资源简介

空间中的外接球
摘要：本文主要讨论一些常见空间几何体的外接球半径的求解方法，总结相应的公式。对于更一般的几何体的外接球，用多种方法进行求解，本文引用了最新高考题以及课本中的例题，对于教师教学和学生自学都有参考作用。
旋转体外接球的公式
在高中阶段，忧外接球的旋转体就是圆台，圆柱，圆锥，任何一个这三类旋转体，都有外接球，下面推导相应的外接球公式
圆台外接球半径公式的推导
圆台的外接球公式为……（1），其中为圆台的母线长，为圆台的高，、为圆台的上、下底面的半径，下面推导公式。
先证明一个引理：
引理1：中，、、分别为角、、所对的边，为边上的高线，外接圆半径为：。
证明：由三角形面积公式，不难得到，即。
所有参数的意义如上文，设一个圆台的轴截面为等腰梯形，其中，，，。显然梯形的高即为圆台的高。
由托勒密定理可得。
由于，所以。
不难得到等腰梯形的外接圆即为圆台外接球的大圆，的外接圆半径与等腰梯形半径相同，故只需求的外接圆半径。而由引理1可得：。
考虑等腰梯形的腰，代入公式整理可得：。
例1：（2022年高考卷II第七题）正三棱台高为1，上下底边长分别是和，所有顶点在同一球面上，则球的表面积是（）
A、 B、 C、 D、
代入公式（1）可得圆台外接球半径为5，则外接球表面积为，选A
2、圆柱与圆锥的外接球半径公式
若令，，即可得到圆柱的外接球半径公式：……（2），其中为底面半径，为母线长。
若令，，即可得到圆锥的外接球半径公式：……（3），其中为母线长，为圆锥的高。
棱台，棱柱，正棱锥的外接球半径公式
棱台的外接球半径公式
由于并不是所有的棱台都有外接球，因此先讨论生么样的棱台有外接球。
定理1：一个棱台有外接球的充要条件是:一个棱台的上下底面都是圆内接多边形并且它们的外接圆圆心所在的直线垂直于底面。
证明：上下底面都是圆内接多边形是显然的。
设上下底面外接圆分别为圆、圆。事实上圆、圆分别是棱台外接圆的截面，并且相互平行，因此直线必定过球心，并且垂直于各自的截面。
反之，若一个棱台的上下底面都是圆内接多边形并且它们的外接圆圆心所在的直线垂直于底面。
则这个棱台内接于一个圆台，这个圆台上下底面分别为棱台上下底面外接圆，侧棱即为圆台的母线。
则这个圆台上下底面圆心连线垂直于底面，则这个圆台为正圆台，必有外接球，而内接于这个圆台的棱台所有顶点也都在这个外接球球面上，所以这个外接球也是棱台的外接球。
若把棱台“还原”成圆锥，不难得到一个推论：
推论1：一个棱台有外接球的充要条件是所有侧棱都相等。
下面讨论棱台外接球半径的公式
经过上面关于定理得证明可得一个棱台的外接球与其内接的圆台的外接球是一个，不难得到棱台的的外接球半径公式：。其中为棱台的侧棱长，为棱台的高，、为棱台的上、下底面的外接圆半径。
棱柱的外接球半径公式
同样，不是所有的棱柱都有外接球，同棱台证明过程类似，
定理2：一个棱柱有外接球的充要条件是：这个棱柱是底面有外接圆的直棱柱。
考虑棱柱内接于一个圆柱，用类似的方法不难得到棱柱的外接球半径公式：
，其中为底面外接圆半径，为侧棱长。
例3：（人教B版教材，126页B组第15题）已知直三棱柱的6个顶点都在球的球面上，若，，，，球的半径。
解：如图，底面是直角三角形，并且斜边
。
因此的外接圆半径。
代入公式（2）得球半径。
3、正棱锥的外接球半径公式
任意正棱锥都有外接球，考虑正棱锥内接于一个圆锥，用类似的方法不难得到正棱锥的外接球半径公式：
，其中为侧棱长，为棱锥的高。
对于一般情况下的棱锥，没有特别的外接球半径公式，但是可以有如下结论：
定理3：一个棱锥有外接球的充要条件是：这个棱锥的底面是圆内接多边形。
补形求外接球半径
对于一些几何体，如果外接球并不熟悉，可以补形为长方体，正方体，直棱柱等这些外接球半径求解就较为简单的几何体，在补形的过程中，要保证补形前的几何体的顶点也都是补形后几何体的顶点，这样补形前后的几何体有相同的外接球。
例3：（人教B版教材，126页B组第14题）已知是球表面上的点，面，，，，求球的表面积。
解：如图所示，可以把此三棱锥补形为一个长方体，其中分别为此长方体的长、宽、高，并且三棱锥和此长方体有相同的外接球。
而长方体的外接球直径为此长方体的体对角线。
因此球的半径为:
,
表面积为。
利用小圆及其圆心求解外接球半径
如果一个多面体有外接球，因为球的截面都是圆，不难得到这个多面体每个面都是圆内接多边形，而且球心到没个面的外接圆圆心的直线都垂直于这个面。因此可以利用这个性质找到这个多面体的外接球球心的位置，进而求出外接球半径。
例4：如图，在四棱锥中，平面平面，底面为正方形，为正三角形，，则该四棱锥的外接球半径为 。
解：侧面的外接圆半径为。
如图所示，设底面的外接圆圆心为，侧面的外接圆圆心为，棱的中点为，四棱锥的外接球球心为。
显然四边形为矩形，则，，
所以该四棱锥外接球半径。
例5：如图：在三棱锥中，，二面角的余弦值为，则三棱锥外接球的表面积为 。
解：设线段的中点为，连接，，显然，。
则为二面角的平面角。
有。。
设，分别为,的外接圆圆心，
则有，。
作平面，平面，直线，相交于点。
显然为三棱锥外接球球心。
，，所以，，，共圆，且线段为此圆半径。
由余弦定理，。
则。三棱锥外接球半径，表面积为。
例5中，，分别为三棱锥外接球小圆的圆心，侧球心在过小圆圆心且垂直于小圆的垂线上，过，分别做其所在小圆的垂线，从而确定球心的位置，进一步求解球半径。
五、利用空间向量和空间坐标系求解球心的位置和求半径
球心与弦的连线垂直于弦，利用这个性质可以求解相应的球心坐标，从而求解处球半径。这种方法通常在已知相邻的三条棱的长度及其相互之间的三个夹角的情况下较为合适。
例6：三棱锥中，，，，求三棱锥外接球表面积为 。
解法一：设，，，分别为线段的中点，为三棱锥外接球球心。
显然，，。设。
，，，。
则，，
。则有①，
同理可得②，③。
联立求解得：，所以三棱锥外接球球心为，
因此其半径平方为，其外接球面积为。
解法二：如解法一所示，，设为线段的中点，易得平面，并且平分，
即，则，同理。
，。则。
设，，。
则有①
同理②
③
①②③联立求解得，，，所以，，
三棱锥外接球表面积为。

展开更多......

收起↑