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类型2：扇形的弧长及面积公式的应用
知识清单
1.扇形的弧长和面积公式
弧长公式 弧长
扇形面积公式
典型例题
母题1:扇形弧长、面积公式的直接应用
已知扇形的半径为，弧长为，则扇形圆心角的弧度数是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意知l＝|α|r，∴|α|＝＝＝.
扇形弧长为，中心角为，则该扇形的面积为 ．
【答案】
【解析】由弧长公式，得
，.
已知扇形的面积为，扇形圆心角的弧度数是，则扇形的周长为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设扇形所在圆的半径为R，则2＝×4×R2，
∴R2＝1，∴R＝1，扇形的弧长为4×1＝4，扇形的周长为2＋4＝6.
已知在半径为的圆上，有一段弧长是，则该弧所对的圆心角的弧度数为________.
【答案】1.2
【解析】　由题意知α＝＝＝1.2 rad.
若一扇形的圆心角为，半径为，则扇形的面积为( )．
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】72°＝，∴S扇形＝αR2＝××202＝80π(cm2)．
已知扇形的周长是，面积是，则扇形的圆心角的弧度数是（ ）
A．1或 B．1 C．或 D． 2
【答案】A
【解析】设扇形的弧长为，半径为，所以解得或
圆心角的弧度数是或.
若圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为________．
【解析】如图，等边三角形ABC是半径为r的圆O的内接三角形，
则线段AB所对的圆心角∠AOB＝，作OM⊥AB，垂足为M，
在Rt△AOM中，AO＝r，∠AOM＝，∴AM＝r，AB＝r，∴l＝r，
由弧长公式得α＝＝＝.
已知弧长的弧所对圆心角为，求这条弧所在的圆的半径（精确到）.
【答案】14cm.
一扇形是从一个圆中剪下的一部分，半径等于圆半径的，面积等于圆面积的，则扇形的弧长与圆周长之比为_______．
【答案】
【解析】设圆的半径为r，则扇形的半径为，记扇形的圆心角为α，
则＝，∴α＝.∴扇形的弧长与圆周长之比为＝＝.
已知半径为10的圆O中，弦AB的长为10，
（1）求弦AB所对的圆心角α的大小；
（2）求α所在的扇形弧长l及弧所在的弓形的面积S.
[解]　(1)在△AOB中，AB＝OA＝OB＝10，∴△AOB为等边三角形，因此弦AB所对的圆心角α＝.5分
(2)由扇形的弧长与扇形面积公式，得
l＝α·R＝×10＝，
S扇形＝R·l＝α·R2＝.
又S△AOB＝·OA·OB·sin＝25，
∴S弓形＝S扇形－S△AOB＝50.
母题2：扇形的弦长公式
一个扇形的面积是，它的周长是，求圆心角的弧度数和弦长.
解　设扇形的半径为r cm，弧长为l cm，
则解得
∴圆心角α＝＝2(rad)．
如图，过O作OH⊥AB于H，则∠AOH＝1 rad.
∴AH＝1·sin 1＝sin 1(cm)，
∴AB＝2sin 1(cm)．
∴圆心角的弧度数为2 rad，弦长AB为2sin 1 cm.
已知弧度的圆心角所对的弦长为，那么这个圆心角所对的弧长是( )
A． B． C. D．
【答案】C
【解析】如图，∠AOB＝2弧度，过O点作OC⊥AB于C，并延长OC交弧AB于D.则∠AOD＝∠BOD＝1弧度，且AC＝AB＝1，
在Rt△AOC中，AO＝＝，
即r＝，从而弧AB的长为l＝|α|·r＝.
扇形的面积是，它的周长是，求扇形的圆心角的弧度数及弦的长。
【答案】，
【解析】 设长为cm，扇形半径为R cm，则由题意，
得，解得 或 （不合题意，舍去）。
∴（rad）。∴弦（cm）。
已知扇形的中心角为，其面积为，求扇形的周长和弦的长．
【解析】设的长为，半径OA=r．
则，所以． ①
设扇形的中心角的弧度数为，
则，所以=4r．　　②
由①②解得r=1，=4．
所以扇形的周长为+2r=6（cm）．
如右图所示，作OH⊥AB于H，则（cm）．
一个半径为的扇形中，弦长为的扇形的圆心角的弧度数是
【答案】
已知半径为的圆中，弦的长为.
（1）求弦所对的圆心角的大小；
（2）求所在的扇形弧长及弧所在的弓形的面积.
【解析】(1)在△AOB中，AB＝OA＝OB＝10，
∴△AOB为等边三角形．
因此弦AB所对的圆心角α＝.
(2)由扇形的弧长与扇形面积公式，得
l＝α·R＝×10＝，S扇形＝R·l＝.
又S△AOB＝OA·OB·sin＝25.
∴弓形的面积S＝S扇形－S△AOB＝50.
若扇形的圆心角α＝120°，弦长AB＝12 cm，则弧长l＝________cm.
π　[设扇形的半径为r cm，如图．
由sin 60°＝，得r＝4 cm，
∴l＝|α|·r＝×4＝π cm.]
母题3：扇形面积最大值问题
求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决．
已知扇形的圆心角是α ，半径为R，弧长为l.
（1）若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长l；
（2）若扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？
【解】　(1)α＝60°＝，l＝10×＝(cm)．
(2)由已知得，l＋2R＝20，则l＝20－2R，0所以S＝lR＝(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25，
所以当R＝5时，S取得最大值25，
此时l＝10 cm，α＝2 rad.
（1）已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角；
（2）已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角分别取何值时，扇形的面积最大？
[解]　(1)设圆心角是θ，半径是r，则
解得(舍去)或
∴扇形的圆心角为.
(2)设圆心角是θ，半径是r，则2r＋rθ＝40.
又S＝θr2＝r(40－2r)＝r(20－r)＝－(r－10)2＋100≤100.
当且仅当r＝10时，Smax＝100，此时2×10＋10θ＝40，θ＝2，∴当r＝10，θ＝2时，扇形的面积最大.
已知扇形的周长是，则扇形面积最大时，扇形的圆心角的弧度数是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设此扇形的半径为r，弧长为l，则2r＋l＝4，面积S＝rl＝r(4－2r)＝－r2＋2r＝－(r－1)2＋1，故当r＝1时S最大，这时l＝4－2r＝2.从而α＝＝＝2.
已知扇形的圆心角是α，半径是r，弧长为.
（1）若α＝100°，r＝2，求扇形的面积；
（2）若扇形的周长为20，求扇形面积的最大值，并求此时扇形圆心角的弧度数．
解　（1）S＝lr＝αr2＝×π×4＝π.
（2）由题意知l＋2r＝20，即l＝20－2r，
S＝l·r＝(20－2r)·r＝－(r－5)2＋25，
当r＝5时，S的最大值为25.
当r＝5时，l＝20－2×5＝10，α＝＝2(rad)．
即扇形面积的最大值为25，此时扇形圆心角的弧度数为2 rad.
已知一扇形的周长为，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？
【答案】10 、2，100
【解析】设扇形的圆心角为，半径为r，弧长为，面积为S，则+2r=40，∴=40－2r，
∴。
∴当半径r=10 cm时，扇形的面积最大，最大面积为100 cm2，这时。
扇形的周长为.
（1）若这个扇形的面积为，求圆心角的大小；
（2）求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长.
【解析】设扇形AOB的半径为r，弧长为l，圆心角为α，
（1）由题意可得解得或
∴α＝＝或α＝＝6.
（2）∵2r＋l＝8，∴S扇＝lr＝l·2r≤2＝×2＝4，当且仅当2r＝l，即α＝＝2时，扇形面积取得最大值，∴r＝2，∴弦长AB＝2sin1×2＝4sin1.
已知一扇形的圆心角为 ，所在圆的半径为.
（1）若，，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；
（2）若扇形的周长是一定值，当为多少弧度时，该扇形有最大面积？
【解析】（1）设弧长为l，弓形面积为S弓，则
α＝90°＝，R＝10，l＝×10＝5π(cm)，
S弓＝S扇－S△＝×5π×10－×102＝25π－50(cm2).
（2）扇形周长C＝2R＋l＝2R＋αR，∴R＝，
∴S扇＝α·R2＝α·＝·＝·≤.
当且仅当α2＝4，即α＝2时，扇形面积有最大值.
已知一扇形的圆心角为，半径为，弧长为.
（1）若，，求扇形的弧长；
（2）已知扇形的周长为，面积是，求扇形的圆心角；
（3）若扇形周长为，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？
【解析】类型2：扇形的弧长及面积公式的应用
知识清单
1.扇形的弧长和面积公式
弧长公式 弧长
扇形面积公式
典型例题
母题1:扇形弧长、面积公式的直接应用
已知扇形的半径为，弧长为，则扇形圆心角的弧度数是( )
A． B． C． D．
扇形弧长为，中心角为，则该扇形的面积为 ．
已知扇形的面积为，扇形圆心角的弧度数是，则扇形的周长为( )
A． B． C． D．
已知在半径为的圆上，有一段弧长是，则该弧所对的圆心角的弧度数为________.
若一扇形的圆心角为，半径为，则扇形的面积为( )．
A． B． C． D．
已知扇形的周长是，面积是，则扇形的圆心角的弧度数是（ ）
A．1或 B．1 C．或 D． 2
若圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为________．
已知弧长的弧所对圆心角为，求这条弧所在的圆的半径（精确到）.
一扇形是从一个圆中剪下的一部分，半径等于圆半径的，面积等于圆面积的，则扇形的弧长与圆周长之比为_______．
已知半径为10的圆O中，弦AB的长为10，
（1）求弦AB所对的圆心角α的大小；
（2）求α所在的扇形弧长l及弧所在的弓形的面积S.
母题2：扇形的弦长公式
一个扇形的面积是，它的周长是，求圆心角的弧度数和弦长.
已知弧度的圆心角所对的弦长为，那么这个圆心角所对的弧长是( )
A． B． C. D．
扇形的面积是，它的周长是，求扇形的圆心角的弧度数及弦的长。
已知扇形的中心角为，其面积为，求扇形的周长和弦的长．
一个半径为的扇形中，弦长为的扇形的圆心角的弧度数是
已知半径为的圆中，弦的长为.
（1）求弦所对的圆心角的大小；
（2）求所在的扇形弧长及弧所在的弓形的面积.
若扇形的圆心角α＝120°，弦长AB＝12 cm，则弧长l＝________cm.
母题3：扇形面积最大值问题
求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决．
已知扇形的圆心角是α ，半径为R，弧长为l.
（1）若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长l；
（2）若扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？
（1）已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角；
（2）已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角分别取何值时，扇形的面积最大？
已知扇形的周长是，则扇形面积最大时，扇形的圆心角的弧度数是( )
A． B． C． D．
已知扇形的圆心角是α，半径是r，弧长为.
（1）若α＝100°，r＝2，求扇形的面积；
（2）若扇形的周长为20，求扇形面积的最大值，并求此时扇形圆心角的弧度数．
已知一扇形的周长为，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？
扇形的周长为.
（1）若这个扇形的面积为，求圆心角的大小；
（2）求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长.
已知一扇形的圆心角为 ，所在圆的半径为.
（1）若，，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；
（2）若扇形的周长是一定值，当为多少弧度时，该扇形有最大面积？
已知一扇形的圆心角为，半径为，弧长为.
（1）若，，求扇形的弧长；
（2）已知扇形的周长为，面积是，求扇形的圆心角；
（3）若扇形周长为，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？

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