资源简介 学生版带着如下【问题】思考、理解与应用直线与平面垂直的定义与判定定理1、直线与平面垂直的定义文字语言 图形语言 符号语言如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直,就说直线l与平面α互相垂直,直线l叫做平面α的垂线,平面α叫做直线l的垂面,它们唯一的公共点P叫做垂足 l⊥α2、直线与平面垂直的判定定理文字语言 图形语言 符号语言如果一条直线与平面内的两条相交直线都垂直,则这条直线与这个平面垂直 l⊥α【思考】一条直线与一个平面内两条平行直线垂直,那么这条直线与这个平面是什么位置关系?【解析】相交或平行或直线在平面内.3、直线与平面垂直的性质定理文字语言 垂直于同一个平面的两条直线平行符号语言 a∥b图形语言文字语言 两条平行直线中有一条垂直于一个平面,另一条也垂直于这个平面符号语言 b⊥α例1、如图,已知P是△ABC所在平面外一点,PA,PB,PC两两互相垂直,H是△ABC的垂心.求证:PH⊥平面ABC;【提示】【思维导图】1、审结论:2、审条件:3、建联系:;【规范解答】(本题12分)【说明】通过本题的证明说明:线垂直与线面垂直往往是交叉使用、灵活互化;当然,理解与用好判定定理是关键;其中,标注为①处易漏掉AP∩BP=P,PC∩CH=C和AB∩BC=B的条件,而直接证明出线面垂直,虽然结果正确,但不严密;虽然写清了①的条件,若没有写清楚②处的条件或漏掉,都是不全面的,都容易失分;若漏掉③处而直接由线面垂直得出线线垂直也是不严谨的.例2、如图,已知PA⊥圆O所在平面,AB为圆O的直径,C是圆周上的任意一点,过A作AE⊥PC于E;求证:AE⊥平面PBC.例3、如图,PA⊥平面ABCD,底面ABCD为矩形,AE⊥PB于E,AF⊥PC于F.(1)求证:PC⊥平面AEF;(2)设平面AEF交PD于G,求证:AG⊥PD.【说明】通过本题的逻辑推理;可以体验线线垂直、线面垂直证明的互相转化;一般而言,证线面垂直的方法:1、线线垂直证明线面垂直:(1)定义法(不常用);(2)判定定理最常用(有时作辅助线);2、平行转化法(利用推论);(1)a∥b,a⊥α b⊥α;(2)α∥β,a⊥α a⊥β;1、对于线面垂直的定义要注意:“直线垂直于平面内的所有直线”说法与“直线垂直于平面内无数条直线”不是一回事,后者说法是不正确的,它可以使直线与平面斜交、平行或直线在平面内.2、判定定理中要注意必须是平面内两相交直线:用线面垂直的判定定理判断一条直线与此平面垂直时,需在平面内找两条相交直线,证明一条直线同时垂直于这两条相交直线,这是证明线面垂直的一个常用方法;3、线线垂直与线面垂直的转化关系线线垂直线面垂直1、若三条直线OA,OB,OC两两垂直,则直线OA垂直于( )A.平面OAB B.平面OAC C.平面OBC D.平面ABC2、如果一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况,能保证该直线与平面垂直的是( )①三角形的两边;②梯形的两边;③圆的两条直径;④正六边形的两条边.A.①③ B.② C.②④ D.①②④3、已知正方形ABCD的边长为1,AP⊥平面ABCD,且AP=2,则PC=________.4、空间中直线l和三角形的两边AC,BC同时垂直,则这条直线和三角形的第三边AB的位置关系是________.5、已知平面α外两点A,B到平面α的距离分别是2和4,则A,B的中点P到平面α的距离是______.6、菱形ABCD的对角线交于点O,点P在ABCD所在平面外,且PA=PC,PD=PB,则PO与平面ABCD的位置关系是________.7、如图,在正方体ABCD A1B1C1D1中,E,F分别是棱AB,BC的中点,O是底面ABCD的中心,求证:EF⊥平面BB1O.8、如图,正四棱柱ABCD A1B1C1D1的底面边长为1,侧棱长为2,E,F分别为CC1,DD1的中点;(1)求证:A1F⊥平面BEF;(2)求直线A1B与平面BEF所成的角的正弦值.教师版带着如下【问题】思考、理解与应用直线与平面垂直的定义与判定定理1、直线与平面垂直的定义文字语言 图形语言 符号语言如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直,就说直线l与平面α互相垂直,直线l叫做平面α的垂线,平面α叫做直线l的垂面,它们唯一的公共点P叫做垂足 l⊥α2、直线与平面垂直的判定定理文字语言 图形语言 符号语言如果一条直线与平面内的两条相交直线都垂直,则这条直线与这个平面垂直 l⊥α【思考】一条直线与一个平面内两条平行直线垂直,那么这条直线与这个平面是什么位置关系?【解析】相交或平行或直线在平面内.3、直线与平面垂直的性质定理文字语言 垂直于同一个平面的两条直线平行符号语言 a∥b图形语言文字语言 两条平行直线中有一条垂直于一个平面,另一条也垂直于这个平面符号语言 b⊥α例1、如图,已知P是△ABC所在平面外一点,PA,PB,PC两两互相垂直,H是△ABC的垂心.求证:PH⊥平面ABC;【提示】注意题设“PA,PB,PC两两互相垂直”与“H是△ABC的垂心”的几何意义;【思维导图】1、审结论:要证“PH⊥平面ABC”,需要在△ABC 中适当找两条相交直线;2、审条件:注意利用线线垂直与垂心的几何性质,实现线线垂直与线面垂直的互化;3、建联系:利用题设“垂直”创设直线与平面垂直的判定定理需要的条件;【规范解答】(本题12分)如图所示,连接CH,因为PC⊥AP,PC⊥BP,AP∩BP=P①,AP 平面APB,BP 平面APB②,所以,PC⊥平面APB;【3分】又因为,AB 平面APB③,所以,PC⊥AB;【5分】又由已知,H为△ABC的垂心,所以,CH⊥AB;【7分】因为,PC∩CH=C①,PC 平面PHC,CH 平面PHC②,所以,AB⊥平面PHC.又因为,PH 平面PHC③,所以,AB⊥PH;【9分】同理可证PH⊥BC;【10分】又因为,AB 平面ABC,BC 平面ABC②且AB∩BC=B①,所以,PH⊥平面ABC;【12分】;【说明】通过本题的证明说明:线垂直与线面垂直往往是交叉使用、灵活互化;当然,理解与用好判定定理是关键;其中,标注为①处易漏掉AP∩BP=P,PC∩CH=C和AB∩BC=B的条件,而直接证明出线面垂直,虽然结果正确,但不严密;虽然写清了①的条件,若没有写清楚②处的条件或漏掉,都是不全面的,都容易失分;若漏掉③处而直接由线面垂直得出线线垂直也是不严谨的.例2、如图,已知PA⊥圆O所在平面,AB为圆O的直径,C是圆周上的任意一点,过A作AE⊥PC于E;求证:AE⊥平面PBC.【提示】利用线面垂直判定定理解题,注意“紧扣5个条件”;【证明】∵PA⊥平面ABC,BC 平面ABC,∴PA⊥BC.∵AC⊥BC,AC∩PA=A,∴BC⊥平面PAC.∵AE 平面PAC,∴BC⊥AE.又∵PC⊥AE,BC∩PC=C,PC 平面PBC,BC 平面PBC,∴AE⊥平面PBC.例3、如图,PA⊥平面ABCD,底面ABCD为矩形,AE⊥PB于E,AF⊥PC于F.(1)求证:PC⊥平面AEF;(2)设平面AEF交PD于G,求证:AG⊥PD.【提示】PA⊥平面ABCD,ABCD为矩形,AE⊥PB,AF⊥PC 直线与平面垂直的判定定理;若一条直线垂直于一个平面,则垂直于这个平面内的所有直线.【证明】(1)因为PA⊥平面ABCD,BC 平面ABCD,所以PA⊥BC.又AB⊥BC,PA∩AB=A,所以BC⊥平面PAB,AE 平面PAB,所以AE⊥BC;又AE⊥PB,PB∩BC=B,所以AE⊥平面PBC,PC 平面PBC,所以AE⊥PC.又因为PC⊥AF,AE∩AF=A,所以PC⊥平面AEF.(2)由(1)知PC⊥平面AEF,所以PC⊥AG,同理CD⊥平面PAD,AG 平面PAD,所以CD⊥AG,PC∩CD=C,所以AG⊥平面PCD,PD 平面PCD,所以AG⊥PD;【说明】通过本题的逻辑推理;可以体验线线垂直、线面垂直证明的互相转化;一般而言,证线面垂直的方法:1、线线垂直证明线面垂直:(1)定义法(不常用);(2)判定定理最常用(有时作辅助线);2、平行转化法(利用推论);(1)a∥b,a⊥α b⊥α;(2)α∥β,a⊥α a⊥β;1、对于线面垂直的定义要注意:“直线垂直于平面内的所有直线”说法与“直线垂直于平面内无数条直线”不是一回事,后者说法是不正确的,它可以使直线与平面斜交、平行或直线在平面内.2、判定定理中要注意必须是平面内两相交直线:用线面垂直的判定定理判断一条直线与此平面垂直时,需在平面内找两条相交直线,证明一条直线同时垂直于这两条相交直线,这是证明线面垂直的一个常用方法;3、线线垂直与线面垂直的转化关系线线垂直线面垂直1、若三条直线OA,OB,OC两两垂直,则直线OA垂直于( )A.平面OAB B.平面OAC C.平面OBC D.平面ABC【答案】C;【解析】∵OA⊥OB,OA⊥OC,OB∩OC=O,OB 平面OBC,OC 平面OBC,∴OA⊥平面OBC;2、如果一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况,能保证该直线与平面垂直的是( )①三角形的两边;②梯形的两边;③圆的两条直径;④正六边形的两条边.A.①③ B.② C.②④ D.①②④【答案】A3、已知正方形ABCD的边长为1,AP⊥平面ABCD,且AP=2,则PC=________.【答案】4、空间中直线l和三角形的两边AC,BC同时垂直,则这条直线和三角形的第三边AB的位置关系是________.【答案】垂直;【解析】∵l⊥AC,l⊥BC,且AC∩BC=C,∴l⊥平面ABC,又∵AB平面ABC,∴l⊥AB;5、已知平面α外两点A,B到平面α的距离分别是2和4,则A,B的中点P到平面α的距离是______.【答案】1或3;【解析】A,B在α同一侧时,P到α的距离为3;A,B在α异侧时,P到α的距离为1;6、菱形ABCD的对角线交于点O,点P在ABCD所在平面外,且PA=PC,PD=PB,则PO与平面ABCD的位置关系是________.【答案】PO⊥平面ABCD7、如图,在正方体ABCD A1B1C1D1中,E,F分别是棱AB,BC的中点,O是底面ABCD的中心,求证:EF⊥平面BB1O.【证明】∵E,F分别是棱AB,BC的中点,∴EF是△ABC的中位线,∴EF∥AC.∵ABCD为正方形,∴AC⊥BO,EF⊥BO.又∵BB1⊥平面ABCD,EF平面ABCD,∴EF⊥BB1.又BO∩BB1=B,∴EF⊥平面BB1O.8、如图,正四棱柱ABCD A1B1C1D1的底面边长为1,侧棱长为2,E,F分别为CC1,DD1的中点;(1)求证:A1F⊥平面BEF;(2)求直线A1B与平面BEF所成的角的正弦值.【解析】(1)证明:连结AF.∵E,F分别为CC1,DD1的中点,∴EF∥AB且EF=AB,∴四边形ABEF为平行四边形;又在正四棱柱ABCD A1B1C1D1中,AB⊥平面AA1D1D,A1F平面AA1D1D,∴AB⊥A1F,∴EF⊥A1F.由已知,得AF=,A1F=,AA1=2,∴A1F2+AF2=AA,∴AF⊥A1F.又AF∩EF=F,∴A1F⊥平面ABEF,即A1F⊥平面BEF.(2)∵A1F⊥平面BEF.∴A1B在平面BEF上的射影为BF,∴∠A1BF为直线A1B与平面BEF所成的角.由已知,得A1F=,A1B=,∴sin∠A1BF=,即A1B与平面BEF所成角的正弦值为. 展开更多...... 收起↑ 资源预览