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01 集合
目录
【题型一】 集合的表示 1
【题型二】 集合元素的特征 3
【题型三】 集合的关系 4
【题型四】 集合的运算 6
【题型五】 集合与排列组合 8
【题型六】 新定义 10
【题型七】 集合与圆锥曲线 12
一、热点题型归纳
【题型一】集合的表示
【典例分析】
如图，四个棱长为的正方体排成一个正四棱柱，是一条侧棱，是上底面上其余的八个点，则集合中的元素个数（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】A
【分析】
本题首先可根据图像得出，然后将转化为，最后根据棱长为以及即可得出结果.
【详解】
由图像可知，，则，
因为棱长为，，所以，，
故集合中的元素个数为，故选：A.
【提分秘籍】
基本规律
列举法，注意元素互异性和无序性
描述法，注意准确理解集合元素，能理解不同符号的元素
【变式演练】
1.设集合，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
对于集合，令和，即得解.
【详解】
，，，，
对于集合，当时，，；
当时，，．
，故选：B．
2.，若表示集合中元素的个数，则_______，则_______．
【答案】11； 682．
【详解】
试题分析：当时，，，即，，
由于不能整除3，从到，，3的倍数，共有682个，
3.已知集合M是满足下列性质的函数的全体：存在非零常数k，对定义域中的任意x，等式＝＋恒成立．现有两个函数：，，则函数、与集合M的关系为___________________________ .
【答案】M,
【解析】
（1）若＝ax＋b∈M，则存在非零常数k，对任意x∈D均有 ＝akx＋b＝＋，即a(k－1)x＝恒成立，得无解，所以M．
（2）＝＋，则＝，k＝4，k＝2时等式恒成立，所以＝∈M．
【题型二】 集合元素的特征--
【典例分析】
已知集合，，则集合的元素个数为（ ）
A．6 B．7
C．8 D．9
【答案】B
【分析】
解指数不等式求得集合，解分式不等式求得集合，由此求得集合的元素个数.
【详解】
由得，，解得，所以.由解得，所以.所以，共有个元素.
故选：B.
【提分秘籍】
基本规律
1.研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性。
2.研究两（多个）集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系。
【变式演练】
1.已知集合,则下列四个元素中属于M的元素的个数是（ ）
①;②;③;④
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【分析】
①②③都可以写成的形式，验证是否是有理数，④计算的平方验证，判断.
【详解】
①当时，可得，这与矛盾，
② ，可得 ，都是有理数，所以正确，
③，，可得，都是有理数，所以正确，
④而 ，，
是无理数，不是集合中的元素，
只有②③是集合的元素.
故选：C
2.函数，则集合元素的个数有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】D
【分析】
根据分段函数解析式，结合集合元素要满足的性质，通过分类讨论求所有满足条件的的值，进而确定集合中元素的个数．
【详解】
当时，，解得，
当时，若，解得，
当时，若，解得，
当时，若，则，解得或.
又∵
∴或
∴或或或或.
∴集合元素的个数有5个.故选：D．
3.已知集合，集合的所有非空子集依次记为：，设分别是上述每一个子集内元素的乘积，（如果的子集中只有一个元素，规定其积等于该元素本身），那么___________________．
【答案】
【详解】
试题分析：集合所有子集的“乘积”之和为函数展开式中所有项数之和；因为，所以．
【题型三】 集合的关系-
【典例分析】
已知集合U={1，2，3，4，5，6，7，8}，A={1，2，3，4，5}，B={4，5，6，7，8}，则是集合U的子集但不是集合A的子集，也不是集合B的子集的集合个数为____________ .
【答案】196个
【分析】
先找出集合U的子集个数，再减去集合A或集合B的子集个数，即可得出结果.
【详解】
集合U的子集个数为28，其中是集合A或集合B的子集个数为，所以满足条件的集合个数为.
【提分秘籍】
基本规律
1.注意子集和真子集的区别和练习
2.判断集合之间的关系：
（1）定义判断
（2）数形结合判断
【变式演练】
1.若，则集合的个数是．
A．4 B．3 C．2 D．8
【答案】C
【分析】
先将集合用列举法来表示,即,根据真子集的关系确定集合的可能性即可
【详解】
∵,∴,
∴可以为,,
故选C
2.设是全集，若，则下列关系式一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
利用Venn图，通过举例说明A，B，D错误，从而选C.
【详解】
如图，，此时 ，A错，B，B错，，D错，
故选：C
3.已知集合若，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
利用集合的包含关系即求.
【详解】
由题意， ，
∵集合，
①；
②m 时，成立；
③
综上所述，
故选：B.
【题型四】 集合的运算-
【典例分析】
已知集合，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
求三角函数的值域求得集合，解不等式求得集合，由此求得.
【详解】
对于集合，
.所以.
对于集合，，
所以，
所以，
所以.
故选：B
【提分秘籍】
基本规律
注意并集与交集的大小关系
补集和全集是不可分割的两个概念
【变式演练】
1.已知，，若，则a的取值范围是（ ）.
A． B．或
C．或 D．以上答案都不对
【答案】D
【分析】
法1.可以代特殊值，对答案进行排除；
法2.画出图形，进而使得双曲线与圆没有公共点即可，然后根据图形的位置关系解得答案.
【详解】
法1.当时，总可找到一个适当的a值，使；又当时，也有.于是a的取值范围有三个不同的区间，对照选择，排除A、B、C.
故选：D.
法2.由已知，集合P表示双曲线上的点构成的集合；集合Q表示圆上的点构成的集合，则问题双曲线C1与圆C2没有公共点.
如图1所示：圆C2位于双曲线C1外，
此时，.
如图2所示：圆C2位于双曲线C1内（仅画了圆在右侧），
先考虑两者相切时，联立，
，
由图形可知，若圆C2位于双曲线C1内，则或.
综上：或或.故选：D.
2.已知， ，若集合，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
先由集合分别求出的范围，由得范围相同，可知交是否是空集取决于的范围，然后分情况讨论即可求解
【详解】
因为，
所以得到；得到；
因为
所以，，
所以交是否是空集取决于的范围，
因为，
所以，
当时，；当时，
所以当集合时，实数的取值范围是：
故选：A．
3.若，，定义，
则
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
试题分析：由题意，
，
所以,
所以
【题型五】 集合与排列组合概率
【典例分析】
已知非空集合，设集合，.分别用、、表示集合、、中元素的个数，则下列说法不正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则可能为18 D．若，则不可能为19
【答案】D
【分析】
分析集合中的元素，将问题转化为排列组合问题，求出的最大值，若集合由相邻元素构成时，则取得最小值，依次分析各个选项，即可得解.
【详解】
已知，.
又、、表示集合、、中元素的个数，将问题转化为排列组合问题，
对于AB，，，，则，故B正确；
但若考虑重复情况，即由相邻元素构成，例，则，，即，故A正确；
对于CD，，，，则，故D错误；
但若考虑重复情况，即由相邻元素构成，例，则，，即，故可能为18，故C正确；
故选：D
【提分秘籍】
基本规律
利用排列组合思想求集合或者集合中元素的个数，需要运用逻辑分析和转化化归的思想
【变式演练】
1.设，与是的子集，若，则称为一个“理想配集”.那么符合此条件的“理想配集”（规定与是两个不同的“理想配集”的个数是（ ）
A．16 B．9 C．8 D．4
【答案】B
【分析】
根据题意，子集和不可以互换，从子集分类讨论，结合计数原理，即可求解.
【详解】
由题意，对子集分类讨论：
当集合，集合可以是，共4中结果；
当集合，集合可以是，共2种结果；
当集合，集合可以是，共2种结果；
当集合，集合可以是，共1种结果，
根据计数原理，可得共有种结果.
故选：B.
2.已知集合，若A，B是P的两个非空子集，则所有满足A中的最大数小于B中的最小数的集合对(A,B)的个数为（ ）
A．49 B．48 C．47 D．46
【答案】A
【分析】
利用分类计数法，当A中的最大数分别为1、2、3、4时确定A的集合数量，并得到对应的集合个数，它们在各情况下个数之积，最后加总即为总数量.
【详解】
集合知：
1、若A中的最大数为1时，B中只要不含1即可：的集合为，
而有 种集合，集合对(A,B)的个数为15；
2、若A中的最大数为2时，B中只要不含1、2即可：
的集合为，而B有种，
集合对(A,B)的个数为；
3、若A中的最大数为3时，B中只要不含1、2、3即可：
的集合为，而B有种，
集合对(A,B)的个数为；
4、若A中的最大数为4时，B中只要不含1、2、3、4即可：
的集合为，
而B有种，集合对(A,B)的个数为；
∴一共有个，故选：A
3.设集合，选择A的两个非空子集B和C，要使C中最小的数大于B中的最大数，则不同的选择方法有________；
【答案】
【分析】
分类讨论集合中的最大元素，利用集合的非空子集的个数的求法把所有满足题意的情况求出来即可得出结果.
【详解】
由题意得：
当集合中的最大元素为时，满足题意的集合共有1个，对应的集合共有个，即满足题意的共有个；
当集合中的最大元素为时，满足题意的集合共有个，对应的集合共有个，即满足题意的共有个；
当集合中的最大元素为时，满足题意的集合共有个，对应的集合共有个，即满足题意的共有个；
当集合中的最大元素为时，满足题意的集合共有个，对应的集合共有个，即满足题意的共有个；
当集合中的最大元素为时，满足题意的集合共有个，对应的集合共有个，即满足题意的共有个；
综上：满足题意的不同的选择方法有：
，故答案为：.
【题型六】 新定义--
【典例分析】
用C(A)表示非空集合A中的元素个数，定义A*B＝若A＝{1，2}，B＝{x|(x2＋ax)·(x2＋ax＋2)＝0}，且A*B＝1，设实数a的所有可能取值组成的集合是S，则C(S)等于（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
【答案】B
【分析】
根据题意可得或，进而讨论a的范围，确定出，最后得到答案.
【详解】
因为，，所以或，
由，得，
关于x的方程，
当时，即时，易知，符合题意；
当时，即或时，易知0， -a不是方程的根，故，不符合题意；
当时，即时，方程 无实根，
若a=0，则B={0}，，符合题意，
若或，则，不符合题意.
所以，故.故选：B.
【提分秘籍】
解题思路
1.新定义题核心在于读懂题意。读懂里边的数学知识，一般情况下，它所涉及到的知识和方法并不难，难在“翻译”
2.新定义题，主要是在题干中定义“新的概念，新的计算公式，新的运算法则，新的定理”，要根据这些新定义去解决问题，有时为了有助于理解，还可以用类比的方法理解。
【变式演练】
1.定义，设、、是某集合的三个子集，且满足，则是的（ ）
A．充要条件 B．充分非必要条件
C．必要非充分条件 D．既非充分也非必要条件
【答案】A
【分析】
作出示意图，由可知两个阴影部分均为，根据新定义结合集合并集的运算以及充分条件与必要条件的定义判断即可.
【详解】
如图，由于，故两个阴影部分均为，于是，
（1）若，则，，而，
成立；
（2）反之，若，则由于，，
，，，故选：A
2.已知集合，若A，B是P的两个非空子集，则所有满足A中的最大数小于B中的最小数的集合对(A,B)的个数为（ ）
A．49 B．48 C．47 D．46
【答案】A
【分析】
利用分类计数法，当A中的最大数分别为1、2、3、4时确定A的集合数量，并得到对应的集合个数，它们在各情况下个数之积，最后加总即为总数量.
【详解】
集合知：
1、若A中的最大数为1时，B中只要不含1即可：的集合为，
而有 种集合，集合对(A,B)的个数为15；
2、若A中的最大数为2时，B中只要不含1、2即可：
的集合为，而B有种，
集合对(A,B)的个数为；
3、若A中的最大数为3时，B中只要不含1、2、3即可：
的集合为，而B有种，
集合对(A,B)的个数为；
4、若A中的最大数为4时，B中只要不含1、2、3、4即可：
的集合为，
而B有种，集合对(A,B)的个数为；
∴一共有个，故选：A
3.在元数集中，设，若的非空子集满足，则称是集合的一个“平均子集”，并记数集的元“平均子集”的个数为．已知集合，，则下列说法错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
根据新定义求出元平均子集的个数，逐一判断，由此得出正确选项．
【详解】
，将中的元素分成5组，，，，．
则，,,；
同理：，将中的元素分成5组，，，，．
则，．
∴，，，．
故选：C．
【题型七】 集合与圆和圆锥曲线-
【典例分析】
设集合，（）.当有且只有一个元素时，则正数的所有取值为（ ）
A．或 B．
C．或 D．或
【答案】C
【分析】
依题画出满足题意的图形，因为有且只有一个元素，所以圆N和圆M只有一个交点，所以圆N的位置为圆（1）和介于圆（2）、圆（3）之间两种情况，然后分析计算即可得解.
【详解】
，，即圆M：的上半部分，如图：
圆M的圆心坐标为，半径为2，圆N的圆心坐标为，半径为r，
因为有且只有一个元素，所以圆N和圆M只有一个交点，
所以圆N的位置为圆（1）和介于圆（2）、圆（3）之间两种情况，
①外切：，d为圆心距，，此时，
②介于圆（2）、圆（3）之间：圆（2）处的半径，
圆（3）处的半径，所以，
综上，正数的所有取值为或.故选：C.
【提分秘籍】
基本规律
注意解析几何中公式的形式及应用
数形结合。
【变式演练】
1.已知集合，集合，若，则实数的取值范围是_______．
【答案】
【详解】
试题分析：集合表示由直线围成的平面区域，集合表示以为圆心，半径为的圆. 为使，须圆落在上述平面区域内.由圆心到直线及的距离等于，即，得或，或，又，故实数的取值范围，
2.设集合， ，记，则点集所表示的轨迹长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
分析集合A，B所对应的几何图形，将问题转化为直线与圆的位置关系，如题图，其交集P对应的几何图形为线段AB，计算AB的长即可。
【详解】
由题意的圆心为，半径为1，
而圆心（-3sinα，-3cosα），满足（-3sinα）2+（-3cosα）2=9，
故圆心在以（0，0）圆心，半径为3的圆上，
∴集合A对应的几何图形为圆x2+y2=4和x2+y2=16之间的圆环区域，
由于原点到直线的距离为，所以直线恰好与圆环的小圆相切．
所以表示的是直线截圆环的大圆所得的弦长．
故点集所表示的轨迹长度为．故选D．
3.如图，有6个半径都为1的圆，其圆心分别为O1(0，0)，O2(2，0)，O3(4，0)，O4(0，2)，O5(2，2)，O6(4，2)．记集合M＝{⊙Oi｜i＝1，2，3，4，5，6}．若A，B为M的非空子集，且A中的任何一个圆与B中的任何一个圆均无公共点，则称 (A，B) 为一个“有序集合对”(当A≠B时，(A，B) 和 (B，A) 为不同的有序集合对)，那么M中 “有序集合对”(A，B) 的个数是
A．50 B．54 C．58 D．60
【答案】B
【详解】
当时，可以是集合的非空子集，有个．同理，当或或时的情况类似，则总共有28种可能情况；
当时，可以是集合的非空子集，有个．当的情况类似，则总共有6种可能情况；
当时，可以是集合的非空子集，有个．当的情况类似，则总共有6种可能情况；
当时， ．当或或或或或或或或的情况类似，则总共有10种可能情况；
当时， ．当或或的情况类似，则总有4种可能．集合
一、热点题型归纳
【题型一】集合的表示
【典例分析】
如图，四个棱长为的正方体排成一个正四棱柱，是一条侧棱，是上底面上其余的八个点，则集合中的元素个数（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【提分秘籍】
基本规律
列举法，注意元素互异性和无序性
描述法，注意准确理解集合元素，能理解不同符号的元素
【变式演练】
1.设集合，，，，则（ ）
A． B． C． D．
2.，若表示集合中元素的个数，则_______，则_______．
3.已知集合M是满足下列性质的函数的全体：存在非零常数k，对定义域中的任意x，等式＝＋恒成立．现有两个函数：，，则函数、与集合M的关系为___________________________ .
【题型二】 集合元素的特征--
【典例分析】
已知集合，，则集合的元素个数为（ ）
A．6 B．7
C．8 D．9
【提分秘籍】
基本规律
1.研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性。
2.研究两（多个）集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系。
【变式演练】
1.已知集合,则下列四个元素中属于M的元素的个数是（ ）
①;②;③;④
A．4 B．3 C．2 D．1
2.函数，则集合元素的个数有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
3.已知集合，集合的所有非空子集依次记为：，设分别是上述每一个子集内元素的乘积，（如果的子集中只有一个元素，规定其积等于该元素本身），那么___________________．
【题型三】 集合的关系-
【典例分析】
已知集合U={1，2，3，4，5，6，7，8}，A={1，2，3，4，5}，B={4，5，6，7，8}，则是集合U的子集但不是集合A的子集，也不是集合B的子集的集合个数为____________ .
【提分秘籍】
基本规律
1.注意子集和真子集的区别和练习
2.判断集合之间的关系：
（1）定义判断
（2）数形结合判断
【变式演练】
1.若，则集合的个数是．
A．4 B．3 C．2 D．8
2.设是全集，若，则下列关系式一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3.已知集合若，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【题型四】 集合的运算-
【典例分析】
已知集合，，，则（ ）
A． B． C． D．
【提分秘籍】
基本规律
注意并集与交集的大小关系
补集和全集是不可分割的两个概念
【变式演练】
1.已知，，若，则a的取值范围是（ ）.
A． B．或
C．或 D．以上答案都不对
2.已知， ，若集合，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3.若，，定义，
则
A． B． C． D．
【题型五】 集合与排列组合概率
【典例分析】
已知非空集合，设集合，.分别用、、表示集合、、中元素的个数，则下列说法不正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则可能为18 D．若，则不可能为19
【提分秘籍】
基本规律
利用排列组合思想求集合或者集合中元素的个数，需要运用逻辑分析和转化化归的思想
【变式演练】
1.设，与是的子集，若，则称为一个“理想配集”.那么符合此条件的“理想配集”（规定与是两个不同的“理想配集”的个数是（ ）
A．16 B．9 C．8 D．4
2.已知集合，若A，B是P的两个非空子集，则所有满足A中的最大数小于B中的最小数的集合对(A,B)的个数为（ ）
A．49 B．48 C．47 D．46
3.设集合，选择A的两个非空子集B和C，要使C中最小的数大于B中的最大数，则不同的选择方法有________；
【题型六】 新定义--
【典例分析】
用C(A)表示非空集合A中的元素个数，定义A*B＝若A＝{1，2}，B＝{x|(x2＋ax)·(x2＋ax＋2)＝0}，且A*B＝1，设实数a的所有可能取值组成的集合是S，则C(S)等于（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
【提分秘籍】
解题思路
1.新定义题核心在于读懂题意。读懂里边的数学知识，一般情况下，它所涉及到的知识和方法并不难，难在“翻译”
2.新定义题，主要是在题干中定义“新的概念，新的计算公式，新的运算法则，新的定理”，要根据这些新定义去解决问题，有时为了有助于理解，还可以用类比的方法理解。
【变式演练】
1.定义，设、、是某集合的三个子集，且满足，则是的（ ）
A．充要条件 B．充分非必要条件
C．必要非充分条件 D．既非充分也非必要条件
2.已知集合，若A，B是P的两个非空子集，则所有满足A中的最大数小于B中的最小数的集合对(A,B)的个数为（ ）
A．49 B．48 C．47 D．46
3.在元数集中，设，若的非空子集满足，则称是集合的一个“平均子集”，并记数集的元“平均子集”的个数为．已知集合，，则下列说法错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【题型七】 集合与圆和圆锥曲线-
【典例分析】
设集合，（）.当有且只有一个元素时，则正数的所有取值为（ ）
A．或 B．
C．或 D．或
【提分秘籍】
基本规律
注意解析几何中公式的形式及应用
数形结合。
【变式演练】
1.已知集合，集合，若，则实数的取值范围是_______．
2.设集合， ，记，则点集所表示的轨迹长度为（ ）
A． B． C． D．
3.如图，有6个半径都为1的圆，其圆心分别为O1(0，0)，O2(2，0)，O3(4，0)，O4(0，2)，O5(2，2)，O6(4，2)．记集合M＝{⊙Oi｜i＝1，2，3，4，5，6}．若A，B为M的非空子集，且A中的任何一个圆与B中的任何一个圆均无公共点，则称 (A，B) 为一个“有序集合对”(当A≠B时，(A，B) 和 (B，A) 为不同的有序集合对)，那么M中 “有序集合对”(A，B) 的个数是
A．50 B．54 C．58 D．60

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