，已知直线与圆交于A，B两点，若钝角的面积为，则实数a的值是______．
例30．（2022·全国·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，过点的直线l与圆相交于M，N两点，若，则直线l的斜率为__________．
例31．（2022·全国·高二专题练习）已知圆，直线l过点且与圆O交于A，B两点，当面积最大时，直线l的方程为_________．
例32．（多选题）（2022·湖南·华容县教育科学研究室高一期末）已知动直线与圆，则下列说法正确的是（ ）
A．直线过定点
B．圆的圆心坐标为
C．直线与圆的相交弦的最小值为
D．直线与圆的相交弦的最大值为4
例33．（多选题）（2022·全国·高二课时练习）若直线被圆所截得的弦长为，则实数a的值为（ ）
A．0 B．4 C． D．
例34．（多选题）（2022·河南·范县第一中学高二阶段练习）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知圆O半径为3，直线l1、l2互相垂直，垂足为M（1，2），且l1与圆O相交于A、C两点，l2与圆O交于B、D两点，则四边形ABCD面积的值可以为（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
例35．（2022·全国·高二课时练习）若直线被圆截得的弦长不大于，求实数的取值范围．
【方法技巧与总结】
弦长问题
①利用垂径定理：半径，圆心到直线的距离，弦长具有的关系，这也是求弦长最常用的方法．
②利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长．
③利用弦长公式：设直线，与圆的两交点，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数关系得弦长：．
题型五：判断圆与圆的位置关系
例36．（2022·全国·高二课时练习）已知圆和，则两圆的位置关系是（ ）
A．内切 B．相交 C．外切 D．外离
例37．（2022·全国·高三专题练习）已知两圆分别为圆和圆，这两圆的位置关系是（ ）
A．相离 B．相交 C．内切 D．外切
例38．（2022·陕西·铜川阳光中学高一期末）已知圆（，为常数）与．若圆心与圆心关于直线对称，则圆与的位置关系是（ ）
A．内含 B．相交 C．内切 D．相离
【方法技巧与总结】
已知两圆半径分别为，两圆的圆心距为，则：
（1）两圆外离；
（2）两圆外切；
（3）两圆相交；
（4）两圆内切；
（5）两圆内含；
题型六：由圆的位置关系确定参数
例39．（2022·云南省下关第一中学高三开学考试）若圆上总存在两个点到点的距离为2，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
例40．（2022·湖北·荆门市龙泉中学二模）若点到直线的距离分别为1和4，则这样的直线共有（ ）条
A．4 B．3 C．2 D．1
例41．（2022·浙江·乐清市知临中学高二期中）已知，两点到直线的距离分别是2和3，则满足条件的直线共有（ ）条．
A．1 B．2 C．3 D．4
例42．（2022·全国·高三专题练习）已知圆和两点，，．若圆上存在点，使得，则的最小值为（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
例43．（2022·山东聊城·二模）已知点在圆：上，点，，满足的点的个数为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
例44．（2022·全国·高三专题练习）若圆上存在点P，且点P关于直线y＝x的对称点Q在圆上，则r的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧与总结】
利用几何法判定两圆的位置关系比用代数法（即解两圆方程联立方程组的方法）要简捷些，但需要注意的是，我们这里所说的几何法仍然是在解析几何前提下的几何法，即利用圆的方程及两点间距离公式求出两圆圆心距d和两圆的半径R和r，再根据d与、d与的大小关系来判定即可．
题型七：公共弦与切点弦问题
例45．（2022·广东·高三阶段练习）已知：，直线：，为直线上的动点，过点作的切线，，切点为，，当四边形的面积取最小值时，直线AB的方程为 ____．
例46．（2022·江苏·高二专题练习）已知圆的方程为，点是直线上的一个动点，过点作圆的两条切线、，、为切点，则四边形的面积的最小值为______
例47．（2022·云南·昆明一中高三开学考试）已知圆和圆交于两点，则直线的方程是___________．
例48．（2022·全国·高三专题练习）圆与圆的公共弦长为______．
例49．（2022·全国·高三专题练习）已知圆：，点是直线上的动点，过作圆的两条切线，切点分别为，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
例50．（2022·全国·高三专题练习）已知圆，点M为直线上一个动点，过点M作圆C的两条切线，切点分别为A，B，则四边形周长的最小值为（ ）
A．8 B． C． D．
例51．（2022·全国·高二课时练习）已知点P为直线上的动点，过点P作圆的两条切线，切点分别为A B，则直线必过定点（ ）
A． B． C． D．
例52．（2022·安徽·屯溪一中高二期中）已知直线是圆的对称轴．过点作圆的两条切线，切点分别为、，则直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
例53．（2022·四川省绵阳第一中学高二期中）过点作圆C：的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（ ）
A． B． C． D．
例54．（2022·江苏常州·一模）过圆：外一点作圆的切线，切点分别为、，则（ ）
A．2 B． C． D．3
例55．（2022·江苏·高二专题练习）已知圆M：，直线l：，P为直线l上的动点，过P点作圆M的切线PA、PB，切点为A、B，当最小时，直线AB的方程为（ ）
A． B．
C． D．
例56．（多选题）（2022·全国·高二课时练习）圆和圆的交点为A，B，则有（ ）
A．公共弦AB所在直线的方程为
B．公共弦AB所在直线的方程为
C．公共弦AB的长为
D．P为圆上一动点，则P到直线AB距离的最大值为
例57．（2022·广东·汕头市潮阳区棉城中学高二期中）过直线上任意点作圆的两条切线，切点分别为，当切线长最小时，切线长为_________；同时 的面积为_______．
例58．（2022·浙江绍兴·模拟预测）已知圆C的方程为，则圆心C的坐标为___________，圆C与圆D：的公共弦所在直线方程为___________．
【方法技巧与总结】
（1）圆的切线方程的求法
①点在圆上，
法一：利用切线的斜率与圆心和该点连线的斜率的乘积等于，即．
法二：圆心到直线的距离等于半径．
②点在圆外，则设切线方程：，变成一般式：，因为与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出．
注意：因为此时点在圆外，所以切线一定有两条，即方程一般是两个根，若方程只有一个根，则还有一条切线的斜率不存在，务必要把这条切线补上．
（2）常见圆的切线方程
过圆上一点的切线方程是；
过圆上一点的切线方程是．
过圆外一点作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为
过曲线上，做曲线的切线，只需把替换为，替换为，替换为，替换为即可，因此可得到上面的结论．
（3）两圆的公共弦方程为两圆方程相减可得．
题型八：公切线问题
例59．（2022·广东·中山一中高三阶段练习）已知圆．若圆与圆有三条公切线，则的值为___________．
例60．（2022·广东广州·高二期末）写出与圆和圆都相切的一条切线方程___________．
例61．（多选题）（2022·全国·高二课时练习）已知圆，圆，则下列是M，N两圆公切线的直线方程为（ ）
A．y＝0 B．3x－4y＝0 C． D．
例62．（2022·全国·高二专题练习）若直线与圆，圆都相切，切点分别为、，则（ ）
A． B． C． D．
例63．（2022·全国·高二单元测试）已知点M，N分别在圆与圆上，则的最大值为（ ）
A． B．17 C． D．15
例64．（多选题）（2022·全国·高二课时练习）若直线与圆相切，则直线与圆的位置关系可能是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定
例65．（2022·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，圆：与圆：，则两圆的公切线的条数是（ ）
A．4条 B．3条 C．2条 D．1条
例66．（2022·全国·高三专题练习）已知圆，圆，则同时与圆和圆相切的直线有（ ）
A．4条 B．2条 C．1条 D．0条
例67．（2022·全国·高二课时练习）求圆与圆的公切线所在直线的方程．
例68．（2022·全国·高二专题练习）求圆与圆的内公切线所在直线方程及内公切线的长．
【方法技巧与总结】
利用几何法进行转化．
题型九：圆中范围与最值问题
例69．（2022·江苏·高二专题练习）已知 ，且动点满足，则取得最小值时，点的坐标是___________．
例70．（2022·全国·模拟预测）已知直线与圆交于不同的两点，，点，则的最大值为______．
例71．（2022·重庆一中高一期末）直线分别与x轴 y轴相交于A B两点，点P在圆上运动，则面积的最小值为___________．
例72．（2022·全国·高二课时练习）若点M为圆上任意一点，直线过定点P，则的最大值为______．
例73．（2022·上海市控江中学高二期末）已知点在圆上运动，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
例74．（2022·河南·修武一中高二开学考试（理））已知直线与圆交于两点，过分别作的垂线与轴交于两点，则当最小时，（ ）
A．4 B． C．8 D．
例75．（2022·广东·佛山一中高二期中）已知圆的方程为，设该圆过点的最长弦和最短弦分别为和，则四边形面积为（ ）
A． B． C． D．
例76．（2022·全国·高三专题练习）当圆的圆心到直线的距离最大时，（ ）
A． B． C． D．
例77．（2022·全国·高二专题练习）已知圆上的点到直线的距离等于，那么的值不可以是（ ）
A． B． C． D．
例78．（多选题）（2022·江苏·高二专题练习）圆C方程：，P为圆上的动点，则下列说法错误的是（ ）
A．的最大值为
B．P点到A点距离的最小值为
C．的最大值为
D．圆C的内接正三角形的面积为
例79．（2022·全国·高二课时练习）已知圆．
（1）直线过点，且与圆C相切，求直线的方程；
（2）设直线与圆C相交于M，N两点，点P为圆C上的一动点，求的面积S的最大值．
【方法技巧与总结】
涉及与圆有关的最值，可借助图形性质，利用数形结合求解．一般地：
（1）形如的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题．
（2）形如的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题．
（3）形如的最值问题，可转化为曲线上的点到点（a，b）的距离平方的最值问题
题型十：圆系问题
例80．（2022·全国·高二专题练习）求经过圆与直线的交点且在轴上的弦长为的圆的方程．
例81．（2022·江苏·高二专题练习）已知圆：与：相交于A、B两点．
（1）求公共弦AB所在的直线方程；
（2）求圆心在直线y＝－x上，且经过A、B两点的圆的方程；
（3）求经过A、B两点且面积最小的圆的方程．
例82．过圆与的交点，且圆心在直线上的圆的方程是_______．
例83．已知圆与圆相交于A、B两点．
（1）求公共弦AB所在直线方程；
（2）求过两圆交点A、B，且过原点的圆的方程．
【方法技巧与总结】
圆系方程：若圆与圆相交于A，B两点，则过A，B两点的圆系方程为：
简记为：，不含
当时，该圆系退化为公共弦所在直线（根轴）
注意：与圆C共根轴l的圆系
【同步练习】
一、单选题
1．设圆，圆，则圆，的公切线有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
2．求与直线平行且将圆的周长平分的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．直线绕原点按逆时针方向旋转后所得的直线l与圆的位置关系是（ ）
A．直线l过圆心 B．直线l与圆相交，但不过圆心
C．直线l与圆相切 D．直线l与圆无公共点
4．设是圆上的动点，是圆的切线，且，则点到点距离的最小值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．15
5．已知直线l：与圆O：相交于不同的两点A，B，若∠AOB为锐角，则m的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
6．若点C到的距离之比为，则点C到直线的距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．古希腊数学家阿波罗尼斯（约前262—前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数且的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知，，圆上有且仅有一个点P满足，则r的取值为（ ）
A．1 B．5 C．1或5 D．不存在
8．从空中某个角度俯视北京冬奥会主体育场“鸟巢”顶棚所得的局部示意图如图，在平面直角坐标系中，下列直线系方程（其中为参数，）能形成这种效果的是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．已知圆与圆有四条公切线，则实数a的取值可能是（ ）
A．－4 B．－2 C． D．3
10．已知圆C：，则下列四个命题表述正确的是（ ）
A．圆C上有且仅有3个点到直线1：的距离都等于1
B．过点作圆C的两条切线，切点分别为M，N，直线MN的方程为
C．一条直线与圆C交于不同的两点P，Q，且有，则∠PCQ的最大值为
D．若圆C与E：相外切，则
11．已知M为圆C：上的动点，P为直线l：上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．直线l与圆C相切 B．直线l与圆C相离
C．|PM|的最大值为 D．|PM|的最小值为
12．若实数x，y满足，则下列说法正确的是（ ）
A．x的最小值是4
B．x的最大值是20
C．若关于y的方程有一解，则x的取值范围为
D．若关于y的方程有两解，则x的取值范围为
三、填空题
13．大约在2000多年前，我国的墨子给出了圆的概念“一中同长也”，意思是说，圆有一个圆心，圆心到圆周的长都相等．这个定义比希腊数学家欧几里得给圆下定义要早100多年．已知直角坐标平面内有一点和一动点满足，若过点的直线将动点的轨迹分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线的斜率__________．
14．规定：在桌面上，用母球击打目标球，使目标球运动，球的位置是指球心的位置，球是指该球的球心点．两球碰撞后，目标球在两球的球心所确定的直线上运动，目标球的运动方向是指目标球被母球击打时，母球球心所指向目标球球心的方向．所有的球都简化为平面上半径为1的圆，且母球与目标球有公共点时，目标球就开始运动，在桌面上建立平面直角坐标系，如图，设母球的位置为（0，0），目标球的位置为，要使目标球向处运动，则母球的球心运动的直线方程为______．
15．直线与半圆有两个交点，则的值是____．
16．设直线系，对于下列四个命题：
①M中所有直线均经过一个定点；
②存在定点P不在M中的任一条直线上；
③对于任意整数，存在正n边形，使其所有边均在M中的直线上；
④M中的直线所能围成的正三角形面积都相等．
其中真命题的序号是_________（写出所有真命题的序号）
四、解答题
17．从①与直线4x－3y＋5＝0垂直，②过点（5，－5），③与直线3x＋4y＋2＝0平行这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答．
问题：已知直线l过点，且______．
(1)求直线l的一般式方程；
(2)若直线l与圆相交于点P，Q，求弦PQ的长．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
18．在①，②最小，③过A，B两点分别作圆C的切线，切线交于点P（2，0）这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并求解．
在平面直角坐标系中，已知圆，直线l过定点M（1，1）．设直线l与圆C交于A，B两点，当______时，求直线l的方程．
19．已知圆，平面上一动点P满足：且，.
(1)求动点P的轨迹方程；
(2)过点N的直线l（斜率为正）交圆G于A C两点，交P的轨迹于B D两点（A B在第一象限），若，求直线l的方程.
20．已知直线过定点，且与圆交于、两点．
(1)求直线的斜率的取值范围．
(2)若为坐标原点，直线、的斜率分别为、，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
21．在平面直角坐标系中，光线过点，经轴反射后与圆：有交点
(1)当反射后光线经过圆心，求光线的方程；
(2)当反射后光线与圆相切，求光线的方程．
22．如图，在平面直角坐标系上，已知圆的直径，定直线到圆心的距离为，且直线垂直于直线，点是圆上异于、的任意一点，直线、分别交与、两点．
(1)求过点且与圆相切的直线方程；
(2)若，求以为直径的圆方程；
(3)当点变化时，以为直径的圆是否过圆内的一定点，若过定点，请求出定点；若不过定点，请说明理由
2．5 直线与圆、圆与圆的位置关系
【知识点梳理】
知识点一：直线与圆的位置关系
1．直线与圆的位置关系：
（1）直线与圆相交，有两个公共点；
（2）直线与圆相切，只有一个公共点；
（3）直线与圆相离，没有公共点．
2．直线与圆的位置关系的判定：
（1）代数法：
判断直线与圆C的方程组成的方程组是否有解．如果有解，直线与圆C有公共点．
有两组实数解时，直线与圆C相交；
有一组实数解时，直线与圆C相切；
无实数解时，直线与圆C相离．
（2）几何法：
由圆C的圆心到直线的距离与圆的半径的关系判断：
当时，直线与圆C相交；
当时，直线与圆C相切；
当时，直线与圆C相离．
知识点诠释：
（1）当直线和圆相切时，求切线方程，一般要用到圆心到直线的距离等于半径，记住常见切线方程，可提高解题速度；求切线长，一般要用到切线长、圆的半径、圆外点与圆心连线构成的直角三角形，由勾股定理解得．
（2）当直线和圆相交时，有关弦长的问题，要用到弦心距、半径和半弦构成的直角三角形，也是通过勾股定理解得，有时还用到垂径定理．
（3）当直线和圆相离时，常讨论圆上的点到直线的距离问题，通常画图，利用数形结合来解决．
知识点二：圆的切线方程的求法
1．点在圆上，如图．
法一：利用切线的斜率与圆心和该点连线的斜率
的乘积等于，即．
法二：圆心到直线的距离等于半径．
2．点在圆外，则设切线方程：，变成一般式：，因为与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出．
知识点诠释：
因为此时点在圆外，所以切线一定有两条，即方程一般是两个根，若方程只有一个根，则还有一条切线的斜率不存在，务必要把这条切线补上．
常见圆的切线方程：
（1）过圆上一点的切线方程是；
（2）过圆上一点的切线方程是
．
知识点三：求直线被圆截得的弦长的方法
1．应用圆中直角三角形：半径，圆心到直线的距离，弦长具有的关系，这也是求弦长最常用的方法．
2．利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长．
知识点四：圆与圆的位置关系
1．圆与圆的位置关系：
（1）圆与圆相交，有两个公共点；
（2）圆与圆相切（内切或外切），有一个公共点；
（3）圆与圆相离（内含或外离），没有公共点．
2．圆与圆的位置关系的判定：
（1）代数法：
判断两圆的方程组成的方程组是否有解．
有两组不同的实数解时，两圆相交；
有一组实数解时，两圆相切；
方程组无解时，两圆相离．
（2）几何法：
设的半径为，的半径为，两圆的圆心距为．
当时，两圆相交；
当时，两圆外切；
当时，两圆外离；
当时，两圆内切；
当时，两圆内含．
知识点诠释：
判定圆与圆的位置关系主要是利用几何法，通过比较两圆的圆心距和两圆的半径的关系来确定，这种方法运算量小．也可利用代数法，但是利用代数法解决时，一是运算量大，二是方程组仅有一解或无解时，两圆的位置关系不明确，还要比较两圆的圆心距和两圆半径的关系来确定．因此，在处理圆与圆的位置关系时，一般不用代数法．
3．两圆公共弦长的求法有两种：
方法一：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求其长．
方法二：求出公共弦所在直线的方程，利用勾股定理解直角三角形，求出弦长．
4．两圆公切线的条数
与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，圆的公切线包括外公切线和内公切线两种．
（1）两圆外离时，有2条外公切线和2条内公切线，共4条；
（2）两圆外切时，有2条外公切线和1条内公切线，共3条；
（3）两圆相交时，只有2条外公切线；
（4）两圆内切时，只有1条外公切线；
（5）两圆内含时，无公切线．
【题型归纳目录】
题型一：不含参数（含参数）的直线与圆的位置关系
题型二：由直线与圆的位置关系求参数、求直线与圆的交点坐标
题型三：切线与切线长问题
题型四：弦长问题
题型五：判断圆与圆的位置关系
题型六：由圆的位置关系确定参数
题型七：公共弦与切点弦问题
题型八：公切线问题
题型九：圆中范围与最值问题
题型十：圆系问题
【典型例题】
题型一：不含参数（含参数）的直线与圆的位置关系
例1．（2022·全国·高二课时练习）直线和圆的位置关系为（ ）
A．相交 B．相切或相交 C．相离 D．相切
【答案】A
【解析】由，得，
所以圆心为，半径为．
因为圆心到直线的距离为
，
所以直线和圆相交．
故选：A
例2．（2022·西藏·林芝市第二高级中学高一期末）圆x2＋y2－2x＋4y＝0与直线2x+y+1＝0的位置关系为（　 　）
A．相离 B．相切 C．相交 D．以上都有可能
【答案】C
【解析】圆x2＋y2－2x＋4y＝0的圆心坐标为，半径
圆心到直线2x+y+1＝0的距离
由，可得圆与直线的位置关系为相交．
故选：C
例3．（2022·全国·高三专题练习）直线与圆的位置关系为（ ）
A．相切 B．相交
C．相离 D．由的取值确定
【答案】A
【解析】因为圆心到直线的距离，即为圆的半径，所以可知直线与圆相切．
故选：A．
例4．（2022·全国·高二专题练习）圆与直线的位置关系为（ ）
A．相切 B．相离 C．相交 D．无法确定
【答案】C
【解析】直线可化为，所以恒过定点．
把代入，有：，
所以在圆内，所以圆与直线的位置关系为相交．
故选：C
【方法技巧与总结】
直线与圆的位置关系判断方法
法一抓住直线与圆的位置关系的代数特征，从而转化为对方程的解的研究，这是研究直线与曲线的位置关系的基本方法；法二抓住直线与圆的位置关系的几何特征，从而转化为研究圆心到直线的距离，抓住几何特征对于研究圆的问题特别有效；法三通过判定直线过圆内一定点，从而使问题获证．由上述三种解法可知，解题的切入点不同，解法就有优劣之分．因此，在解题时，审题要慢，要仔细地分析题意，透彻地理解题意，挖掘其中的隐含条件，从而找到解决问题的捷径．
题型二：由直线与圆的位置关系求参数、求直线与圆的交点坐标
例5．（2022·福建省福州第二中学高二期末）已知直线平分圆：，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】圆：，圆心，
直线平分圆：，
直线过圆心，即，
，
当且仅当，即，的最大值为．
故选：B
例6．（2022·全国·高二课时练习）若直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题意，直线的方程可化为，所以直线恒过定点，，可化为其表示以为圆心，半径为2的圆的一部分，如图．
当与该曲线相切时，点到直线的距离，解得．
设，则．由图可得，若要使直线与曲线有两个交点，则．
故选：C．
例7．（2022·全国·高三专题练习）若直线y＝x+b与曲线x恰有一个公共点，则b的取值范围是（　　）
A．﹣1＜b≤1 B．﹣1≤b≤1
C．b≤﹣1 D．﹣1＜b≤1或b
【答案】D
【解析】曲线x即 x2+y2＝1（x≥0）表示一个半径为1的半圆，如图所示．
当直线y＝x+b经过点A（0，1）时，求得b＝1，
当直线y＝x+b经过点B（1，0）时，求得b＝﹣1，
当直线和半圆相切于点D时，由圆心O到直线y＝x+b的距离等于半径，
可得1，求得b，或b（舍去）．
故当直线y＝x+b与曲线x恰有一个公共点时b的取值范围是﹣1＜b≤1或b，
故选：D．
例8．（2022·全国·高三专题练习）若方程有两个不等的实根，则实数b的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由得，
所以直线与半圆有个公共点，
作出直线与半圆的图形，如图：
当直线经过点时，，
当直线与圆相切时，，解得或（舍），
由图可知，当直线与曲线有个公共点时，，
故选：B．
例9．（2022·全国·高三专题练习）已知直线与圆相交于，两点，则的值为（ ）
A． B．16 C． D．8
【答案】C
【解析】因为直线与圆相交于A，B两点，
所以，解得：．
所以．
故选：C．
例10．（2022·全国·高三专题练习）已知圆上仅有一点到直线的距离为1，则实数a的值为（ ）．
A．11 B． C．1 D．4
【答案】C
【解析】圆的标准方程是，圆心为，半径为，
圆心到直线的距离．
因为圆上仅有一点到直线的距离为1，
所以圆的半径，解得．
故选：C．
例11．（2022·全国·高三专题练习）如果圆上总存在两个点到原点的距离为，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】问题可转化为圆和圆相交，
两圆圆心距，
由得，
解得，即．
故选：D
例12．（2022·全国·高三专题练习）若直线 与圆 相交于 两点， 且 （其中 为原点）， 则 的值为（ ）
A． 或 B． C． 或 D．
【答案】A
【解析】由可知，圆心到直线的距离为，根据点到直线的距离公式可得
故选：A
例13．（2022·全国·高三专题练习）已知直线过点且斜率为1，若圆上恰有3个点到的距离为1，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】直线过点且斜率为1，
设，
圆上恰有3个点到的距离为1，
圆心到直线的距离等于半径减去1，
圆心到直线的距离为，解得．
故选：D．
例14．（2022·全国·高二课时练习）若圆上存在四个点到直线的距离为，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．或
【答案】C
【解析】由题设，且半径，又圆上存在四个点到的距离为，
∴到的距离，可得．
故选：C
例15．（2022·江西·南昌大学附属中学高二期末（理））已知圆上有三个点到直线的距离等于1，则的值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【解析】由圆可得圆心，半径，
因为圆上有三个点到直线的距离等于1，
所以圆心到直线的距离，
可得：，
故选：A．
例16．（2022·四川省绵阳南山中学高二阶段练习（文））已知直线：和圆：，且圆上至少存在两点到直线的距离为1，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】圆的方程为：，则圆心为，要使圆上至少存在两点到直线的距离为1，则当圆心到直线的距离必须小于3，即，解得．
故选：A
例17．（2022·全国·高二课时练习）若圆与轴、轴均有公共点，则实数的取值范围是______．
【答案】
【解析】圆的标准方程为，圆心坐标为，半径长为，
且该圆与轴、轴均有公共点，所以，，解得．
因此，实数的取值范围是．
故答案为：．
【方法技巧与总结】
直接联立求解．
题型三：切线与切线长问题
例18．（2022·全国·高三专题练习）已知圆：，为过的圆的切线，为上任一点，过作圆：的切线，则切线长的最小值是__________．
【答案】
【解析】由题，直线的斜率为，故直线的斜率为，故的方程为，即．又到的距离，故切线长的最小值是
故答案为：
例19．（2022·天津市武清区杨村第一中学模拟预测）由直线上的点向圆引切线（为切点），则线段的最小长度为________．
【答案】
【解析】圆的圆心，半径，点到直线的距离，
于是得，当且仅当垂直于直线时取“=“，
所以线段的最小长度为．
故答案为：
例20．（2022·云南玉溪·高二期末）已知直线经过点，且与圆相切，则的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】直线经过点，且与圆相切，则，
故直线的方程为，即．
故选：A．
例21．（2022·辽宁·大连市一0三中学模拟预测）过点作圆的切线，则切线方程为（ ）
A． B． C． D．或
【答案】C
【解析】由圆心为，半径为，
斜率存在时，设切线为，则，可得，
所以，即，
斜率不存在时，显然不与圆相切；
综上，切线方程为．
故选：C
例22．（2022·全国·高三专题练习）已知圆．求满足下列条件的切线方程．
（1）过点；
（2）过点．
【解析】（1）因为圆的圆心为，半径为，点在圆上，
所以过点的切线斜率存在，且其与直线垂直，
因为，所以，所求切线的斜率为，
所以，所求切线方程为，即：．
（2）因为圆的圆心为，半径为，
所以，当过点的切线斜率不存在时，其方程为，满足题意；
当切线斜率存在时，设斜率为，则其方程为，即，
所以，圆心到切线的距离为，解得，
所以，切线方程为，即：．
综上，所求切线方程为或
例23．（2022·江苏连云港·模拟预测）直线与圆相切，则的值为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】C
【解析】因为直线与圆相切，
所以由圆心到直线的距离等于半径得：，即，解得：．
故选：C
例24．（多选题）（2022·全国·高二课时练习）过点作与圆相切的直线l，则直线l的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【解析】圆，即，则圆心为，半径为1，易知点在圆外，
显然是其中一条切线．
当切线斜率存在时，设切线方程为，则，解得，
所以切线方程为．综上，切线方程为或．
故选：BC．
例25．（多选题）（2022·全国·高二单元测试）设有一组圆Ck：，下列说法正确的是（　　）
A．这组圆的半径均为1
B．直线2x－y＋2＝0平分所有的圆Ck
C．存在无穷多条直线l被所有的圆Ck截得的弦长相等
D．存在一个圆Ck与x轴与y轴均相切
【答案】ABC
【解析】对于选项A：由圆Ck的方程可知，这组圆的半径均为1，故A正确；
对于选项B：圆Ck的圆心坐标为，因为2（k－1）－2k＋2＝0，所以直线2x－y＋2＝0过圆Ck的圆心，故B正确；
对于选项C：由B知，直线2x－y＋2＝0平分所有的圆Ck，所以存在无数条与直线2x－y＋2＝0平行或重合的直线（与直线2x－y＋2＝0的距离小于1）被所有的圆Ck截得的弦长相等，故C正确；
对于选项D：若圆Ck与x轴和y轴均相切，则，无解，故D错误．
故选：ABC．
【方法技巧与总结】
求圆的切线方程一般有三种方法：
（1）直接法：应用常见结论，直接写出切线方程；
（2）待定系数法；
（3）定义法．
一般地，过圆外一点可向圆作两条切线，在后两种方法中，应注意斜率不存在的情况．
题型四：弦长问题
例26．（2022·安徽省太和中学高三阶段练习）在平面直角坐标系中，圆被直线截得的弦长2，则实数的值为___________．
【答案】
【解析】因为，所以圆心到直线的距离，所以，解得．
故答案为：
例27．（2022·河南·高三阶段练习（文））直线与圆C：相交于M，N两点，则______．
【答案】4
【解析】圆C：，其圆心坐标为，半径为3．
圆心到直线2x－y＋1＝0的距离，
则．
故答案为：4．
例28．（2022·全国·高二课时练习）设圆的圆心为C，直线l过，且与圆C交于A，B两点，若，则直线l的方程为___________．
【答案】或
【解析】当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，
由，得或，
此时，符合题意．
当直线l的斜率存在时，设直线，
因为圆的圆心，半径，
所以圆心C到直线l的距离．
因为，所以，解得，
所以直线l的方程为，即．
综上，直线l的方程为或．
故答案为：或
例29．（2022·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，已知直线与圆交于A，B两点，若钝角的面积为，则实数a的值是______．
【答案】
【解析】由圆，即，
可得圆心坐标为，半径为，
因为钝角的面积为，可得，
解得，因为，所以，
可得，
设圆心到直线的距离为，又由圆的弦长公式，可得，解得，
根据点到直线的距离公式，解得．
故答案为：．
例30．（2022·全国·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，过点的直线l与圆相交于M，N两点，若，则直线l的斜率为__________．
【答案】
【解析】由题意得，直线的斜率存在，设，，直线MN的方程为，与联立，得，，得，，．因为，所以，则，于是，（由点A及C在y轴上可判断出，同号）
所以，两式消去，得，满足，所以．
故答案为：
例31．（2022·全国·高二专题练习）已知圆，直线l过点且与圆O交于A，B两点，当面积最大时，直线l的方程为_________．
【答案】
【解析】当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，
则由，得，所以
，
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为
原点到直线l的距离为：
当且仅当，即时取得等号．
由，解得
由
故直线l的方程为：，即
故答案为：
例32．（多选题）（2022·湖南·华容县教育科学研究室高一期末）已知动直线与圆，则下列说法正确的是（ ）
A．直线过定点
B．圆的圆心坐标为
C．直线与圆的相交弦的最小值为
D．直线与圆的相交弦的最大值为4
【答案】ACD
【解析】对于A，直线，即，
令，得，即直线过定点，故A正确；
对于B，圆，即，圆心坐标为，故B错误；
对于C，因为，所以直线所过定点在圆的内部，不妨设直线过定点为，
当直线与圆的相交弦的最小时，与相交弦垂直，
又因为，所以相交弦的最小为，故C正确；
对于D，直线与圆的相交弦的最大值为圆直径4，故D正确．
故选：ACD
例33．（多选题）（2022·全国·高二课时练习）若直线被圆所截得的弦长为，则实数a的值为（ ）
A．0 B．4 C． D．
【答案】AB
【解析】由圆的方程可知圆心坐标为，半径．
又直线被圆截得的弦长为，
所以圆心到直线的距离．
又，
所以，解得或．
故选：AB
例34．（多选题）（2022·河南·范县第一中学高二阶段练习）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知圆O半径为3，直线l1、l2互相垂直，垂足为M（1，2），且l1与圆O相交于A、C两点，l2与圆O交于B、D两点，则四边形ABCD面积的值可以为（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
【答案】BC
【解析】如图，作于点，于点，
则，，则．
因为，所以，即，所以，故当时，有最大值26，此时，当或时，有最小值24，此时，所以四边形ABCD面积的范围为．
故选：BC
例35．（2022·全国·高二课时练习）若直线被圆截得的弦长不大于，求实数的取值范围．
【解析】圆的圆半径为，
设直线被圆截得的弦长为，圆心到直线的距离，
由题意，得，即，所以．
又，所以，所以或，
结合，可知或．
综上，实数的取值范围为．
【方法技巧与总结】
弦长问题
①利用垂径定理：半径，圆心到直线的距离，弦长具有的关系，这也是求弦长最常用的方法．
②利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长．
③利用弦长公式：设直线，与圆的两交点，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数关系得弦长：．
题型五：判断圆与圆的位置关系
例36．（2022·全国·高二课时练习）已知圆和，则两圆的位置关系是（ ）
A．内切 B．相交 C．外切 D．外离
【答案】C
【解析】由题意，知圆的圆心，半径．
圆的方程可化为，则其圆心，半径．
因为两圆的圆心距，故两圆外切．
故选：C．
例37．（2022·全国·高三专题练习）已知两圆分别为圆和圆，这两圆的位置关系是（ ）
A．相离 B．相交 C．内切 D．外切
【答案】B
【解析】由题意得，圆圆心，半径为7；圆，圆心，半径为4，
两圆心之间的距离为，因为，故这两圆的位置关系是相交．
故选：B．
例38．（2022·陕西·铜川阳光中学高一期末）已知圆（，为常数）与．若圆心与圆心关于直线对称，则圆与的位置关系是（ ）
A．内含 B．相交 C．内切 D．相离
【答案】B
【解析】，，半径为，
关于直线的对称点为，即，所以，圆半径为，
，又，
所以两圆相交．
故选：B．
【方法技巧与总结】
已知两圆半径分别为，两圆的圆心距为，则：
（1）两圆外离；
（2）两圆外切；
（3）两圆相交；
（4）两圆内切；
（5）两圆内含；
题型六：由圆的位置关系确定参数
例39．（2022·云南省下关第一中学高三开学考试）若圆上总存在两个点到点的距离为2，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】到点的距离为2的点在圆上，
所以问题等价于圆上总存在两个点也在圆上，
即两圆相交，故，
解得或，
所以实数a的取值范围为，
故选：A．
例40．（2022·湖北·荆门市龙泉中学二模）若点到直线的距离分别为1和4，则这样的直线共有（ ）条
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【解析】到点距离为1的直线，可看作以为圆心1为半径的圆的切线，
同理到点距离为的直线，可看作以为圆心为半径的圆的切线，
故所求直线为两圆的公切线，
又，所以，故两圆相交，公切线有条，
故选：C．
例41．（2022·浙江·乐清市知临中学高二期中）已知，两点到直线的距离分别是2和3，则满足条件的直线共有（ ）条．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】解析：分别以，为圆心，半径分别是2和3画圆，，两圆位置关系是外切，公切线有三条，
故选：C．
【点晴】此题的关键是发现直线和两点之间的关系，充分体现了数形结合思想的强大之处．
例42．（2022·全国·高三专题练习）已知圆和两点，，．若圆上存在点，使得，则的最小值为（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
【答案】D
【解析】
，点的轨迹是以为直径的圆，
又点在圆上，故点是圆与圆的交点，
因此可得两圆的位置关系是相切或相交，即，
解得：．
的最小值为4．
故选：D．
例43．（2022·山东聊城·二模）已知点在圆：上，点，，满足的点的个数为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】B
【解析】设点，则，
且，由，得
，
即，
故点P的轨迹为一个圆心为、半径为的圆，
则两圆的圆心距为，半径和为，半径差为，
有，所以两圆相交，满足这样的点P有2个．
故选：B．
例44．（2022·全国·高三专题练习）若圆上存在点P，且点P关于直线y＝x的对称点Q在圆上，则r的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据题意，圆的圆心坐标为（0，1），半径为r，其关于直线y＝x的对称圆的方程为，根据题意，圆与圆有交点，既可以是外切，也可以是相交，也可以是内切．
又圆，所以圆与圆的圆心距为，所以只需，解得．故B，C，D错误．
故选：A．
【方法技巧与总结】
利用几何法判定两圆的位置关系比用代数法（即解两圆方程联立方程组的方法）要简捷些，但需要注意的是，我们这里所说的几何法仍然是在解析几何前提下的几何法，即利用圆的方程及两点间距离公式求出两圆圆心距d和两圆的半径R和r，再根据d与、d与的大小关系来判定即可．
题型七：公共弦与切点弦问题
例45．（2022·广东·高三阶段练习）已知：，直线：，为直线上的动点，过点作的切线，，切点为，，当四边形的面积取最小值时，直线AB的方程为 ____．
【答案】
【解析】：的标准方程为，
则圆心，半径．
因为四边形的面积，
要使四边形面积最小，则需最小，此时与直线垂直，
直线的方程为，即，
联立，解得．则，
则以为直径的圆的方程为，
与的方程作差可得直线的方程为．
故答案为：．
例46．（2022·江苏·高二专题练习）已知圆的方程为，点是直线上的一个动点，过点作圆的两条切线、，、为切点，则四边形的面积的最小值为______
【答案】
【解析】由圆，得到圆心，半径
由题意可得：，，，
，
在中，由勾股定理可得：，
当最小时，最小，此时所求的面积也最小，
点是直线上的动点，
当时，有最小值，此时，
所求四边形的面积的最小值为；
故答案为：
例47．（2022·云南·昆明一中高三开学考试）已知圆和圆交于两点，则直线的方程是___________．
【答案】
【解析】由两圆相交，则交线的方程由两圆方程相减得到，
所以直线的方程是．
故答案为：
例48．（2022·全国·高三专题练习）圆与圆的公共弦长为______．
【答案】
【解析】设圆：与圆：交于，两点
把两圆方程相减，化简得
即：
圆心到直线的距离，又
而，所以
故答案为：
例49．（2022·全国·高三专题练习）已知圆：，点是直线上的动点，过作圆的两条切线，切点分别为，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】圆：化为标准方程：，其圆心，半径．
过点P引圆C的两条切线，切点分别为点A、B，如图：
在△PAC中，有，即，变形可得：．
设，则．
所以当的值即x最小时，的值最大，此时最小．
而的最小值为点C到直线的距离，即，
所以．
故选：B
例50．（2022·全国·高三专题练习）已知圆，点M为直线上一个动点，过点M作圆C的两条切线，切点分别为A，B，则四边形周长的最小值为（ ）
A．8 B． C． D．
【答案】A
【解析】圆的圆心坐标为，半径为，
因为过点M作圆C的两条切线，切点分别为A，B，
所以有，，
因此有，
要想四边形周长最小，只需最小，即当时，
此时，此时，
即最小值为，
故选：A
例51．（2022·全国·高二课时练习）已知点P为直线上的动点，过点P作圆的两条切线，切点分别为A B，则直线必过定点（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设，
圆的圆心为，一般方程为①，
线段中点坐标为，
，
所以以线段为直径的圆的方程为，
整理得②，
①-②并化简得，
即，
．
所以定点坐标为．
故选：A
例52．（2022·安徽·屯溪一中高二期中）已知直线是圆的对称轴．过点作圆的两条切线，切点分别为、，则直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据题意，圆C的标准方程为，即圆心为 C（2，1），半径为2．
点（2，1）在直线上，即
点A的坐标为（-4，-1）
过点A作圆C的切线所得切线长为
以点A为圆心，6为半径的圆A的方程为
圆A与圆C的方程作差得，即直线BD的方程为
故选：A．
例53．（2022·四川省绵阳第一中学高二期中）过点作圆C：的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，即，圆心为，半径．
当斜率不存在时，直线与圆相切，切点为；
当斜率为0时，直线与圆相切，切点为．
故直线方程为斜率，直线方程为，即．
故选：A．
例54．（2022·江苏常州·一模）过圆：外一点作圆的切线，切点分别为、，则（ ）
A．2 B． C． D．3
【答案】C
【解析】如图，结合题意绘出图像：
因为圆：，直线、是圆的切线，
所以，，，，
因为，所以，，
根据圆的对称性易知，则，
解得，，
故选：C．
例55．（2022·江苏·高二专题练习）已知圆M：，直线l：，P为直线l上的动点，过P点作圆M的切线PA、PB，切点为A、B，当最小时，直线AB的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为圆，即为，
所以圆心，半径．
．
要使最小，则需最小，此时PM与直线l垂直．
直线PM的方程为，即，
联立，解得，即．
则以PM为直径的圆O的方程为．
直线AB为圆M与圆O公共弦所在直线，
联立
相减可得直线AB的方程为．
故选：A．
例56．（多选题）（2022·全国·高二课时练习）圆和圆的交点为A，B，则有（ ）
A．公共弦AB所在直线的方程为
B．公共弦AB所在直线的方程为
C．公共弦AB的长为
D．P为圆上一动点，则P到直线AB距离的最大值为
【答案】AD
【解析】由与作差可得，
即公共弦AB所在直线的方程为，故A正确，B错误；
对于C，圆心到直线的距离为，圆的半径，
所以，故C错误；
对于D，点P为圆上一动点，则点P到直线AB距离的最大值为，故D正确．
故选：AD．
例57．（2022·广东·汕头市潮阳区棉城中学高二期中）过直线上任意点作圆的两条切线，切点分别为，当切线长最小时，切线长为_________；同时 的面积为_______．
【答案】 1
【解析】依据题意，作出图形，如下图：
因为直线过点且与圆相切于点A，
所以，所以，
要使得最小，则要最小，
由题可得：的最小值就是点到直线的距离．
此时，，所以
由切线的对称性可得：
所以的面积为，
故答案为：1；．
例58．（2022·浙江绍兴·模拟预测）已知圆C的方程为，则圆心C的坐标为___________，圆C与圆D：的公共弦所在直线方程为___________．
【答案】
【解析】因为圆C的方程为，即，
故圆心C的坐标为；
由于圆D：，两圆方程相减可得，
即公共弦所在直线方程为，
故答案为：，．
【方法技巧与总结】
（1）圆的切线方程的求法
①点在圆上，
法一：利用切线的斜率与圆心和该点连线的斜率的乘积等于，即．
法二：圆心到直线的距离等于半径．
②点在圆外，则设切线方程：，变成一般式：，因为与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出．
注意：因为此时点在圆外，所以切线一定有两条，即方程一般是两个根，若方程只有一个根，则还有一条切线的斜率不存在，务必要把这条切线补上．
（2）常见圆的切线方程
过圆上一点的切线方程是；
过圆上一点的切线方程是．
过圆外一点作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为
过曲线上，做曲线的切线，只需把替换为，替换为，替换为，替换为即可，因此可得到上面的结论．
（3）两圆的公共弦方程为两圆方程相减可得．
题型八：公切线问题
例59．（2022·广东·中山一中高三阶段练习）已知圆．若圆与圆有三条公切线，则的值为___________．
【答案】
【解析】由，得，
所以圆的圆心为，半径为，
因为圆，所以圆的圆心为，半径为，
因为圆与圆有三条公切线，所以圆与圆相外切，
即，解得，
所以的值为．
故答案为：．
例60．（2022·广东广州·高二期末）写出与圆和圆都相切的一条切线方程___________．
【答案】或或
【解析】圆的圆心为，半径为1；圆的圆心为，半径为4，
圆心距为，所以两圆外切，如图，有三条切线，
易得切线的方程为，
因为，且，所以，设，即，
则到的距离，解得（舍去）或，所以，
可知和关于对称，联立，解得在上，
在上任取一点，设其关于的对称点为，
则，解得，
则，所以直线，即，
综上，切线方程为或或．
故答案为：或或．
例61．（多选题）（2022·全国·高二课时练习）已知圆，圆，则下列是M，N两圆公切线的直线方程为（ ）
A．y＝0 B．3x－4y＝0 C． D．
【答案】ACD
【解析】圆M的圆心为M（2，1），半径．圆N的圆心为N（－2，－1），半径．圆心距，两圆相离，故有四条公切线．又两圆关于原点O对称，则有两条切线过原点O，设切线方程为y＝kx，则圆心到直线的距离，解得k＝0或，对应方程分别为y＝0，4x－3y＝0．另两条切线与直线MN平行，而，设切线方程为，则，解得，切线方程为，．
故选：ACD．
例62．（2022·全国·高二专题练习）若直线与圆，圆都相切，切点分别为、，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如下图所示，设直线交轴于点，
由于直线与圆，圆都相切，切点分别为、，
则，，，
，为的中点，为的中点，，
由勾股定理可得．
故选：C．
例63．（2022·全国·高二单元测试）已知点M，N分别在圆与圆上，则的最大值为（ ）
A． B．17 C． D．15
【答案】C
【解析】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，
则．
故选：C
例64．（多选题）（2022·全国·高二课时练习）若直线与圆相切，则直线与圆的位置关系可能是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定
【答案】AC
【解析】由圆C的方程知其圆心C（2，1），半径为．
因为直线l与圆C相切，所以，解得．
由圆D的方程知其圆心D（2，0），半径，圆心D到直线l的距离．
当时，，即，此时直线l与圆D相离；
当时，，即，此时直线l与圆D相交．
综上所述，直线l与圆D相交或相离．
故选：AC．
例65．（2022·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，圆：与圆：，则两圆的公切线的条数是（ ）
A．4条 B．3条 C．2条 D．1条
【答案】A
【解析】圆：的圆心，半径，
圆：的圆心，半径，
，显然，即圆与圆外离，
所以两圆的公切线的条数是4．
故选：A
例66．（2022·全国·高三专题练习）已知圆，圆，则同时与圆和圆相切的直线有（ ）
A．4条 B．2条 C．1条 D．0条
【答案】B
【解析】由，得圆，半径为，
由，得，半径为
所以，
，，
所以，所以圆与圆相交，
所以圆与圆有两条公共的切线．
故选：B．
例67．（2022·全国·高二课时练习）求圆与圆的公切线所在直线的方程．
【解析】由题意得，圆心为，半径，，圆心为，半径，
可知两圆的公切线所在直线的斜率存在，
设公切线所在直线的方程为，即
由，得，得或，
当时，，解得或，
当时，，解得或，
综上，两圆的公切线所在直线的方程为，，，．
例68．（2022·全国·高二专题练习）求圆与圆的内公切线所在直线方程及内公切线的长．
【解析】，，，．
设内公切线与连心线交于点，则在轴上且．
设，可得，．
设内公切线所在直线方程为，即．
由，得．
所以内公切线所在直线方程为或．
内公切线的长为．
【方法技巧与总结】
利用几何法进行转化．
题型九：圆中范围与最值问题
例69．（2022·江苏·高二专题练习）已知 ，且动点满足，则取得最小值时，点的坐标是___________．
【答案】
【解析】设，则，整理可得：；
，
当三点共线且在线段上时，取得最小值，
又直线方程为：，即，
由得：或，
又在线段上，．
故答案为：．
例70．（2022·全国·模拟预测）已知直线与圆交于不同的两点，，点，则的最大值为______．
【答案】
【解析】解 由，得．
设，，则，，
因为，所以
．
令，则，，
所以
，
当且仅当时等号成立．
所以的最大值为．
故答案为：．
例71．（2022·重庆一中高一期末）直线分别与x轴 y轴相交于A B两点，点P在圆上运动，则面积的最小值为___________．
【答案】2
【解析】直线分别与轴，轴交于，两点，
，，则，
点在圆上，
圆心为，则圆心到直线距离，
故点到直线的距离的范围为，
则．
的最小值为．
故答案为：．
例72．（2022·全国·高二课时练习）若点M为圆上任意一点，直线过定点P，则的最大值为______．
【答案】
【解析】整理直线方程得，
由，得，所以．
由圆的方程知圆心，半径，
所以．
故答案为：
例73．（2022·上海市控江中学高二期末）已知点在圆上运动，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】看作圆上的点到点的直线的斜率的相反数．
当经过点的直线与上半圆相切时，切线斜率最小，
设切线方程为，所以圆心到切线的距离等于半径，故，解得 故当时，切线斜率最小，此时最大，最大值为，
故选：C
例74．（2022·河南·修武一中高二开学考试（理））已知直线与圆交于两点，过分别作的垂线与轴交于两点，则当最小时，（ ）
A．4 B． C．8 D．
【答案】D
【解析】直线过定点，最小时，，
圆心到直线的距离，，
因为，所以此时，所以直线的倾斜角为，
过点作交于点，则，
在中，所以．
故选：D
例75．（2022·广东·佛山一中高二期中）已知圆的方程为，设该圆过点的最长弦和最短弦分别为和，则四边形面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】圆的标准方程为，圆心为，半径为，
，故点在圆内，如下图所示：
则，
过点的弦过圆心时，弦长取最大值，即，
当过的弦与垂直时，弦长取最小值，即，此时，
此时，四边形的面积为．
故选：C．
例76．（2022·全国·高三专题练习）当圆的圆心到直线的距离最大时，（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为圆的圆心为，半径，
又因为直线过定点A（-1，1），
故当与直线垂直时，圆心到直线的距离最大，
此时有，即，解得．
故选：C．
例77．（2022·全国·高二专题练习）已知圆上的点到直线的距离等于，那么的值不可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】直线过定点，因为，故点在圆外，
圆心，半径为，且，
所以，圆心到直线的距离的最大值为，
所以，圆上的到直线的距离的最大值为，
当直线有公共点时，圆上的到直线的距离的最小值为，
故圆上的点到直线的距离的取值范围是，
且、、，．
故选：D．
例78．（多选题）（2022·江苏·高二专题练习）圆C方程：，P为圆上的动点，则下列说法错误的是（ ）
A．的最大值为
B．P点到A点距离的最小值为
C．的最大值为
D．圆C的内接正三角形的面积为
【答案】BD
【解析】因为圆C方程：，
所以，圆心，半径为1，
设，当与相切时，有最值，
，，
所以的最大值为，选项A正确；
P点到A点距离的最小值为，选项B错误；
因为表示的几何意义为圆上的点与定点连线的斜率，
设，即，所以直线与圆C相切时，k有最值，
当直线与圆相切时，有，所以，
所以的最大值为，所以C选项正确；
因为圆的半径为1，所以圆C的内接正三角形的边长为，所以圆C的内接正三角形的面积为，选项D错误；
故选：BD．
例79．（2022·全国·高二课时练习）已知圆．
（1）直线过点，且与圆C相切，求直线的方程；
（2）设直线与圆C相交于M，N两点，点P为圆C上的一动点，求的面积S的最大值．
【解析】（1）由题意得C（2，0），圆C的半径为3．
当直线的斜率存在时，设直线的方程为y－l＝k（x＋1），即kx－y＋k＋1＝0，
由直线与圆C相切，得，解得，所以直线的方程为4x－3y＋7＝0．
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，显然与圆C相切．
综上，直线的方程为x＝－1或4x－3y＋7＝0．
（2）由题意得圆心C到直线的距离，
设圆C的半径为r，所以r＝3，所以，
点P到直线距离的最大值为，
则的面积的最大值．
【方法技巧与总结】
涉及与圆有关的最值，可借助图形性质，利用数形结合求解．一般地：
（1）形如的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题．
（2）形如的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题．
（3）形如的最值问题，可转化为曲线上的点到点（a，b）的距离平方的最值问题
题型十：圆系问题
例80．（2022·全国·高二专题练习）求经过圆与直线的交点且在轴上的弦长为的圆的方程．
【解析】设所求的圆的方程为，且与轴的交点坐标为，
令得，化简得
，
由两边平方得
，化简得
解得或
所求圆的方程为，
或
所求圆的方程为或
例81．（2022·江苏·高二专题练习）已知圆：与：相交于A、B两点．
（1）求公共弦AB所在的直线方程；
（2）求圆心在直线y＝－x上，且经过A、B两点的圆的方程；
（3）求经过A、B两点且面积最小的圆的方程．
【解析】（1）将两圆方程相减得x－2y＋4＝0，此即为所求直线方程．
（2）设经过A、B两点的圆的方程为（为常数），
则圆心坐标为；又圆心在直线y＝－x上，故，
解得，故所求方程为．
（3）由题意可知以线段AB为直径的圆面积最小．两圆心所在直线方程为2x＋y＋3＝0，
与直线AB方程联立得所求圆心坐标为，由弦长公式可知所求圆的半径为．
故面积最小的圆的方程为．
例82．过圆与的交点，且圆心在直线上的圆的方程是_______．
【答案】
【解析】
设圆的方程为，
则，
即，所以圆心坐标为，
把圆心坐标代入，可得，
所以所求圆的方程为．
故答案为：．
例83．已知圆与圆相交于A、B两点．
（1）求公共弦AB所在直线方程；
（2）求过两圆交点A、B，且过原点的圆的方程．
【解析】（1），①
，②
①-②得
即公共弦AB所在直线方程为．
（2）设圆的方程为
即
因为圆过原点，所以，
所以圆的方程为
【方法技巧与总结】
圆系方程：若圆与圆相交于A，B两点，则过A，B两点的圆系方程为：
简记为：，不含
当时，该圆系退化为公共弦所在直线（根轴）
注意：与圆C共根轴l的圆系
【同步练习】
一、单选题
1．设圆，圆，则圆，的公切线有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【答案】B
【解析】由题意，得圆，圆心，圆，圆心，∴，∴与相交，有2条公切线．
故选：B．
2．求与直线平行且将圆的周长平分的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】圆的圆心坐标，
所求直线将圆平分，
则直线过圆的圆心，
又因为与直线平行，则所求直线的斜率为，
利用点斜式得到直线方程为，整理成一般式为
故选：C
3．直线绕原点按逆时针方向旋转后所得的直线l与圆的位置关系是（ ）
A．直线l过圆心 B．直线l与圆相交，但不过圆心
C．直线l与圆相切 D．直线l与圆无公共点
【答案】C
【解析】直线过原点，斜率为，倾斜角为，依题意，直线l的倾斜角为，斜率为，而l过原点，
因此，直线l的方程为：，又圆的圆心为，半径为，
于是得点到直线l的距离为，所以直线l与圆相切.
故选：C
4．设是圆上的动点，是圆的切线，且，则点到点距离的最小值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．15
【答案】B
【解析】由圆，可知圆心，半径为3，又，
所以，即点的轨迹方程为，
故点到点距离的最小值为.
故选：B.
5．已知直线l：与圆O：相交于不同的两点A，B，若∠AOB为锐角，则m的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为直线l：经过定点，圆O：的半径为，
当∠AOB为直角时，此时圆心O到直线l的距离，解得，
则当∠AOB为锐角时，．
又直线与圆相交于A，B两点，则，即，
所以或，
故选：A．
6．若点C到的距离之比为，则点C到直线的距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设，则，即，化简得，
所以点的轨迹为以为圆心，的圆，
则圆心到直线的距离，
所以点C到直线的距离的最小值为；
故选：A.
7．古希腊数学家阿波罗尼斯（约前262—前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数且的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知，，圆上有且仅有一个点P满足，则r的取值为（ ）
A．1 B．5 C．1或5 D．不存在
【答案】C
【解析】设点P
∵即
整理得：
∴点P的轨迹为以为圆心，半径的圆，
∵圆的为圆心，半径的圆
由题意可得：或
∴或
故选：C．
8．从空中某个角度俯视北京冬奥会主体育场“鸟巢”顶棚所得的局部示意图如图，在平面直角坐标系中，下列直线系方程（其中为参数，）能形成这种效果的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由图可知，原点到直线的距离为定值，四个选项中仅有到原点的距离为定值.
故选：C
二、多选题
9．已知圆与圆有四条公切线，则实数a的取值可能是（ ）
A．－4 B．－2 C． D．3
【答案】AD
【解析】圆心，半径，圆心，半径．因为两圆有四条公切线，所以两圆外离．又两圆圆心距，所以，解得或．
故选：AD．
10．已知圆C：，则下列四个命题表述正确的是（ ）
A．圆C上有且仅有3个点到直线1：的距离都等于1
B．过点作圆C的两条切线，切点分别为M，N，直线MN的方程为
C．一条直线与圆C交于不同的两点P，Q，且有，则∠PCQ的最大值为
D．若圆C与E：相外切，则
【答案】BC
【解析】圆C的圆心，半径，
圆心到直线l：的距离，故圆C上有4个点到直线l的距离为1，故A不正确；
过点作圆C的两条切线，切点分别为M，N，则A、C、M、N四点共圆，且为AC为直径，方程为，MN是其圆C的公共弦，直线MN为，故B正确；
设PQ的中点为D，则．因为，
即，可得，
则，故的最大值为，故C正确；
圆E：的圆心，半径
根据题意可得，即得，故D错误．
故选：BC．
11．已知M为圆C：上的动点，P为直线l：上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．直线l与圆C相切 B．直线l与圆C相离
C．|PM|的最大值为 D．|PM|的最小值为
【答案】BD
【解析】圆C：得圆心,半径
∵圆心到直线l：得距离
∴直线l与圆C相离
A不正确，B正确；
C不正确，D正确；
故选：BD．
12．若实数x，y满足，则下列说法正确的是（ ）
A．x的最小值是4
B．x的最大值是20
C．若关于y的方程有一解，则x的取值范围为
D．若关于y的方程有两解，则x的取值范围为
【答案】BD
【解析】当时，解得，符合题意；当时，令，则，又，则，即，则原方程可化为．设，，，则的图象是斜率为的直线的一部分，的图象是以原点为圆心，半径为的四分之一圆，则问题等价于的图象和的图象有公共点，观察图形可知，
当直线与圆相切时，由，解得；当直线过点时，，解得；当直线过点时，，解得．因此，要使直线与圆有公共点，则有，综上，，故x的最大值为20，最小值为0．显然当或或时，y有一解；当时，y有两解．
故选：BD．
三、填空题
13．大约在2000多年前，我国的墨子给出了圆的概念“一中同长也”，意思是说，圆有一个圆心，圆心到圆周的长都相等．这个定义比希腊数学家欧几里得给圆下定义要早100多年．已知直角坐标平面内有一点和一动点满足，若过点的直线将动点的轨迹分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线的斜率__________．
【答案】
【解析】依题意可知，动点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，
即.
因为，故点在内.
当劣弧所对的圆心角最小时，.
因为直线的斜率，
所以所求直线的斜率.
故答案为：.
14．规定：在桌面上，用母球击打目标球，使目标球运动，球的位置是指球心的位置，球是指该球的球心点．两球碰撞后，目标球在两球的球心所确定的直线上运动，目标球的运动方向是指目标球被母球击打时，母球球心所指向目标球球心的方向．所有的球都简化为平面上半径为1的圆，且母球与目标球有公共点时，目标球就开始运动，在桌面上建立平面直角坐标系，如图，设母球的位置为（0，0），目标球的位置为，要使目标球向处运动，则母球的球心运动的直线方程为______．
【答案】
【解析】点，所在直线的方程为，如图所示
可知，两球碰撞时，球的球心在直线上，且在第一象限，设，两球碰撞时，球的球心坐标为，此时，则，解得，即，B两球碰撞时，球的球心坐标
所以母球的球心运动的直线方程为，即．
故答案为：
15．直线与半圆有两个交点，则的值是____．
【答案】
【解析】由半圆，即，
如图所示，当直线在第三象限与半圆相切时，圆心到直线的距离，
即，解得：或(舍去)，
当直线过点时，直线与圆有两个交点和，
把代入中，可得 ，解得，
则直线与圆有两个交点时，的范围是．
故答案为：
16．设直线系，对于下列四个命题：
①M中所有直线均经过一个定点；
②存在定点P不在M中的任一条直线上；
③对于任意整数，存在正n边形，使其所有边均在M中的直线上；
④M中的直线所能围成的正三角形面积都相等．
其中真命题的序号是_________（写出所有真命题的序号）
【答案】②③
【解析】由直线系，
可令，消去可得，
故直线系表示圆的切线的集合，故①不正确；
因为对任意，存在定点不在直线系中的任意一条上，故②正确；
由于圆的外切正边形，所有的边都在直线系中，故③正确；
中的直线所能围成的正三角形的边长不一定相等，故它们的面积不一定相等，如图中等边三角形和面积不相等，故④不正确．
综上，正确的命题是②③．
故答案为：②③．
四、解答题
17．从①与直线4x－3y＋5＝0垂直，②过点（5，－5），③与直线3x＋4y＋2＝0平行这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答．
问题：已知直线l过点，且______．
(1)求直线l的一般式方程；
(2)若直线l与圆相交于点P，Q，求弦PQ的长．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【解析】（1）方案一：选条件①．
（1）因为直线4x－3y＋5＝0的斜率为，且与直线l垂直，所以直线l的斜率为，
依题意，直线l的方程为，即3x＋4y＋5＝0．
方案二：选条件②．
（1）因为直线l过点（5，－5）及（1，－2），
所以直线l的方程为，即．
方案三：选条件③．
（1）因为直线3x＋4y＋2＝0的斜率为，直线l与直线3x＋4y＋2＝0平行，
所以直线l的斜率为．
依题意，直线l的方程为，即3x＋4y＋5＝0．
（2）方案一：选条件①．
（2）圆的圆心（0，0）到直线3x＋4y＋5＝0的距离为．
又圆的半径为，所以．
方案二：选条件②．
（2）解析同方案一中（2）．
方案三：选条件③．
（2）解析同方案一中（2）．
18．在①，②最小，③过A，B两点分别作圆C的切线，切线交于点P（2，0）这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并求解．
在平面直角坐标系中，已知圆，直线l过定点M（1，1）．设直线l与圆C交于A，B两点，当______时，求直线l的方程．
【解析】将圆的方程化为，则C（0，2），半径r＝2．
方案一：选条件①．
因为，所以，所以．
当直线l的斜率不存在时，方程为x＝1，此时，不符合题意．
当直线l的斜率存在时，设方程为，即，
由题意可知，即，解得k＝1，所以直线．
方案二：选条件②．
当直线所过定点M（1，1）为弦AB的中点时，最小，此时，，所以直线l的斜率为1，所以直线．
方案三：选条件③．
因为过A，B两点分别作圆C的切线，切线交于P（2，0），所以，，所以直线l的斜率为1，又直线过定点M（1，1），所以直线．
19．已知圆，平面上一动点P满足：且，.
(1)求动点P的轨迹方程；
(2)过点N的直线l（斜率为正）交圆G于A C两点，交P的轨迹于B D两点（A B在第一象限），若，求直线l的方程.
【解析】(1)设，则，
整理得：.
(2)由题知l斜率为正，设直线，
则原点到直线l的距离为：，
故，
又圆，所以圆心，半径为2，
所以G到直线l的距离为：，
故，
又，所以，
所以，
整理得：，
解得：，（舍负），
所以直线l的方程为：.
20．已知直线过定点，且与圆交于、两点．
(1)求直线的斜率的取值范围．
(2)若为坐标原点，直线、的斜率分别为、，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
【解析】（1）圆的标准方程为，圆心为，半径为.
若直线的斜率不存在，此时直线与圆相切，不合乎题意.
所以，直线的斜率存在，设直线的方程为，
由题意可得，解得.
因此，直线的斜率的取值范围是.
（2）设，，设直线的方程为.
联立，得，其中，
所以，，
则，
所以为定值.
21．在平面直角坐标系中，光线过点，经轴反射后与圆：有交点
(1)当反射后光线经过圆心，求光线的方程；
(2)当反射后光线与圆相切，求光线的方程．
【解析】(1)点关于轴对称的点为，由光线的折射性质，反射光线经过圆心，所以，
易知，所以，
所以光线的方程为.
(2)设经过的直线方程为由于折射光线与圆相切，
所以圆心到直线的距离等于半径，即,
化简得：,
解得或,
所光线的方程为或.
22．如图，在平面直角坐标系上，已知圆的直径，定直线到圆心的距离为，且直线垂直于直线，点是圆上异于、的任意一点，直线、分别交与、两点．
(1)求过点且与圆相切的直线方程；
(2)若，求以为直径的圆方程；
(3)当点变化时，以为直径的圆是否过圆内的一定点，若过定点，请求出定点；若不过定点，请说明理由．
【解析】(1)易知圆的方程为，圆心为原点，半径为，
若所求直线的斜率不存在，则所求直线的方程为，此时直线与圆相切，合乎题意，
若所求直线的斜率存在，设所求直线的方程为，即，
由已知可得，解得，此时所求直线的方程为.
综上所述，过点且与圆相切的直线方程为或.
(2)易知直线的方程为，、，
若点在轴上方，则直线的方程为，
在直线的方程中，令，可得，即点，
直线的方程为，
在直线的方程中，令，可得，即点，
线段的中点为，且，此时，所求圆的方程为；
若点在轴下方，同理可求得所求圆的方程为.
综上所述，以为直径的圆方程为.
(3)不妨设直线的方程为，其中，
在直线的方程中，令，可得，即点，
因为，则直线的方程为，
在直线的方程中，令，可得，即点，
线段的中点为，，
所以，以线段为直径的圆的方程为，
即，由，解得，
因此，当点变化时，以为直径的圆是否过圆内的定点

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