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【题型突破】2023年高考数学一轮之考点微综合（新人教A版2019）
正切函数的定义域、值域问题
【考点梳理】
解析式 y＝tan x
图象
定义域
值域 R
最小正周期 π
奇偶性 奇函数
单调性 在每一个区间(k∈Z)上都单调递增
对称性 对称中心(k∈Z)
【题型归纳】
一、正切函数的定义域
1．在区间[0，2π]上，函数的定义域为___．
2．函数y＝的定义域为（ ）
A．(k∈Z)
B．(k∈Z)
C．(k∈Z)
D．(k∈Z)
3．求函数y＝的定义域．
4．下列函数定义域为的是（ ）
A． B． C． D．
5．函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
二、正切型函数的值域
6．已知在区间上的最大值为，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数在上单调递增，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．或
8．函数的最大值为________．
9．函数，的值域为______．
10．函数的值域为（ ）
A． B．
C． D．
【巩固训练】
一、单选题
11．函数的定义域为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
12．直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
13．若直线的倾斜角满足，且，则其斜率满足（ ）
A． B．
C．或 D．或
14．与函数的图象不相交的一条直线是（ ）
A． B．
C． D．
15．函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
16．函数的定义域是
A． B．
C． D．
17．下列命题中，为真命题的是（ ）
A．函数既是偶函数又是周期函数
B．函数既是奇函数，又是增函数
C．函数的最小正周期为
D．函数的最大值为
18．在中，，则的可能取值为（ ）
A． B． C． D．
19．经过点作直线，若直线与连接的线段总有公共点，则直线 的倾斜角的取值范围为（ ）
A．或 B．
C． D．或
20．已知函数，则下列结论不正确的是（ ）
A．是的一个周期 B．
C．的值域为 D．的图象关于点对称
21．函数，的值域为（ ）
A． B．
C． D．
22．函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
23．已知函数，则下列说法错误的是（ ）
A．函数的最小正周期为
B．函数的值域为
C．点是函数的图像的一个对称中心
D．
24．函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
25．设函数的定义域为D，如果对任意，都存在唯一的，使得（m为常数）成立，那么称函数在D上具有性质.现有函数：
①；
②；
③；
④.
其中，在其定义域上具有性质的函数的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
26．函数的值域是
A． B． C． D．以上均不对
27．函数y＝tan的定域是（ ）
A． B．
C． D．
28．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．函数的定义域为R
B．函数的最小正周期为4
C．函数的单调递增区间为，
D．函数图像的对称中心为，
29．函数的值域是（ ）
A．（﹣1，1） B． C． D．
30．函数的值域是（ ）
A． B．
C． D．
31．设直线l的方程为，则直线l的倾斜角的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
32．在平面直角坐标系中，角（）的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过函数与的交点，角，则（ ）
A． B．
C． D．
33．函数，的值域为（ ）
A． B． C． D．
34．函数的定义域是（ ）
A． B．
C． D．且
35．函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
36．函数 的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
37．下列说法正确的是（ ）
A．若，则的最小值2
B．函数的单调递增区间是
C．函数的定义域是
D．函数在上的最大值为，最小值为0
38．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．是奇函数
B．的定义域是
C．在上单调递增
D．的图象的对称中心是，
39．下列说法正确的是
A． B．函数的最小正周期为
C．函数的值域是 D．函数在第一 四象限是增函数
40．已知两个函数和，下列说法正确的是（ ）
A．两个函数的定义域相同 B．两个函数都是奇函数
C．两个函数的周期相同 D．两个函数的值域相同
三、填空题
41．函数的定义域为___________.
42．若函数，的图象都在轴上方，则实数的取值范围为___________.
43．函数的值域是___________.
44．函数，且的值域是________________．
45．函数的定义域为_____．
46．若“，”是真命题，则实数的最大值为___________.
47．函数，的值域为______．
48．函数的定义域为______．
49．函数 的定义域是______________.
四、解答题
50．已知函数.
（1）判断函数的奇偶性，并证明；
（2）若在上有零点，求实数的取值范围.
51．已知，求的值域．
52．已知函数，
（1）求函数的定义域和最小正周期；
（2）若将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，然后再向右平移()个单位长度，所得函数的图象关于轴对称，求的最小值.
53．求函数的定义域，并指出它的单调性及单调区间
试卷第1页，共3页
参考答案
1．
【分析】由题意可得，再结合可求得答案
【详解】由题意得，且，
即 且，
所以，得，
所以函数的定义域为，
故答案为：
2．B
【分析】由题可得tan x＋1≥0，从而可求得答案
【详解】由题可得tan x＋1≥0，即tan x≥－1，解得x∈ (k∈Z)．
故选：B
3．函数的定义域为且.
【分析】利用正切函数的性质可得 ，，解不等式组即可求解.
【详解】由题意可得 ，，
解得且，，
所以函数的定义域为且.
4．C
【分析】根据反比例函数、对数函数、幂函数、正切函数的定义域逐一判断即可得解.
【详解】解：对于A，函数的定义域为，
对于B，函数的定义域为，
对于C，函数的定义域为，
对于D，函数的定义域为.
故选：C.
5．A
【分析】根据正切函数的定义域可得结果.
【详解】因为，所以.
故的定义域为.
故选：A
6．A
【分析】先求出，再根据解方程即可.
【详解】因为，即，
又，所以，所以，
所以，．
故选：A．
7．C
【分析】根据函数单调递增转化为导数不小于0恒成立，分离参数求解即可.
【详解】因为函数在上单调递增，
所以在上恒成立，
即在上恒成立，
由在上单调递增知，，
所以，
故选：C
8．##
【分析】分子分母同时除以，然后使用基本不等式可得.
【详解】解：∵，∴，由题意得，当且仅当，即时取等号，故的最大值为．
故答案为：
9．
【分析】由的范围求出的范围，再根据二次函数的性质即可得出答案.
【详解】因为，所以，
，
则当时，，
当时，，
所以函数的值域为.
故答案为：.
10．A
【分析】作换元,根据已知求得的范围，然后根据正切函数的性质得到所求函数值域，进而作出判定.
【详解】设,因为，所以，
因为正切函数在上为单调递增函数，且,
所以．
∴函数的值域为，
故选：A．
11．C
【分析】令可求得的范围，根据正切函数值域可求得定义域.
【详解】令，解得：，，
定义域为，.
故选：C.
12．A
【分析】由直线方程求得直线斜率的范围，再由斜率等于倾斜角的正切值可得直线的倾斜角的取值范围.
【详解】∵直线的斜率,，
设直线的倾斜角为，则，
解得.
故选：A.
13．C
【分析】根据倾斜角和斜率关系可求斜率的范围.
【详解】斜率，因为，且，
故或，即或，
故选：C.
【点睛】本题考查倾斜角与斜率的关系，一般地，如果直线的倾斜角为，则当时，直线的斜率不存在，当时，斜率.
14．D
【分析】利用正切函数的定义域求解.
【详解】由，，
得，，
则函数的定义域为.
故选：D
15．C
【分析】直接由求解即可
【详解】解：由，得，
所以函数的定义域为，
故选：C
【点睛】此题考查求正切型函数的定义域，利用了整体的思想，属于基础题.
16．C
【分析】根据正切函数的定义域求解即可
【详解】由，得．故选C
【点睛】本体考查正切函数得定义域，属于简单题目
17．D
【分析】对于A，可由奇偶性的概念及周期性即可得出结果，对于B，利用正切函数性质可得函数是奇函数，但是不单调；对于C，化简求得，得出结论；对于D，函数的最大值是2，利用复合函数单调性求得函数的最大值，即可判断出结论.
【详解】解：A.函数定义域关于原点对称，,
所以是偶函数，但不是周期函数,A错误.
B.函数定义域关于原点对称，，
所以是奇函数,但定义域不连续，不能说是增函数,B错误.
C.函数，
利用得最小正周期不为，C错误,
D.函数的最大值是2，
又在其定义域内单调递增，
所以的最大值是lg2,D正确,
故选：D.
18．D
【分析】通过正弦定理将所求表达式表示为关于的三角函数，求出范围即可得结果.
【详解】因为，
所以，，即得，
由正弦定理可得，
则的可能取值为，
故选：D.
19．D
【分析】画出图，由图可知，从而可求出直线 的倾斜角的取值范围
【详解】解：设直线 的倾斜角为（），
由图可知，要使直线与连接的线段总有公共点，只要，
所以，即，
所以或，
故选：D
20．B
【分析】由正切函数的最小正周期可判断A选项的正误；求得和的值，可判断B选项的正误；利用正切函数的值域可判断C选项的正误；利用正切函数的对称性可判断D选项的正误.
【详解】对于A选项，函数的最小正周期为，所以是的一个周期，A选项正确；
对于B选项，，，B选项错误；
对于C选项，函数的值域为，C选项正确；
对于D选项，函数的图象关于点对称，D选项正确.
故选：B.
【点睛】本题考查有关正切函数基本性质的判断，属于基础题.
21．A
【分析】首先由的取值范围求出的取值范围，再根据正切函数的性质计算可得；
【详解】解：因为，所以
因为在上单调递增，所以
即
故选：A
22．A
【分析】结合正切的三角函数的定义域计算即可.
【详解】由
故选：A
23．D
【解析】根据解析式，求出的周期和值域以及对称中心，判断出和的正负，从而得到答案.
【详解】因为，
所以函数的最小正周期，故A正确.
由正切函数的图像和性质可知函数的值域为，故B正确.
由，，
得，，
当时，，
所以点是函数的图像的一个对称中心，故C正确.
因为，
，
所以，故D不正确.
故选：D.
【点睛】本题考查正切型函数的周期、值域、对称中心，属于简单题.
24．B
【解析】由在上单调递增，可得；再由在或上单调递减即可得到的范围.
【详解】根据正切函数的性质，可知：
在上单调递增，
当时， ；
当时， .
所以
，
由在或上单调递减，可得：
当时，；
当时，.
所以函数的值域是.
故选：
【点睛】本题考查了正切函数的单调性，考查了复合函数求值域，属于中档题.
25．B
【分析】利用题中的条件以及函数具有性质的定义，即可解出.
【详解】由函数在D上具有性质的定义可知，
若，对任意的，存在，
使得，故，即唯一存在；
若，对任意的，，此时可能不存在，比如时；
若，对任意的，，
此时，即唯一存在；
若，对任意的，
，即，
对于正切函数，一个函数值会对应多个自变量，故不唯一，
故①③是具有性质的函数.
故选：B.
26．C
【分析】由题意首先确定的取值范围，然后结合正切函数的单调性即可确定题中函数的值域.
【详解】∵，且函数在上为增函数，
∴，即.
∴.
故选C.
【点睛】本题主要考查三角复合函数值域的求解，正切函数的单调性，余弦函数的值域等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
27．C
【解析】由正切函数的性质得，，由此可得结论．
【详解】，
，，
，，
函数的定义域是，
故选：.
【点睛】本题考查正切型三角函数的定义域，掌握正切函数的定义域是解题关键．
28．D
【分析】利用整体代入法，由正切函数的定义域可判断A；由三角函数的周期公式可判断B；由正切函数的单调区间可判断C；由正切函数的对称中心可判断D.
【详解】由得，
所以函数的定义域为，故A错误；
函数的最小正周期为，故B错误；
由得，
函数的单调递增区间为，，故C错误；
由得,
所以函数的对称中心为，，故D正确.
故选：D.
29．C
【解析】根据函数y＝tanx在（﹣，）上的单调性即可求出值域．
【详解】因为函数y＝tanx在（﹣，）单调递增，
且tan＝；tan（﹣）＝﹣1，
则所求的函数的值域是（﹣1，），
故选：C.
30．C
【分析】由于， 在上为增函数，从而可求得函数的值域
【详解】，且函数在上为增函数，
∴．
即．
故选：C．
31．C
【分析】当时，可得倾斜角为，当时，由直线方程可得斜率，然后由余弦函数和正切函数的性质求解即可
【详解】当时，方程变为，其倾斜角为，
当时，由直线方程可得斜率，
且，
，即，
又，，
由上知，倾斜角的范围是．
故选：C．
32．D
【分析】首先函数特征判断函数和互为反函数，所以可判断，再计算，再判断函数值的范围，判断选项.
【详解】因为互为反函数，其交点在上，
又，所以，而，所以，
所以.
故选:D.
【点睛】关键点点睛：本题考查函数性质与三角函数的综合应用，本题的关键是判断函数和互为反函数，从而确定角的大小.
33．A
【分析】设，求得，然后根据正切函数在上递增，可求出函数的值域.
【详解】设，因为，所以．
因为正切函数在上单调递增，且，，
所以．
故选：A．
34．A
【分析】由题可得，即得.
【详解】由题可得，解得，
∴函数的定义域为.
故选：A.
35．C
【分析】利用关于正切型函数的不等式去求函数的定义域
【详解】由，可得，则
则函数的定义域为
故选：C
36．D
【分析】根据函数的解析式，由正切函数的定义域求解即可．
【详解】函数，
令，，
解得，
所以函数的定义域是．
故选：D
37．BD
【分析】对A，根据基本不等式即可判断答案；
对B，结合正切函数的单调性即可求得答案；
对C，结合正切函数的定义域即可求得答案；
对D，结合正切函数的单调性即可求得答案.
【详解】对A，因为，所以，则，当且仅当时取“=”，而.A错误；
对B，令，即函数的单调递增区间是.B正确；
对C，，即函数的定义域是.C错误；
对D， 易知函数在上单调递增，则最大值为，最小值为.D正确.
故选：BD.
38．ACD
【分析】利用奇函数的定义及诱导公式判断A；利用正切函数的性质判断BCD.
【详解】对于B，令，得，
可知的定义域为，故B错误；
对于A，定义域关于原点对称，且，故是奇函数，故A正确；
对于C，令，解得，
当时，在上单调递增，故C正确；
对于D，，得，即的图象的对称中心是，故D正确；
故选：ACD
39．AC
【解析】，函数的最小正周期为，由函数的单调性可知，在区间上是增函数，不能说函数在一四象限为增函数.
【详解】A正确，,故；
B错误，函数的最小正周期为；
C正确，∵,∴由函数的单调性可知；
D错误，函数在区间上是增函数,但不能说其在第一 四象限是增函数.
故选：AC.
【点睛】此题考查三角函数相关概念辨析，涉及单调性周期性和值域问题，综合性比较强.
40．BC
【分析】对各选项逐一利用函数的性质进行判断即可.
【详解】解：对A：的定义域为，而的定义域为，所以选项A不正确；
对B：因，所以为奇函数；
而，则为奇函数，所以选项B正确；
对C：因，所以周期为；
又，则周期也为，所以选项C正确；
对D：因，而，所以两个函数值域不相同，所以选项D不正确.
故选：BC.
41．
【分析】先得到使函数有意义的关系式，求解即可.
【详解】若使函数有意义，需满足：，
解得；
故答案为：
42．
【分析】由题意可得对于恒成立，分离转化为最值问题即可求解.
【详解】因为函数，的图象都在轴上方，
所以对于恒成立，
所以对于恒成立，
因为，所以，，
所以，
所以，
所以实数的取值范围为，
故答案为：.
43．
【解析】由余弦函数和正切函数性质求解．
【详解】∵，在上是增函数，
∴，即．
故答案为：．
【点睛】本题考查余弦函数和正切函数的值域，掌握正切函数的单调性是解题基础．
44．
【分析】根据正切函数的单调性求值域即可.
【详解】函数在，值域为，在也单调递增，值域为，
综上函数，且的值域是.
故答案为：
【点睛】本题主要考查正切函数的值域，属于简单题.
45．
【分析】解不等式可求得函数的定义域.
【详解】解不等式，可得，
因此，函数的定义域为.
故答案为：.
【点睛】本题考查正切型函数定义域的求解，考查计算能力，属于基础题.
46．
【分析】利用正切函数的单调性求出正切函数的最小值，进而可求出结果.
【详解】若“，”是真命题，
则实数小于等于函数在的最小值，
因为函数在上为增函数，
所以函数在上的最小值为，
所以，即实数的最大值为.
故答案为：
47．
【分析】由的范围求出的范围，再根据二次函数的性质即可得出答案.
【详解】解：因为，所以，
，
则当时，，
当时，，
所以函数的值域为.
故答案为：.
48．
【分析】利用整体代入法求得的定义域.
【详解】令，，可得，，
故函数的定义域为．
故答案为：
49．
【分析】根据正切函数的定义域，即可求出结果.
【详解】解：由题意可知，，所以.
所以函数的定义域为.
故答案为：.
50．（1）函数为奇函数，证明见解析；（2）.
【解析】（1）求出函数的定义域，计算得出与之间的关系，由此可得出结论；
（2）由可得出，，利用可得出，求出函数在上的值域，由此可得出实数的取值范围.
【详解】（1）对于函数，有，即，解得，
解得，
所以，函数的定义域为，
，
所以，函数为奇函数；
（2），
，则，，所以，，
令，可得，
所以，实数的取值范围是.
【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
51．
【分析】令，结合已知及正切函数的性质可得，再利用二次函数的性质求的值域即可.
【详解】令，又，
∴，故函数化为，且对称轴为．
∴当时，．
当时，．
∴的值域为．
52．（1），；（2）
【分析】（1）结合正切型函数求定义域即可求出定义域，对函数化简整理结合周期公式即可求出最小正周期；
（2）根据平移伸缩变换求出变换后的解析式，然后结合函数图象的性质即可求出结果.
【详解】（1）因为，即，所以函数的定义域
所以函数的最小正周期，
（2）因为将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，
所以，
因为又向右平移()个单位长度，
所以，
又因为平移后函数的图象关于轴对称，所以，
即，所以当时，取得最小值，此时，
所以取得最小值为.
53．答案见解析
【分析】由题，解不等式得定义域，再根据，利用整体代换法求解函数的单调递减区间即可.
【详解】解：要使函数有意义，应满足，解得
∴函数定义域为.
∵，
∴，解得，
∴函数的单调递减区间为.

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