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【题型突破】2023年高考数学一轮之考点微综合（新人教A版2019）
sin α±cos α与sin α·cos α之间的关系
【考点梳理】
1、对于，，这三个式子，利用，可以知一求二．
2、利用已知条件求出，根据其符号判断所在的象限，可判断的符号.
【题型归纳】
一、给式求值
1．已知，则sin αcos α的值为_____．
2．已知，则的值等于（ ）
A． B． C． D．
3．设，，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知，且为锐角，则下列选项中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．若及是关于的方程的两个实根，求实数的值.
二、与二倍角相结合
6．已知，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知sin，则（ ）
A． B． C． D．
9．已知，则（ ）
A． B． C． D．
三、与平面向量结合
10．已知，，且.
（1）求的值；
（2）若，求的值.
四、与方程的根的结合
11．若，是关于的方程的两个根，则的值是（ ）
A． B． C． D．不存在
12．已知关于的方程在有解，则的取值范围是________．
13．已知，是关于x的一元二次方程的两根，
(1)求的值；
(2)求m的值；
(3)若，求的值.
【巩固训练】
一、单选题
14．若，则（ ）
A． B． C． D．
15．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
16．已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
17．已知，，且，则（ ）
A． B．
C． D．
18．若，则（ ）
A． B． C． D．
19．若，则（ ）
A． B． C． D．
20．若，则（ ）
A． B． C． D．
21．已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
22．已知，则（ ）
A． B． C． D．
23．已知，则（ ）
A． B． C． D．
24．已知，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
25．化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
26．已知，则（ ）
A． B． C． D．
27．若，则（ ）
A． B． C． D．
28．若角α满足，则＝（　　）
A． B． C． D．
29．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
30．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
31．若，，则的值为（ ）
A． B．－ C． D．
32．已知，，且，设，则的值为（ ）
A． B． C． D．
33．若，则（ ）
A． B． C． D．
34．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
35．若函数在上有零点，则整数m的值可以是（　　）
A． B． C．0 D．
36．已知，，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
37．已知角是锐角，若是关于的方程的两个实数根，则下列关于实数的判断正确的是（ ）
A． B．
C． D．
38．已知是第二象限角，下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．的取值范围为
D．若扇形的圆心角，半径，则扇形所含弓形的面积为
39．已知复数，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则z是纯虚数
C．复数z的模的最大值为 D．复数z的模长为定值
40．已知，，则下列选项中正确的有（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
41．已知，则______．
42．已知，，则的值为______．
43．已知，，则______．
44．已知sinθ＋cosθ＝，θ∈(0，π)，则tanθ＝________.
45．已知为第四象限角，，则___________.
46．已知，则的值为_____．
47．已知，且，则____.
四、解答题
48．已知，.
（1）求的值；
（2）求的值.
49．已知．
(1)若，求的值；
(2)若，且，求实数的值．
50．已知，，求．
51．已知，.求：
(1)；
(2).
52．已知，，求下列各式的值.
（1）；
（2）.
53．已知，.
（1）求，的值；
（2）求的值.
54．已知．
(1)求的值．
(2)求的值．
(3)求的值．
55．已知，是关于x的一元二次方程的两根．
(1)求的值；
(2)若，求的值．
56．已知，．
(1)求的值；
(2)求的值．
57．已知.
(1)求的值
(2)若，求的值.
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．##0.375
【分析】对条件平方，利用同角三角函数的平方关系进行求解.
【详解】，两边平方得：，即，解得：.
故答案为：
2．A
【分析】首先确定的正负，再计算的值.
【详解】，，，
，
，
即.
故选：A
3．C
【分析】由条件两边平方结合同角关系可求，结合同角关系求.
【详解】因为，所以，，
与异号．而已知，所以，．
因为，所以取．
故选：C.
4．ABD
【分析】根据，并结合为锐角求解即可.
【详解】解：因为，所以，即
所以，
因为为锐角，所以，
所以，
所以，
所以
故选：ABD
5．
【分析】由题意，利用韦达定理得到，，根据列出关于的方程，求出方程的解即可得到的值．
【详解】解：，是关于的方程的两个实根，
，，
，
，即，
整理得：，
解得或，
方程有实数根，
，即或，
则的值为．
6．B
【分析】通过平方将原式变形得到，再结合正弦二倍角公式即可求解.
【详解】因为，
所以两边平方得，
又因为，
所以，即，
所以.
故选：B
7．A
【分析】对平方后，结合同角三角函数平方关系及正弦的二倍角公式进行求解.
【详解】平方得：，
即，解得：
故选：A
8．D
【分析】三角函数的恒等变换要注意条件与结果之间的关系，由此而产生解题思路.
【详解】∵，
；
∴，
，
∴=；
故选：D.
9．C
【分析】利用诱导公式可得，再利用同角关系式及二倍角公式即求.
【详解】因为，
所以，
所以，
所以.
故选：C.
10．（1）；（2）.
【解析】（1）首先利用诱导公式，化简向量的数量积公式得到，再利用平方关系计算的值；（2）由（1）解出的值，再利用两角差的正切公式，计算的值，求角.
【详解】（1）由题意得，，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）联立，解得，
∴，
∴，
即，
解得，
又∵，
∴.
11．A
【分析】由已知中、是关于的方程的两个实根，求出满足条件的的值，然后根据韦达定理结合同角三角函数关系，求出满足条件的的值．
【详解】若方程有实根，
则
或，
若、是关于的方程的两个实根，
则，
则
即，（舍去）
故选：．
12．
【分析】将原式化为，然后研究函数在上的值域即可
【详解】解：由，得，
令，
令，
因为，所以，所以，即，
因为，
所以函数可化为，
该函数在上单调递增，所以，
所以，所以，
所以的取值范围是，
故答案为：
13．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用根与系数的关系可求出结果，
（2）利用根与系数的关系列方程组，结合可求出m的值，
（3）先判断出，则，再代值计算即可
(1)
因为，是关于x的一元二次方程的两根，
所以
(2)
因为，是关于x的一元二次方程的两根，
所以，，且，
所以，
所以，得，满足，
所以
(3)
由（2）可得，，
因为，所以，所以，
所以
14．B
【分析】对两边平方，再结合正弦的二倍角公式即可求解.
【详解】两边平方得：
，
解得：
故选：B
15．C
【分析】利用平方关系，结合同角三角函数关系式，即可求解.
【详解】，，，，，
，所以.
故选：C
16．B
【分析】利用两角差的正弦公式化简可得，根据同角三角函数的基本关系和二倍角的正弦公式即可得出结果.
【详解】由
得，
即，等式两边同时平方，
得，所以.
故选：B.
17．A
【分析】根据韦达定理可得：，，利用求解，注意结合范围判断取舍．
【详解】由得：，，
∵，
化简得：或，
∵，即，∴．
，
故选：A．
18．D
【分析】利用平方关系和二倍角公式求解.
【详解】解：由平方得：
，
所以，
故选：D
19．A
【分析】利用同角三角函数的平方关系和商数关系、正弦的二倍角公式化简该式子即可求值.
【详解】
.
故选：A.
20．D
【分析】利用两角和的余弦公式展开已知条件，然后两边同时平方，由平方关系及二倍角正弦公式即可求解.
【详解】解：因为，所以，即，
两边同时平方，由平方关系可得，
所以，
故选：D.
21．A
【分析】由题可得，然后对平方求值，结合的范围即可求解.
【详解】∵，
∴，
∵，
∴，又∵，
∴，
∴.
故选：A.
22．A
【分析】在等式两边平方，化简后可求得的值.
【详解】，因此，.
故选：A.
23．A
【分析】根据求解即可.
【详解】，
解得：.
故选：A
24．C
【分析】分析可知，由可求得的值.
【详解】因为，则，
因为，所以，，
因此，.
故选：C.
25．C
【分析】利用诱导公式和平方关系求解.
【详解】解：，
，
，
，
故选：C
26．A
【分析】根据两角和的余弦公式及平方关系，结合正弦的二倍角公式即可求解.
【详解】由，得，即，
两边平方，得，即.
故选：A.
27．A
【分析】根据题意得，，进而得，再根据二倍角公式求解即可.
【详解】解：因为，所以，
所以，
所以，，
所以，，即，
所以，
故选：A
28．C
【分析】利用两角和的余弦公式化简已知等式可得，两边平方，可得2sinαcosα的值，根据同角三角函数基本关系式化简所求即可求解．
【详解】因为，可得，
两边平方，可得，
所以．
故选：C.
29．C
【分析】利用二倍角公式及同角三角函数的平方关系即可求解.
【详解】，
，，
，
，
，
即，所以.
故选：C.
30．A
【分析】先求出，再分析得到，即得解.
【详解】解：，
所以
∵，，
∴.
∴.
故选：A.
31．D
【分析】直接利用同角三角函数关系式的应用求出结果.
【详解】已知，，
所以，即，
所以，
所以，
所以.
故选：D.
32．A
【分析】由题意得到是方程的两个根，再利用韦达定理求得a求解.
【详解】解：因为，，
所以是方程的两个根，
则，，
∵，
化简得：或，
∵，即，
∴．
则，
，
故选：A．
33．A
【分析】化简得出，等式两边平方可得出关于的方程，结合的取值范围可求得的值.
【详解】由可得，则，
因为，
等式两边平方可得，即，
，解得.
故选：A.
34．D
【分析】将两边平方，即可求出，再根据同角三角函数的基本关系求出，最后利用两角差的正弦公式计算可得；
【详解】解：因为，所以，
即，即，所以，
又，
即，
因为，所以，
所以，即，
所以，所以，
所以
；
故选：D
35．BCD
【分析】转化为求函数的值域，然后用换元法求值域，由值域得结论．
【详解】在上有零点，即在上有解，
设，，
，则，，，
所以，即，BCD均可以．
故选：BCD．
36．ABD
【分析】考虑角 所在的象限，以及同角关系和题目所给的条件即可.
【详解】由 …①，以及 ，
对等式①两边取平方得 ， …②，
，，由②， ，
由①② ， 可以看作是一元二次方程 的两个根，
解得 ， ，
故A正确，B正确，C错误，D正确；
故选：ABD.
37．ACD
【分析】根据韦达定理得到，由角是锐角可判断，从而判断B;将两边平方，可得到之间关系，判断A对错；利用A的结论写出的表达式，配方后可判断C的对错；利用得到，结合的范围，确定的范围，判断D的正误.
【详解】是关于的方程的两个实数根,
所以，
因为角是锐角，所以，则，故B错误；
又，即，
所以，故A正确；
而，故C正确,
又， ，
所以， ，
由A知 ，则 ，故D正确；
故选：ACD
38．ACD
【分析】根据已知角所在象限确定角的范围，进而判断三角函数值的范围，结合三角函数线判断大小关系， 即可知A、B的正误，再利用同角三角函数的平方关系及基本不等式求范围判断C，最后利用扇形面积公式求扇形所含弓形的面积判断D.
【详解】因为是第二象限角，所以，A正确；
若时，由三角函数线知：，B错误；
因为是第二象限角，则、且，
，
所以，当且仅当，时取得等号，C正确；
扇形所含弓形的面积为，D正确．
故选：ACD．
39．ABD
【分析】A.利用平方关系求解判断；B.直接求解判断； C.D 利用复数模公式求解判断.
【详解】A.因为，两边平方得，则，
所以，
所以 ，故正确；
B. 当时，，则，故正确；
C. ，故错误；
D.由C知正确；
故选：ABD
40．ACD
【分析】由两边平方得，可得，
再由求出逐项判断可得答案.
【详解】因为，所以，
可得，
因为，所以，
由解得，
所以，故A正确；，故B错误；，故C正确；
，故D正确；
故选：A CD.
41．
【分析】根据平方可得，结合立方差公式即可代入求值.
【详解】因为，平方得，所以，
所以．
故答案为：
42．##
【分析】由平方，结合平方关系及倍角公式求解即可.
【详解】由可得，即，
即，解得.
故答案为：.
43．
【分析】利用二倍角公式、两角差的正弦公式化简已知条件，由此求得的值，平方可得，两边平方结合再开方可得答案.
【详解】，
，
化为，
，，且，
所以，，
由，
可得.
故答案为：.
44．
【分析】已知等式两边平方，利用同角三角函数间的基本关系化简，求出的值小于0，得到，，再利用完全平方公式及同角三角函数间的基本关系求出与的值，即可求出的值．
【详解】解：将已知等式①两边平方得：，
，
，
，，即，
，
②，
联立①②，解得：，，
则．
故答案为：．
【点睛】本题考查了同角三角函数间的基本关系，以及完全平方公式的应用，熟练掌握基本关系是解本题的关键，属于中档题．
45．##
【分析】先对两边平方化简求出，再化简，再由为第四象限角，判断，从而可求得结果
【详解】因为，所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
因为为第四象限角，所以，，
所以；
故：，
故答案为：
46．##
【分析】把给定等式两边平方求出，判断，的符号，再借助同角公式计算作答.
【详解】因，则，即，
而，，于是有，
所以.
故答案为：
47．##1.4
【分析】利用完全平方公式，建立、与和的等量关系，并利用所求值确定，的符号，从而可求.
【详解】解：，
两边平方，可得，可得，
，
可得，，可得，
．
故答案为：.
48．（1）；（2）.
【解析】（1）对已知条件两边同时平方结合可得，结合，可得，进而可得，计算即可求解；
（2）将化切为弦再通分，利用整体代入即可求解.
【详解】（1）由可得，
即，解得，
因为，所以，可得，
所以，
所以，
（2）
.
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是利用已知条件求出，根据其符号判断所在的象限，可判断的符号.
49．(1)
(2)
【分析】（1）根据同角三角函数的关系，平方化简可得，计算即可得答案.
（2）由题意得，可得或，根据的范围，可求得的值，代入即可得答案.
(1)
由，可得
所以，即，
所以
(2)
由，可得，
解得或，
而，所以，解得，
所以．
50．
【分析】由已知平方可得，即可求出，再求出即可求出.
【详解】因为，所以，
所以，
所以，
因为，所以，所以，
所以，则可得，
所以.
51．(1)；
(2).
【分析】（1）（2）根据、关系，结合已知条件求，再应用平方差公式求.
（1）
∵，
∴，即，则，
∴，
而，故，，
∴，则.
（2）
.
52．（1）；（2）.
【分析】（1）由结合条件可知是第四象限角，从而，由此可知，再利用平方关系求解即可；
（2）利用条件及（1）的结论求出，再带入原式即可求出结果.
【详解】（1），
，则，
又，则，
由，可得；
（2）由可得，
53．（1），；（2）.
【分析】（1）由已知结合同角之间的平方关系可求得，解方程即可得解；
（2）由（1）可求得，，再利用两角和的正弦公式即可得解.
【详解】（1）∵，两边平方得：.
∵，∴，
∴.
∴，.
（2）∵，，
∴，，
∴.
【点睛】方法点睛：本题考查同角之间的关系及两角和的正弦公式，再利用同角之间关系时注意方程思想的应用：对于，，这三个式子，利用，可以知一求二．
54．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）平方由可得解；
（2）通过三角值的正负判断，再求，开方即可得解；
（3）根据同角三角函数关系化简得，去绝对值代入条件即可得解.
(1)
因为，所以，所以．
(2)
因为，所以，所以，又因为，
所以．
(3)
55．(1)
(2)
【分析】（1）由韦达定理结合平方关系得出的值；
（2）先判断出，则，再代值计算即可.
(1)
因为，是关于x的一元二次方程的两根，
所以，，且，
所以，
所以，得，满足，
所以，即
(2)
因为，
又因为，所以，所以
所以
56．(1)
(2)见解析.
【分析】（1）将已知等式两边平方，求出的值，结合，可知为第二象限角，可得的值；
（2）由（1）知的值，与已知等式联立可求出的值，则的值可求.
(1)
把平方后得，，可得，
可得，由，可得，，有．
由，有．
(2)
由（1）有，①，解得，可得．
②，解得，可得．
57．(1)；
(2).
【分析】（1）把平方即得解；
（2）求出，即得解.
(1)
解：，
∴.
(2)
解：原式=，
∵，
又∵，∴，，，
∴，
∴原式.

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