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【题型突破】2023年高考数学一轮之考点微综合（新人教A版2019）
利用导数解决函数的单调性求参数问题
【考点梳理】
1、已知函数单调性求解参数范围的步骤:
（1）根据已知函数先求解出；
（2）根据单调性得到或；
（3）采用分离参数或分类讨论的方法求解出参数的
（已知函数为指定区间的单调增(或减)函数，则在指定区间上恒成立.）
2、已知不等式能恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法：
（1）函数法：讨论参数范围，借助函数单调性求解；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域或最值问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解．
3、利用函数的单调性求参数，可按照以下原则进行：
（1）函数在区间上单调递增在区间上恒成立；
（2）函数在区间上单调递减在区间上恒成立；
（3）函数在区间上不单调在区间上存在极值点；
（4）函数在区间上存在单调递增区间，使得成立；
（5）函数在区间上存在单调递减区间，使得成立.
【题型归纳】
一、函数在区间（或R）上单调递增（递减）
1．已知函数在R上单週递增，则（ ）
A． B．0 C． D．
2．已知函数在、上为增函数，在上为减函数，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
3．若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知函数在上单调递增，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．或
5．设函数，若为上的单调函数，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、函数存在单调递增（或递减）区间
6．若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是( )
A． B．
C． D．
7．已知函数在区间上存在单调减区间，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
三、与同构式相结合
8．若函数，在定义域内任取两个不相等的实数，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．已知函数，若当时，，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
四、函数在区间上不单调
10．已知函数在上不单调，则m的取值范围是
A． B． C． D．
11．已知函数，则在上不单调的一个充分不必要条件是（ ）
A． B．
C． D．
五、函数在区间上单调
12．若函数是R上的单调函数，则实数a的取值范围（ ）
A． B．
C． D．
【巩固训练】
13．已知函数，则函数在上单调递增的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
14．若函数在上单调递增，则实数a的取值范围( )
A． B． C． D．
15．已知函数为减函数，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
16．若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
17．已知函数，若对任意的，且，都有，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
18．若函数单调递增，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
19．函数在上是减函数，则（ ）
A． B．
C． D．
20．若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
21．已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
22．若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
23．已知函数在上为减函数，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
24．若函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
25．若函数在上单调递增，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
26．函数在区间上的最大值是，最小值是，若，则（ ）
A．小于0 B．等于0 C．大于0 D．以上都有可能
27．若函数在区间内单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
28．“函数在上是增函数”是：“实数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
29．已知函数，，，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C．，e） D．
30．已知，若对于且都有成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
31．已知函数在区间上不单调，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
32．1614年纳皮尔在研究天文学的过程中为了简化计算而发明对数；1637年笛卡尔开始使用指数运算；1770年，欧拉发现了指数与对数的互逆关系，指出：对数源于指数，对数的发明先于指数，称为数学史上的珍闻，对数函数与指数函数互为反函数，即对数函数（且）的反函数为（且）．已知函数，，则对于任意的，有恒成立，则实数k的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
33．“”是“函数在 上单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
34．已知函数满足，且在上单调递增，当时，，则m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
35．已知函数在内不是单调函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
36．已知函数在区间，上是单调增函数，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
37．已知函数f(x)＝mx2＋ln x－2x在定义域内是增函数，则实数m的取值范围是（ ）
A．[－1，1] B．[－1，＋∞)
C．[1，＋∞) D．(－∞，1]
二、多选题(共0分)
38．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．是奇函数 B．当时，函数恰有两个零点
C．若为增函数，则 D．当时，函数恰有两个极值点
39．如果函数，那么下列命题为真命题的是（ ）
A．的导函数可能是奇函数
B．若，则是的极小值点
C．直线可能与曲线相切
D．若在上单调递增，则a的取值范围是
40．已知函数.（ ）
A．当时，的极小值点为
B．若在上单调递增，则
C．若在定义域内不单调，则
D．若且曲线在点处的切线与曲线相切，则
41．已知函数，则下列说法正确的有（ ）
A．时， B．在定义域内单调递增时，
C．时，有极值 D．时，的图象存在两条相互垂直的切线
42．设函数，给定下列命题，其中正确的是（ ）
A．若方程有两个不同的实数根，则；
B．若方程恰好只有一个实数根，则；
C．若，总有恒成立，则；
D．若函数有两个极值点，则实数.
43．已知函数．则下列说法正确的是（ ）
A．当时，
B．当时，直线与函数的图像相切
C．若函数在区间上单调递增，则
D．若在区间上恒成立，则
三、填空题(共0分)
44．若函数在R上单调递增，则实数a的取值范围是________．
45．若函数在内是增函数，则实数b的取值范围是_________．
46．若函数在区间上具有单调性，则a的取值范围是________．
47．若函数在上为减函数，则的取值范围为___________.
48．已知对任意不相等的正数都有恒成立，则实数的取值范围为______．
49．若函数在上是减函数，则实数的取值范围为___________.
四、解答题(共0分)
50．已知函数，．
（1）若在定义域内是减函数，求的最小值；
（2）若有两个极值点分别是，，证明：．
51．已知函数.
（1）若在区间上为单调递增函数，求的取值范围；
（2）若，证明：.
52．已知函数.
(1)若在处的切线方程为，求a的值；
(2)对于任意，，且，都有，求实数a的取值范围.
53．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋2x－1.
（1）若函数f(x)在区间[1，3]上单调递增，求实数a的取值范围；
（2）若函数f(x)在区间[－2，－1]上单调递减，求实数a的取值范围.
54．1.已知函数.
(1)若函数在R上单调递增，求实数a的取值范围；
(2)若函数的单调递减区间是，求实数a的值；
(3)若函数在区间上单调递减，求实数a的取值范围.
55．已知函数，，．
(1)若函数在上单调递减，求实数a的取值范围；
(2)若函数存在单调递减区间，求实数a的取值范围．
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
【分析】依据导函数列出关于a的不等式，解之即可得到a的值
【详解】，
∵函数在R上单调递增，
∴在R上恒成立，
∴，且，解得，
故选：A．
2．B
【分析】分析可知有两个不等的零点，设为、且，由题意得出、，利用二次函数的零点分布可得出关于的不等式组，由此可解得实数的取值范围.
【详解】因为，则，
由题意可知，有两个不等的零点，设为、且，
因为函数在、上为增函数，在上为减函数，
则、，所以，，解得.
故选：B.
3．D
【分析】由题意可知对于恒成立，分离转化为最值问题即可求解,
【详解】由，得，
因为在区间上单调递增，
所以对于恒成立，
因为，，
所以对于恒成立，
即对于恒成立，
设，则，
因为在上单调递减，
则，，所以，
综上所述的取值范围为.
故选：D.
4．C
【分析】根据函数单调递增转化为导数不小于0恒成立，分离参数求解即可.
【详解】因为函数在上单调递增，
所以在上恒成立，
即在上恒成立，
由在上单调递增知，，
所以，
故选：C
5．D
【分析】求出函数的导数，判断其正负，确定导函数由最小值，无最大值，由此确定单调递增，得到，求得答案.
【详解】由得：，
令，
当 时，， 递减；
当 时，，递增，
故在 时取得最小值 ，无最大值，
由于为上的单调函数，只能是递增函数，故，
即得，
故选：D
6．D
【分析】利用导数研究函数的单调性，f(x)在内存在单调增区间，等价于在上有有解，然后参变分离即可求解﹒
【详解】∵函数在区间内存在单调递增区间，
∴在区间上有解(成立)，
即在区间上成立，
又函数在上单调递增，
∴函数在上单调递增，
故当时，取最小值，即，
即，得．
故选：D﹒
7．A
【分析】由题意转化为存在，使得，即存在，使得，利用导数求在上的最小值即可.
【详解】因为，所以，
因为在区间上存在单调递减区间，所以存在，使得，
即，令，，则恒成立，
所以在上单调递增，所以，
所以.
故选：A
8．B
【分析】由原不等式恒成立转化为，构造函数，问题转化为在上单调递增，利用导数求解即可得解.
【详解】根据题意由在上恒成立，
不妨设，则可变形为，
设，则函数在上单调递增，
即在上恒成立，
所以，令，因此．
故选：B
9．B
【分析】构造函数，由单调性转化为恒成立问题求解
【详解】，即，
令，由题意得在上单调递增，
即，即在上恒成立
由基本不等式得，当且仅当即时等号成立，则
故选：B
10．A
【分析】求导，函数不单调，解得答案.
【详解】.
因为在上不单调，所以，故.
故答案为A
【点睛】本题考查了函数的单调性，意在考查学生的计算能力.
11．D
【分析】求出函数的导数，问题转化为函数与x轴在上有交点，即求.
【详解】函数的定义域为，，
令，
若在上不单调，则函数与x轴在上有交点，
又，
则，
解得，
故在上不单调的一个充分不必要条件是．
故选：D．
12．A
【分析】由条件转化为恒成立，即可求解.
【详解】恒成立，即，解得：.
故选：A
13．A
【分析】根据题设条件转化为在上恒成立，即在上恒成立，令，利用导数求得单调性和最小值，结合题意，即可求解.
【详解】由函数，可得函数的定义域为，
且，
因为函数在上单调递增，即在上恒成立，
即在上恒成立，即在上恒成立，
令，可得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以，所以，
结合选项，可得时函数在上单调递增的一个充分不必要条件.
故选：A.
14．A
【分析】f(x)在上单调递增，等价于恒成立，据此即可求出a的范围．
【详解】由题可知，恒成立，
故，即．
故选：A﹒
15．C
【分析】由题意得在上恒成立，转化为在上恒成立，然后分和两种情况求解即可
【详解】由，得
（），
因为函数为减函数，
所以在上恒成立，
即在上恒成立，
所以，即，
当时，成立，
当时，的对称轴为，
所以要在上恒成立，只要满足
，解得，
综上，，
故选：C
16．C
【解析】由题意得：在上恒成立，整理可得：在上恒成立直接求解即可.
【详解】由题意可得：
在上恒成立，
整理可得：，
函数在上递减，
所以，
所以，
故选：C.
【点睛】本题考了恒成立问题，考查了转化思想，恒成立问题的一个重要方法是参变分离，属于基础题.
17．B
【分析】将条件转化为可知，原问题等价于函数在区间上单调递增，然后根据导数恒大于等于0，转化为导函数最小值问题，然后可得.
【详解】，所以函数在区间上单调递增.所以当时，恒成立，即恒成立，记，则，当，即时，易知，所以在区间上单调递增，所以，则有，满足题意；当，即时，令，得，时，时，所以当时，有最小值，解，得.综上，k的取值范围为.
故选：B
18．D
【分析】根据函数的单调性，可知其导数在R上恒成立 ，分离参数，即可求得答案.
【详解】由题意可知单调递增，
则在R上恒成立，可得恒成立，
当时，取最小值-1，
故，
故选：D
19．D
【分析】先求解出，然后根据在上恒成立求解出的取值范围.
【详解】∵，
又函数在上是减函数，
∴在上恒成立，∴，
当时，显然成立，当时，且，
∴.
当时，，满足题意．
故选：D.
【点睛】思路点睛：已知函数单调性求解参数范围的步骤:
（1）根据已知函数先求解出；
（2）根据单调性得到或；
（3）采用分离参数或分类讨论的方法求解出参数的取值范围.
20．B
【分析】由分离常数，利用构造函数法，结合导数，求得的取值范围.
【详解】依题意在区间上恒成立，
即在区间上恒成立，
令，
，
在上递增，，
所以.
所以的取值范围是.
故选：B
21．A
【解析】由函数的单调性与导数的关系得出在区间上恒成立，将问题转化为求，即可得出答案.
【详解】在区间上恒成立，则在区间上恒成立
即
故选：A
22．A
【分析】由导数判断单调性求解
【详解】，由题意恒成立，故
解得
故选：A
23．B
【分析】求出导函数，将问题转化为在上恒成立，进而得出，分析不具有单调性，从而可得.
【详解】由题意，得，又在上恒成立，所以.
而当时，恒为0，此时（），不具有单调性，
所以，即实数a的取值范围为.
故选：B
24．C
【分析】求出函数的导函数，根据函数在区间上单调递增，可得在恒成立，从而可得出答案.
【详解】解：，
因为，所以，
因为函数在区间上单调递增，
所以在恒成立，
即在恒成立，
所以，因为，所以，
所以，
故选：C.
25．C
【分析】求出导函数，则题意说明不等式在上恒成立，注意到此时，因此不等式可变形为，从而只要再求得的最大值即可求得的范围．
【详解】解：根据题意，函数，其导数，
若函数在上单调递增，则在上恒成立，
又由，则有，
则 ，
又由，则，即有最大值-1，
若在上恒成立，则，
即的取值范围为，
故选C．
【点睛】本题考查用导数研究函数的单调性，解决不等式恒成立求参数取值范围这类问题的常用方法是分离参数法，转化为求函数的最值．
26．B
【解析】由最大最小相等，可得是常数函数，即可得出结论.
【详解】∵在区间上的最大最小相等，
∴是常数函数，∴，
故选：B.
27．B
【分析】求f(x)的导数，原问题等价于在上恒成立，据此即可求出a的范围.
【详解】∵，∴，
∵x∈时，，
∴若在内单调递减，则在上恒成立，
即得在恒成立，∴.
故选：B.
28．B
【分析】导函数在上大于零恒成立可得的取值范围，进而比较得解.
【详解】在上恒成立，可得，，
所以“函数在上是增函数”是：“实数”的必要不充分条件.
故选：B.
29．D
【分析】由已知得，令，求导，然后分和来研究函数的取值大于零的情况.
【详解】由已知，得，
令，
则，可得，
（1）当时，，在上单调递增，
，成立；
（2）当时，令，则
令，则，
在上单调递增，
①当时，
在上单调递增，
在上单调递增，，成立；
②当时，，，
，
当，在上单调递减，
即在上单调递减，
此时有，在上单调递减，
，矛盾；
综上.
故选：D.
30．D
【分析】根据题意转化为对于且时，都有恒成立，构造函数，转化为时，恒成立，求得 的导数，转化为在上恒成立，即可求解.
【详解】由题意，对于且都有成立，
不妨设，可得恒成立，
即对于且时，都有恒成立，
构造函数，
可转化为，函数为单调递增函数，
所以当时，恒成立，
又由，所以在上恒成立，
即在上恒成立，
又由，所以，
即实数的取值范围为.
故选：D.
31．B
【解析】求出导函数，只要在上有唯一零点即可得．
【详解】由，
①当时函数单调递增，不合题意；
②当时，函数的极值点为，若函数在区间不单调，必有，解得.
故选：B．
32．D
【分析】依据题意构造函数为增函数，并利用导数得到关于实数k的不等式，进而求得实数k的取值范围
【详解】由题意，的反函数．
对于任意的，有，
即，可转化为，
则函数在上单调递增．
设，则在上恒成立
即在上恒成立
又，则，
故选：D．
33．A
【分析】由函数在上单调递增有恒成立，进而转化为不等式恒成立问题，求 的范围，即可判断条件间的充分、必要性.
【详解】若在 上单调递增，则对任意的 恒成立，
∴有对任意的恒成立，即 ，而当且仅当 时等号成立，则.
∴“”是“函数在 上单调递增”的充分不必要条件.
故选：A．
34．A
【分析】由，可得函数图象关于点中心对称，又函数在上单调递增，可得函数在上单调递增，从而有在上恒成立，分离参数转化为最值问题即可求解.
【详解】解：因为函数满足，所以函数图象关于点中心对称，
又函数在上单调递增，所以函数在上单调递增，
因为时，，
所以在上单调递增，
所以在上恒成立，即，
易知在上单调递增，所以，
所以，
所以m的取值范围为，
故选：A.
35．A
【解析】求出，根据已知在存在变号零点，即可求解.
【详解】∵，在内不是单调函数，
故在存在变号零点，即在存在零点，
∴.
故选：A.
【点睛】本题考查函数导数与函数单调性的关系，考查计算求解能力，属于基础题.
36．D
【分析】由题意得到在，恒成立，利用分离参数法和基本不等式即可求出实数的取值范围.
【详解】解：在区间，上是单调增函数，
当，时，恒成立，
，
又（当且仅当时取等号），即，
.
故选：D．
37．C
【分析】求导在上恒成立，分离参数得，再求解的最大值即可得结果．
【详解】函数f(x)＝mx2＋ln x－2x在定义域内是增函数，定义域为
故在上恒成立，则
令，因为
则当，即时，函数g(x)取最大值1，故m≥1．
故选：C
【点睛】方法点睛：已知不等式能恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法：
（1）函数法：讨论参数范围，借助函数单调性求解；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域或最值问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解．
38．ACD
【解析】利用函数奇偶性的定义可判断A选项的正误；利用导数分析函数的单调性，可判断B选项的正误；利用导数与函数单调性的关系可判断C选项的正误；利用导数以及零点存在定理可判断D选项的正误.
【详解】对于A选项，函数的定义域为，
，函数为奇函数，A选项正确；
对于B选项，当时，，则，
所以，函数在上为增函数，又，所以，函数有且只有一个零点，B选项错误；
对于C选项，，
由于函数为增函数，则对任意的恒成立，即.
令，则，则，
所以，函数在上为增函数，
当时，，此时，函数为减函数；
当时，，此时，函数为增函数.
所以，，，C选项正确；
对于D选项，当时，，则.
由B选项可知，函数在上单调递减，在上单调递增，
，，
由零点存在定理可知，函数在和上都存在一个零点，
因此，当时，函数有两个极值点，D选项正确.
故选：ACD.
【点睛】结论点睛：利用函数的单调性求参数，可按照以下原则进行：
（1）函数在区间上单调递增在区间上恒成立；
（2）函数在区间上单调递减在区间上恒成立；
（3）函数在区间上不单调在区间上存在极值点；
（4）函数在区间上存在单调递增区间，使得成立；
（5）函数在区间上存在单调递减区间，使得成立.
39．ACD
【解析】举例可判断A；由，求出及极值可判断B；设直线与曲线相切于点，利用已知切线求出从而，可判断C；转化为对恒成立，可以判断D.
【详解】若，则是奇函数，所以A为真命题；
若，则，由得或，得，
则是的极大值点，是的极小值点，所以B为假命题；
，若直线与曲线相切于点，
则，则，又，代入，
整理得，解得或，从而或，
曲线存在，所以C是真命题；
若在上单调递增，则对恒成立，
则对恒成立，则，所以D为真命题.
故选：ACD.
【点睛】本题考查了利用导数判断函数的单调性、极值和恒成立的问题，对于恒成立的问题，可以参变分离构造新函数再求新函数的值域，本题综合性较强，考查了学生分析问题、解决问题的能力.
40．BC
【分析】A选项用极值点的概念进行判断，B选项由利用分离常数法来判断，C选项结合以及对进行分类讨论来进行判断，D选项通过曲线在点处的切线方程求得来进行判断.
【详解】的定义域为，
.
根据极值点定义可知，极小值点不是坐标，A错误；
由得，
因为，所以，B 正确；
因为，
当时，恒成立，当时，不恒成立，函数不单调，C正确；
，，
所以，，
所以切线方程为，即，
设切点横坐标为，则，
故，切点，代入得，D错误.
故选：BC
【点睛】与单调性有关的恒成立问题，可利用分离常数法来进行求解.
41．ABD
【分析】对函数求导得，A代入自变量求参数值即可；B由在上恒成立，求范围即可；C判断时的符号即可；D利用导数研究的单调性及值域，判断定义域内是否存在即可.
【详解】由题设，函数定义域为，且，
A：，则，正确；
B：在定义域上递增，即在上恒成立，只需，而在上的最大值为，故，正确；
C：由B分析知：当时恒成立，此时无极值，错误；
D：令，则，当时，递减；当时，递增；又，
故，趋向于0或正无穷时都趋向于正无穷，
所以上各有一个零点，故上，上，故必存在，即存在两条相互垂直的切线，正确.
故选：ABD
42．AD
【分析】利用函数的导数判断函数的单调性以及函数的极值，即可判断选项A，判断不是方程的根，当时，，将问题转化为两个图象只有一个交点，再利用导数进行分析，即可判断选项B，根据已知的不等式判断出函数的单调性，再利用函数的导数求出，即可判断选项C，利用导数的符号列出不等式求解即可判断选项D．
【详解】因为，
所以的定义域为，
则，
令，解得，
可知在上单调递减，在上单调递增，
所以，
当时，，又（1），
从而要使得方程有两个不同的实根，即与的图象有两个不同的交点，
所以，故选项A正确；
因为不是方程的根，
当时，，
方程有且只有一个实数根，等价于与只有一个交点，
，又且，
令，即，有，知在和单调递减，在上单调递增，
是一条渐近线，极小值为．
由大致图象可知或，故选项B错误；
当时，恒成立等价于恒成立，
即函数在上为增函数，
即恒成立，即在上恒成立，
令，则，
令得，解得，
从而在上单调递增，在上单调递减，
则（1），
所以，故选项C错误；
函数有两个极值点，等价于有两个不同的正根，
即方程有两个不同的正根，由选项C可知，，
即，故选项D正确．
故选：AD
【点睛】方法点睛：常用数形结合的思想解决方程根的个数问题或者函数的零点问题，准确的画出图象是解题的关键.
43．ABD
【分析】对于A：当时，，求导函数，分析导函数的符号，得出函数的单调性，从而求得函数的最小值；
对于B：当时，，求导函数，设切点为，则过切点的切线方程为：，由切线过原点，求得，继而求得过原点的切线方程；
对于C：问题等价于在区间上恒成立，分离参数得在区间上恒成立，令，求导函数，分析导函数的符号，得函数的单调性和最值，由此可判断；
对于D：问题等价于在区间上恒成立，时，不等式恒成立；当时，分离参数，令，求导函数，分析的符号，得函数的单调性和最值，由此可判断.
【详解】解：对于A：当时，，则，令，得，
所以当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，
所以，所以，故A正确；
对于B：当时，，则，
设切点为，则过切点的切线方程为：，因为切线过原点，
所以，解得，此时，所以直线与函数的图像相切，故B正确；
对于C：由函数得，
因为函数在区间上单调递增，所以在区间上恒成立，即在区间上恒成立，
令，则，又令，所以，，函数单调递减，
所以，所以，故C不正确；
对于D：在区间上恒成立，等价于在区间上恒成立，
当时，不等式恒成立；
当时，恒成立，令，则，令，得，
因为，，函数单调递减，
所以，所以，故D正确；
故选：ABD.
44．
【分析】求出函数的导函数，依题意在上恒成立，则，即可得到不等式，解得即可；
【详解】解：因为，所以在上恒成立，即，解得，故实数的取值范围是．
故答案为：
45．
【解析】由题意得在内恒成立，分离参数即得解.
【详解】由题意得在内恒成立，
即在内恒成立，
所以．
故答案为：
【点睛】结论点睛：一般地，函数在某个区间可导，在这个区间是增函数≥0，一般地，函数在某个区间可导，在这个区间是减函数≤0
46．
【分析】对函数求导，将函数在区间上具有单调性，转化为在区间恒大于0，或恒小于0，进而求出a的取值范围
【详解】，函数在区间上具有单调性等价于或在上恒成立，
则或，设，
当时，取得最大值，，当时，取得最小值，
所以或．
故答案为：
47．
【分析】将问题转化为导函数在上恒小于零，从而根据恒成立思想求解出的取值范围.
【详解】由题意可知，即对恒成立，
所以，所以即.
故答案为：.
【点睛】本题考查根据函数的单调性求解参数范围，难度一般.已知函数为指定区间的单调增(或减)函数，则在指定区间上恒成立.
48．
【分析】首先由，不妨设可得，故构造函数，利用在恒成立即可得解.
【详解】由，不妨设，
由可得，
即，
根据单调性的定义可得在为增函数，
所以在恒成立，
所以在恒成立，
所以，.
故答案为：.
49．
【分析】先求导，根据题意在上恒成立，整理得在上恒成立，即求.
【详解】由知，
,
∵函数在上是减函数，
，又，
∴，即在上恒成立，
而，，
．
故答案为：．
50．（1）；（2）证明见解析．
【分析】（1）利用函数在定义域内是减函数等价于在上恒成立，参变分离后，即可求的最小值；
（2）令，利用导数可求得的单调性；令，可求得，得到单调递增，可得，置换为，由在上的单调性可得自变量的大小关系，从而证得结论.
【详解】（1）定义域为，，
在定义域内是减函数，在上恒成立，
即，，
令，则，令，解得：，
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，
，，解得：，
的最小值为.
（2）由（1）知：若有两个极值点，则；
令，则，
令，解得：，
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，
不妨设，则；
令，
则，
在上单调递增，，
，即，
又，，
，，
又，在上单调递增，
，即.
【点睛】方法点睛：本题考查导数中的极值点偏移问题，处理类似于（为的两根）的问题的基本步骤如下：
①求导确定的单调性，得到的范围；
②构造函数，求导后可得恒正或恒负；
③得到与的大小关系后，将置换为；
④根据与所处的范围，结合的单调性，可得到与的大小关系，由此证得结论.
51．（1）；（2）证明见解析.
【分析】（1）将问题转化为在上恒成立，利用分离变量法可得，利用导数可求得的最小值，由此可得；
（2）将所证不等式转化为，令，求导后，结合零点存在定理和的正负可确定最小值点，从而得到，由的范围可知所证不等式成立.
【详解】（1），
若在区间上为单调递增函数，则在上恒成立，
即在上恒成立.
令函数，则，
当时，，在上为单调递减函数，
，.
即的取值范围为.
（2）当时，欲证，即证明：.
令，则，
设，则为增函数，又，，存在，使得.
，，
当时，；当时，；
在区间上是单调递减函数，在区间上是单调递增函数；
，
，则，；
；
，，，则.
【点睛】关键点点睛：本题考查导数在函数中的应用，涉及到根据函数在区间内的单调性求解参数范围、不等式的证明；证明不等式的关键是能够将问题转化为函数最值的求解问题，通过导数求得函数最值，结合参数范围可证得结论.
52．(1)2
(2)
【分析】（1）求出，再根据计算可得答案；
（2）将条件变形可得在上是增函数，记，求出，有恒成立，转化为最值求解即可.
(1)
由已知，且，
由，可得，
∴
(2)
由已知可得，当时，有恒成立，
即在上是增函数.
记，则，
∴在上恒成立，即在上恒成立.
∵时，有，当时，，
由在上恒成立，得，即，
即实数a的取值范围为.
53．（1）a≥－；（2）a≥.
【分析】（1）转化为f′(x)≥0在[1，3]上恒成立，参变分离可得a≥，令 g(x)＝，只需使得，求导分析单调性，即得解；
（2）转化为f′(x)≤0在[－2，－1]上恒成立，参变分离即得解.
【详解】（1）由f(x)＝x3＋ax2＋2x－1，得f′(x)＝3x2＋2ax＋2.
因为函数f(x)在区间[1，3]上单调递增，所以f′(x)≥0在[1，3]上恒成立.
即a≥在[1，3]上恒成立.
令g(x)＝，则g′(x)＝，
当x∈[1，3]时，g′(x)<0，所以g(x)在[1，3]上单调递减，
所以g(x)max＝g（1）＝－，所以a≥－.
（2）因为函数f(x)在区间[－2，－1]上单调递减，
所以f′(x)≤0在[－2，－1]上恒成立，即a≥在[－2，－1]上恒成立，
由（1）易知，g(x)＝在[－2，－1]上单调递减，
所以a≥g(－2)，即a≥
54．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）求出导函数，进而转化为导数恒大于等于0，然后求出a的范围；
（2）根据题意，-1和1应该是导函数的零点，进而解出答案；
（3）由题意，导函数在区间上恒小于等于0，进而解得答案.
（1）
易知.
因为在R上单调递增，所以恒成立，即恒成立，
故.
经检验，当时，符合题意，故实数a的取值范围是.
（2）
由（1），得.
因为的单调递减区间是，所以不等式的解集为，
所以-1和1是方程的两个实根，所以.
（3）
由（1），得.
因为函数在区间上单调递减，所以在上恒成立，
即在上恒成立.
又函数在上的值域为，所以.
故实数a的取值范围是.
55．(1)
(2)
【分析】（1）由在上单调递减，得到恒成立，用分离参数法求出实数a的取值范围；
（2）由在上存在单调递减区间，得到有解，用分离参数法求出实数a的取值范围．
(1)
因为在上单调递减，所以当时，恒成立，即恒成立，令，则，而．
因为，所以．所以（此时），所以．
当时，．
因为，所以，即在上为减函数，又，所以实数a的取值范围是．
(2)
因为，，所以．
因为在上存在单调递减区间，所以当时，有解，即有解．
设，所以只要即可，而，所以，所以．
又，所以或．所以实数a的取值范围为．

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