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学生版
带着如下【问题】思考、理解与应用
1、空间两直线的位置关系与分类；
2、异面直线的定义；
3、异面直线的判定定理；
1、判断空间中两条直线位置关系的诀窍
（1）建立空间观念，全面考虑两条直线平行、相交和异面三种位置关系；特别关注异面直线；
（2）重视正方体、长方体、空间四边形等常见几何体模型的应用；会举根据特殊几何体通过利用定义与举反例，解答相关的填充、选择题；
2、判定两条直线是异面直线的方法
（1）定义法：证明两条直线既不平行又不相交；
（2）判定定理：连接平面内一点与平面外一点的直线，
和这个平面内不经过此点的直线是异面直线；
用符号语言可表示为l α，A α，B∈α，B l AB与l是异面直线（如图）；
例1、下列说法中正确的命题序号是
①若两条直线无公共点，则这两条直线平行；
②若两直线不是异面直线，则必相交或平行；
③过平面外一点与平面内一点的直线，与平面内的任意一条直线均构成异面直线；
④和两条异面直线都相交的两直线必是异面直线；
【提示】
【答案】
【解析】
例2、如果两条异面直线称作“一对”，那么在正方体的12条棱所在的直线中共有________对异面直线；
【提示】
【答案】
【解析】
【说明】本题主要考查了正方体的几何性质与新定义的交汇；同时渗透了依据几何性质寻找“有效+合理”的统计方法；
例3、如图所示，若P是△ABC所在平面外一点，
PA≠PB，PN⊥AB，
N为垂足，M为AB的中点，
求证：PN与MC为异面直线.
【说明】本题主要考查了异面直线的判定与证明，以此渗透培养逻辑推理核心素养；
结合教材，一般异面直线的判断方法有：
1、定义法：由定义判断.两直线不可能在同一个平面内；
2、图形直观判断法：熟记几类异面直线的画法，可快速判断；适合填充、选择题；.
3、运用判定定理法：过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线异面；
4、反证法：假设这两条直线不是异面直线，那么它们是共面直线，结合题中的条件，经正确的推理得出矛盾，从而断定假设“这两条直线不是异面直线”是错误的，进而得出结论：这两条直线是异面直线；
例4、如图所示，已知α∩β＝a，b β，a∩b＝A，
且c α，c∥a；
求证：b，c为异面直线.
【说明】本题主要考查了借鉴全集的视角：用异面直线的定义与反证法、分类讨论进行了整合；
直线与平面位置关系的判断
1、空间直线与平面位置关系的判断是解决问题的突破口，这类问题，常用分类讨论的方法解决．另外，借助模型(如正方体、长方体等)也是解决这类问题的有效方法；
2、要证明直线在平面内，只要证明直线上两点在平面α内，要证明直线与平面相交，只需说明直线与平面只有一个公共点，要证明直线与平面平行，则必须说明直线与平面没有公共点；
不同在任何一个平面内的两条直线是异面直线，证明异面直线常用定义法、判定定理与反证法；
1、已知a，b是异面直线，A，B是a上的两点，C，D是b上的两点，M，N分别是线段AC，BD的中点，则MN和a的位置关系是(　　)
A．异面 B．平行 C．相交 D．以上均有可能
2、分别和两条异面直线相交的两条不同直线的位置关系是（ ）
A．相交 B．异面 C．异面或相交 D．平行
3、在正方体ABCD－A1B1C1D1中，判断下列直线间的位置关系：
①A1B与D1C________；
②A1B与B1C________；
③D1D与CE(E为C1D1的中点)________；
④AB与B1C________.
4、若两个平面相交，,则分别在这两个平面内的两条直线的位置关系是
5、已知在长方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是长方形A1B1C1D1与长方形BCC1B1的中心，则下列说法正确的序号是
①直线MN与直线A1B是异面直线
②直线MN与直线DD1相交
③直线MN与直线AC1是异面直线
④直线MN与直线A1C平行
6、如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面直线的对数为 对；
7、已知空间四边形ABCD中，AB≠AC，BD＝BC，AE是△ABC的边BC上的高，DF是△BCD的边BC上的中线，求证：AE与DF是异面直线.
8、如图，已知不共面的直线a，b，c相交于O点，
M，O是直线a上的两点，
N，Q分别是直线b，c上的一点，
求证：MN和PQ是异面直线．
教师版
带着如下【问题】思考、理解与应用
1、空间两直线的位置关系与分类；
2、异面直线的定义；
3、异面直线的判定定理；
1、判断空间中两条直线位置关系的诀窍
（1）建立空间观念，全面考虑两条直线平行、相交和异面三种位置关系；特别关注异面直线；
（2）重视正方体、长方体、空间四边形等常见几何体模型的应用；会举根据特殊几何体通过利用定义与举反例，解答相关的填充、选择题；
2、判定两条直线是异面直线的方法
（1）定义法：证明两条直线既不平行又不相交；
（2）判定定理：连接平面内一点与平面外一点的直线，
和这个平面内不经过此点的直线是异面直线；
用符号语言可表示为l α，A α，B∈α，B l AB与l是异面直线（如图）；
例1、下列说法中正确的命题序号是
①若两条直线无公共点，则这两条直线平行；
②若两直线不是异面直线，则必相交或平行；
③过平面外一点与平面内一点的直线，与平面内的任意一条直线均构成异面直线；
④和两条异面直线都相交的两直线必是异面直线；
【提示】理解空间两直线的位置关系与异面直线的定义；
【答案】②；
【解析】对于①，空间两直线无公共点，则这两条直线可能平行，也可能异面，因此①不正确.对于②，因空间两条不重合的直线的位置关系只有三种：平行、相交或异面，故②正确；
对于③，过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内过该点的直线是相交直线，故③不正确.对于④，和两条异面直线都相交的两直线有可能是相交直线，也有可能是异面直线，故④不正确.
例2、如果两条异面直线称作“一对”，那么在正方体的12条棱所在的直线中共有________对异面直线；
【提示】注意结合正方体的几何性质理解“新定义”；
【答案】24
【解析】在如图所示的正方体中，与AB异面的有C′C，D′D，B′C′，A′D′，由于各棱具有相同的位置关系，且正方体有12条棱，排除两棱的重复计数，故共有异面直线＝24(对).
【说明】本题主要考查了正方体的几何性质与新定义的交汇；同时渗透了依据几何性质寻找“有效+合理”的统计方法；
例3、如图所示，若P是△ABC所在平面外一点，
PA≠PB，PN⊥AB，
N为垂足，M为AB的中点，
求证：PN与MC为异面直线.
【提示】注意理解异面直线的定义与命题的交汇；
【证明】
证法1、（反证法），
假设PN与MC不是异面直线，则存在一个平面α，使得PN α，MC α，
于是P∈α，C∈α，N∈α，M∈α.
因为，PA≠PB，PN⊥AB，N为垂足，M是AB的中点，
所以，点M与点N不重合.
又因为，M∈α，N∈α，所以，直线MN α.
又因为，A∈MN，B∈MN，所以，A∈α，B∈α，
即A，B，C，P四点均在平面α内，这与点P在平面ABC外相矛盾.
所以，假设不成立；
故PN与MC为异面直线；
证法2、（判定定理法），
∵PA≠PB，PN⊥AB，N为垂足，M是AB的中点，
∴点N与点M不重合.
∵N∈平面ABC，P 平面ABC，CM 平面ABC，N CM，
∴由异面直线的判定方法可知，直线PN与MC为异面直线；
【说明】本题主要考查了异面直线的判定与证明，以此渗透培养逻辑推理核心素养；
结合教材，一般异面直线的判断方法有：
1、定义法：由定义判断.两直线不可能在同一个平面内；
2、图形直观判断法：熟记几类异面直线的画法，可快速判断；适合填充、选择题；.
3、运用判定定理法：过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线异面；
4、反证法：假设这两条直线不是异面直线，那么它们是共面直线，结合题中的条件，经正确的推理得出矛盾，从而断定假设“这两条直线不是异面直线”是错误的，进而得出结论：这两条直线是异面直线；
例4、如图所示，已知α∩β＝a，b β，a∩b＝A，
且c α，c∥a；
求证：b，c为异面直线.
【提示】注意结合图形理解题设；
【证明】假设b，c不是异面直线，即b，c为共面直线，则b，c为相交直线或平行直线.
（1）若b∥c，已知a∥c，则a∥b，这与已知条件a∩b＝A矛盾，∴b，c平行不成立；
（2）若b∩c＝P，已知b β，c α，
又α∩β＝a，则P∈b β，且P∈c α，
∴P∈α，且P∈β，则P∈a.
∴a∩c＝P，这与已知a∥c相矛盾.
因此，b，c相交也不成立.
综上可知，b，c为异面直线；
【说明】本题主要考查了借鉴全集的视角：用异面直线的定义与反证法、分类讨论进行了整合；
直线与平面位置关系的判断
1、空间直线与平面位置关系的判断是解决问题的突破口，这类问题，常用分类讨论的方法解决．另外，借助模型(如正方体、长方体等)也是解决这类问题的有效方法；
2、要证明直线在平面内，只要证明直线上两点在平面α内，要证明直线与平面相交，只需说明直线与平面只有一个公共点，要证明直线与平面平行，则必须说明直线与平面没有公共点；
不同在任何一个平面内的两条直线是异面直线，证明异面直线常用定义法、判定定理与反证法；
1、已知a，b是异面直线，A，B是a上的两点，C，D是b上的两点，M，N分别是线段AC，BD的中点，则MN和a的位置关系是(　　)
A．异面 B．平行 C．相交 D．以上均有可能
【答案】A；
【解析】若MN与AB平行或相交，则MN与AB共面，
设平面为α，由题知C∈直线AM，D∈直线BN，
所以C∈α，D∈α.又A∈α，B∈α，
所以a α，b α，与a，b异面矛盾；
．故MN与AB异面，即MN与a异面；
2、分别和两条异面直线相交的两条不同直线的位置关系是（ ）
A．相交 B．异面 C．异面或相交 D．平行
【提示】注意：对“和两条异面直线相交”的理解；
【答案】C；
【解析】（1）若两条直线与两异面直线的交点有4个，
如图，则两直线异面.
（2）若两条直线与两异面直线的交点有3个，如图，则两直线相交；
【说明】解决此类判断线、面位置关系的题目，要注意把情况考虑全面，必要时需要分类讨论.
3、在正方体ABCD－A1B1C1D1中，判断下列直线间的位置关系：
①A1B与D1C________；
②A1B与B1C________；
③D1D与CE(E为C1D1的中点)________；
④AB与B1C________.
【答案】　①平行　②异面　③相交　④异面
4、若两个平面相交，,则分别在这两个平面内的两条直线的位置关系是
【答案】相交、平行与异面；
【解析】平面,β相交,如图所示:
则a ,b β,a∥b;又a ,c β,a、c异面;c β,d ,c,d相交;所以分别在这两个平面内的两条直线可能平行,也可能异面,也可能相交；
5、已知在长方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是长方形A1B1C1D1与长方形BCC1B1的中心，则下列说法正确的序号是
①直线MN与直线A1B是异面直线
②直线MN与直线DD1相交
③直线MN与直线AC1是异面直线
④直线MN与直线A1C平行
【答案】③
【解析】A1C1，BC1的中点，所以直线MN与直线A1B平行，所以①错误；
因为直线MN经过平面BB1D1D内一点M，且点M不在直线DD1上，
所以直线MN与直线DD1是异面直线，所以②错误；
因为直线MN经过平面ABC1内一点N，且点N不在直线AC1上，
所以直线MN与直线AC1是异面直线，所以③正确；
因为直线MN经过平面A1CC1内一点M，且点M不在直线A1C上，所以直线MN与直线A1C是异面直线，所以④错误．
6、如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面直线的对数为 对；
【答案】3；
【解析】还原的正方体如图所示，是异面直线的共三对，
为AB与CD，AB与GH，EF与GH.
7、已知空间四边形ABCD中，AB≠AC，BD＝BC，AE是△ABC的边BC上的高，DF是△BCD的边BC上的中线，求证：AE与DF是异面直线.
【解析】
首先说明、、三点均在面内，而不在面内，故而可得结论.
试题解析：由已知，得、不重合．
设所在平面为，则，，，，∴与异面．
8、如图，已知不共面的直线a，b，c相交于O点，
M，O是直线a上的两点，
N，Q分别是直线b，c上的一点，
求证：MN和PQ是异面直线．
【证明】方法1、(反证法)假设MN和PQ共面，设所确定的平面为α，那么点P，Q，M，N和O都在平面α内，所以直线a，b，c都在平面α内，
这与已知a，b，c不共面矛盾，
所以假设不成立，MN和PQ是异面直线．
方法2、(判定定理法)因为a∩c＝O，所以a，c确定一个平面，
设为α，由已知P∈平面α，Q∈平面α，
所以PQ 平面α，又M∈平面α，且M PQ，N 平面α，所以MN和PQ是异面直线

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