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【题型突破】2023年高考数学一轮之考点微综合（新人教A版2019）
利用导数求函数的单调区间（不含参）
【考点梳理】
1、利用导数研究函数单调性的方法：
（1）确定函数的定义域；求导函数，由（或）解出相应的的范围，对应的区间为的增区间（或减区间）；
（2）确定函数的定义域；求导函数，解方程，利用的根将函数的定义域分为若干个子区间，在这些子区间上讨论的正负，由符号确定在子区间上的单调性.
2、函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.
3、涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用导数探求函数单调性、最值是解决问题的关键.
【题型归纳】
一、求函数的单调区间（不含参）
1．函数的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
2．已知函数f(x)满足，则f(x)的单调递减区间为（ ）
A．(-,0) B．(1,+∞) C．(-,1) D．(0,+∞)
3．函数的单调增区间是___________.
二、比较大小
4．已知函数，设，，，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数，且，，，则（ ）.
A． B．
C． D．
6．已知a，，满足，则下列错误的是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知，，（为自然对数的底数），则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
8．设，，，则（ ）
A． B． C． D．
9．已知，，，则（ ）
A． B．
C． D．
10．若则（ ）
A． B．
C． D．
三、解抽象不等式
11．已知函数，不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
12．已知是定义在R上的偶函数，是的导函数，当时，，且，则的解集是（ ）
A． B．
C． D．
13．已知函数的导函数为，若对任意的，都有，且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
14．定义在上的函数的导函数满足，则必有（ ）
A． B．
C． D．
15．已知是定义在上的奇函数，是的导函数，当时，，且，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
16．设函数是奇函数的导函数．，当时，，则使得成立的的取值范围为______．
四、图象的识别
17．函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
18．函数的图象大致为（ ）
A．B．C．D．
五、与零点相结合
19．已知函数，若有三个不同的零点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【巩固训练】
一、单选题
20．函数的单调递减区间为（ ）
A． B．
C． D．
21．已知，，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
22．函数的单调减区间是（ ）
A． B．
C．和 D．
23．已知函数，则的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
24．已知在区间上有极值点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
25．函数在上的最小值为（ ）
A． B． C．-1 D．
26．函数的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
27．已知函数，则函数的单调递增区间为（ ）
A． B．，
C． D．
28．函数，的图象与直线分别交于两点，则的最小值为（ ）
A．1 B． C．3 D．2
29．函数在区间上有最大值，则m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
30．对于函数，以下判断正确的是（ ）
A．无极大值无极小值 B．在是增函数
C．有两个不同的零点 D．其图象在点处的切线的斜率为0
31．已知为常数，在某个相同的闭区间上，若为单调递增函数，为单调递减函数，则称此区间为函数的“”区间.若函数，则此函数的“”区间为（ ）
A． B．
C． D．
32．若对任意的，且，则m的最小值是（ ）
A． B． C． D．
33．已知函数，若恒成立，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
34．设分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x>0时，，且g（2）=0，则不等式f（x）g（x）<0的解集是（ ）
A．（-2，0）∪（2，+∞） B．（-2，0）∪（0，2）
C．（-∞，-2）∪（0，2） D．（-∞，-2）∪（2，+∞）
35．若函数在上有最大值，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
36．若函数的极大值为2，则的单调递减区间为（ ）
A． B．
C． D．和
37．已知设其中为自然对数的底数，则（ ）
A． B． C． D．
38．已知，，，其中，，，则（ ）
A． B． C． D．
39．已知函数，则（ ）
A．的单调递减区间为 B．的极小值点为1
C．的极大值为 D．的最小值为
40．关于的不等式恒成立的一个必要不充分条件是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
41．对函数进行研究后，得出以下结论，其中正确的有（ ）
A．函数的图象关于y轴对称
B．
C．函数的图象与轴有无穷多个交点，且每相邻两交点间距离相等
D．对任意常数，存在常数，使函数在上单调递减，且
42．对于函数和，则下列结论中正确的为（ ）
A．设的定义域为，的定义域为，则．
B．函数的图像在处的切线斜率为0．
C．函数的单调减区间是，．
D．函数的图像关于点对称．
43．对于函数，下列说法正确的是（ ）
A．在处取得最小值 B．
C．有两个不同的零点 D．对任，函数有三个零点
44．已知函数，则（ ）
A．的递增区间为 B．极大值为
C．的极大值点为 D．
45．设函数，，下列命题，正确的是（ ）
A．函数在上单调递增，在单调递减
B．不等关系成立
C．若时，总有恒成立，则
D．若函数有两个极值点，则实数
46．对于函数，下列选项正确的是（ ）
A．函数极小值为，极大值为
B．函数单调递减区间为，单调递增区为
C．函数最小值为为，最大值
D．函数存在两个零点1和
三、填空题
47．设奇函数的导函数是，且，当时，，则不等式的解集为______．
48．函数的单调递增区间是________.
49．已知函数，若函数恰有4个不同的零点，则a的取值范围为____________．
四、解答题
50．已知函数.
(1)当时，求函数的单调区间和极值；
(2)若函数在区间上单调递增，求实数a的取值范围.
51．已知函数，其中是自然对数的底数.
(1)当时，求函数的导函数的单调区间；
(2)若函数有两个不同极值点，且；
（i）求实数的取值范围；
（ii）证明：.
52．已知且，函数．
（1）当时，求的单调区间；
（2）若曲线与直线有且仅有两个交点，求a的取值范围．
53．已知函数，其中e为自然对数的底数.
（1）若=0，求函数的单调区间；
（2）若，证明＞0时，＜
54．已知函数.
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)若函数在其定义域上是增函数，求实数的取值范围.
55．已知函数．
（I）若是的极值点，求的单调区间；
（II）求a的范围，使得恒成立．
试卷第1页，共3页
参考答案
1．B
【分析】求导，解不等式可得.
【详解】的定义域为
解不等式，可得，
故函数的递减区间为.
故选：B．
2．A
【分析】对求导得到关于、的方程求出它们的值，代入原解析式，根据求单调减区间.
【详解】由题设，则，可得，
而，则，
所以，即，则且递增，
当时，即递减，故递减区间为(-,0).
故选：A
3．##
【分析】首先对求导，可得，令，解可得答案．
【详解】解：
由得，
故的单调递增区间是.
故答案为：
4．A
【分析】首先根据题意得到是偶函数，利用导数得到在上，单调递增，再根据单调性比较大小即可.
【详解】，定义域为，
，所以是偶函数，
，令，则，
所以在上单调递增，，
即在上，单调递增，
因为，，
所以，即，
故选：A
5．B
【分析】利用导数的性质判断函数的单调性，结合函数的单调性进行判断即可.
【详解】由，
当时，单调递减，
因为，所以，
因为，所以，故，
故选：B
【点睛】关键点睛：得到是解题的关键.
6．C
【分析】根据基本不等式可判断A;判断a，，将化为,构造函数，利用导数判断B; 当时，，可判断C;利用柯西不等式判断D.
【详解】A，由，得，当时等号成立，正确；
B，,故，故a，，
由，得且a，，
令且，则，递减，
所以，，即成立，正确；
C，当时，，错误；
D，，当且仅当时等号成立，正确，
故选：C
7．A
【分析】构造函数，根据导数判断函数的单调性即可得结果.
【详解】令，，所以，
当时，，函数单调递减
当时，，函数单调递增；
所以，，，
所以，
故选：A.
8．D
【分析】设，利用导数求得函数单调性，得到，得出，进而求得，，再由，求得，得到，即可求解.
【详解】设，可得，令，解得，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
所以，即，
则，，所以最小，
又由，因为，所以，所以，
综上可得：.
故选：D.
9．D
【分析】构造函数以及函数，分别利用导数研究其单调性，进而根据单调性比较函数值的大小.
【详解】令，，
当时，，，，单调递增，
，即，，即，
令，
，
令，
令，，
当时，，单调递增，
在上单调递减，，
，在上单调递减，
，即，
综上：.
故选：D.
10．A
【解析】构造函数，求导，得出函数的单调性，从而得，再由已知得，两边取自然对数可得选项．
【详解】由函数，，
所以时，，函数 单调递增，时，，函数 单调递减，
又，与，所以将不等式两边取自然对数得，
故选：A．
【点睛】本题考查构造函数，研究其单调性，得出代数式的大小关系，属于较难题．
11．B
【分析】求出函数的导函数，即可得到函数的单调性，根据函数的单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可；
【详解】解：因为，所以，所以在上单调递减，
则等价于，解得，即原不等式的解集为.
故选：B.
12．B
【分析】构造函数，根据题意可得函数是偶函数，，且函数在上递增，不等式即为不等式，根据函数得单调性即可得出答案.
【详解】解：令，
因为是定义在R上的偶函数，
所以，
则，
所以函数也是偶函数，
，
因为当时，，
所以当时，，
所以函数在上递增，
不等式即为不等式，
由，得，
所以，
所以，解得或，
所以的解集是.
故选：B.
13．C
【分析】设函数，根据题意可判断在上单调递减，再求出，不等式整理得，所以，利用单调性解抽象不等式即可.
【详解】设函数，
所以，因为，
所以，即，所以在上单调递减，因为，
所以，因为，整理得，
所以，因为在上单调递减，所以.
故选：C.
【点睛】函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.
14．D
【分析】构造函数，，利用导数判断函数在上单调递减，根据单调性即可判断出选项.
【详解】由，得.
设，，则，
故在上单调递减，
则，
则，，
但由于，，，的正负不确定，
所以，都未必成立.
故选：D
15．B
【分析】令，根据题意可得函数在上递增，从而可得出函数在上的符号分布，从而可得函数在上的符号分布，再结合是定义在上的奇函数，即可得出函数在上的符号分布，从而可得出答案.
【详解】令，
则，
所以函数在上递增，
又因，
所以当时，，
当时，，
又因当时，，当时，，
所以当时，，当时，，
又因为，所以当时，，
因为是定义在上的奇函数，
所以，当时，，
由不等式，
得或，
解得，
所以不等式的解集是.
故选：B.
16．
【分析】构造函数，求解单调性与奇偶性，再结合的正负求解.
【详解】令，当时，，
所以函数在上为减函数，
又因为为奇函数，的定义域为，
所以，
所以为偶函数，得在上为增函数，
因为，所以，
作出的大致图象如图所示，
当时，，得，
当时，，得
所以的取值范围为
故答案为：
【点睛】根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧，许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.
17．A
【分析】由函数有两个零点排除选项C，D；再借助导数探讨函数的单调性与极值情况即可判断作答.
【详解】由得，或，选项C，D不满足；
由求导得，当或时，，当时，，
于是得在和上都单调递增，在上单调递减，在处取极大值，在处取极小值，B不满足，A满足.
故选：A
18．B
【分析】通过研究函数奇偶性以及单调性，以及由排除不正确的选项，从而得出答案..
【详解】详解：为奇函数，排除A,
，故排除D.
，
当时，，所以在单调递增，所以排除C；
故选：B.
19．C
【分析】当时，求得，求得函数的单调性，得到且，把有三个不同的零点，转化为函数和的图象有三个公共点，结合图象，即可求解.
【详解】由题意，当时，，可得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以且，
当时，可得，
所以函数的图象如图所示，
又由有三个不同的零点，即函数和的图象有三个公共点，
结合图象，可得实数的取值范围.
故选：C.
20．A
【分析】先求导数，令求解不等式可得答案.
【详解】由题可知，由，解得.
所以单调递减区间为.
故选：A.
21．D
【分析】当时，，据此可得，当时，，求出导函数，分析可得在上为增函数，由此可得，进而可得答案．
【详解】解：根据题意，，
当时，，又，所以，
当时，，导函数，所以在上为增函数，
又，则当时，；
因为，所以，
综上，，
故选：D．
【点睛】关键点点睛：当时，利用导数判断函数的单调性，进而利用单调性比较函数值大小是本题解题的关键.
22．B
【分析】根据函数求导，然后由求解.
【详解】因为函数，
所以，
由，解得，
所以函数的单调递减区间是，
故选：B
23．B
【分析】利用导数研究的单调递减区间.
【详解】由题设，，又定义域为，
令，则，解得，故，
∴在上递减.
故选：B.
24．D
【分析】函数在某区间有极值点，即是导数在那个区间上有解.求出，令，然后分离出参数 ，构造新函数，再由导函数分析其单调性，求函数在区间的值域，但当时，在仅有一根，且在其左右两边同号，此时无极值点，故应舍去.
【详解】由题知，
因为在区间上有极值点，
所以在区间上有解，则，
解得，令，
，令得，
则在单调递增，单调递减，
且，
则当时，，
当时，在仅有一根，
且在其左右两边，此时无极值点，故应舍去.
即.
故选：D.
【点睛】易错点点睛：本题易错点有两个，一是函数在区间有零点与区间端点函数值异号不等价，不知道是几个解，容易错选B选项；二是函数在区间上有极值点与导函数在上有解并不等价，还应考虑是变号的解，容易错选C选项.
25．D
【分析】求出函数的导函数，根据导数的符号求出函数的单调区间，再根据函数的单调性即可得出答案.
【详解】解：因为，所以，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
故.
故选：D.
26．D
【分析】根据函数的单调性与导数的关系即可求解.
【详解】解：函数的定义域是，，
令，解得，
所以函数在上单调递减．
故选：D．
27．C
【分析】判断定义域，求导函数，分析的解，从而得单调递增区间.
【详解】定义域为，，
解得，当时，，
所以的单调递增区间为.
故选：C
28．C
【分析】根据题意设，根据和得到，结合导数知识求解即可.
【详解】设，则
所以，，
所以，
令，得，此时单调递减，
令，得，此时单调递增，
所以，
则，则.
故选：C
29．D
【分析】首先利用导数求出函数的单调区间，即可得到函数的极值点，依题意因为所给区间为开区间，所以最值只能在极大值点处取得，再求出极大值，求出临界点，即可求出参数的取值范围．
【详解】解：因为，所以，
所以当或时，当时，
所以在，上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得极大值，在处取得极小值，因为在上有最大值，
所以极大值点，
又，当时，即，解得或，
所以，
故选：D．
30．B
【分析】求函数的导数，结合函数单调性，极值，函数零点的性质分别进行判断即可．
【详解】函数定义域为，
，令，则，故D错误；
当时，，函数为减函数，
当时，，函数为增函数，故B正确；
当时，函数取得极大值，极大值为（），故A错误，
作出函数的图象，可知C错误.
故选：B
31．C
【分析】求出函数的导函数，根据单调性转化为不等式组求解的问题.
【详解】对于函数，
对于函数，
则此函数的“”区间满足：
，即，
∴
故选：C
32．B
【分析】根据已知条件，构造函数，利用导数求其单调区间，再结合题意即可求得的最小值.
【详解】因为，故可得，
即，，
令，则上式等价于，又，
根据题意，在单调递减；
又，令，解得，即的单调减区间为，
要满足题意，只需，即的最小值为.
故选：B.
33．A
【分析】由已知条件，等价变形不等式，构造函数，利用其单调性在时建立恒成立的不等式，再分析 的情况作答.
【详解】依题意，，，
令，求导得：，时，，即在上单调递增，
当时，，，
若，有，于是得，，
令，求导得，则在上单调递增，
，，因此，，
当时，，，符合题意，则，
所以a的取值范围是.
故选：A
【点睛】关键点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用导数探求函数单调性、最值是解决问题的关键.
34．A
【分析】构造函数，结合已知条件求得的奇偶性、单调区间，由此解不等式求得正确答案.
【详解】令，
由于分别是定义在R上的奇函数和偶函数，
所以，
所以是上的奇函数，图象关于原点对称，.
当时，
所以在上递减，故在递减，
所以的解集为.
故选：A
35．D
【分析】求出函数的导数,解关于导函数的不等式求出函数的单调区间,然后求出函数的极大值,结合函数的单调性以及区间得到关于a的不等式，解出即可.
【详解】由，
令得，令可得或，
所以函数在和上单调递增，在上单调递减，
所以当时，有极大值，
令解得或
而函数在开区间上有最大值，故最大值即为极大值，
所以且，解得.
故选：D
36．B
【分析】由导数分析单调性，根据极值列方程解出后求解
【详解】，
可得在和上单调递增，在上单调递减
有极大值为，解得，
故的单调递减区间为，
故选：B
37．B
【分析】将原不等式移项合并，利用放缩法判断的大小关系；构造函数利用导数法求出最大值，确定最大值与的大小关系即可判断.
【详解】
,,
令，则，
当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减；
时取，，，，，
又,
而，，.
综上所述：
故选：B
38．C
【分析】先令函数，求导判断函数的单调性，并作出函数的图像，由函数的单调性判断，再由对称性可得.
【详解】由，则，同理，，
令，则，当；当，∴在上单调递减，单调递增，所以，即可得，又，，
由图的对称性可知，.
故选：C
39．C
【分析】对函数求导，即可得到的单调区间与极值点，即可判断．
【详解】解：因为，所以，令，则，
所以在上单调递减，
因为，所以当时，，即；当时，，即，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为，
故的极大值点为1，，即，不存在最小值．
故选：C．
40．D
【分析】按a值正负等价变形不等式，求出不等式恒成立的充要条件，再结合充分条件、必要条件的定义判断作答.
【详解】当时，，
令，显然在R上单调递增，则当时，，
依题意，，成立，
令，求导得：，
当时，，当时，，则在上单调递增，在上单调递减，
当时，，于是得，解得，
当时，，
令，依题意当时，恒成立，
而，则在上单调递减，在上单调递增，
令，显然上单调递增，其值域是R，
则与不存在绝对大小关系，并且可能都比0大，可能都比0小，也可能分居在0的两侧，
若，则，与当时，恒成立矛盾，
综上得：不等式恒成立等价于，显然，
所以不等式恒成立的一个必要不充分条件是.
故选：D
【点睛】关键点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用导数探求函数单调性、最值是解决问题的关键.
41．ABD
【分析】由函数奇偶性定义判断可知A正确；构造函数，求导判断单调性，进而求得最值可判断B；由的图象与轴的交点坐标为且可判断C；求导分析时成立的情况，即可判断选项D，进而可得正确选项.
【详解】对于A：因为函数的定义域为，
所以为偶函数，图象关于轴对称，故选项A正确；
对于B：由A知为偶函数，当时，，
若即只需证，
令，，
因为，所以，
所以在上单调递增，所以，
即，所以恒成立，故选项B正确；
对于C：令，可得，所以函数的图象与轴的交点坐标为且，交点与间的距离为，而其余任意相邻两点之间的距离为. 故选项C错误；
对于D：，
即，即，
当时，，，
区间长度为，所以对于任意常数，存在常数，，使在上单调递减且，故选项D正确；
故选：ABD.
【点睛】方法点睛：利用导数研究函数单调性的方法：
（1）确定函数的定义域；求导函数，由（或）解出相应的的范围，对应的区间为的增区间（或减区间）；
（2）确定函数的定义域；求导函数，解方程，利用的根将函数的定义域分为若干个子区间，在这些子区间上讨论的正负，由符号确定在子区间上的单调性.
42．ACD
【分析】利用导数来研究函数的切线斜率以及单调性问题，利用函数的概念以及性质
来研究定义域与对称性问题.
【详解】因为，所以，即，
解得，因为，
所以，解得.所以.故A正确；
因为，所以，
所以，所以的图像在
处的切线斜率为-1，故B错误；
因为，定义域为：
，所以，
由有：，所以函数的单调
递减区间是，，故C正确；
当时，
.
所以函数的图像关于点对称，故D正确.
故选：ACD.
43．ABD
【分析】对于A：求导求单调性即可判断；对于B：根据函数在单调递减，所以，即可判断；对于C：令即可判断；对于D：易知不论为何值，必为一个零点，只需判断当时，有两个零点即可，求导求单调性，再数形结合即可判断.
【详解】根据题意，，令，解得；
令，解得和；所以函数在单调递增，
在和单调递减；所以函数的极小值为，极大值为；
对于A：当时，，当时，恒成立，
所以函数的极小值即为函数的最小值，所以在处取得最小值，故A正确；
对于B：因为函数在单调递减，所以，即，即
所以，故B正确；
对于C：因为恒成立，所以令，即，解得，
故函数只有一个零点，故C不正确；
对于D：令，即在有三个零点，
易知不论为何值，必为其中一个零点，所以在时，只需有两个零点即可，
令，即函数与有两个不同交点即可，，
令，解得，令，解得或，所以在单调递增，
在和单调递减，所以函数的极大值也是最大值为：，
画出图像如下图所示：由图可知，当时，函数与有两个不同交点，
综上可知，对任，函数有三个零点，故D正确.
故选：ABD.
【点睛】函数零点的求解与判断方法：
（1）直接求零点：令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
（2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．
（3）利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
44．BD
【分析】利用导数，结合列表法判断出的单调区间、极值、最值，对A、B、C直接判断；
对于D：利用的单调性直接比较大小.
【详解】函数的定义域为，.
令，解得：.列表：
x
+ 0 -
单增 极大值，也是最大值 单减
对于A：的递增区间为.故A错误；
对于B：由上表可知，极大值为.故B正确；
对于C：的极大值点为，故C错误；
对于D：因为的递增区间为且，所以成立.故D正确.
故选：BD
45．AC
【分析】利用函数的单调性与导数的关系可判断A选项的正误；由函数在区间上的单调性比较、的大小关系，可判断B选项的正误；分析得出函数在上为减函数，利用导数与函数单调性的关系求出的取值范围，可判断C选项的正误；分析出方程在上有两个根，数形结合求出的取值范围，可判断D选项的正误.
【详解】对于A选项，函数的定义域为，则.
由，可得，由，可得.
所以，函数在上单调递增，在单调递减，A选项正确；
对于B选项，由于函数在区间上单调递减，且，
所以，，即，又，
所以，，整理可得，B选项错误；
对于C选项，若时，总有恒成立，
可得，构造函数，
则，即函数为上的减函数，
对任意的恒成立，
即对任意的恒成立，
令，其中，.
当时，，此时函数单调递增；
当时，，此时函数单调递减.
所以，，，C选项正确；
对于D选项，，则，
由于函数有两个极值点，令，可得，
则函数与函数在区间上的图象有两个交点，
当时，，如下图所示：
当时，即当时，函数与函数在区间上的图象有两个交点.
所以，实数的取值范围是，D选项错误.
故选：AC.
【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：
（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；
（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；
（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.
46．AD
【分析】先求得的奇偶性，当时，利用导数求得的单调区间和极值，即可判断A、B、C的正误；令，可得零点，即可判断D的正误，即可得答案.
【详解】的定义域为，
所以，
所以为奇函数，
当时，，，
令，解得，
当时，，则为单调递增函数，
当时，，则为单调递减函数，
因为为奇函数，图象关于原点对称，
所以在上单调递减，在是单调递增，
所以的极小值为，极大值为，故A正确；
的单调递减区间为，单调递增区为，故B错误；
在无最值，故C错误；
令，解得，结合的单调性可得，存在两个零点1和，故D正确.
故选：AD
47．
【分析】设，利用导数求得在为单调递减函数，进而得到函数为奇函数，且在为单调递减函数，结合函数的单调性，即可求解.
【详解】设，可得，
因为当时，，可得，
所以在为单调递减函数，
又因为函数为奇函数，且，可得，
则满足，所以函数也为奇函数，
所以在为单调递减函数，且，
当时，由，即，即，可得；
当时，由，即，即，可得；
所以不等式的解集为.
故答案为：.
48．
【解析】求出函数的导数，令即可求出.
【详解】，，
令，即，解得，
的单调递增区间是.
故答案为：.
49．
【分析】由分段函数结合导数求出值域，令，结合图象特征采用数形结合法可求a的取值范围.
【详解】，
当时，，函数为减函数；
当时，，，和时，单增，时，单减，，，
故的图象大致为：
令，则，
，
当时，，，无零点；
当时，，，无零点；
当时，，，，则，
要使恰有4个不同的零点，则，
即.
故答案为：
50．(1)减区间为，增区间为，极小值为，无极大值
(2)
【分析】（1）先求导，从而得到单调区间，根据单调性可得极值；
（2）由条件可知恒成立，再分离变量求最值即可求解.
（1）函数的定义域为，当时，求导得，整理得：.由得；由得从而，函数减区间为，增区间为 所以函数极小值为，无极大值.
（2）由已知时，恒成立，即恒成立，即恒成立，则.令函数，由知在单调递增，从而.经检验知，当时，函数不是常函数，所以a的取值范围是.
51．(1)在单调递减，在单调递增
(2)（i）；（ii）证明见解析
【分析】（1）运用导数的性质进行求解判断即可；
（2）（i）常变量分离，构造函数，利用导数的性质进行求解即可；
（ii）运用构造新函数法，结合导数的性质、对钩函数的单调性进行求解证明即可.
(1)
，设，
，当时，单调递减，
当时，单调递增，
∴在单调递减，单调递增，
(2)
（i）由，则，即∴
设在单调递减，∴在单调递增，单调递减，
且，∴，即，即；
（ii）记，，
在单调递减，在单调递增，
∴
记，
，设，
，当时，单调递减，
当，单调递增，
即在单调递减，在单调递增，
，
使得
在单调递增，在单调递减，在单调递增，
∴∴
∴，，
函数在单调递减，在单调递增，
所以当时，该函数有最小值2，
所以在单调递增，在单调递减，
且，令
记方程两根为，且
则
【点睛】关键点睛：利用构造函数法、常变量分离法、导数的性质是解题的关键.
52．（1）上单调递增；上单调递减；（2）.
【分析】（1）求得函数的导函数，利用导函数的正负与函数的单调性的关系即可得到函数的单调性；
（2）方法一：利用指数对数的运算法则，可以将曲线与直线有且仅有两个交点等价转化为方程有两个不同的实数根，即曲线与直线有两个交点，利用导函数研究的单调性，并结合的正负，零点和极限值分析的图象，进而得到，发现这正好是，然后根据的图象和单调性得到的取值范围.
【详解】（1）当时，,
令得,当时，,当时，,
∴函数在上单调递增；上单调递减；
（2）[方法一]【最优解】：分离参数
,设函数,
则,令，得,
在内,单调递增；
在上,单调递减；
,
又，当趋近于时，趋近于0，
所以曲线与直线有且仅有两个交点，即曲线与直线有两个交点的充分必要条件是,这即是,
所以的取值范围是.
[方法二]：构造差函数
由与直线有且仅有两个交点知，即在区间内有两个解，取对数得方程在区间内有两个解．
构造函数，求导数得．
当时，在区间内单调递增，所以，在内最多只有一个零点，不符合题意；
当时，，令得，当时，；当时，；所以，函数的递增区间为，递减区间为．
由于，
当时，有，即，由函数在内有两个零点知，所以，即．
构造函数，则，所以的递减区间为，递增区间为，所以，当且仅当时取等号，故的解为且．
所以，实数a的取值范围为．
[方法三]分离法：一曲一直
曲线与有且仅有两个交点等价为在区间内有两个不相同的解．
因为，所以两边取对数得，即，问题等价为与有且仅有两个交点．
①当时，与只有一个交点，不符合题意．
②当时，取上一点在点的切线方程为，即．
当与为同一直线时有得
直线的斜率满足：时，与有且仅有两个交点．
记，令，有．在区间内单调递增；在区间内单调递减；时，最大值为，所当且时有．
综上所述，实数a的取值范围为．
[方法四]：直接法
．
因为，由得．
当时，在区间内单调递减，不满足题意；
当时，，由得在区间内单调递增，由得在区间内单调递减．
因为，且，所以，即，即，两边取对数，得，即．
令，则，令，则，所以在区间内单调递增，在区间内单调递减，所以，所以，则的解为，所以，即．
故实数a的范围为．]
【整体点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，根据曲线和直线的交点个数求参数的取值范围问题，属较难试题，
方法一：将问题进行等价转化，分离参数，构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值，图象，利用数形结合思想求解.
方法二：将问题取对，构造差函数，利用导数研究函数的单调性和最值.
方法三：将问题取对，分成与两个函数，研究对数函数过原点的切线问题，将切线斜率与一次函数的斜率比较得到结论．
方法四：直接求导研究极值，单调性，最值，得到结论.
53．（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）求得的导数，讨论，，，解不等式可得所求单调区间；
（2）分别求得的最大值，的最小值，比较即可得证.
【详解】（1）若，则，
（i）当时，，函数在R上单调递减；
（ii）当时，，
①若，当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减.
②若，当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增.
综上可知，
当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；
当时，函数的单调递减区间为R，无单调递增区间；
当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；
（2）若则，，
要证不等式，即证，
记，则，
故当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，
所以；
又，
故时，，函数单调递增；时，，函数单调递减，
所以时，
因为，所以，所以，
所以时，.
【点睛】本题考查利用导数求函数单调性及最值，考查了学生转化的问题的能力及计算能力，是中档题.
54．(1)在、上递增，在上递减；
(2).
【解析】(1)
由题设，且定义域为，则，
当或时，；当时，.
所以在、上递增，在上递减.
(2)
由题设，在上恒成立，
所以在上恒成立，
当时，满足题设；
当时，，可得.
综上，.
55．（I）的单调增区间为，减区间为；（II）
【分析】（I）根据题意得出，求出a，进而由求得增区间，由求得减区间；
（II）根据题意将问题转化为时恒成立，设，求出，分类讨论参数a，得到，即可得到a的范围.
【详解】（I）函数的定义域为，，
因为是的极值点，所以，解得a=3，
当a=3时，，
令，得或；令，得，
所以函数的单调增区间为；单调减区间为.
（II）要使得恒成立，即时恒成立，
设，则，
当时，由得单调减区间为，由得单调增区间为，
故，得；
当时，由得单调减区间为，
由得单调增区间为，；此时，不合题意；
当时，在上单调递增，此时，不合题意；
当时，由得单调减区间为，由得单调增区间为，，此时，不合题意；
综上所述：时，恒成立.

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