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带着如下【问题】思考、理解与应用
空间四边形的定义
由空间四点首尾相接所成的四边形叫做空间四边形；
【说明】空间四边形是空间多边形的一种，即各边不在同一平面内的四边形；
也就是四个顶点不在同一平面内；
例1、在空间四边形ABCD中，
（1）E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点；
求证：四边形EFGH是平行四边形；
（2）E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点；
且“AC⊥BD”，则判断四边形EFGH是什么形状？
（3）E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点；
且“AC＝BD”，则判断四边形EFGH是什么形状？
（4）E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点；
且“AC⊥BD，且AC＝BD”，则判断四边形EFGH是什么形状？
（5）E，H分别是AB，AD中点，F，G分别是BC，CD上的点，
且CF∶FB＝CG∶GD＝1∶2，则四边形EFGH是什么形状？
【提示】
【证明】（
【说明】本题主要考查了在空间四边形前提下，结合相关几何条件，探究空间四边形的形状问题；
根据三角形的中位线、公理4证明两条直线平行是常用的方法．公理4表明了平行线的传递性，它可以作为判断两条直线平行的依据，同时也给出空间两直线平行的一种证明方法；
例2、如图，空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，
G，H分别在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2；
（1）求证：E，F，G，H四点共面；
（2）设直线EG与直线FH交于点P.求证：P，A，C三点共线．
【提示】
【证明】
【说明】本题主要考查了在空间四边形的前提下的证明共面与共点问题；；
例3、如图所示，四边形EFGH为空间四边形ABCD的一个截面，
若截面为平行四边形；
求证：AB∥平面EFGH；
例4、在空间四边形ABCD中，AB＝CD，且AB与CD所成锐角为30°，
E，F分别为BC，AD的中点；
求EF与AB所成角的大小；
【说明】本题考查了在空间四边形的前提下求异面直线的方法；特别注意：不要忽略异面直线所成角的范围；
求两异面直线所成角的一般步骤
（1）构造角：根据异面直线的定义，通过作平行线或平移平行线，作出异面直线夹角的相关角；
（2）证明角：结合空间位置关系根据需要证明平行、垂直；
（3）计算角：求角度，常利用三角形；
（4）确定角：若求出的角是锐角或是直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成的角．
【技巧】找异面直线所成的角，可以从如下“口诀”入手：中点、端点定顶点，平移常用中位线；
平行四边形中见，指出成角很关键；求角构造三角形，锐角、钝角要明辨；
例5、如图，四边形EFGH为空间四边形ABCD的一个截面，
若截面为平行四边形．
（1）求证：AB∥平面EFGH；
（2）若AB＝4，CD＝6，求四边形EFGH周长的取值范围．
【说明】利用线面平行或面面平行的性质，可以实现与线线平行的转化，尤其在截面图的画法中，常用来确定交线的位置．对于线段长或线段比例问题，常用平行线对应线段成比例或相似三角形来解决；　　
1、空间四边形
四条线段首尾相接，并且最后一条的尾端和最初一条的首端重合，就组成一个四边形，如果四个顶点不共面，那么这样的四边形叫做空间四边形。
空间四边形ABCD可以看作同一平面内有一条公共边BD
的两个三角形ABD和CBD沿着BD适当翻折而成的，
因此，有关空间四边形的问题常常可以借助于平面几何中有关三角形的知识获得解决。
空间四边形亦称偏斜四边形，是空间多边形的一种，即各边不在同一平面内的四边形。
若封闭折线ABCD为空间四边形，则点A，B，C，D不在同一平面内，称为空间四边形的顶点.AB，BC，CD，DA称为它的边;
其中AB，BC；BC，CD；CD，DA；DA，AB是它的四对邻边；
AB，CD；BC，DA，是它的两对对边(如图) ；
AC与BD称为它的对角线。连结对边中点的线段称为它的双中位线。
2、空间四边形有下列性质：
（1）连结两对两邻边中点的线段互相平行且相等，且都等于与之平行的对角线的一半；
即：因此，四边中点组成一个平行四边形；从而知空间四边形的两条双中位线；
（2）由于每三条依次相邻的边的中点都不在同一直线上.是三角形的顶点，可知一条双中位线的长小于两对角线的和的一半；
（3）若两对角线互相垂直，则四边形中点连线所成的平行四边形为矩形；
1、已知空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连接四边中点的四边形一定是（ ）
A．空间四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
2、在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD上的点，且AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4，H，G分别是BC，CD的中点，则 （ ）
A. BD∥平面EFG，且四边形EFGH是平行四边形
B. EF∥平面BCD，且四边形EFGH是梯形
C. HG∥平面ABD，且四边形EFGH是平行四边形
D. EH∥平面ADC，且四边形EFGH是梯形
3、如图，空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，
∠BAD＝90°，且AB＝AD，
则AD与平面BCD所成的角是________．
4、在空间四边形ABCD中，AB＝CD，且异面直线AB与CD所成的角为60°，E，F分别为边BC和AD的中点，则异面直线EF和AB所成的角为________．
5、已知在空间四边形ABCD中，M，N分别是AB，CD的中点，且AC＝4，BD＝6，则线段MN的取值范围是：
6、如图，空间四边形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6，
M，N分别为AB，CD的中点，
并且异面直线AC与BD所成的角为90°，
则MN等于________．
7、如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB和BC上的点，G，H分别是CD和AD上的点.若EH与FG相交于点K.
求证：EH，BD，FG三条直线相交于同一点.
8、如图所示，在空间四边形ABCD(不共面的四边形称为空间四边形)中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点．
（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；
（2）如果AC＝BD，求证：四边形EFGH是菱形．
【拓展】空间四边形与空间向量的交汇
1、如图，在空间四边形ABCD中，E，M，N分别是
边BC，BD，CD的中点，DE，MN交于F点，
则＋＋＝(　　)
A．　 B．
C．　 D．
2、已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则·的值为(　 )
A．a2 B.a2 C.a2 D.a2
3、如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长
都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点．
（1）求·；
（2）求·；
（3）求EG的长．
4、如图，已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的
边AB，BC，CD，DA的中点.
（1）求证：E，F，G，H四点共面；
（2）求证：BD∥平面EFGH；
（3）设M是EG和FH的交点，求证：对空间任一点O，有＝(＋＋＋).
教师版
带着如下【问题】思考、理解与应用
空间四边形的定义
由空间四点首尾相接所成的四边形叫做空间四边形；
【说明】空间四边形是空间多边形的一种，即各边不在同一平面内的四边形；
也就是四个顶点不在同一平面内；
例1、在空间四边形ABCD中，
（1）E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点；
求证：四边形EFGH是平行四边形；
（2）E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点；
且“AC⊥BD”，则判断四边形EFGH是什么形状？
（3）E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点；
且“AC＝BD”，则判断四边形EFGH是什么形状？
（4）E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点；
且“AC⊥BD，且AC＝BD”，则判断四边形EFGH是什么形状？
（5）E，H分别是AB，AD中点，F，G分别是BC，CD上的点，
且CF∶FB＝CG∶GD＝1∶2，则四边形EFGH是什么形状？
【提示】（1）注意结合题设选择证明平行四边形的方法；
（2）注意：在空间有相交与异面垂直；
（3）注意：与平面几何性质的交汇；
【证明】（1）如图，连接BD.
因为EH是△ABD的中位线，所以EH∥BD，
且EH＝BD.
同理，FG∥BD，且FG＝BD.
因此EH∥FG；
又EH＝FG，
所以四边形EFGH为平行四边形；
（2）由（1）可知EH∥BD，同理EF∥AC，
又BD⊥AC，因此EH⊥EF，
所以四边形EFGH为矩形；
（3）由（1）知EH∥BD，且EH＝BD，
同理EF∥AC，且EF＝AC.
又AC＝BD，所以EH＝EF.
又四边形EFGH为平行四边形，
所以四边形EFGH为菱形；
（4）由（2）与（3）可知，
四边形EFGH为正方形；
（5）由题意可知EH是△ABD的中位线，则EH∥BD且EH＝BD.
又因为，＝＝，所以 ，FG∥BD，＝＝，
所以，FG＝BD，所以，FG∥EH且FG≠EH，
所以，四边形EFGH是梯形；
【说明】本题主要考查了在空间四边形前提下，结合相关几何条件，探究空间四边形的形状问题；
根据三角形的中位线、公理4证明两条直线平行是常用的方法．公理4表明了平行线的传递性，它可以作为判断两条直线平行的依据，同时也给出空间两直线平行的一种证明方法；
例2、如图，空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，
G，H分别在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2；
（1）求证：E，F，G，H四点共面；
（2）设直线EG与直线FH交于点P.求证：P，A，C三点共线．
【提示】注意：空间四边形的定义与隐含条件；
【证明】（1）因为，E，F分别为AB，AD的中点，
所以，EF∥BD；
在△BCD中，＝＝，所以，GH∥BD，∴EF∥GH，
所以，E，F，G，H四点共面；
（2）由（1）知EF∥BD，GH∥BD.
所以，四边形FEGH为梯形，
所以，直线GE与直线HF交于一点，
设EG∩FH＝P，P∈EG，EG 平面ABC，
所以，P∈平面ABC．同理P∈平面ADC．
所以，P为平面ABC与平面ADC的公共点，
又平面ABC∩平面ADC＝AC，
所以，P∈AC，
则，P，A，C三点共线；
【说明】本题主要考查了在空间四边形的前提下的证明共面与共点问题；；
例3、如图所示，四边形EFGH为空间四边形ABCD的一个截面，
若截面为平行四边形；
求证：AB∥平面EFGH；
【提示】在空间四边形前提下，注意“寻找”线面平行的前提；
【证明】因为四边形EFGH为平行四边形，所以EF∥HG.
因为HG 平面ABD，EF 平面ABD，
所以EF∥平面ABD.
因为EF 平面ABC，平面ABD∩平面ABC＝AB，
所以EF∥AB.
因为AB不在平面EFGH内，EF 平面EFGH，
所以AB∥平面EFGH；
【说明】本题主要考查了在空间四边形的前提下的证明线面平行；
例4、在空间四边形ABCD中，AB＝CD，且AB与CD所成锐角为30°，
E，F分别为BC，AD的中点；
求EF与AB所成角的大小；
【提示】注意：在空间四边形前提下“找、求”角；
【解析】如图所示，取AC的中点G，连接EG，FG，
则EG∥AB且EG＝AB，
GF∥CD且GF＝CD.
由AB＝CD知EG＝FG，
从而可知∠GEF为EF与AB所成的角，∠EGF或其补角为AB与CD所成的角；
因为，AB与CD所成角为30°，
所以，∠EGF＝30°或150°，
由EG＝FG知△EFG为等腰三角形，当∠EGF＝30°时，∠GEF＝75°，
当∠EGF＝150°时，∠GEF＝15°，
故EF与AB所成角的大小为15°或75°；
【说明】本题考查了在空间四边形的前提下求异面直线的方法；特别注意：不要忽略异面直线所成角的范围；
求两异面直线所成角的一般步骤
（1）构造角：根据异面直线的定义，通过作平行线或平移平行线，作出异面直线夹角的相关角；
（2）证明角：结合空间位置关系根据需要证明平行、垂直；
（3）计算角：求角度，常利用三角形；
（4）确定角：若求出的角是锐角或是直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成的角．
【技巧】找异面直线所成的角，可以从如下“口诀”入手：中点、端点定顶点，平移常用中位线；
平行四边形中见，指出成角很关键；求角构造三角形，锐角、钝角要明辨；
例5、如图，四边形EFGH为空间四边形ABCD的一个截面，
若截面为平行四边形．
（1）求证：AB∥平面EFGH；
（2）若AB＝4，CD＝6，求四边形EFGH周长的取值范围．
【解析】（1）证明：
因为，四边形EFGH为平行四边形，所以，EF∥HG；
又因为，HG 平面ABD，EF 平面ABD，所以，EF∥平面ABD；
又因为，EF 平面ABC，平面ABD∩平面ABC＝AB，所以，EF∥AB，
又因为，AB不在平面EFGH内，EF 平面EFGH，所以，AB∥平面EFGH；
（2）设EF＝x(0与（1）同理可得CD∥FG，所以，＝，则＝＝＝1－，
所以，FG＝6－x，所以，四边形EFGH的周长l＝2＝12－x；
又因为，0【说明】利用线面平行或面面平行的性质，可以实现与线线平行的转化，尤其在截面图的画法中，常用来确定交线的位置．对于线段长或线段比例问题，常用平行线对应线段成比例或相似三角形来解决；　　
1、空间四边形
四条线段首尾相接，并且最后一条的尾端和最初一条的首端重合，就组成一个四边形，如果四个顶点不共面，那么这样的四边形叫做空间四边形。
空间四边形ABCD可以看作同一平面内有一条公共边BD
的两个三角形ABD和CBD沿着BD适当翻折而成的，
因此，有关空间四边形的问题常常可以借助于平面几何中有关三角形的知识获得解决。
空间四边形亦称偏斜四边形，是空间多边形的一种，即各边不在同一平面内的四边形。
若封闭折线ABCD为空间四边形，则点A，B，C，D不在同一平面内，称为空间四边形的顶点.AB，BC，CD，DA称为它的边;
其中AB，BC；BC，CD；CD，DA；DA，AB是它的四对邻边；
AB，CD；BC，DA，是它的两对对边(如图) ；
AC与BD称为它的对角线。连结对边中点的线段称为它的双中位线。
2、空间四边形有下列性质：
（1）连结两对两邻边中点的线段互相平行且相等，且都等于与之平行的对角线的一半；
即：因此，四边中点组成一个平行四边形；从而知空间四边形的两条双中位线；
（2）由于每三条依次相邻的边的中点都不在同一直线上.是三角形的顶点，可知一条双中位线的长小于两对角线的和的一半；
（3）若两对角线互相垂直，则四边形中点连线所成的平行四边形为矩形；
1、已知空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连接四边中点的四边形一定是（ ）
A．空间四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
【答案】B ；
【解析】如图所示，易证四边形EFGH为平行四边形．
∵E，F分别为AB，BC的中点，∴EF∥AC.
又FG∥BD，∴∠EFG或其补角为AC与BD所成的角．
而AC与BD所成的角为90°，∴∠EFG＝90°，故四边形EFGH为矩形；
2、在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD上的点，且AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4，H，G分别是BC，CD的中点，则 （ ）
A. BD∥平面EFG，且四边形EFGH是平行四边形
B. EF∥平面BCD，且四边形EFGH是梯形
C. HG∥平面ABD，且四边形EFGH是平行四边形
D. EH∥平面ADC，且四边形EFGH是梯形
【答案】B；
【解析】如图，由条件知，EF∥BD，EF＝BD，
HG∥BD，HG＝BD，
所以EF∥HG，且EF＝HG，
所以四边形EFGH为梯形；
因为EF∥BD，EF不在平面BCD内，BD 平面BCD，所以EF∥平面BCD. 因为四边形EFGH为梯形，所以线段EH与FG的延长线交于一点，所以EH不平行于平面ADC. 故选B.
3、如图，空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，
∠BAD＝90°，且AB＝AD，
则AD与平面BCD所成的角是________．
【答案】45°；
【解析】如图，过A作AO⊥BD于点O，
∵平面ABD⊥平面BCD，∴AO⊥平面BCD，
则∠ADO即为AD与平面BCD所成的角．
∵∠BAD＝90°，AB＝AD.
∴∠ADO＝45°.
4、在空间四边形ABCD中，AB＝CD，且异面直线AB与CD所成的角为60°，E，F分别为边BC和AD的中点，则异面直线EF和AB所成的角为________．
【答案】30°或60°；
【解析】如图，设G是AC的中点，连接EG，GF，
由已知得EG∥AB，FG∥CD，
∴∠EGF或其补角是AB和CD所成的角，
∠GEF或其补角是AB和EF所成的角；
∵AB＝CD，∴EG＝GF，∴∠GEF＝∠GFE；
当∠EGF＝60°时，AB和EF所成的角为∠GEF＝60°；
当∠EGF＝120°时，AB和EF所成的角为∠GEF＝30°；
5、已知在空间四边形ABCD中，M，N分别是AB，CD的中点，且AC＝4，BD＝6，则线段MN的取值范围是：
【答案】（1，5）；
【解析】取AD的中点H，连接MH，NH(图略)，则MH∥BD，且MH＝BD，NH∥AC，
且NH＝AC，且M，N，H三点构成三角形，由三角形中三边关系，
可得MH－NH6、如图，空间四边形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6，
M，N分别为AB，CD的中点，
并且异面直线AC与BD所成的角为90°，
则MN等于________．
【答案】5；
【解析】如图，取AD的中点P，
连接PM，PN，则BD∥PM，AC∥PN，
∴∠MPN即异面直线AC与BD所成的角．
∴∠MPN＝90°.又∵PN＝AC＝4，PM＝BD＝3，∴MN＝5.
7、如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB和BC上的点，G，H分别是CD和AD上的点.若EH与FG相交于点K.
求证：EH，BD，FG三条直线相交于同一点.
【证明】因为K∈EH，EH 平面ABD，
所以K∈平面ABD，同理K∈平面CBD，而平面ABD∩平面CBD＝BD，
因此K∈BD，所以EH，BD，FG三条直线相交于同一点.
8、如图所示，在空间四边形ABCD(不共面的四边形称为空间四边形)中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点．
（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；
（2）如果AC＝BD，求证：四边形EFGH是菱形．
【证明】（1）因为空间四边形ABCD中，
E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，
所以EF∥AC，HG∥AC，EF＝HG＝AC，
所以EF∥HG，EF＝HG，
所以四边形EFGH是平行四边形．
（2）因为空间四边形ABCD中，
E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，所以EH∥BD，EH＝BD.
因为EF＝AC，AC＝BD，所以EH＝EF.
又因为四边形EFGH是平行四边形，所以四边形EFGH是菱形；
【说明】证明空间两条直线平行的方法：
（1）平面几何法：三角形中位线、平行四边形的性质等；
（2）定义法：用定义证明两条直线平行，要证明两个方面：一是两条直线在同一平面内；二是两条直线没有公共点；
（3）公理4：用公理4证明两条直线平行，只需找到直线b，使得a∥b，同时b∥c，由公理4即可得到a∥c；
【拓展】空间四边形与空间向量的交汇
1、如图，在空间四边形ABCD中，E，M，N分别是
边BC，BD，CD的中点，DE，MN交于F点，
则＋＋＝(　B　)
A．　 B．
C．　 D．
【答案】
【解析】∵E是边BC的中点，∴＋＝，
∴＋＋＝＋＝.故选B.
2、已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则·的值为(　 )
A．a2 B.a2 C.a2 D.a2
【答案】C；
【解析】如图，设＝a，＝b，＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝a，
且a，b，c三向量两两夹角为60°.＝(a＋b)，＝c，
∴·＝(a＋b)·c＝(a·c＋b·c)＝(a2cos 60°＋a2cos 60°)＝a2.
3、如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长
都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点．
（1）求·；
（2）求·；
（3）求EG的长．
【解析】设＝a，＝b，＝c.
则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°.
(1)＝＝c－a，＝－a，·＝·(－a)＝a2－a·c＝.
(2)·＝(＋＋)·(－)
＝·(－)
＝·(－)
＝·(c－a)
＝(－a·c＋b·c＋c2＋a2－a·b－a·c)
＝×＝.
(3)因为＝－a＋b＋c，
所以||2＝a2＋b2＋c2－a·b＋b·c－c·a＝，则||＝，
即EG的长为.
4、如图，已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的
边AB，BC，CD，DA的中点.
（1）求证：E，F，G，H四点共面；
（2）求证：BD∥平面EFGH；
（3）设M是EG和FH的交点，求证：对空间任一点O，有＝(＋＋＋).
【证明】（1）)连接BG，
则＝＋＝＋(＋)＝＋＋＝＋，
由共面向量定理的推论知E，F，G，H四点共面.
（2）因为＝－＝－＝(－)＝，所以EH∥BD.
又EH 平面EFGH，BD 平面EFGH，
所以BD∥平面EFGH.
（3）找一点O，并连接OM，OA，OB，OC，OD，OE，OG.
由（2）知＝，
同理＝，
所以＝，即EH∥FG，
所以四边形EFGH是平行四边形，
所以EG，FH交于一点M且被M平分.
故＝(＋)＝＋
＝＋
＝(＋＋＋).
【说明】对空间三点P，A，B，可通过证明下列结论成立来证明三点共线：①＝λ；②对空间任一点O，存在实数t，使＝＋t；③对空间任一点O，＝＋t或＝x＋y，这里x＋y＝1. 对空间四点P，M，A，B，可通过证明下列结论成立来证明四点共面：①＝x＋y；②对空间任一点O，＝＋x＋y；③对空间任一点O，＝x＋y＋z，其中x＋y＋z＝1；④∥.

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