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3.2.1 单调性与最大（小）值
学案
一、学习目标
1.借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值.
2.理解函数单调性的作用和实际意义，会判断函数的单调性.
3.理解函数的最大（小）值的作用和实际意义，会借助单调性求函数的最大（小）值.
二、知识归纳
1.单调性的定义：一般地，设函数的定义域为I，区间：如果，，当时，都有，那么就称函数在区间D上单调递增. 特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，就称它是增函数.如果，，当时，都有，那么就称函数在区间D上单调递减.特别地，当函数在它的定义域上单调递减时，就称它是减函数.
2.函数的最大（小）值：一般地，设函数的定义域为I，如果存在实数M满足：，都有；，使得.那么称M是函数的最大值.如果存在实数M满足：，都有；，使得.那么称M是函数的最小值.
三、习题检测
1.函数在区间[上的最小值为( )
A. B.-1 C. D.-2
2.下列四个函数中，在区间上单调递增的是( )
A. B.
C. D.
3.已知是定义在R上的减函数，那么实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
4.某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，销售x辆该品牌车的利润（单位：万元）分别为和.若该公司在两地共销售15辆该品牌车，则能获得的最大利润为( )
A.90万元 B.60万元 C.120万元 D.120.25万元
5.已知函数，，若对任意的，总存在使得成立，则实数k的取值范围为( )
A. B. C. D.
6.（多选）如果函数在上是增函数，那么对于任意的，，下列结论中不正确的有( )
A.
B.
C.若，则
D.若，则
7.（多选）已知函数，，构造函数，那么关于函数的说法正确的是( )
A.的图象与x轴有3个交点
B.在上单调递增
C.有最大值1，无最小值
D.有最大值3，最小值1
8.函数的单调递减区间是____________________.
9.设，，当时，的最小值是__________，若的最小值为1，则a的取值范围为_____________.
10.函数的定义域为R，，当时，，对任意的a，，有，下列结论中：①；②对任意，有；③是R上的减函数，正确结论的序号为____________.
11.已知函数.
（1）若，求a的值；
（2）判断在上的单调性并用定义证明.
12.某公司有60位员工，为提高员工的业务技术水平，公司拟聘请专业培训机构进行培训.培训的总费用由两部分组成：一部分是给每位参加员工支付400元的培训材料费；另一部分是给培训机构缴纳的培训费.若参加培训的员工人数不超过30，则每人收取培训费1000元；若参加培训的员工人数超过30，则每超过1人，人均培训费减少20元.设公司参加培训的员工为x人，此次培训的总费用为y元.
（1）求出y与x之间的函数关系式；
（2）请你预算公司此次培训的总费用最多需要多少元.
答案以及解析
1.答案：C
解析：因为的图象开口向上，对称轴为直线，所以在区间上，当时，函数取得最小值.故选C.
2.答案：D
解析：对于A，为一次函数，在区间上单调递减，不符合题意；
对于B，为二次函数，在区间上单调递减，不符合题意；
对于C，在区间上单调递减，不符合题意；
对于D，在区间上单调递增，符合题意.故选D.
3.答案：C
解析：要使在R上为减函数，必须同时满足3个条件：①在上为减函数；②在上为减函数；③.
所以，解得.故选C.
4.答案：C
解析：设公司在甲地销售m辆该品牌车，则在乙地销售辆，，且，设公司获利为L万元，则，当或时，L取得最大值120，即该公司在两地共销售15辆该品牌车时，能获得的最大利润为120万元.故选C.
5.答案：A
解析：在函数中，当时，是减函数，因此，；当时，也是减函数，因此，，当时，，即，在函数中，由知，在上单调递增，，若，总存在使得，则，解得，又，.故选A.
6.答案：BC
解析：因为在上是增函数，所以对于任意的，，与的符号相同，故A正确，B不正确；若，则，所以C不正确，D正确.故选BC.
7.答案：AC
解析：由，得，则，作出的图象如图所示，
由图可知，的图象与x轴有3个交点，在上单调递减，有最大值1，没有最小值.故选AC.
8.答案：
解析：，，结合二次函数的图象(图略)可得，的单调递减区间是.
9.答案：-7；
解析：当时，在上单调递减，，由函数的解析式知，若的最小值为1，则在上单调递增，而的图象开口向上，对称轴为直线，，即a的取值范围是.
10.答案：①②
解析：令，则，又因为，所以，故①正确；当时，，当时，，即当时，，当时，，则，由题意得，则，故②正确；对任意的，，设，故存在正数m，使得，则，因为当时，，所以，因为对任意，有，所以，即，所以是R上的增函数，故③不正确.故正确结论的序号为①②.
11.解析：（1），，.
（2）在上是增函数，证明如下：
任取，，且，
则，
，，，，
，即，
在上是增函数.
12.解析：（1）当，时，；
当，时，.
故.
（2）当，时，，
所以当时，y取得最大值42000；
当，时，，
所以当时，y取得最大值50000.
综上所述，公司此次培训的总费用最多需要50000元.

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