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恒成立问题与存在性问题探究
一、相关知识：
1.常见函数的导数，导数的运算法则
2.常见函数的性质，比如
3.其他求最值的方法：换元法、基本不等式法（均值不等式、柯西不等式）、配方法、图像法
4.利用导数求最值的基本步骤：
（1）对于给定函数的情况要有初步把握，尤其是函数的定义域，函数图像与轴的交点，函数的奇偶性，周期性.注意：对于定义域为闭区间的连续函数可跳过此步骤直接进入第二步
（2）求函数的导数，注意导数的运算，不能出错
（3）令，解方程，一次、二次型方程注意是否含参数，即如何分情况讨论；三次型注意转化分解因式，尤其是分组分解的运用；指数，对数，三角型方程注意运用函数的单调性求根
（4）求出根之后，若是给定定义域为闭区间，由于是最值，无需验证根是极值点还是拐点，比如假如根为，直接将求出，最大的为最大值，最小的为最小值；若给定定义域不是闭区间，最好验证根是否为极值，是极值的话，是极大值点还是极小值点，然后结合第一步所得函数的其他特征给出最值
二、恒成立问题与存在性问题常见模式
若，恒成立，则; 若，恒成立，则
若，使得，则； 若，使得，则.
设与的定义域的交集为D，若D 恒成立，有 . 设与的定义域的交集为D，若 成立，有
若对、 ，恒成立，则. 若对，，使得,则. 若对，，使得，则. 若对，，使得，则.
已知在区间上的值域为A,，在区间上值域为B， 若对,，使得=成立，则。
若对 ，恒成立， 则.
已知在区间上的值域为A,，,使方程成立，则的取值范围即为在区间上的值域为A,
三、导数部分恒成立问题的基本解题策略：
1.最值法，即讨论出函数的最值，然后根据情况结合图表中的结论求解关于参数的不等式
例题：已知函数
（1）当时，求的极值;
（2）若在上是增函数，求的取值范围
高考链接：（2017年高考新课标全国一文科21题）已知函数=ex(ex a) a2x．
（1）讨论的单调性；
（2）若，求a的取值范围．
2.分离参数法，将参数与变量分离，然后求最值
例题：设函数,其中为实数.
(1)已知函数在处取得极值,求的值;
(2)已知不等式对任意都成立,求实数的取值范围.
（3）若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围
高考链接：（2020年高考全国卷一21题）已知函数.
（1）当a=1时，讨论f（x）的单调性；
（2）当x≥0时，，求a的取值范围.
3.必要性探路法，先找出恒成立的不等式对于特殊值（边界、给定定义域内的特殊值）成立的参数范围，此范围是参数的最大取值范围，然后再进行必要的验证或分类讨论解决问题
例题：已知函数，若，求实数的取值范围？
高考链接：对于总有成立，求实数a的取值范围
4.端点效应：有一类恒成立问题具有如下特征：函数在给定的区间端点处的取值为0，且题干设问有时可以转化为与0比较的形式.此时可以将不等号一侧的值看做函数在端点处的取值，利用函数单调性将原问题转化为研究导函数的性质.
例题：设函数
若求的单调区间
若当时，求实数的取值范围
高考链接：（2022年新高考二卷22题）已知函数．
（1）当时，讨论的单调性；
（2）当时，，求a的取值范围；
（3）设，证明：．
5.同构法：观察已知不等式若发现不等式左右两边是除了变量不同，其余地方均相同的表达式，就可以利用同构思想利用单调性将不等式转化为新的不等式求解
例题：已知函数．
（1）若，的一个零点为，求曲线在处的切线方程；
（2）若当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围．
高考链接：（2020年高考山东卷21题新高考）已知函数．
（1）当时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
（2）若f（x）≥1，求a的取值范围．
6、数形结合法，尤其是一次函数和二次函数型的问题，要注意图像的运用
例题：设函数
（1）求函数的单调区间；
（2）若函数在区间内单调递增，求的取值范围
变式：已知函数 若不等式对任意上恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
四、存在性问题解法探究
例题：1、设函数其中，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
2、已知函数，若存在，使得，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
六、任意、存在双条件问题
例题：1、已知．
（1）当时，讨论的单调性；
（2）若，对，使得恒成立，求a的取值范围．
2、设函数。
（1）当时，讨论函数的单调性；
（2）若对任意及任意，恒有 成立，求实数的取值范围。
课后练习：
1、已知函数，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2、已知函数，在区间内任取两个不相等的实数，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
3、已知，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是______
4、若上是减函数，则的取值范围是C
A. B. C. D.
5、若函数在区间是减函数，则a的取值范围是 .
6、已知，若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为_______
7、已知函数，，若存在，对任意，总有成立，求实数m的取值范围。
8、已知函数
（1）当时，求函数的单调区间
（2）当时，恒成立，求实数的取值范围
9、已知函数．
（1）求的单调区间；
（2）若不等式对任意的恒成立，求实数m的取值范围．
10、已知．
（1）当时，求曲线上的斜率为的切线方程；
（2）当时，恒成立，求实数的范围．恒成立问题与存在性问题探究
一、相关知识：
1.常见函数的导数，导数的运算法则
2.常见函数的性质，比如
3.其他求最值的方法：换元法、基本不等式法（均值不等式、柯西不等式）、配方法、图像法
4.利用导数求最值的基本步骤：
（1）对于给定函数的情况要有初步把握，尤其是函数的定义域，函数图像与轴的交点，函数的奇偶性，周期性.注意：对于定义域为闭区间的连续函数可跳过此步骤直接进入第二步
（2）求函数的导数，注意导数的运算，不能出错
（3）令，解方程，一次、二次型方程注意是否含参数，即如何分情况讨论；三次型注意转化分解因式，尤其是分组分解的运用；指数，对数，三角型方程注意运用函数的单调性求根
（4）求出根之后，若是给定定义域为闭区间，由于是最值，无需验证根是极值点还是拐点，比如假如根为，直接将求出，最大的为最大值，最小的为最小值；若给定定义域不是闭区间，最好验证根是否为极值，是极值的话，是极大值点还是极小值点，然后结合第一步所得函数的其他特征给出最值
二、恒成立问题与存在性问题常见模式
若，恒成立，则; 若，恒成立，则
若，使得，则； 若，使得，则.
设与的定义域的交集为D，若D 恒成立，有 . 设与的定义域的交集为D，若 成立，有
若对、 ，恒成立，则. 若对，，使得,则. 若对，，使得，则. 若对，，使得，则.
已知在区间上的值域为A,，在区间上值域为B， 若对,，使得=成立，则。
若对 ，恒成立， 则.
已知在区间上的值域为A,，,使方程成立，则的取值范围即为在区间上的值域为A,
三、导数部分恒成立问题的基本解题策略：
1.最值法，即讨论出函数的最值，然后根据情况结合图表中的结论求解关于参数的不等式
例题：已知函数
（1）当时，求的极值;
（2）若在上是增函数，求的取值范围
【（1）详解】：解题路径分析，先求函数的导数，然后令，根据分组分解法分解因式求出方程的根，讨论给出结果.
当时，，在内单调减，在内单调增，在时，有极小值.所以是的极小值.
【（2）详解】：解题路径分析，由在上是增函数得出时，恒成立，然后求函数的最小值进而得出结果，由已知在，单调递增当且仅当恒成立，
即在时恒成立，令
由于的不确定性，按的取值讨论，当时，成立满足条件；
当时，
此时若时，在，，即，解得；若时，在，，即，解得；综上：
高考链接：（2017年高考新课标全国一文科21题）已知函数=ex(ex a) a2x．
（1）讨论的单调性；
（2）若，求a的取值范围．
【（1）详解】函数的定义域为，，
①若，则，在单调递增．
②若，则由得．
当时，；当时，，故在单调递减，在单调递增．
③若，则由得．
当时，；当时，，故在单调递减，在单调递增．
【（2）详解】①若，则，所以．
②若，则由（1）得，当时，取得最小值，最小值为．从而当且仅当，即时，．
③若，则由（1）得，当时，取得最小值，最小值为．从而当且仅当，即时．综上，的取值范围为．
2.分离参数法，将参数与变量分离，然后求最值
例题：设函数,其中为实数.
(1)已知函数在处取得极值,求的值;
(2)已知不等式对任意都成立,求实数的取值范围.
（3）若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围
【（1）详解】：解题路径分析，根据极值点处到数值为零，建立关于参数a等式求出a值并检验，
则由函数在处取得极值知,;解得;经验证,当时,函数在处取得极大值;故;
【（2）详解】：解题路径分析，本题是关于变量a的恒成立问题，x在此题中为参数，将参变分离，得出结果，由已知不等式可化为;故对任意都成立;故;故;故实数的取值范围为.
【（3）详解】：解题路径分析，本题是关于变量x的恒成立问题，a在此题中为参数，将参变分离，得出结果，，因为函数在区间上单调递减，则恒成立
所以
令，则
令，在递减，所以在，又，所以
高考链接：（2020年高考全国卷一21题）已知函数.
（1）当a=1时，讨论f（x）的单调性；
（2）当x≥0时，，求a的取值范围.
【（1）详解】当a=1时，，则
故当x∈（–∞，0）时，<0；当x∈（0，+∞）时，>0．所以f（x）在（–∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增．
【（2）详解】当x≥0时，恒成立等价于当x≥0时，恒成立，当时，成立；当时，恒成立，
令
，
令，因为，所以
在上递减，，
所以在上递减，，由此知时，，时，，所以，所以
3.必要性探路法，先找出恒成立的不等式对于特殊值（边界、给定定义域内的特殊值）成立的参数范围，此范围是参数的最大取值范围，然后再进行必要的验证或分类讨论解决问题
例题：已知函数，若，求实数的取值范围？
【详解】：解题路径分析，本题函数的定义域为，可以取定义中的某一个自变量，则必有恒成立，从而求出参数的最大取值范围，此处注意两点，一是取值要恰当，比如本题应该取比较恰当；二是由此得到的参数范围是不等式恒成立的必要条件不一定是充分条件，需要必要的检验验证，最后确定参数的准确范围，
由已知不等式恒成立的必要条件是，因为，因为，所以令得或，，，当时，，当，，所以，所以
高考链接：对于总有成立，求实数a的取值范围
【详解】： 对于总有成立的必要条件是
，由①知
又，所以在
因而,由①知
综上
此题也可用分离参数解法：
等价于
令
在，此时
在，此时，综上
4.端点效应：有一类恒成立问题具有如下特征：函数在给定的区间端点处的取值为0，且题干设问有时可以转化为与0比较的形式.此时可以将不等号一侧的值看做函数在端点处的取值，利用函数单调性将原问题转化为研究导函数的性质.
例题：设函数
若求的单调区间
若当时，求实数的取值范围
【（1）详解】解题路径分析，利用求函数单调区间的基本步骤求解即可，
当时，，，，
令，即，解得，所以函数在
【（2）详解】解题路径分析，先利用x的非负性，将不等式转化为新的不等式，然后发现在x=0时，不等式左端恰为0，利用这一特性求出满足条件的参数范围，
当时恒成立，即当时恒成立，即当时恒成立，令，且，，且，，则在上递增，，当时，，在上递增，，不等式恒成立；当时，，在上递增，又，所以时，，可得在上递减，时，，不满足条件，综上：
高考链接：（2022年新高考二卷22题）已知函数．
（1）当时，讨论的单调性；
（2）当时，，求a的取值范围；
（3）设，证明：．
【（1）详解】当时，，则，
当时，，当时，，故的减区间为，增区间为.
【（2）详解】当时，恒成立等价于当时，恒成立，设，则，又，，设，则，
当即时,，
易证时，，所以，可得在上单调递减，，不等式恒成立
当时，则，因为为连续不间断函数，
故存在，使得，总有，在为增函数，故，不等式不恒成立
综上，.
【（3）详解】取，则，总有成立，
令，则，
故即对任意的恒成立.
所以对任意的，有，
整理得到：，
故
，故不等式成立.
5.同构法：观察已知不等式若发现不等式左右两边是除了变量不同，其余地方均相同的表达式，就可以利用同构思想利用单调性将不等式转化为新的不等式求解
例题：已知函数．
（1）若，的一个零点为，求曲线在处的切线方程；
（2）若当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围．
【（1）详解】解题路径分析，求函数的导数，求出导数为0的点，然后求出切线方程，
若，则，由，可得或，所以．
因为，所以，
所以曲线在处的切线方程为，即．
【（2）详解】因为当时，恒成立，
所以当时，即恒成立．
设，则，
设，则．
当时，，即单调递减，当时，，即单调递增，
所以，所以在上单调递增．
当时，恒成立，则当时，恒成立，即恒成立．
设，则．
当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，
所以，所以，即实数a的取值范围为．
高考链接：（2020年高考山东卷21题新高考）已知函数．
（1）当时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
（2）若f（x）≥1，求a的取值范围．
【（1）详解】，，.
，∴切点坐标为(1,1+e),
∴函数f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为,即,
切线与坐标轴交点坐标分别为,
∴所求三角形面积为;
【（2）详解】等价于
,
令,上述不等式等价于,
显然为单调增函数，∴又等价于，即，
令,则
在上h’(x)>0,h(x)单调递增；在(1,+∞)上h’(x)<0,h(x)单调递减，
∴,
，∴a的取值范围是[1,+∞).
6、数形结合法，尤其是一次函数和二次函数型的问题，要注意图像的运用
例题：设函数
（1）求函数的单调区间；
（2）若函数在区间内单调递增，求的取值范围
【（1）详解】解题路径分析，此题为基本的含参数单调性讨论问题，注意分类合理即可，令，即，
当时，解得，所以函数在；当时，解得，所以函数在
【（2）详解】解题路径分析，由函数的单调性转化为不等式恒成立问题，结合图像解决，因为函数在区间内单调递增，所以恒成立，即，
令，如上图知只需，解得
变式：已知函数 若不等式对任意上恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【详解】由题意得：设，易得，
可得，与x轴的交点为，
① 当，由不等式对任意上恒成立，可得临界值时，相切，此时，，
可得，可得切线斜率为2，，，可得切点坐标（3，3），
可得切线方程：，切线与x轴的交点为,可得此时，，
结合下图函数图像可得；
② 同理，当，由相切，
（1）当，，可得，可得切线斜率为-2，，，可得切点坐标（1，3），可得切线方程，可得，结合下图函数图像可得此种情况不符合题意，而且可以看出
（2）当，，相切，可得，
此时可得可得切线斜率为-2，，，可得切点坐标,
可得切线方程：，
可得切线与x轴的交点为，可得此时，，
结合下面函数图像可得，
综上所述可得，故选C.
四、存在性问题解法探究
例题：1、设函数其中，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【详解】设=，，由题知存在唯一的整数，使得在直线的下方.因为，所以当时，＜0，当时，＞0，所以当时，=，当时，=-1，，直线恒过（1,0）斜率且，故，且，解得≤＜1，故选D.
2、已知函数，若存在，使得，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【详解】：
问题转变为：，使得，即
，故选B
六、任意、存在双条件问题
例题：1、已知．
（1）当时，讨论的单调性；
（2）若，对，使得恒成立，求a的取值范围．
【（1）详解】由，得．
①，当单调递减；当单调递增．
②，当单调递增；当单调递减．
【（2）详解】依题意得，所以，
即当时，单调递减，所以．
．
1）当时，，所以在上，单调递增，
所以恒成立．
2）当时，令，则得，
①当时，在单调递增，
所以恒成立．
②当时，．
当时，单调递减；当时，单调递增．
所以．
所以恒成立，即恒成立．
令，则，所以，令，
所以．当时，单调递增，且，
所以，即，所以．
综上所述a的取值范围为．
2、设函数。
（1）当时，讨论函数的单调性；
（2）若对任意及任意，恒有 成立，求实数的取值范围。
【（1）详解】
，当，即时， 在上是减函数；当，即时，令，得或；令得。当，即时，令得或 令得。
综上，当时，在定义域上是减函数；当时，在和单调递减，在上单调递增；当时，在和单调递减，在上单调递
【（2）详解】由（1）知，当时，在上单调递减，当时，有最大值，当时，有最小值，，， 由得，所以
课后练习：
1、已知函数，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【详解】：若恒成立，则，，所以在单调递减，在单调递增。，所以
2、已知函数，在区间内任取两个不相等的实数，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【详解】：不妨设，则恒成立不等式等价于
即，设，则在单调递增
对恒成立，即
设，可知在单调递增
，，故选A
3、已知，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是______
【详解】：恒成立不等式为：
设
令 定义域 解得
的单调区间为：
，
4、若上是减函数，则的取值范围是
A. B. C. D.
【详解】：，因为上是减函数，所以，故选C
5、若函数在区间是减函数，则a的取值范围是________ .
【详解】：方法一、由f（x）=cos2x+asinx=﹣2sin2x+asinx+1，令t=sinx，
则原函数化为y=﹣2t2+at+1．∵x∈（，）时f（x）为减函数，
则y=﹣2t2+at+1在t∈（，1）上为减函数，
∵y=﹣2t2+at+1的图象开口向下，且对称轴方程为t=．
∴，解得：a≤2．∴a的取值范围是（﹣∞，2]．故答案为：（﹣∞，2]
方法二：分离参数法恒成立，即
6、已知，若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为_______
【详解】：令可得：
由可知：在上单调递增
7、已知函数，，若存在，对任意，总有成立，求实数m的取值范围。
【详解】：题意等价于在上的最大值大于或等于在上的最大值。
，由得，或，当时， ，当时，所以在（0，1）上，。又在上的最大值为，所以有，所以实数的取值范围是。
8、已知函数
（1）当时，求函数的单调区间
（2）当时，恒成立，求实数的取值范围
【（1）详解】：,
当时,,
当或时,;
当时,;
函数的单调递增区间为,,单调递减区间为.
【（2）详解】：设,
,,
时,.
①当,即时,令,
在上是单调递增的,,在上单调递增,所以恒成立;
②当即 时,令,则;
当时,,在上是单调递减,所以,
所以在上单调递减,所以这与恒成立矛盾.
综上,a的取值范围是.
9、已知函数．
（1）求的单调区间；
（2）若不等式对任意的恒成立，求实数m的取值范围．
【（1）详解】：由题意知．
因为，所以，解得或，，解得，
所以的单调递减区间为，，单调递增区间为．
【（2）详解】：因为对任意的恒成立，
所以．
令，则．
令，则，易得在上单调递增，
所以在上恒成立．
所以在上单调递增，在上恒成立．
所以当时，，
当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，所以．
所以，即实数m的取值范围是．
10、已知．
（1）当时，求曲线上的斜率为的切线方程；
（2）当时，恒成立，求实数的范围．
【（1）详解】：当时，，；
令，解得，切点坐标为，
所求切线方程为，即；
【（2）详解】：令，
则原问题转化为当时，恒成立，即恒成立；
，，
则当时，，在上单调递增，；
①当，即时，，在上单调递增，
，解得，；
②当，即时，，当时，；
，使得，即，
则当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增，
，解得，即，又，，
令，则，当时，，
在上单调递减，，即；
综上所述：实数的取值范围为．

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