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05 复合二次型和镶嵌函数的零点
目录
【题型一】 一元二次复合型基础：可因式分解型 1
【题型二】 一元二次复合型：根的分布型 3
【题型三】 一元二次复合型：参变飞羽判别式、求根公式型 6
【题型四】 一元二次复合型：线性规划型（老高考） 10
【题型五】 一元二次复合型：函数性质综合型 13
【题型六】 嵌套函数基础型 16
【题型七】 嵌套函数常规型：无参数双坐标系换元转换法 18
【题型八】 嵌套函数含参型：解析式含参 20
【题型九】 嵌套函数含参型：参数在方程 24
【题型十】 嵌套函数含参型：双函数型 28
【题型十一】 嵌套函数双复合型 33
【题型一】 一元二次复合型基础型：可因式分解
【典例分析】
已知函数，若关于的方程有且仅有三个不同的实数解，则实数的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先利用导函数求的单调性，根据其单调性作出的大致图像，然后结合已知条件将方程解的问题转换成交点问题即可求解.
【详解】因为，所以，当，；当，，
所以在和单调递减，在单调递增，
且当时，，，故的大致图象如图所示：
关于的方程等价于，
即或，由图知，方程有且仅有一解，则有两解，
所以，解得，故选:C.
【提分秘籍】
基本规律
1.以f（x）为变量，可转化为一元二次型
2.一元二次可通过因式分解，转化为“水平线与f（x）交点型”
【变式演练】
1.已知是定义在上的偶函数，且满足，若关于的方程有10个不同的实数解，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】求导分析的单调性、极值、边界情况，画出函数在的图象，数形结合即得解
【详解】当时，，，当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
当时，取得极小值，且，当时，；
当时，单调递增，且此时.
函 数在的图象如下图所示：
方程即，
由图象可知，在有3个实数解，由于为偶函数，故在R上有6个实数解
所以只需要有4个不同的实数解，
可得或，故选：B.
2.函数若关于的方程有五个不同的实数解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
首先根据题意得到或，再根据函数图象即可得到答案.
【详解】因为，所以，
即或，由图象可知：
有个解，所以有个解，所以或.
故选：B
3.已知函数，若关于的方程有个不同的实数解，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
令，得或，将问题等价转化为直线和直线与函数的图象共有个交点，数形结合可得出实数的取值范围.
【详解】
令，即，得或，
则直线和直线与函数的图象共有个交点.
当时，，，令，得.
当时，，此时函数单调递增；
当时，，此时函数单调递减.
函数的极大值为，且当时，，如下图所示：
由于关于的方程有个不同的实数解，
由图象可知，直线与函数的图象只有一个交点，
所以，直线与函数的图象有个交点，所以，解得.
因此，实数的取值范围是.故选：D.
【题型二】 一元二次复合型：根的分布型
【典例分析】
已知函数，若关于的方程 有三个不同的实数解，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据函数的单调性，作出大致图象，设，则有三个不同的实数解，对方程进行分析，当时，不符合题意，当时，必有两根，其中，再根据二次函数的性质，即可求出结果．
【详解】由的定义域为， ， 所以在上，，单调递减，
在上，，单调递增，所以，
若关于的方程有三个不同的实数解，
令，则关于的方程等价于关于的方程，作出函数的草图，如下：
由图像可知，当，方程为，此时只有一个根，不合题意，
当时，即 ，设方程有两根，分别为，
又，由图像可知， ， 令，则，即解得，，又，所以的取值范围是.故选：A．
【提分秘籍】
基本规律
1.“一元二次”系数多参，无法因式分解
2.可通过分析f（x）图像，确定“水平线与f（x）”交点情况。进而确定一元二次根的范围
3.通过“根的分布”知识转化为不等式（组）求解
【变式演练】
1.已知函数，若关于的方程恰有6个不同的实数解，则的取值情况不可能的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【分析】根据函数的图像，令，则，则方程有两解，
必有，或者，利用一元二次方程的性质与二次函数的图像性质分别分析，即可得解.
【详解】如图，若要有6个不同实数解，
令，则，则有两解，必有，或者，
若①，，则，此时，得，满足，即，此时为A；若②，，此时，则，此时为D；若③，，此时，，此时为C，所以选项ACD都有可能.故选：B
2.设函数若关于x的方程恰好有六个不同的实数解，则实数a的取值范围为
A．(2－2， B．(－2－2，2－2)
C．(，＋∞) D．(2－2，＋∞)
【答案】A
【分析】画出的图像，利用图像，利用换元法，将方程恰好有六个不同的实数解的问题，转化为一元二次方程在给定区间内有两个不同的实数根，由此列不等式组，解不等式组求得的取值范围.
【详解】
画出的图像如下图所示，令，则方程转化为，由图可知，要使关于的将方程恰好有六个不同的实数解，则方程在内有两个不同的实数根，所以，解得.
故选：A
3.设定义域为的函数，若关于的方程有7个不同的实数解，则
A． B． C．或2 D．
【答案】B
【详解】设，作出函数图象，如图所示：
由图象可知：
当时，函数图象有2个交点，
当时，函数图象有3个交点，
当时，函数图象有4个交点，
当时，函数图象有两个交点，
当，函数图象无交点．
要使方程有7个不同的实数解，则要求对应方程中的两个根或，且∴∴故选B
【题型三】 一元二次复合型：参变分离与判别式、求根公式型
【典例分析】
已知，若关于的方程恰有3个不同的实数解（为自然对数的底数），则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】求导得，，，，分析导数的正负，单调性，最值，作出的图象，令，或，方程，转化为，令，或，分析单调性，作出图象，分两种情况：当、、，分析与交点个数，进而可得的取值范围．
解：，，，，令，得，在上，，单调递减，在上，，单调递增，所以，
在上，，单调递减，且，
在上，当时，，当时，，
在上，当时，，当时，，
作出的大致图象：
令，或，方程，即为，则，
令，或，所以在，上单调递减，，在上，当时，，当时，，
作出的大致图象如下：
①当时，与有两个交点，不妨设交点的横坐标为，，
当时，结合图象可，，
当，则方程有一个根，
当，则方程有两个根，，符合题意；
当时，，，不合题意；
②当时，与有一个交点，不妨设交点横坐标，
结合图象可得，则方程有一个根，不合题意；
综上所述，的取值范围为，故选：C．
【提分秘籍】
基本规律
对于具有特殊形式的“一元二次型”
可以通过参变分离求解参数
可以通过判别式来讨论判断
可通过求根公式来计算。
【变式演练】
1.已知函数，设关于的方程有个不同的实数解，则的所有可能的值为（ ）
A．3 B．1或3 C．4或6 D．3或4或6
【答案】B
【分析】由已知，，令，解得或，则函数在和上单调递增，在上单调递减，极大值，最小值.
f(x)的图象如下：
综上可考查方程的根的情况如下：
（1）当或时，有唯一实根；
（2）当时，有三个实根；
（3）当或时，有两个实根；
（4）当时，无实根.
令，则由，得，
当时，由，
符号情况（1），此时原方程有1个根，
由，而，符号情况（3），此时原方程有2个根，综上得共有3个根；
当时，由，又，
符号情况（1）或（2），此时原方程有1个或三个根，
由，又，符号情况（3），此时原方程有两个根，
综上得共1个或3个根.综上所述，的值为1或3.故选B.
2.已知函数，若关于的方程有个不同的实数解，则的所有可能的值构成的集合为______．
【答案】
【分析】
求函数的导数，判断函数的极值，作出函数的图象，设，利用根与系数之间的关系得到的两根之积，利用数形结合进行讨论求解即可．
【详解】
函数的导数为，
由，得，递增；
由，得或，递减．
即有在处取得极小值；在处取得极大值，
作出的图象，如图所示:
关于的方程，令，则，由判别式，方程有两个不等实根，，则原方程有一正一负实根．而，即当，则，此时和的图象有两个交点，与 的图象有1个交点，此时共有3个交点，
当，则，此时和 的图象有1个交点，与的图象有2个交点，此时共有3个交点，
当，则，此时和 的图象有3个交点，与的图象有0交点，此时共有3个交点，
当，则，此时和 的图象有2个交点，与的图象有1个交点，此时共有3个交点，
当，则，此时和 的图象有1个交点，与 的图象有2个交点，此时共有3个交点，
当，则，此时和的图象有0个交点，与的图象有3个交点，此时共有3个交点，
综上,方程恒有3个不同的实数解，即，
即的所有可能的值构成的集合为，故答案为．
3.已知，关于的不等式有且只有一个整数解，则实数的最大值是____．
【答案】8【分析】
先作出函数图像，再根据 a,b的正负性，结合函数图象讨论求解.
【详解】作出的函数图象如图所示：
（1）若，则，
当时，无解；
当时，，
由图象可知不可能只有一个整数解；
当时，，
若只有一个整数解，由图象可知此整数解必为．
又（3），（4），故而，即．
（2）若，由可得．
，由图象可知有两个整数解，，
至少含有两个整数解，不符合题意．
综上，的最大值为8．故答案为：8．
【题型四】 一元二次复合型（老高考）：线性规划型
【典例分析】
已知函数，若方程有7个不同的实数解,则的取值范围（ ）
A．(2,6) B．(6,9) C．(2,12) D．(4,13)
【答案】C
【分析】
先画出的图象,设,由图象可转化问题为有3个解,有4个解,则分别讨论①,；②,；③,,再利用线性规划求解.
【详解】
由题,当时,；
当时,,
当时,；当,,所以在上单调递增,在上单调递减,
所以,
当时,,则；当时,,则,
画出的图象,如图所示,
因为有7个不同的实数解, 设,则,
设为方程的解,则由图象可知有3个解,有4个解,
①,,将代入方程中可得,与条件矛盾,舍去；
②,,设,
则,即,则可行域如图所示,设,即,
平移直线,与点相交时截距最小,与点相交时截距最大,因为点,点,所以；
③,,则,即,则可行域如图所示,即为线段,
平移直线,与点相交时截距最小,与点相交时截距最大,
因为点,点,所以,
综上,,故选:C
【提分秘籍】
基本规律
“一元二次型”系数多参，对于根的分布得到的不等式（组），可借助线性规划求解多参式的范围或者最值
【变式演练】
1.已知函数 ，方程有六个不同的实数解，则的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】作函数的图象，从而利用数形结合知有2个不同的正实数解，且其中一个在上，一个在上，利用数形结合思想列出关于的不等式组，结合线性规划知识可得结果.
【详解】作函数的图象如下，
∵关于的方程有6个不同实数解，令，
∴有2个不同的正实数解，其中一个在上，一个在上；故，
其对应的平面区域如下图所示：故当，时，取最大值11，当，时，取最小值3，则的取值范围是。故选D．
2.已知函数，若关于x的方程有8个不同的实数根，则b+c的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
函数f（x）的图像如上图所示，显然直线y=1与图像有4个交点，且函数图像与x轴有3个交点．设t=f（x）,则．①当该方程无解时，显然关于x的方程无实数解；②当该方程有1个解时，显然关于x的方程最多有4个解； 当该方程有两个不等的实数解时，关于x的方程可能会出现8个实数解，但需有…（*）．将b看作自变量、c看作因变量，于是设，则z可看作是直线在c轴上的截距．不等式组（*）表示的平面区域如下图所示曲边三角形OPQ的内部且包含线段OQ（除端点）．显然当直线过点O时截距最小即z最小，当过点P（2，1）时，截距最大即z最大，但因为不等式组表示的区域不包含点O，点P，所以,故选D．
【题型五】 一元二次复合型：函数性质综合型
【典例分析】
已知偶函数满足，且当时，，若关于的方程在上有300个解，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据偶函数和得出函数的周期为，作出函数在内的图象，根据周期性可知关于的方程在上有个解，结合图象分析可得关于的方程在区间和内各有一个实根，根据二次方程实根的分布，列不等式组即可解得结果.
【详解】
因为偶函数满足，所以，
所以函数是周期为的周期函数，
因为当时，，
所以当时，，所以，
即当时，，
作出函数在一个周期内的图象如图：
因为关于的方程在上有300个解，所以关于的方程在上有个解，
结合图象可知必有两个值，一个大于1小于2，另一个大于且小于，
等价于关于的方程在区间和内各有一个实根，
令，则，所以，解得.
故选：B.
【提分秘籍】
基本规律
1.所给函数f(x)为抽象函数。
2.所给函数“不完全”，需要借助奇偶性等函数性质求解解析式或者研究图像特征。
【变式演练】
1.已知函数是定义在的偶函数，且.当时，，若方程有300个不同的实数根，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
首先由已知确定函数的周期是4，利用导数研究在 上的性质，单调性、极值，结合偶函数性质作出在上的图象， 的定义域是含有50个周期，方程有300个不同的实数根，那么在 的一个周期内有6个根，令，可知方程有两个不等实根 ，且，，由二次方程根的分布知识可得解．
【详解】
由知函数的周期为4，当 时，，则 ，当时，， 递减，当时，， 递增，，又 是偶函数，作出在上的图象，如图．
函数的周期是4，定义域为，含有50个周期，
方程有300个不同的实数根，因此在一个周期内有6个根（这里 ，不是方程的根）．
令，方程有两个不等实根 ，且， ，设，则 ，解得．
故选：A．
2.设表示，两者中较大的一个，已知定义在的函数，满足关于的方程有个不同的解，则的取值范围为
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据题干得到或，画出函数的图像，找和与的交点个数使得交点有6个即可.
【详解】
由，可得或.函数的图像如图所示，所以，解得.
故答案为C.
3.定义在上的函数满足，且当时，若关于的方程（，）有且只有6个不同的实数根，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
由题设可知函数是偶函数，其图像关于轴对称，画出其函数图像如图，容易算得当；当．结合图像可以看出：当两根中的且另一个根时，关于的方程（，）的恰有六个不同实数根，结合图像并依据根与系数的关系可得且，即且，故实数的取值范围是，应填答案A．
点睛：本题设置的目的旨在考查函数与方程思想、等价转化与化归的思想及运用所学知识分析问题解决问题的能力．求解时充分借助题设条件与函数图像的对称性，准确画出函数的图像，然后再分析方程有六个根的条件，找出两个根的分布情况，再分析探求参数的取值范围，从而使得问题获解．
【题型六】 嵌套函数基础型
【典例分析】
定义域和值域均为[﹣a，a]（常数a＞0）的函数y＝f（x）和y＝g（x）的图象如图所示，方程g[f（x）]＝0解得个数不可能的是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】
【分析】
由图象知有一个上的正根，结合图象可知根的个数.
【详解】
因为时，有唯一解，
不妨设唯一解为，由图象可知，
则由g[f（x）]＝0可得，
因为，由图象可知，可能有1根，2根，3个根，不可能又4个根，
故选：D
【提分秘籍】
基本规律
1.嵌套函数自身互嵌型：f（f（x））
2.嵌套函数双函数互嵌型：f（g（x））
【变式演练】
1.若和都是定义在上的函数，且方程有实数解，则下列式子中可以为的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】由方程有实数解可得，再用替代，即 有解，逐个判断选项即可得出答案.
【详解】
由方程有实数解可得，再用替代，即 有解.
对于A，，即，方程有解，故A正确；
对于B，，即，方程无解，故B错误；
对于C，当令，因为，，
由零点的存在性定理可知，在上存在零点，所以方程有解，故选项C正确；
对于D，当时，为方程的解，所以方程有解，故选项D正确.
故选：ACD.
2.已知两函数和都是定义在上的函数，且方程有实数解，则有可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
先设是方程的一个根，得到，，再令，得到，进而得到方程有解，再逐项判断，即可得出结果.
【详解】
解：设是方程的一个根，则，故
再令，则，
即方程有解；
A选项，方程可化为，，故无实数解；
B选项，方程可化为，显然无实数解；
C选项，方程可化为，，故有实数解；
D选项，方程可化为，，故无实数解；
故选：C
3.若和是定义在实数集上的函数，且方程有实数解，则不可能是
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由题设令为原方程的解：可得，即可将问题转化为是否有实数解，根据各选项函数，应用数形结合确定正确选项.
【详解】设为的实数解，即，令，则.
∴，即为的实数解，有实数解，
∴结合各选项的函数，判断与是否有交点即可，如下图示：
由图知：当时无交点，无实数解，故选：C.
【题型七】 嵌套函数常规型：无参双坐标系换元转换法
【典例分析】
已知函数，则方程的根的个数为（ ）
A．7 B．5 C．3 D．2
【答案】A
【分析】
令，先求出方程的三个根，，，然后分别作出直线，，与函数的图象，得出交点的总数即为所求结果.
【详解】
令，先解方程.
（1）当时，则，得；
（2）当时，则，即，解得，.
如下图所示：
直线，，与函数的交点个数为、、，
所以，方程的根的个数为，故选A.
【提分秘籍】
基本规律
嵌套函数基础方法理解
可换元
可通过换元构造“双坐标系”，注意对应的横纵坐标变量以及含义。
【变式演练】
1.已知定义在上的单调函数满足对,则方程的解所在区间是
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用函数的单调性及可得，再利用可求函数的解析式，求出后可估计的解所处的区间.
【详解】
因为为单调函数且，则必是常数，
故设，其中为常数，
故，因为，
令，故，故为上的增函数，
因为时，，故方程有且仅有一个解，
故，
而方程可化为，整理得到，
令，故为上的单调增函数，
而，，故方程的根在区间中，故选C.
2.已知函数，则函数的零点的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C①当时，，则.
∴当时，；当时，.∴在时取得极大值为3
∵，，∴函数在，上各有1个零点
②当时，，，的零点为2和3.
由，得或或或，其中，.
结合函数的图象可知，方程的解的个数为2，方程的解的个数为1，方程的解的个数为3，方程的解的个数为2.∴函数的零点的个数为8个.
【题型八】 嵌套函数含参型：解析式含参
【典例分析】
已知，若关于x的方程仅有一解，则a的取值范围是_______．
【答案】
【分析】可判断a≠0,从而由分段函数判断方程的解的个数即可.
【详解】若，则方程有无数个解，故；
或（舍去）,或或
关于x的方程仅有一解，在上无解，
综_上所述, a的取值范围是.
故答案为：
【提分秘籍】
基本规律
1.引入参数
2.参数在所给的母函数内。
3.参数在解析式或者定义域中，分别对函数图像的影响
4.授课时讲清楚因为参数而造成的“动图”，可以引导学生借助画分解图来增加理解。
5.教师授课时可以借助几何画板展示，但是对于学生，特别是普通程度学生，要引导学生手工画“分解图”增加实战能力。
【变式演练】
1.已知函数，若关于的方程有8个不同的实数解，则实数的取值可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【解析】
【分析】
结合题意可先对进行分类：分及两种情况，结合函数的零点性质分别进行求解．
【详解】
解：由题意可得时，在上单调递增，显然方程有8个不同的实数解不成立；
当时，令，
则由得，，，，
又方程有8个不同的实根，
由题意结合可得，即，解得，故选：ABC．
2.已知函数，若函数恰好有4个不同的零点，则实数t的取值范围是________．
【答案】或
【分析】
令，则，将函数的零点问题分解成两个步骤完成，先求的值，再求的值，对分5种情况进行讨论，结合函数图象，即可得答案；
【详解】
因为在上恒成立，所以在上单减，
令，则．
（ⅰ）当时，只有，显然不成立
（ⅱ）当时，，，此时如图：
有四个交点，∴满足题意．
（ⅲ）当时，如图1，由得，．由得或，
由且，知．要使有4个不同的零点，必须由得或，
此时，解得，（舍去），又在恒成立，
所以在上为增函数，所以．
（ⅳ）当时，由，，得，此时满足题意．
（ⅴ）当时，如图2，由得，．
要使有4个不同的零点，必须，此时，所以．
综上，实数t的取值范围是或．
3.已知，设函数，存在满足，且，则的取值范围是______.
【答案】
【分析】
求得关于对称所得函数的解析式，通过构造函数，结合零点存在性列不等式，由此求得的取值范围.
【详解】
由于存在满足，且，所以图象上存在关于对称的两个不同的点.
（1）对于，交换得，
即，
构造函数（），所以的零点满足，
由得，
由得，即
，
由于，所以解得.
（2）设，则M关于y=x对称的点在上，由，得，则，
当时，①，，
两式相减，得，所以②，
将②代入①，得，又，所以，
令，则，，
即，解得，综上，a的取值范围为.故答案为：
【题型九】 嵌套函数含参型：参数在方程
【典例分析】
已知函数，则方程恰好有6个不同的解，则实数的取值范围为
【答案】
【分析】
令，，作出图象，作出图像，通过图象分析解的各种情况．
【详解】令，，作出图象，作出图像，
时，有两根，设为，，则，，
即，此时有2个根，，此时有2个根，共4个根，不满足条件.
时，，解得或或6，即，无解，
，2解，，2解，共4个解，不满足条件.
时，，有四个根，设为，，，，
其中，，，，即，无解，
，无解，，2解，，2解，共4个解，不满足条件.
时，有4个根，0，2，，（），
，1解，，1解，，2解，，2解，共6解，满足条件.
时，，有3个根，设为，，，其中，，，
即有2解，有2解，有2解，共6解，满足条件.
时，，有两根和3，有2个根，
有2个根，共4个根，不满足条件，
综上.故答案为.
【提分秘籍】
基本规律
1.解析式无参，很容易画出图像
2.“方程”中有参。
【变式演练】
1.已知函数，若方程恰有个实根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
利用基本不等式计算得出，由题意可知，关于的方程有两个不等的实根、，且、，然后作出函数的图象，数形结合可得出实数的取值范围.
【详解】，，设.
当时，由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，
当时，由基本不等式可得，
当且仅当时，等号成立.所以，.
当时，.
作出函数的图象如下图所示：
由于方程恰有个实根，则关于的方程有两个实根、，设.
若，则，此时关于的方程的另一实根，
直线与函数的图象只有一个交点，直线与函数的 图象有两个交点，
此时，关于的方程恰有个实根，不合乎题意；
若，则，则关于的方程的另一实根，直线与函数的图象有且只有一个交点，
直线与函数的 图象有两个交点，
此时，关于的方程恰有个实根，不合乎题意；
所以，关于的方程有两个不等的实根、，且、，
由图象可知，或.故选：D.
2.已知，若有四个不同的解，则实数的取值集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据导函数分别讨论两个函数的单调性，将问题转化为讨论的根的个数.
【详解】是定义在R上的偶函数，
讨论当x＞0时，，
当，，
所以＞0，
即函数在单调递增，单调递减，
，，
考虑在单调递减，
所以必存在使得，，则，，
，。在单调递增，单调递减，
所以由洛必达法则：，
，，若有四个不同的解，考虑，
若，则=0仅有两根，不合题意；所以，两根，设
一共有四个根，当，无解，
当，，一共四个不同实根，此时，
三个实根，两个实根，不合题意，
综上所述.故选：D
3.已知函数f(x)＝x＋sin x＋，且方程f(|f(x)|－a)＝0有两个不同的实数根，则实数a的取值范围是(　　)
A．[0，＋∞) B．(0，＋∞)
C．[－1,2) D．(－1,2)
【答案】B
【解析】
【详解】
由于f(－x)＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数，图象关于原点对称．由于(x＋sin x)′＝1＋cosx≥0，且＝1－为增函数．故f(x)为R上的增函数，且f(0)＝0.所以|f(x)|－a＝0，即|f(x)|＝a有两个不同的实数根，|f(x)|的图象是由f(x)图象的将x<0的部分关于x轴对称翻折上来，x>0部分保持不变所得，所以a∈(0，＋∞)．选B.
【题型十】 嵌套函数含参型：双函数型
【典例分析】
已知，函数，，若函数有4个零点，则实数的取值范围是______.
【答案】
【分析】
画出函数的图像，对分成，等种情况，研究零点个数，由此求得的取值范围.
【详解】
令，画出函数的图像如下图所示，由图可知，
（1）当或时，存在唯一，使，而至多有两个根，不符合题意.
（2）当时，由解得，由化简得，其判别式为正数，有两个不相等的实数根；由化简得，其判别式为正数，有两个不相等的实数根.由于上述四个实数根互不相等，故时，符合题意.
（3）当时，由解得，由化简得，其判别式为负数，没有实数根；由化简得，其判别式为正数，有两个不相等的实数根.故当时，不符合题意.
（4）当时，由，根据图像可知有三个解，不妨设.
即即.
i）当时，，故①②③三个方程都分别有个解，共有个解，不符合题意.
ii)当时，，①有个解，②③分别有个解，共有个解，不符合题意.
iii）当时，，①无解，②③分别有个解，共有个解，符合题意.
iv）当时，，①无解，②有个解，③有两个解，共有个解，不符合题意.
v）当时，，①无解，②无解，③至多有个解，不符合题意.
综上所述，的取值范围是.
【提分秘籍】
基本规律
1.f（x）与g（x）型
2.多为一分段一个是常规函数
【变式演练】
1.设函数若函数有六个不同的零点，则实数a的取值范围为________．
【答案】．
【分析】利用数形结合即求.
【详解】函数的零点即为方程的解，也即的解，
令，则原方程的解变为方程组的解，
作出函数和直线的图象如图所示．
由图可知，当时，有两个不同的x与之对应；
当时，有一个x与之对应，当时，没有x与之对应．
由方程组有六个不同的x解知，需要方程②有三个不同的t，且都大于，
作出函数和直线的图象如图所示，
由图可知当时满足要求，综上，实数a的取值范围为．
故答案为：
2.已知函数，若关于x的方程有四个不同的解，则实数m的取值集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设，根据的解析式，可得的单调性、奇偶性，即可作出的图象，即可求得t的最小值，利用导数判断的单调性，结合t的范围，作出的图象，数形结合，可得 时，的图象与图象有2个交点，此时与分别与有2个交点，即即有四个不同的解，满足题意，即可得答案.
【详解】设，则有四个不同的解，因为，
所以为偶函数，且当时，为增函数，所以当时，为减函数，
所以，即，当时，，
则，令，解得，
所以当时，，为减函数，当时，，为增函数，
又，作出时的图象，如图所示：
所以当时，的图象与图象有2个交点，且设为，
作出图象，如下图所示：
此时与分别与有2个交点，即有四个不同的解，满足题意.
综上实数m的取值范围为.故选：A
3.已知函数f(x)＝x＋sin x＋，且方程f(|f(x)|－a)＝0有两个不同的实数根，则实数a的取值范围是(　　)
A．[0，＋∞) B．(0，＋∞)
C．[－1,2) D．(－1,2)
【答案】B
【解析】
【详解】
由于f(－x)＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数，图象关于原点对称．由于(x＋sin x)′＝1＋cosx≥0，且＝1－为增函数．故f(x)为R上的增函数，且f(0)＝0.所以|f(x)|－a＝0，即|f(x)|＝a有两个不同的实数根，|f(x)|的图象是由f(x)图象的将x<0的部分关于x轴对称翻折上来，x>0部分保持不变所得，所以a∈(0，＋∞)．选B.
4.已知，函数，，若关于的方程有6个解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
令，画出与的图象，则方程的解有3个，由图象可得，．且三个解分别为，，再由，应用判别式大于0，分别求解，最后求交集即可．
解：令，则方程的解有3个，由图象可得，．
且三个解分别为，，，
则，，
，均有两个不相等的实根，
则，且，且，
即且，解得，
当时，，即恒成立，
故的取值范围为．故选：A．
【题型十一】嵌套函数双复合型
【典例分析】
已知函数,则函数的零点个数是( ）
A．7 B．6 C．5 D．4
【答案】A【解析】分析：令 函数的零点个数问题 的根的个数问题．结合图象可得的根，方程 有1解，有3解，有3解.从而得到函数的零点个数
详解：令 函数的零点个数问题 的根的个数问题．即 的图象如图，结合图象可得的根 方程 有1解，有3解，有3解.
综上，函数的零点个数是7．
【提分秘籍】
基本规律
多以题型为主
【变式演练】
1.已知函数，则函数的零点个数是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A【解析】令t=f(x),F(x)=0，则f(t) 2t =0，分别作出y=f(x)和直线y=2x+，由图象可得有两个交点,横坐标设为t1,t2，则t1=0,12.已知函数，则方程（是自然对数的底数）的实根个数为__________.
【答案】6
【分析】
令，原方程可得，利用数形结合判断与交点个数及交点横坐标的范围，再根据横坐标判断时交点的个数，即为实根的个数.
【详解】
令，方程为：，即，
与 的性质如下：
1、：在上单调递增，值域为；上递增,上递减，
值域为且、；上单调递增，值域为；
2、：过定点，定义域上单调递减；
∴可得函数图象如下图示，
∴共有三个交点，横坐标分别为 ，且，
∴当，显然无解；当时，有四个实根；当时，有两个实根，
∴如下图示：一共有6个实根.
故答案为：605 复合二次型和镶嵌函数的零点
【题型一】 一元二次复合型基础型：可因式分解
【典例分析】
已知函数，若关于的方程有且仅有三个不同的实数解，则实数的取值范围是( )
A． B． C． D．
【提分秘籍】
基本规律
1.以f（x）为变量，可转化为一元二次型
2.一元二次可通过因式分解，转化为“水平线与f（x）交点型”
【变式演练】
1.已知是定义在上的偶函数，且满足，若关于的方程有10个不同的实数解，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2.函数若关于的方程有五个不同的实数解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3.已知函数，若关于的方程有个不同的实数解，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【题型二】 一元二次复合型：根的分布型
【典例分析】
已知函数，若关于的方程 有三个不同的实数解，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【提分秘籍】
基本规律
1.“一元二次”系数多参，无法因式分解
2.可通过分析f（x）图像，确定“水平线与f（x）”交点情况。进而确定一元二次根的范围
3.通过“根的分布”知识转化为不等式（组）求解
【变式演练】
1.已知函数，若关于的方程恰有6个不同的实数解，则的取值情况不可能的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
2.设函数若关于x的方程恰好有六个不同的实数解，则实数a的取值范围为
A．(2－2， B．(－2－2，2－2)
C．(，＋∞) D．(2－2，＋∞)
3.设定义域为的函数，若关于的方程有7个不同的实数解，则
A． B． C．或2 D．
【题型三】 一元二次复合型：参变分离与判别式、求根公式型
【典例分析】
已知，若关于的方程恰有3个不同的实数解（为自然对数的底数），则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【提分秘籍】
基本规律
对于具有特殊形式的“一元二次型”
可以通过参变分离求解参数
可以通过判别式来讨论判断
可通过求根公式来计算。
【变式演练】
1.已知函数，设关于的方程有个不同的实数解，则的所有可能的值为（ ）
A．3 B．1或3 C．4或6 D．3或4或6
2.已知函数，若关于的方程有个不同的实数解，则的所有可能的值构成的集合为______．
3.已知，关于的不等式有且只有一个整数解，则实数的最大值是____．
【题型四】 一元二次复合型（老高考）：线性规划型
【典例分析】
已知函数，若方程有7个不同的实数解,则的取值范围（ ）
A．(2,6) B．(6,9) C．(2,12) D．(4,13)
【提分秘籍】
基本规律
“一元二次型”系数多参，对于根的分布得到的不等式（组），可借助线性规划求解多参式的范围或者最值
【变式演练】
1.已知函数 ，方程有六个不同的实数解，则的取值范围是
A． B． C． D．
2.已知函数，若关于x的方程有8个不同的实数根，则b+c的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【题型五】 一元二次复合型：函数性质综合型
【典例分析】
已知偶函数满足，且当时，，若关于的方程在上有300个解，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【提分秘籍】
基本规律
1.所给函数f(x)为抽象函数。
2.所给函数“不完全”，需要借助奇偶性等函数性质求解解析式或者研究图像特征。
【变式演练】
1.已知函数是定义在的偶函数，且.当时，，若方程有300个不同的实数根，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2.设表示，两者中较大的一个，已知定义在的函数，满足关于的方程有个不同的解，则的取值范围为
A． B．
C． D．
3.定义在上的函数满足，且当时，若关于的方程（，）有且只有6个不同的实数根，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
【题型六】 嵌套函数基础型
【典例分析】
定义域和值域均为[﹣a，a]（常数a＞0）的函数y＝f（x）和y＝g（x）的图象如图所示，方程g[f（x）]＝0解得个数不可能的是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【提分秘籍】
基本规律
1.嵌套函数自身互嵌型：f（f（x））
2.嵌套函数双函数互嵌型：f（g（x））
【变式演练】
1.若和都是定义在上的函数，且方程有实数解，则下列式子中可以为的是（ ）
A． B．
C． D．
2.已知两函数和都是定义在上的函数，且方程有实数解，则有可能是（ ）
A． B． C． D．
3.若和是定义在实数集上的函数，且方程有实数解，则不可能是
A． B．
C． D．
【题型七】 嵌套函数常规型：无参双坐标系换元转换法
【典例分析】
已知函数，则方程的根的个数为（ ）
A．7 B．5 C．3 D．2
【提分秘籍】
基本规律
嵌套函数基础方法理解
可换元
可通过换元构造“双坐标系”，注意对应的横纵坐标变量以及含义。
【变式演练】
1.已知定义在上的单调函数满足对,则方程的解所在区间是
A． B． C． D．
2.已知函数，则函数的零点的个数为（ ）
A． B． C． D．
【题型八】 嵌套函数含参型：解析式含参
【典例分析】
已知，若关于x的方程仅有一解，则a的取值范围是_______．
【提分秘籍】
基本规律
1.引入参数
2.参数在所给的母函数内。
3.参数在解析式或者定义域中，分别对函数图像的影响
4.授课时讲清楚因为参数而造成的“动图”，可以引导学生借助画分解图来增加理解。
5.教师授课时可以借助几何画板展示，但是对于学生，特别是普通程度学生，要引导学生手工画“分解图”增加实战能力。
【变式演练】
1.已知函数，若关于的方程有8个不同的实数解，则实数的取值可能是（ ）
A． B．
C． D．
2.已知函数，若函数恰好有4个不同的零点，则实数t的取值范围是________．
3.已知，设函数，存在满足，且，则的取值范围是______.
【题型九】 嵌套函数含参型：参数在方程
【典例分析】
已知函数，则方程恰好有6个不同的解，则实数的取值范围为
【提分秘籍】
基本规律
1.解析式无参，很容易画出图像
2.“方程”中有参。
【变式演练】
1.已知函数，若方程恰有个实根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2.已知，若有四个不同的解，则实数的取值集合为（ ）
A． B． C． D．
3.已知函数f(x)＝x＋sin x＋，且方程f(|f(x)|－a)＝0有两个不同的实数根，则实数a的取值范围是(　　)
A．[0，＋∞) B．(0，＋∞)
C．[－1,2) D．(－1,2)
【题型十】 嵌套函数含参型：双函数型
【典例分析】
已知，函数，，若函数有4个零点，则实数的取值范围是______.
【提分秘籍】
基本规律
1.f（x）与g（x）型
2.多为一分段一个是常规函数
【变式演练】
1.设函数若函数有六个不同的零点，则实数a的取值范围为________．
2.已知函数，若关于x的方程有四个不同的解，则实数m的取值集合为（ ）
A． B． C． D．
3.已知函数f(x)＝x＋sin x＋，且方程f(|f(x)|－a)＝0有两个不同的实数根，则实数a的取值范围是(　　)
A．[0，＋∞) B．(0，＋∞)
C．[－1,2) D．(－1,2)
4.已知，函数，，若关于的方程有6个解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【题型十一】嵌套函数双复合型
【典例分析】
已知函数,则函数的零点个数是( ）
A．7 B．6 C．5 D．4
【提分秘籍】
基本规律
多以题型为主
【变式演练】
1.已知函数，则函数的零点个数是（ ）．
A． B． C． D．
2.已知函数，则方程（是自然对数的底数）的实根个数为__________.

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