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09 导数和函数压轴小题归类（1）
目录
一、热点题型归纳 1
【题型一】 整数解 1
【题型二】 零点求参 5
【题型三】 同构 8
【题型四】 恒成立求参：移项讨论型 10
【题型五】 恒成立求参：代入消参型（虚设根型） 14
【题型六】 恒成立求参：构造函数型 18
【题型七】 恒成立求参：参变分离（常规型） 21
【题型八】 恒成立求参：参变分离（洛必达法则型） 24
【题型九】 恒成立求参：倍函数 26
【题型十】 恒成立求参：双函数最值型 29
【题型十一】 数列与导数型 33
二、最新模考题组练 38
【题型一】 整数解
【典例分析】
在关于的不等式（其中为自然对数的底数）的解集中，有且仅有两个大于2的整数，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】将不等式转化为，分别研究两个函数的性质，确定的取值范围，构造函数，利用放缩法进一步缩小的取值范围，列出不等式组，求出结果.
【详解】由，化简得：，
设，，则原不等式即为.若，则当时，，，
原不等式的解集中有无数个大于2的整数，∴.∵，，∴.
当，即时，设，则.
设，则在单调递减，所以，所以在单调递减，∴，
∴当时，，∴在上为减函数，即，
∴当时，不等式恒成立，原不等式的解集中没有大于2的整数.
要使原不等式的解集中有且仅有两个大于2的整数，则，即，解得.
则实数的取值范围为.故选：D
【提分秘籍】
基本规律
1.通过函数讨论法，参变分离，数形结合等来切入
2.讨论出单调性，要注意整数解中相邻两个整数点函数的符号问题
【变式演练】
1.已知函数，若存在唯一的正整数，使得，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
题意等价于存在唯一的正整数使得不等式成立，求出函数的单调区间，直线过定点，作出函数和直线图像，结合图形列出不等式组化简即可.
解：函数，若存在唯一的正整数，使得。等价于存在唯一的正整数，使得不等式成立，令，则，由得，由得
所以函数在区间上递增，在区间上递减。所以，
直线过定点，作出函数和直线图像如下：
由图可得要使存在唯一的正整数使得不等式成立
必有所以实数的取值范围是
故选：C.
2.已知偶函数满足，且当时，，若关于x的不等式在上有且只有150个整数解，则实数t的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据偶函数满足，得到函数是以6为周期的周期函数，由时，，用导数法结合偶函数，作出数在上的图象，将不等式在上有且只有150个整数解，转化为在一个周期上有3个整数解分别为-2，2，3求解.
【详解】因为偶函数满足，所以，即，
所以函数是以6为周期的周期函数，当时，，所以，
当时，，函数递增；当时，，函数递减；
当当时，函数取得极大值，作出函数在上的图象，如图所示：
因为不等式在上有且只有150个整数解，
所以不等式在上有且只有3个整数解，
当时，不符合题意，故不等式在上有且只有3个整数解，
因为，所以，即，
故不等式在上的3个整数解分别为-2，2，3，
所以，，即，故选：B
3.已知对任意实数，关于的不等式在上恒成立，则的最大整数值为
A．0 B． C． D．
【答案】B
【详解】令，依题意，对任意，当时，图象在直线下方，∴列表
得的大致图象
则当时，∵，∴当时不成立；
当时，设与相切于点.
则，解得.
∴，故成立，∴当时,.故选B.
【题型二】 零点
【典例分析】
已知函数，若方程有3个不同的实根，，（），则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】对求导，利用的图像求得的范围，以及与的关系，将问题转化为关于的函数值域的问题进行处理即可.
【详解】因为，故可得，令，解得，
故可得在区间单调递增，在单调递减，在单调递增.
又，，且当趋近于负无穷时，趋近于零，故的图象如下所示：
故若方程有3个不同的实根，则，又因为，故，不妨令，则，令，解得，
容易知在区间单调递减，在单调递增.故可得，又<故可得，则，即.故选：B
【提分秘籍】
基本规律
求零点或者讨论零点求参
1.函数讨论法：讨论参数范围，借助函数单调性求解；
2.分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域或最值问题加以解决；
3.数形结合法：构造两个函数，利用数形结合的方法求解.（常规题是函数与直线，较复杂的，就需要构造需要借助求导来画图的函数了）
【变式演练】
1.已知，若存在唯一的零点，且，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
分类讨论：当时，容易判断出不符合题意；当时，求出函数的导数，利用导数和极值之间的关系转化为求极小值，解出即可．
解：当时，，解得，函数有两个零点，不符合题意，应舍去；
当时，令，解得或，列表如下：
x 0
0 0
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
，，而，
存在，使得，
不符合条件：存在唯一的零点，且，应舍去，
当时，，
解得或，
列表如下：
x 0
0 0
单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减
而，时，，存在，使得，
存在唯一的零点，且，极小值，化为，
，，综上可知：a的取值范围是．故选:．
2.已知函数，设方程的3个实根分别为，且，则的值可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
利用导数研究的单调性、极值及区间值域，由题设可知在上必有两个不等的实根(假设)且，结合的性质有且，，进而求目标式的值，即可确定答案.
【详解】
由题设，的定义域为，且，
∴当时，，即递减；当时，，即递增.
∴，又在上逐渐变小时逐渐趋近于0，当时且随趋向于0，趋向无穷大.
∴的图象如下：
∵的定义域为，由可得：在上必有两个不等的实根(假设)且，
∴令，要使的3个实根，则、，即，可得.
∴由知：，，∴.故选：B.
3.已知函数，对于正实数a，若关于t的方程恰有三个不同的正实数根，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
研究的图像可知，若，令，则 ，且，可以推出，或，通过对数不等式写出关于的不等式，即可求出的范围
【详解】
因为，，令得：；令得：，所以在区间单调递增，在单调递减，且时，恒成立，的图像如下：
令，则 ，且
①当时，，成立，所以是方程的一个实数根
②当时，由得：，令
则： ，两式相减得： ，两式相加得：
所以：，由对数均值不等式得：
所以：，且，所以，，即：
所以 故选：D
【题型三】 同构
【典例分析】
定义：设函数在上的导函数为，若在上也存在导函数，则称函数在上存在二阶导函数，简记为.若在区间上，则称函数在区间上为“凹函数”.已知在区间上为“凹函数”，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据题中“凹函数”的定义，f''(x)=mex+lnm﹣ln(x+1)﹣1>0对任意x∈(﹣1，+∞)都成立，
同构为ex+lnm+(x+lnm)>eln(x+1)+ln(x+1)，利用g(x)=ex+x在(﹣∞，+∞)是增函数，得不等式
lnm>h(x)=ln(x+1)﹣x的最大值，求出的最大值，即可得解.
解：因为
所以f'(x)=mex+(x+1)[lnm﹣ln(x+1)]+1，f″(x)=mex+lnm﹣ln(x+1)﹣1，
因为在区间(﹣1，+∞)上为“凹函数”，
所以f''(x)=mex+lnm﹣ln(x+1)﹣1>0对任意x∈(﹣1，+∞)都成立，因为mex+lnm﹣ln(x+1)﹣1>0 mex+lnm>ln(x+1)+1
ex+lnm+(x+lnm)>ln(x+1)+(x+1) ex+lnm+(x+lnm)>eln(x+1)+ln(x+1)，且g(x)=ex+x在(﹣∞，+∞)是增函数，
所以ex+lnm+(x+lnm)>eln(x+1)+ln(x+1) x+lnm>ln(x+1) lnm>ln(x+1)﹣x，
由题意，lnm>h(x)=ln(x+1)﹣x的最大值， ， ， ， 单调递增；
，单调递减， ，
即lnm>0，所以m>1，故选：A
【提分秘籍】
基本规律
1.注意同构法在解题中的应用，对于常见形式的同构要熟练运用,如 =.
2.注意同构技巧在试题中的转化意识，适当淡化那种“同构就结束解题”的题型。区别就是如练习1和3。
【变式演练】
1.已知函数，，若对恒成立，求实数的取值范围．
解析：由题意得：
右边式子凑1得
即，因为
当且仅当等号成立，所以满足即可
当且仅当，即等号成立，所以.
2.已知不等式对恒成立，则取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
将问题转化为对恒成立，构造函数，进而通过导数方法求出函数的最小值，即可得到答案.
【详解】
不等式对恒成立，即对恒成立，令，，而在单调递增（增+增），且，所以（x0唯一），使得.
则时，，单调递减，时，，单调递增.所以
根据，
所以，所以.
3.设，若存在正实数，使得不等式成立，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】化简得，从而，，
构造函数，有单调性得，再化简得，
再构造函数，求得最大值即可.
解：因为，所以，因为，所以，即，
设函数，，，所以函数在为增函数，
所以所以，设函数，，
所以函数在为增函数，在为减函数，所以，
所以的最大值为，故选：A.
【题型四】 恒成立求参：移项讨论型
【典例分析】
若，恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
把给定恒成立的不等式变形，构造函数，利用导数探讨的最大值不超过0即可作答.
【详解】
，，
令，则，而成立，
当时，，即在上递增，当时，
于是有当时，恒有，
当时，由得，有，有，即在上递减，
当时，，即成立，不符合题意，
综上：，
所以实数的取值范围为.
故选：A
【提分秘籍】
基本规律
1.移项含参讨论是所有导数讨论题的基础，也是学生日常训练的重点。
2.讨论点的寻找是关键。
3.一些题型，可以适当的借助端点值来“压缩”参数的讨论范围
【变式演练】
1.若关于的不等式对一切正实数恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
构造函数，将原不等式转化为求解函数的最小值，通过导数判断函数的单调性研究函数的最值，得到，再利用基本不等式进行求解即可．
【详解】
解：设，则对一切正实数恒成立，即，
由，令，则恒成立，所以在上为增函数，
当时，，当时，，则在上，存在使得，
当时，，当时，，故函数在上单调递减，在，上单调递增，
所以函数在处取得最小值为，
因为，即，所以恒成立，即，
又，当且仅当，即时取等号，故，所以．故选：C．
2.已知函数，，若有最小值，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
对函数求导得出，由题意得出函数在上存在极小值点，然后对参数分类讨论，在时，函数单调递增，无最小值；在时，根据函数的单调性得出，从而求出实数的取值范围.
【详解】
，，
构造函数，其中，则.
①当时，对任意的，，则函数在上单调递减，
此时，，则对任意的，.
此时，函数在区间上单调递增，无最小值；
②当时，解方程，得.
当时，，当时，，
此时，.
（i）当时，即当时，则对任意的，，
此时，函数在区间上单调递增，无最小值；
（ii）当时，即当时，，当时，，
由零点存在定理可知，存在和，使得，
即，且当和时，，此时，；
当时，，此时，.
所以，函数在处取得极大值，在取得极小值，
由题意可知，，
，
可得，又，可得，构造函数，其中，
则，此时，函数在区间上单调递增，
当时，则，.
因此，实数的取值范围是，故选C.
3.已知函数，若存在，对于任意，都有，则实数a的取值范围是________.
【答案】
【分析】
设，问题转化为对于任意，都有，利用导数研究的最值，建立关于的不等式即可求解.
【详解】设，由b的任意性，结合题意可知，对于任意，
即，
又，易知函数在单调递减，在上单调递增，
①当时，在上单调递增，
则
故，解得，此时无解.
②当时，在上单调递减，
则故，解得
③当时，在上单调递减，在上单调递增，
则,
故只需且
记函数，则，函数在上递增，
则，
记函数则，
函数在上递减，则
故当时，且恒成立，满足题意，
综上所述，实数a的取值范围为，故答案为：
【点睛】
本题考查了利用导数研究函数的单调性极值最值，查了不等式的恒成立问题，考查分类讨论思想，考查了推理能力与计算能力，属于难题.
【题型五】 恒成立求参：代入消参型（虚设根型）
【典例分析】
设实数，若对任意，不等式恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
令，根据二阶导数的符号判断的单调性，由零点存在性定理易知使，此时，进而讨论的单调性可知，要使题设不等式恒成立，即成立，构造利用导数研究其单调性确定的区间，进而求的范围.
【详解】令，只需要上恒成立，
∵且，
∴，即在上单调递增，
∵，，
∴，使，即，∴时，，单调递减；时，，单调递增；
故只需，令，
∴，故在上递减，而，
∴时，恒成立，可知. 故选：C
【提分秘籍】
基本规律
1.代入消参，也是压轴大题的一个类型。
2.解题框架（主要的）：
（1）导函数（主要是一阶导函数）等零这一步，有根但不可解。但得到参数和的等量代换关系。备用
（2）知原函数最值处就是一阶导函数的零点处，可代入虚根
（3）利用与参数互化得关系式，先消掉参数，得出不等式，求得范围。
（4）再代入参数和互化式中求得参数范围。
【变式演练】
1.已知函数有唯一零点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
分析可知函数存在极小值且满足，由此可得出，构造函数，其中，利用导数分析得出函数在区间上为减函数，可求得的值，进而可求得的值.
【详解】函数的定义域为，则，，
则，所以，函数在上为增函数，
当时，，当时，，
则存在，使得，则，
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，，
由于函数有唯一零点，则，
由，解得，
所以，，
令，其中，
，
，则，，，则，
所以，函数在上单调递减，且，，
从而可得，解得.故选：C.
2.已知函数，不等式对任意恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
问题等价于对任意恒成立，构造函数，利用导数求出函数的单调性，根据单调性求出的最小值，即可求出m的取值范围.
【详解】
由题可得对任意恒成立，等价于对任意恒成立，
令，则，令，则，
在单调递增，，
存在唯一零点，且，使得，
在单调递减，在单调递增，，
，即，
令，显然在单调递增，则，即，
则，.故选：A.
3.若对任意x∈（0，+∞），不等式e2x﹣mln（2m）﹣mlnx≥0恒成立，则实数m的最大值（ ）
A． B．e C．2e D．e2
【答案】B
【分析】
令 =e2x﹣mln（2m）﹣mlnx，求导，由时,，，存在，有，则，根据不等式e2x﹣mln（2m）﹣mlnx≥0恒成立，则，整理转化为，令，用导数法得到在上是减函数，再根据，解得，再由求解.
【详解】令 =e2x﹣mln（2m）﹣mlnx，所以，要ln（2m）有意义,
则 ，当时,，，所以存在，有，
当时，，当时，，
所以，又，
所以，，
所以，，
，因为不等式e2x﹣mln（2m）﹣mlnx≥0恒成立，
所以令，
，所以在上是减函数，又，
当时，，即，又，所以，
所以在时是增函数，所以，
所以实数m的最大值是.故选：B
【题型六】 恒成立求参：构造函数
【典例分析】
已知函数的定义域为，若对任意的，恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由题意可知，在上单调递减，将不等式两边同时乘以，变形为，不妨设，则，构造新函数，根据函数单调性定义可知，若使得对任意的，恒成立，则需恒成立，即，求解即可.
【详解】函数的定义域为
，即函数在上单调递减.
变形为即
不妨设，则，即
令则
若使得对任意的，恒成立.
则需恒成立.则恒成立.
即恒成立.所以.
即实数的取值范围是.故选：B
【提分秘籍】
基本规律
1.一些复杂结构，需要先构造合理的函数形式，以达到“化繁为简”的目的
2.比较常见的，是绝对值形式，如本专题的【典例分析】
【变式演练】
1.已知函数与的图象恰有三个不同的公共点（其中为自然对数的底数），则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由两图象有三个公共点可得有三个实根，变形得，设，则关于的方程有两个不同的实数根且共有三个实数根，结合二次方程根的分布和的图象性质可得答案.
【详解】令，可得，可得.设，则，即.，当时，单调递增且；
当时，单调递减且.作出的图象如图所示.
对于，，
设该方程有两个不同的实根，由题意得共有三个实数根.
若是方程的根，则，即，则方程的另一个根为，不合题意.
若是方程的根，则，即，则方程的另一个根为，不合题意.
所以关于的方程的两根(不妨令)满足.
所以解得.故选A.
2.对于任意，，当时，恒有成立；则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
对于任意，，当时，恒有成立，可得成立，令，可知函数在上单调递减，求导，令恒成立，即可求出的取值范围．
【详解】对于任意，，当时，恒有成立，
即成立，
令，∴，
∴在上单调递减，
∴在恒成立，∴在恒成立，
∵当，，∴实数的取值范围为，故选C.
3.已知函数满足，若对任意正数都有，则的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
由题得,所以
所以当时,,单调递增,当时, ,单调递减.
所以
所以，所以在上单调递减.
因为
所以
令，u(x)是一个增函数，
所以x>1.故选D.
【题型七】 恒成立求参：分离参数（常规）
【典例分析】
设函数，若时，，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意变形整理为，设，利用导数求在上的最小值，求解即可.
【详解】时，即，对成立.∴.
令，则令，即，解得.
令，即，解得∴在上是减函数，在上是增函数.
∴∴.故选：B
【提分秘籍】
基本规律
分离参数：将参数提取到单独的一侧，然后通过求解函数的最值来求解参数的取值范围，
1.分离参数思维简单，不需过多思考；
2.缺点是，首先得能分参，其次求导计算可能十分麻烦，甚至需要二阶，三阶。。等等求导。
【变式演练】
1.不等式对任意恒成立，则实数的取值范围
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
本题首先可以将“不等式对任意恒成立”转化为“对恒成立”，然后求出方程，的最小值即可得出结果．
【详解】
题意即为对恒成立，
即对恒成立，从而求，的最小值，而故即
当时，等号成立，方程在内有根，
故，所以，故选D．
2.已知函数满足恒成立，则实数的取值范围是____．
【答案】
【分析】
化简不等式，并分离变量可得，根据函数与不等式的关系转化已知条件得，利用换元法及导数求的最小值，由此可得a的范围.
【详解】∵ 恒成立，∴ 恒成立.∴
又 设，则∴ 时，，函数为增函数
时，，函数为减函数，又时，∴
设则恒成立，所以在区间内单调递增，
所以，故所以实数的取值范围为.
故答案为：.
3.已知函数，若对于任意，不等式恒成立，则实数a的最大值为________.
【答案】1
【分析】
依题意，对任意，恒成立，令，则，利用导数求得的最小值，进而可得的最大值.
【详解】
依题意，对任意，恒成立，
令，则.，
令，则，所以在上单调递增，又，
所以，当时，即，单调递减；
当时，即，单调递增，
所以，故，即实数的最大值为1.故答案为：1
【题型八】 恒成立求参：分离参数（洛必达法则）
【典例分析】
若对恒成立，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
将条件对恒成立转化为对有恒成立，令，并求导，再令，利用一阶导函数与二阶导函数一起分析得到，进而表示在单调递增，则，由洛必达法则求得，则由构建不等式，解得答案.
【详解】
将条件对恒成立转化为对有恒成立
令，则
令，则，，对，有，所以在单调递增；
则，所以在单调递增；
则，所以，故在单调递增，则
由洛必达法则可知，则恒成立
所以，故
故选：A
【提分秘籍】
基本规律
若分离参数后，所求最值恰好在“断点处”，则可以通过洛必达法则求出“最值”
【变式演练】
1.已知函数 (a∈R),若在x∈(0,1］ 时恒成立,则实数a的取值范围是
A．［,+ ∞） B．[,+∞) C．[2,+∞) D．[1,+∞)
【答案】B
【分析】首先将式子化简，将参数化为关于的函数，之后将问题转化为求最值问题来解决，之后应用导数研究函数的单调性，从而求得函数的最值，在求解的过程中，注意对函数进行简化，最后用洛必达法则，通过极限求得结果.
【详解】
根据题意，有恒成立，当时，将其变形为恒成立，即，令，利用求得法则及求导公式可求得，令，可得，可得，因为，所以时，，时，，所以函数在时单调减，在时单调增，即，而，所以在上是减函数，且，所以函数在区间上满足恒成立，同理也可以确定在上也成立，即在上恒成立，即在上单调增，且，故所求的实数的取值范围是，故选B.
2.若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
将等价转化为在上恒成立，令，则，令，则，即在上为增函数，则，所以在恒成立，则在单调递增，则，由洛必达法则，得，所以实数的取值范围是；故选C.
点睛：利用导数研究不等式恒成立问题，往往是先合理构造函数（作差、作商、转化等），将不等式恒成立问题等价转化为求函数的最值问题，再利用导数求函数的最值而本题中要用到二次求导和洛必达法则，是本题的难点.
【题型九】 恒成立求参：倍函数
【典例分析】
设函数的定义域为，若满足条件：存在，使在上的值域为（且），则称为“倍函数”，若函数为“3倍函数”，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由函数与方程的关系得：函数为“3倍函数”，即函数的图像与直线有两个不同的交点，设，再利用导数可得求出的单调区间，只需，即可求出
【详解】因为函数为增函数，由函数为“3倍函数”，即函数的图像与直线有两个不同的交点，设，则，又，所以，
则当时，，当时，，
所以函数在为减函数，在为增函数，
要使的图像与直线有两个不同的交点，则需，即
所以， 所以 所以 所以 所以 即
又，所以 故选A
【提分秘籍】
基本规律
1.倍函数，包括“倍增函数”，“倍缩函数”，“K倍函数”，等等新定义
2.应用函数思想和方程思想。
【变式演练】
1.若存在且，使成立，则在区间上，称为的“倍函数”．设，，若在区间上，为的“倍函数”，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
利用导数可证得在上单调递增，设，可将不等式化为，可将问题转化为在上存在单调递增区间，结合导数可进一步化为在上有解，令，可得，则，利用导数求得最大值，从而得到结果.
【详解】
在恒成立，在上单调递增，
由对数函数单调性知：在上单调递增；
不妨设，
由得：，
．
令，则，在上存在单调递增区间，
即在上有解，
即在上有解，，
令，则，令，则，
，当时，单调递增，
，，即实数的取值范围为.故选：B.
2..对于函数y=f(x)，若存在区间[a，b]，当x∈[a，b]时的值域为[ka，kb](k>0)，则称y=f(x)为k倍值函数.若f(x)=ex+3x是k倍值函数，则实数k的取值范围是（ ）
A．(e+，+∞) B．(e+，+∞)
C．(e+2，+∞) D．(e+3，+∞)
【答案】D
【分析】根据f(x)=ex+3x是定义域R上的增函数，易得，即是方程的两个根，转化为有两个根，令，用导数法求解.
【详解】因为f(x)=ex+3x是定义域R上的增函数，所以，即，
所以是方程的两个根，显然不是方程的根，所以，
令，则，当时，，当时，，
所以当时，取得极小值，
当时，，当时，，画出函数图象，如下图所示：
所以所以实数k的取值范围是(e+3，+∞)，故选：D
3.如果存在，且，使成立，则在区间上，称为的“倍函数”．设，，若在区间上，为的“倍函数”，则实数的取值范围为______．
【答案】
【分析】
求导，易知函数在上单调递增，在上单调递增，不妨设，将转化为．令，转化为在上有解，即在上有解求解.
【详解】
由题可知，在上，．因此函数在上单调递增，易知在上单调递增，
不妨设，因为，
所以，即．
令，则，则函数在上存在增区间，
则在上有解，即在上有解，
所以．令，则，令，则，
又，所以单调递增，所以，所以．
所以实数的取值范围为故答案为：
【题型十】 恒成立求参：双函数最值型
【典例分析】
已知函数，，对任意的，总存在使得成立，则a的范围为_________．
【答案】
【分析】
解题的关键在于读懂“对任意的，总存在使得成立”这一恒成立问题，即要恒成立，先通过求导求出，再通过恒成立问题分离参数，被分离部分再构造函数求最值，即可求出
【详解】
解：对任意的，总存在使得成立，即恒成立
∵，∴
∴当时，，函数单调递减，
∴当时，，函数单调递增，
∴
当时，，则
记，，，
在上单减，，所以单减，则
，单增，，单减，所以
故当时，．
故实数a的取值范围为．
【提分秘籍】
基本规律
1.形如，最终是归结为求最值
2.一般地，已知函数，
（1）若，，总有成立，故；
（2）若，，有成立，故；
（3）若，，有成立，故；
（4）若，，有，则的值域是值域的子集 ．
3.对于一般同学，如果难以区分，可以简单的总结为一句口诀：对于任意的，不等号大的“小”（min），小的“大”（max），任意改存在，则“大”（max）“小”（min）互换。
4.注意本节练习题3，不等号改成等号，则变成值域之间的包含关系。
【变式演练】
1.已知，，若存在，，使得成立，则实数的取值范围是______.
【答案】
【分析】根据存在，，使得成立，只需，先利用导数法求得，再令，将求的最大值转化为在中的最大值，求导，然后分， 和 三种情况讨论求解.
【详解】因为存在，，使得成立，所以只需，
因为，当时，当时，，
所以在中单调递减，在中单调递增，所以，
令，则在中的最大值，也就是在中的最大值.
因为
（1）当时，，在中递减，且趋近于0时，趋近于，满足题意；
（2）当时，，，不合题意舍去；
（3）当时，由可得，可得，
∴在中单调递增，在中单调递减，∴，
∴只需，即，令，则.
由可知，，∴在中单调递减，在中单调递增，
又时，，∴的解为，即的解为.
综上所述，所求实数的取值范围是.故答案为：
2.已知f(x)＝ln x－＋，g(x)＝－x2－2ax＋4，若对任意的x1∈(0,2]，存在x2∈[1,2]，使得f(x1)≥g(x2)成立，则a的取值范围是(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
函数 的定义域为，
易知当 时， ，当 时， 所以在 上递减，在 上递增，故 ．
对于二次函数 该函数开口向下，所以其在区间 上的最小值在端点处取得，
所以要使对 使得 成立，只需 或 ，所以
或
解得 故选B．
3.已知函数，若任意给定的，总存在两个不同的，使得成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由题意，求，对分类讨论，判断单调性，求出函数的值域，即可求.
【详解】
.
当时，，显然不满足题意；
当时，函数的变化情况如下表所示
0 1 2
0 - 0 +
1 极小值
又时，在上是减函数，
且对任意的值域为，
此时当时，函数上不存在两个使得成立，∴不合题意；
当时，函数的变化情况如下表所示
0 1 2
0 + 0 -
1 极大值
在的最大值为.
又时，在上是增函数，且对任意.
由题意可知.
综上，实数的取值范围是.故选：.
【题型十一】 数列与导数：
【典例分析】
已知数列中，，，记，，则下列结正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据数列特征得到，且与同号，结合裂项相消法求得，与比较，发现不恒成立，判断出A选项；结合，可得，判断出B选项；利用可得：，构造新函数可得：，得到，而根据一次函数与对数函数的增长速度，可得不恒成立，故判断C选项；根据题干条件得到，，进而求出，结合数列的单调性可得：，故D选项正确.
【详解】
由，，可得：，故，所以，因为，所以，故，所以与同号，因为，所以，综上：，又因为，可得：，所以，因为，所以，所以，从而，所以不恒成立，选项A不成立
因为，所以恒成立，选项B不成立；
因为，所以，若，则，其中设（），则，所以在上单调递减，其中，当时，，所以
，故有，结合函数的增长速度，显然不恒成立，故选项C错误；
，∴可视为数列的前项和，
∵单调递增，∴，故恒成立，选项D正确.
故选：D
【提分秘籍】
基本规律
数列与不等式结合，常常要进行适当放缩，或利用函数单调性研究数列的单调性，进而求出数列的范围或求和的范围，在求单调性或者最值范围时，可能需要用到函数导数。
如【典例分析】这道题需要构造函数，通过研究其单调性，得到是解题问题的关键.
【变式演练】
1.已知数列满足：.则对于任意正整数n>100，有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
根据题意，可知，即可排除B、D,
对于A选项，对进行放缩，即可判断正误，对于C选项，由得，，转化为，再证，即可判断正确.
【详解】
解：易知，
下证的单调性:
（令，则，当时，，单调递减）
当时，单调递减，则单调递减，则也单调递减，故，
于是B、D不成立.
对于A,
，故A错.
对于C，要证：，
由，只需证 .
由知，只需证得证.
下证，令
当时，，单调递减，当 时，，单调递增，
所以，即恒成立，当取等号.又，故.
故选：C.
2.已知数列满足，满足，，则下列成立的是（ ）
A． B．
C． D．以上均有可能
【答案】C
【分析】
由题设可得且，根据等式条件有，应用放缩法可得，构造并利用导数研究单调性可得上，则即可得到答案.
【详解】
由题设，，，即数列均为正项，
∴，当时等号成立，
当时，有，以此类推可得与题设矛盾，
综上，，故，即.
∵，
∴，
令，则，
当时，即递减，当时，即递增，
∴，故上，即，
∴
故选：C
3.设，数列满足，，则（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】A
【分析】
当时，，即，则，设利用导数研究出函数的的单调性，从而得到，即，得到数列单调递增，则选项A正确，B错误，当时，，即，则，设，利用导数研究出函数的的单调性，可得一定存在，使得，，使得,当（或）时有,，从而选项C, D不正确.
【详解】
当时，，即.
则，设，则
，所以在上单调递增,且
所以当时，，则单调递增.
当时，，则单调递减.
所以，所以
所以当时，数列单调递增，则选项A正确，B错误.
当时，，即.
则，设，则
，所以在上单调递增,且
所以当时，，则单调递增.
当时，，则单调递减.
所以,又，
所以一定存在，使得，，使得
当(或)时有，，即.
同理可得，，所以选项C, D不正确.
故选：A
1.已知函数，若关于的不等式恰有两个整数解，则实数的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】∵，
∴f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减，
当a>0时,f2(x)+af(x)>0 f(x)< a或f(x)>0,此时不等式f2(x)+af(x)>0有无数个整数解，不符合题意；
当a=0时,f2(x)+af(x)>0 f(x)≠0,此时不等式f2(x)+af(x)>0有无数个整数解，不符合题意；
当a<0时,f2(x)+af(x)>0 f(x)<0或f(x)> a,要使不等式f2(x)+af(x)>0恰有两个整数解，必须满足f(3) a2.（四川省遂宁市2022届高三第一次诊断性考试数学试题）已知函数若函数恰有5个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
先研究时，的单调性和极值，画出分段函数的图象，换元后数形结合转化为二次函数根的分布情况，列出不等式组，求出实数的取值范围.
【详解】
当时，，则，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
则时，.当时，.
作出大致图象，函数恰有5个不同零点，
即方程恰有5个根.令，则需方程.
（l）在区间和上各有一个实数根，令函数，
则解得.
（2）方程（*）在和各有一根时，则即无解.
（3）方程（*）的一个根为6时，可得，验证得另一根为，不满足.
（4）方程（*）的一个根为1时，可得，可知不满足.
综上，.故选：A
3.（山东省2021-2022学年高三10月“山东学情”联考数学试题C）已知，若存在，使得成立，则实数的取值范围为__________．
【答案】
【分析】
根据题意，求导，令 ，求出极值点，，分类讨论求出的单调性，由于存在，使得成立，转化成在，成立即可，通过导数得到的单调性判断极值，进而求出最值，即可得出实数的取值范围.
解：由，得，令： ，即：，
解得：，，
（1）当时， ，则或，，则，
即：，时，为增函数，时，为减函数，
由于存在，使得成立，则要求，成立即可，
且，，，，，
已知时，， ，
①当时，只需，
则： ，解得：或解得：；
②当时，只需或即可，即或，
解得：或，
（2）当时， ，，时，为增函数，
，时，为减函数，
则此时，所以存在，使得成立，解得：.
综上得：实数的取值范围为.
故答案为：.
【点睛】
本题考查函数的存在性问题，通过导数判断函数的额单调性、极值、最值，考查分类讨论思想和综合分析能力
4.（广东省2022届高三上学期一轮复习联考（四）数学试题）已知函数有两个零点，则a的最小整数值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】先将函数化为，令，进而只需说明在R上有两个零点，然后对函数求导，讨论出函数的单调区间和最值，最后通过放缩法解决问题.
【详解】
，
设，，即函数在上单调递增，易得，于是问题等价于函数在R上有两个零点，，
若，则，函数在R上单调递增，至多有1个零点，不合题意，舍去；
若，则时，，单调递减，时，，单调递增.
因为函数在R上有两个零点，所以，
而，
限定 ，记，，即在上单调递增，于是，则时 ，，此时，因为，所以，于是时，.
综上：当时，有两个交点，a的最小整数值为2.
故选：C.
5.（2019届湖北省八校高三第二次联考理科数学）若对任意，不等式恒成立，则实数a的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
令，，即，利用导数研究函数的性质，由递增，由零点存在定理知存在，使，则可得，，代入，得关于的不等式，再构造函数，利用单调性求得的取值范围，再由，求得a的最大值.
【详解】令，，所以，
因为需要保证有意义，所以，所以在上单调递增，
因为当时，，且，所以，使得，
并且当时，；当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以，且，
所以，，所以
所以，
考虑函数，其中，
根据复合函数单调性可得函数在上单调递减，
因为，所以解得到，所以，
因为在上单调递增，所以，所以的最大值为.故选：C
6.不等式对于定义域内的任意恒成立，则的取值范围为__________.
【答案】
【分析】
根据题意，分离参数，转化为只对于内的任意恒成立，令，则只需在定义域内即可，利用放缩法，得出，化简后得出，即可得出的取值范围.
【详解】
解：已知对于定义域内的任意恒成立，
即对于内的任意恒成立，
令，则只需在定义域内即可，，
，当时取等号，由可知，，当时取等号，
，
当有解时，令，则，在上单调递增，
又，，使得，，
则，所以的取值范围为.故答案为：.
7.设函数的定义域为D，若满足条件：存在，使在上的值域为，则称为“倍胀函数”.若函数为“倍胀函数”，则实数t的取值范围是________.
【答案】
【分析】
根据定义及函数的单调性，可得方程有两个不等的实数根，构造函数，通过求导求得极值点，代入，求得的最大值，进而可求解.
【详解】
解：因为函数为“倍胀函数”，且定义域为，所以存在，使在上的值域为.因为为增函数，所以，所以方程有两个不等的实数根.令，则，令，解得.易知在上单调递增，在上单调递减，所以.易知当时，，当时，所以要使方程有两个不等的实数根，只需，得，所以t的取值范围为.
故答案为：
8.对任意的，不等式（其中e是自然对数的底）恒成立，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
问题首先转化为恒成立，取自然对数只需恒成立，分离参数只需恒成立，构造，只要求得的最小值即可。这可利用导数求得，当然由于函数较复杂，可能要一次次地求导（对函数式中不易确定正负的部分设为新函数）来研究函数（导函数）的单调性。
【详解】
对任意的N，不等式（其中e是自然对数的底）恒成立，只需恒成立，只需恒成立，只需恒成立，构造，.
下证，再构造函数，设，令，，在时，，单调递减，即，所以递减，，即，所以递减，并且，所以有，所以，所以在上递减，所以最小值为.∴，即的最大值为。
故选：B。
9.数列，满足，，，若的前项和为，则下列选项正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由已知数列递推式求得首项，且得到，与原递推式作差可得数列的通项公式，代入，得到的通项公式，从而得出,然后构造函数，证明不等式成立，从而得到答案．
【详解】由，①得，
，②
①-②得：，即．成立，∴；则．
所以，设，则．
∴在上单调递减，则，即．
令，则．∴，故．
设，则．在上单调递增，
∴，即．令，则．
∴ ．故．
∴．故选D．
10.（黑龙江省哈尔滨市第三中学2021-2022学年高三第四次验收考试数学（理科）试题）已知函数，若存在实数使得，则的取值范围是___________；若，则的最大值是___________.
【答案】
【分析】
对分别求导，求出求出函数单调区间，画出大致图象，结合共同值域可求的取值范围；对变形得，即得，即，可等价处理为，令，构造，结合可求，进而得解.
【详解】
，，当时，，单减；当时，单增；当时，，当时，，当时，，，画出大致图象，如图：
，故当时，，单减，当时，，单增，当时，，当时，，当时，，故将画出，如图所示：
由图可知，若，则；
若，，，因为，所以，即，即，
，令，因为，所以，构造，
，当时，，单增，当时，，单减，故，故的最大值是.
故答案为：；09 导数和函数压轴小题归类（1）
【题型一】 整数解
【典例分析】
在关于的不等式（其中为自然对数的底数）的解集中，有且仅有两个大于2的整数，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【提分秘籍】
基本规律
1.通过函数讨论法，参变分离，数形结合等来切入
2.讨论出单调性，要注意整数解中相邻两个整数点函数的符号问题
【变式演练】
1.已知函数，若存在唯一的正整数，使得，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2.已知偶函数满足，且当时，，若关于x的不等式在上有且只有150个整数解，则实数t的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3.已知对任意实数，关于的不等式在上恒成立，则的最大整数值为
A．0 B． C． D．
【题型二】 零点
【典例分析】
已知函数，若方程有3个不同的实根，，（），则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【提分秘籍】
基本规律
求零点或者讨论零点求参
1.函数讨论法：讨论参数范围，借助函数单调性求解；
2.分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域或最值问题加以解决；
3.数形结合法：构造两个函数，利用数形结合的方法求解.（常规题是函数与直线，较复杂的，就需要构造需要借助求导来画图的函数了）
【变式演练】
1.已知，若存在唯一的零点，且，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2.已知函数，设方程的3个实根分别为，且，则的值可能为（ ）
A． B． C． D．
3.已知函数，对于正实数a，若关于t的方程恰有三个不同的正实数根，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【题型三】 同构
【典例分析】
定义：设函数在上的导函数为，若在上也存在导函数，则称函数在上存在二阶导函数，简记为.若在区间上，则称函数在区间上为“凹函数”.已知在区间上为“凹函数”，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【提分秘籍】
基本规律
1.注意同构法在解题中的应用，对于常见形式的同构要熟练运用,如 =.
2.注意同构技巧在试题中的转化意识，适当淡化那种“同构就结束解题”的题型。区别就是如练习1和3。
【变式演练】
1.已知函数，，若对恒成立，求实数的取值范围．
2.已知不等式对恒成立，则取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3.设，若存在正实数，使得不等式成立，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【题型四】 恒成立求参：移项讨论型
【典例分析】
若，恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【提分秘籍】
基本规律
1.移项含参讨论是所有导数讨论题的基础，也是学生日常训练的重点。
2.讨论点的寻找是关键。
3.一些题型，可以适当的借助端点值来“压缩”参数的讨论范围
【变式演练】
1.若关于的不等式对一切正实数恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2.已知函数，，若有最小值，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
已知函数，若存在，对于任意，都有，则实数a的取值范围是________.
【题型五】 恒成立求参：代入消参型（虚设根型）
【典例分析】
设实数，若对任意，不等式恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【提分秘籍】
基本规律
1.代入消参，也是压轴大题的一个类型。
2.解题框架（主要的）：
（1）导函数（主要是一阶导函数）等零这一步，有根但不可解。但得到参数和的等量代换关系。备用
（2）知原函数最值处就是一阶导函数的零点处，可代入虚根
（3）利用与参数互化得关系式，先消掉参数，得出不等式，求得范围。
（4）再代入参数和互化式中求得参数范围。
【变式演练】
1.已知函数有唯一零点，则（ ）
A． B． C． D．
2.已知函数，不等式对任意恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3.若对任意x∈（0，+∞），不等式e2x﹣mln（2m）﹣mlnx≥0恒成立，则实数m的最大值（ ）
A． B．e C．2e D．e2
【题型六】 恒成立求参：构造函数
【典例分析】
已知函数的定义域为，若对任意的，恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【提分秘籍】
基本规律
1.一些复杂结构，需要先构造合理的函数形式，以达到“化繁为简”的目的
2.比较常见的，是绝对值形式，如本专题的【典例分析】
【变式演练】
1.已知函数与的图象恰有三个不同的公共点（其中为自然对数的底数），则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2.对于任意，，当时，恒有成立；则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3.已知函数满足，若对任意正数都有，则的取值范围是
A． B． C． D．
【题型七】 恒成立求参：分离参数（常规）
【典例分析】
设函数，若时，，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【提分秘籍】
基本规律
分离参数：将参数提取到单独的一侧，然后通过求解函数的最值来求解参数的取值范围，
1.分离参数思维简单，不需过多思考；
2.缺点是，首先得能分参，其次求导计算可能十分麻烦，甚至需要二阶，三阶。。等等求导。
【变式演练】
1.不等式对任意恒成立，则实数的取值范围
A． B． C． D．
2.已知函数满足恒成立，则实数的取值范围是____．
3.已知函数，若对于任意，不等式恒成立，则实数a的最大值为________.
【题型八】 恒成立求参：分离参数（洛必达法则）
【典例分析】
若对恒成立，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
【提分秘籍】
基本规律
若分离参数后，所求最值恰好在“断点处”，则可以通过洛必达法则求出“最值”
变式演练】
1.已知函数 (a∈R),若在x∈(0,1］ 时恒成立,则实数a的取值范围是
A．［,+ ∞） B．[,+∞) C．[2,+∞) D．[1,+∞)
2.若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
【题型九】 恒成立求参：倍函数
【典例分析】
设函数的定义域为，若满足条件：存在，使在上的值域为（且），则称为“倍函数”，若函数为“3倍函数”，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【提分秘籍】
基本规律
1.倍函数，包括“倍增函数”，“倍缩函数”，“K倍函数”，等等新定义
2.应用函数思想和方程思想。
【变式演练】
1.若存在且，使成立，则在区间上，称为的“倍函数”．设，，若在区间上，为的“倍函数”，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
2..对于函数y=f(x)，若存在区间[a，b]，当x∈[a，b]时的值域为[ka，kb](k>0)，则称y=f(x)为k倍值函数.若f(x)=ex+3x是k倍值函数，则实数k的取值范围是（ ）
A．(e+，+∞) B．(e+，+∞)
C．(e+2，+∞) D．(e+3，+∞)
3.如果存在，且，使成立，则在区间上，称为的“倍函数”．设，，若在区间上，为的“倍函数”，则实数的取值范围为______．
【题型十】 恒成立求参：双函数最值型
【典例分析】
已知函数，，对任意的，总存在使得成立，则a的范围为_________．
【提分秘籍】
基本规律
1.形如，最终是归结为求最值
2.一般地，已知函数，
（1）若，，总有成立，故；
（2）若，，有成立，故；
（3）若，，有成立，故；
（4）若，，有，则的值域是值域的子集 ．
3.对于一般同学，如果难以区分，可以简单的总结为一句口诀：对于任意的，不等号大的“小”（min），小的“大”（max），任意改存在，则“大”（max）“小”（min）互换。
4.注意本节练习题3，不等号改成等号，则变成值域之间的包含关系。
【变式演练】
1.已知，，若存在，，使得成立，则实数的取值范围是______.
2.已知f(x)＝ln x－＋，g(x)＝－x2－2ax＋4，若对任意的x1∈(0,2]，存在x2∈[1,2]，使得f(x1)≥g(x2)成立，则a的取值范围是(　　)
A． B． C． D．
3.已知函数，若任意给定的，总存在两个不同的，使得成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【题型十一】 数列与导数：
【典例分析】
已知数列中，，，记，，则下列结正确的是（ ）
A． B． C． D．
【提分秘籍】
基本规律
数列与不等式结合，常常要进行适当放缩，或利用函数单调性研究数列的单调性，进而求出数列的范围或求和的范围，在求单调性或者最值范围时，可能需要用到函数导数。
如【典例分析】这道题需要构造函数，通过研究其单调性，得到是解题问题的关键.
【变式演练】
1.已知数列满足：.则对于任意正整数n>100，有（ ）
A． B．
C． D．
2.已知数列满足，满足，，则下列成立的是（ ）
A． B．
C． D．以上均有可能
3.设，数列满足，，则（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
模拟练
1.已知函数，若关于的不等式恰有两个整数解，则实数的取值范围是
A． B．
C． D．
2.（四川省遂宁市2022届高三第一次诊断性考试数学试题）已知函数若函数恰有5个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3.（山东省2021-2022学年高三10月“山东学情”联考数学试题C）已知，若存在，使得成立，则实数的取值范围为__________．
4.（广东省2022届高三上学期一轮复习联考（四）数学试题）已知函数有两个零点，则a的最小整数值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
5.（2019届湖北省八校高三第二次联考理科数学）若对任意，不等式恒成立，则实数a的最大值为（ ）
A． B． C． D．
6.不等式对于定义域内的任意恒成立，则的取值范围为__________.
7.设函数的定义域为D，若满足条件：存在，使在上的值域为，则称为“倍胀函数”.若函数为“倍胀函数”，则实数t的取值范围是________.
8.对任意的，不等式（其中e是自然对数的底）恒成立，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
9.数列，满足，，，若的前项和为，则下列选项正确的是（　　）
A． B．
C． D．
10.（黑龙江省哈尔滨市第三中学2021-2022学年高三第四次验收考试数学（理科）试题）已知函数，若存在实数使得，则的取值范围是___________；若，则的最大值是___________.09导数和函数压轴小题归类（2）
目录
一、热点题型归纳 1
【题型一】 导数中的“距离”1：同底指数和对数的对称关系 1
【题型二】 导数中的“距离”2：构造型距离 5
【题型三】 导数中的“距离”3：其他型距离 7
【题型四】 极值点偏移 9
【题型五】 嵌套函数求参 12
【题型六】 多参型1 15
【题型七】 多参2：凹凸翻转型 17
【题型八】 多参3：比值代换、差值代换等代换 20
【题型九】 多参4:韦达定理型 22
【题型十】 多参5：“二次”最值型 24
二、最新模考题组练 28
【题型一】 导数中的“距离”1：利用同底指数和对数关于y=x对称关系（原函数与反函数）
【典例分析】
设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值为
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】如图所示，与直线相交于，关于的对称点在上，根据切线与平行得到，得到答案.
【详解】
如图所示：与直线相交于，关于的对称点在上.则
设，则，故在上单调递减，在上单调递增，，
故恒成立，即恒成立.的导函数，的导函数，
当两条切线与平行时，都有，到直线的距离为.故，当，时等号成立.故选：.
【提分秘籍】
基本规律
同底指数与对数函数，以为例
1.“双飞燕”数据：
2.对称轴不变：注意左加右减和上加下减之间的对应关系。
3.对称轴跟随变化：要注意整体平移后的对称轴变化。
【变式演练】
1.已知,为自然对数的底数，则的最小值为
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
函数和函数互为反函数，图像关于对称.令，切线方程为，和直线之间的距离为，故的最小值为，此时，故选B.
点睛：本题主要考查函数导数与最值问题，考查互为反函数的两个函数间的最值问题.首先观察要求最小值的式子，第一个部分可以看作两个互为反函数的函数和函数，这两个函数图像关于对称，可以利用导数求得对应图像上两点的距离的最小值.
2.若直线与两曲线分别交于两点，且曲线在点处的切线为，曲线在点处的切线为，则下列结论：
①，使；②当时，取得最小值；
③的最小值为2；④．
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．① B．①②③
【答案】C
【分析】
先利用导数求得两条切线方程，令,可知，故存在零点，①正确；，通过求导讨论单调性可知有最小值，进而可以判断最小值范围，②正确，③错误；通过判断与大小可判断出④正确.
【详解】
由直线与两曲线分别交于两点可知：
曲线上点坐标，可求导数，则切线斜率，可知切线：.
曲线上点坐标，可求导数，则切线斜率.
令，则，令，，
由零点存在定理，使，即，使，即，故①正确.
，令，由同理可知有，使，令，在处取最小值，即当时，取得最小值，故②正确.
是对勾函数，在上是减函数，，故③错误.
，，故④正确.
故选：C.
3.已知点为函数的图象上任意一点，点为圆上任意一点，则线段的长度的最小值为
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
将的最小值，转化为到圆心的最小距离再减去半径来求得的最小值.设出函数上任意一点的坐标，求得圆心的坐标，利用两点间的距离公式求得的表达式，利用导数求得这个表达式的最小值，再减去求得的最小值.
【详解】
依题意，圆心为，设点的坐标为，由两点间距离公式得，设，，令解得，由于，可知当时，递增，时，，递减，故当时取得极大值也是最大值为，故，故时，且，所以，函数单调递减.当时，，，当时，，即单调递增，且，即，单调递增，而，故当时，函数单调递增，故函数在处取得极小值也是最小值为，故的最小值为，此时.故选A.
【题型二】 导数中的“距离”2：构造型距离
【典例分析】
已知实数满足，其中是自然对数的底数，则的最小值为
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由已知得点在直线上，点在曲线上，的几何意义就是直线到曲线上点的距离最小值的平方，由此能求出的最小值.
【详解】
实数满足，，
点在直线上，点在曲线上，
的几何意义就是直线到曲线上点的距离最小值的平方，
考查曲线平行于直线的切线，，令，
解得，切点为，
该切点到直线的距离，就是所求的直线与曲线间的最小距离，故的最小值为.故选：D
【提分秘籍】
基本规律
适当的选取对应纵横坐标，借助距离了公式和比值转换，可以把复杂问题转化为两曲线（直线）的距离
，进而构造函数求导求解。
【变式演练】
1.若实数满足，则的最小值为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
将题目所给方程，转化为点是曲线上的点，是直线上的点，而题目所求表示为的最小值，利用平移求切线的方法，结合点到直线的距离公式，求得的最小值.
解：∵，∴点是曲线上的点，是直线上的点，
∴要使最小，当且仅当过曲线上的点且与平行时．
∵，由得，；由得．
∴当时，取得极小值．由，可得 （负值舍去）
∴点到直线的距离为，故选：A．
2.设.，则的最小值为
A． B．1 C． D．2
【答案】C
【详解】
由题可得：设，所以为上任意一点到上任一点及抛物线焦点的距离之和，所以距离表达式为,令，，显然在递减，递增所以，故最小值为
3.已知实数满足，其中是自然对数的底数，则的最小值为
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
点 看作曲线 上点P；点 看作直线 上点Q；则为 ,由 ，所以，选A.
【题型三】 导数中的“距离”3：其他距离
【典例分析】
已知函数，，若成立，则的最小值是
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
分析：设，则，把用表示，然后令，由导数求得的最小值．
详解：设，则，，，
∴，令，
则，，∴是上的增函数，
又，∴当时，，当时，，
即在上单调递减，在上单调递增，是极小值也是最小值，
，∴的最小值是．
【提分秘籍】
基本规律
各种各样的“距离”：
1.水平线“距离”，如【典例分析】
2曲线点到直线距离，如练习2
3.借助函数图像对称性，如练习3
【变式演练】
1.设函数在区间上存在零点，则的最小值为（ ）
A． B． C．7 D．
【答案】B
【分析】
设t为在上的零点，可得，转化为点在直线上，根据的几何意义，可得，令，利用导数求得函数的单调性和最值，即可得答案.
【详解】
设t为在上的零点，则，所以，即点在直线，
又表示点到原点距离的平方，则，
即，
令，可得，
因为，所以，得在上为单调递增函数，
所以当t=0是，，
所以的最小值为.故选：B.
2.已知函数，若存在实数，使得成立，则实数的所有可能取值构成的集合为__________.
【答案】
【分析】
，看成点到点的距离的平方，转化为一个点在函数上，一个点在直线上，根据导数的几何意义及切线的应用可以求出，再利用取等号的条件求出
【详解】
解：，则看成点到点的距离的平方，其中点在函数上，点在直线上，
由，得，令，则，，设，
所以函数在点处的切线与直线平行，
所以点到直线的距离，即点到点的距离的最小值，
点到直线的距离为，
所以，
过点且垂直直线的直线方程为，由，得，
当且仅当，即时，，
所以，
所以实数的所有可能取值构成的集合为，故答案为：
3.已知P是曲线上的点，Q是曲线上的点，曲线与曲线关于直线对称，M为线段PQ的中点，O为坐标原点，则的最小值为________．
【答案】
【分析】
画出函数及其关于对称的曲线的简图，根据图像，分别过P，Q作的平行线，如图虚线，由于中点在图中两条虚线的中间线上，要中点到原点的距离最小需要左边最近，右边最远，因此当两条虚线是如图所示曲线的切线时，此时切点分别是P，Q，此时P，Q的中点M到原点O的距离最小，利用相切求得切点坐标，即得解．
【详解】,函数在单调递增，单调递减.。它的图像及关于直线对称的图像如图所示：
分别过P，Q作的平行线，如图虚线，由于中点在图中两条虚线的中间线上，要中点到原点的距离最小需要左边最近，右边最远，因此当两条虚线是如图所示曲线的切线时，此时切点分别是P，Q，此时P，Q的中点M到原点O的距离最小.
令，又P在y轴右侧，；
根据两条曲线的对称性，且P，Q处的切线斜率相等，点Q为点关于对称的点，可求得。因此PQ中点坐标为：故答案为：
【题型四】 极值点偏移
【典例分析】
已知函数，若且，关于下列命题：正确的个数为
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【详解】,所以函数f(x)在单调递增，在单调递减．f(0)=1
f(1)=0，当x<0时，f(x)>0，所以．即x轴是函数的渐近线，画出草图如下．
．由图可知（1）（4）错，（2）（3）对．选B.
【提分秘籍】
基本规律
1.极值点偏移小题是属于“大题”题型。
2.如果只是做小题，可以考虑画出草图，粗略的可以判断真假．
【变式演练】
1..已知方程有两个不同的实数根，（），则下列不等式不成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由题设，将问题转化为与在上有两个交点且横坐标分别为，（），利用导数研究的单调区间，进而可得且有，令则，构造中间函数并利用导数研究单调性，进而判断的符号，即可确定A、B的正误；构造，利用导数研究单调性，判断C、D的正误.
【详解】
由题意，，即与在上有两个交点且横坐标分别为，（），
∵，而，
∴当时，，单调递减；当时，，单调递增；
∴的极小值也是最小值为，而，，，
∴要使题设成立，则且有.
令，则，
∴，
若且，
∴
∵，，
∴，即在上单调递减，
∴，
∴且当时单调递增，故在右侧存在，使，即，若，
∴，且恒成立，即，故A、B正确；
令且，则，即，
∴，，递减；，，递增；
∴，故单调递增，
∴，即，易知C正确，D错误；
故选：D
2.已知，若，且，则与2的关系为
A． B． C． D．大小不确定
【答案】A
【分析】
先求导求出的极大值点为1，再比较和的大小得出，再根据当时，，单调递减可得．
【详解】
由题，,令则有，所以当时，
当时，，所以,在时取得极大值和最大值.
又当趋近于正无穷时,正向趋近于0,且,所以,如果存在
使得,不失一般性令 ,则,，
对于任意的,分别取两点、，
现在比较和的大小. ，
令分子部分为,.
求导有,
当时, ;当时,又，故单调递增且大于0.所以,在 上是单调增函数,且,故,即，因为，，在上单调递减且,所以在点的右侧必能找到一点,使得,且，故，令,则有，故选A．
3.设且，若，则下列结论中一定正确的个数是
①；②；③；④
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【详解】
，即
，令 时， 时，
， ， ，故 ④对；令 时， ， ， ，即 ，故①对；又 ，故③对；构造
， 递减，
时， ， ， ，故 故②对，所以正确的个数为 ，故选D.
【题型五】 嵌套函数求参
【典例分析】
已知函数，若曲线上存在点，使得，则实数的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据函数的值域可以确定，然后换元令，进而根据讨论得出，代入可得，解出m，转化为用导数求值域的问题.
【详解】
由题意，曲线上存在点，使得，所以．记，若，则，所以，不满足，同理也不满足，所以，所以，所以，所以
记，则，记，因为，所以在上单调递减，因为，所以时，，因为，所以，所以的最大值为故选：D.
【提分秘籍】
基本规律
1.嵌套函数：双坐标系换元转化
2.利用导数数形结合求解
【变式演练】
1.设函数，若曲线上存在点，使得成立，则实数的取值范围为（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】C
【分析】
利用函数的单调性可以证明.令函数，化为.令，利用导数研究其单调性即可得出.
解：，
当时，取得最大值，
当时，取得最小值，
即函数的取值范围为，，若上存在点，使得成立，则，.又在定义域上单调递增.
所以假设，则（c），不满足.
同理假设，也不满足.
综上可得：.，.
函数，的定义域为，等价为，在，上有解
即平方得，则，
设，则，由得，此时函数单调递增，
由得，此时函数单调递减，即当时，函数取得极小值，即（1），
当时，（e），则.
则.故选：.
2.已知函数，，记函数g(x)和h(x)的零点个数分别是M ，N，则（ ）
A．若M=1，则N≤2 B．若M=2，则N≥2
C．若M=3，则N=4 D．若N=3，则M=2
【答案】A
【分析】对函数求导，分析其单调性和最值，在同一坐标系中作出与的图像，根据题意函数零点的个数与的范围有关，为简单起见只讨论的情况，逐一选项判断即可得选项.
【详解】
，
令单调递增，单调递减，
当时，取得最小值，，
当，
在同一坐标系中作出与的图像，如下图所示：
当时，作出函数的图像如下图所示：
记，则的零点转化为和，
对于A选项：若时，即有1个零点，即有1个交点，所以或，
（1）当时，有1个根，且，所以的根的情况是：在时，有2个根，在时，有1个根；
（2）当时，有1个根，，所以没有根，
所以若时，h(x)的零点个数或；所以，故A选项成立；
对于B选项：若时，即有2个零点，即有2个交点，所以或，
（1）当时，有2个根，且，所以的根的情况是：在时，有2个根，当时，有2个根，在或时，有1个根，当时，没有根；
（2）当时，有2个根，且或，所以没有根，
所以若时，h(x)的零点个数或或；所以，故B选项不正确；
由图示可知和不可能有3个零点，所以，若或这种情况不存在；
所以当时，若时，或；若时，或或；若或的情况不存在；
和的情况与的情况类似，
故选：A.
3.已知函数，若有两个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意可知，当时，，；当时，，.由，得
.根据的解析式，分别求出的表达式，再根据导数求的取值范围.
【详解】
当时，，；
当时，，，
综上，对.
有两个零点，即方程有两个根，
即方程有两个根，不妨设.易知函数在上单调递减，在上单调递增，
当时，；当时，.令.
.令，
，令.时，；时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，
当时，.
函数的值域为，即的取值范围是.故选：.
【题型六】 多参型1：复杂讨论型
【典例分析】
已知、，且，对任意均有，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【分析】推导出与符号相同，构造函数，然后对四个选项中的条件逐一验证，即可得出合适的选项.
【详解】，故与的符号相同，
当时，；当时，.所以，与的符号相同.
，
令，所以，当时，恒成立，令，可得，，.
，分以下四种情况讨论：
对于A选项，当，时，则，当时，，不合乎题意，A选项错误；
对于B选项，当，时，则，
若，若、、均为正数，
①若，则，当时，，不合乎题意；
②若，则，当时，，不合乎题意.
③若、、都不相等，记，则当时，，不合乎题意.
由上可知，，当时，若使得恒成立，则，如下图所示，
所以，当，时，且，时，当时，恒成立；
对于C选项，当，时，则，
①若时，则当时，，不合乎题意；
②当时，构造函数，其中，，
函数在上单调递增，则，.
当时，由于，则，不合乎题意，C选项错误；
对于D选项，当，时，则，此时、、为正数.
①当、、都不相等时，记，当时，，不合乎题意；
②若，则，当时，，不合乎题意；
③当时，，当时，， 不合乎题意.
所以，D选项错误.
故选：B.
【提分秘籍】
基本规律
“多参”求最值或者范围，属于综合难题，没有特别有规律的方法，大多数需要选取适当的函数，利用导数分类讨论，属于难题
【变式演练】
1.设a，b是正实数，函数，.若存在，使成立，则的取值范围为_________.
【答案】
【分析】由区间的表示可知,令，存在，使成立等价于，求导后判断导数的正负号，即可讨论出函数在区间上的单调性，即可求出的取值范围.
【详解】∵存在，使成立，∴，得；
令；∴；
∵，，，令，即时，递增；时，递减；
①若，即在上单调递减；
∴，对恒成立；
②若，即，在上先递减后递增；
∴，∴，，即，
综上的取值范围为.故答案为：.
2.对任意的，不等式恒成立，则的最小值为______.
【答案】
【分析】根据不等式恒成立，构造，有，利用二阶导数研究单调性，再讨论、时的单调性，进而确定在上的最小值及对应m、n的关系式，将与所得关系式转化为直线与曲线相切的问题，求的最小值即可.
【详解】令，则，即，∴单调递增，
∴当时，，即在上递减，而当时，，故不满足；
当时，若得，即，
∴时，，即递减；当时，，即递增；若令，即，
则：①当，即，恒成立；
∴情况下最小，即直线与曲线相切，而，
∴时，，有，，则；
当，即，，得，
∴情况下最小，即直线与曲线相切，而，
∴时，，有，，则；
∴综上：，即的最小值为.故答案为：.
3.已知函数，若且，则的取值范围为
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】根据绝对值的几何意义，有，且，故，化简得，，令，，故函数在上单调递增，所以.
【题型七】 多参型2：凸凹翻转型
【典例分析】
已知大于1的正数，满足，则正整数的最大值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．11
【答案】C
【分析】等价于，令，，分别求，的导数，判断函数的单调性，可求得有最大值，有最小值，根据题意，即求，代入为，等价于，令，即求的最大的正整数.对求导求单调性，可知单调递减，代入数值计算即可求出结果.
解：由题干条件可知：等价于，
令，，则 ， ，
当时，，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，则有最大值.
令，，则，当时，此题无解，所以，
则，当，当，
所以在上单调递减，在上单调递增，则有最小值.
若成立，只需，即，即，
两边取对数可得：.时，等式成立，当时，有，
令，本题即求的最大的正整数.
恒成立，则在上单调递减，
，，，
所以的最大正整数为9.。故选：C.
【提分秘籍】
基本规律
凸凹翻转型常见思路，如下图
【变式演练】
1.已知实数，满足，则的值为
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
设，，得，变形为，令，，求导求最值得,结合取等条件求出x,y即可
【详解】
设，，则
，
令，(m)=m<1,(m)>0,m>1,(m)<0,则在单调递增单调递减，
令，则单调递减，单调递增
由题意，，，，,故x+y=2。故选A
2.已知函数有两个零点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据零点定义，令，可得，构造函数，求导并令，解得，且根据导数的符号判断单调性，进而可得在处取得最大值。所以可得，进而根据极限值情况可得m的取值范围。
【详解】令，可化为，令，，令，得，
当时，；当时，，
所以，
先增后减，即从负无穷增大到，然后递减到，而函数是时由正无穷递减到0，然后又逐渐增大，所以，即所以选B
【题型八】 多参型3:比值代换等代换
【典例分析】
已知存在，若要使等式成立（e=2.71828…），则实数的可能的取值是（ ）
A． B． C． D．0
【答案】B
【分析】根据题意可得，求出的取值范围，进而可得的取值范围，结合选项，即可求解.
解：，
令，又，，且，令，则，
再令，在上单调递增。又，
在上，；在上，，则在上，；在上，，
且当时，；当时，，或
或所以结合选项，可知答案选B.故选：B
【提分秘籍】
基本规律
代换构造型，
1.比值代换，如【典例分析】
2.整体代换，如练习1和2
【变式演练】
1.对任意的正数，都存在两个不同的正数，使成立，则实数的取值范围为
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
由得，设，则，设，，所以在上单调递增，在上单调递减，且，，故当时，存在两个不同的实数，使成立，即对任意的实数，都存在两个不同的实数，使得成立．
故选A
2.若正实数满足，则函数的零点的最大值为______.
【答案】
【分析】根据题意，先求出函数的零点，，然后换元，转化为求的最大值，求导取得其单调性，转化为求t的最大值，再令，再根据单调性求最大值，最后求得结果.
【详解】因为正实数满足，则函数的零点
令 所以零点的最大值就相当于求的最大值令， 所以函数是单调递减的，
当t取最小值时，f(t)取最大值又因为，a+b=1所以
令 ，
令 ，解得，此时递增。 ，解得，此时递减，
所以此时
故答案为
3.若存在两个正实数x，y使等式成立，（其中）则实数m的取值范围是________.
【答案】
【详解】
， ，设 ，设 ，那么 ， 恒成立，所以是单调递减函数，当时， ，当时， ，函数单调递增，当 ， ，函数单调递减，所以 在时，取得最大值， ，即 ，解得： 或 ，写出区间为 ，故填： .
【题型九】 多参型4：韦达定理型
【典例分析】
已知在上恰有两个极值点，，且，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意得导函数在区间有两个零点，根据二次函数的性质可得，由根与系数的关系可得以及，求出的表达式，将用表示，表示为关于的函数，利用导数与单调性的关系即可求出结果.
【详解】由题意得，令，得，
由题意知在上有两个根，，∴，得．
由根与系数的关系得，由求根公式得，∵，∴，∵，∴．则，
令，则．设，则，
易知在上单调递增，∴，∴当时，函数为减函数，
∴，且，
∴，故选：D.
【提分秘籍】
基本规律
1.一般涉及到极值点，对应导函数的零点
2.通过韦达定理寻找参数之间的代换。
【变式演练】
1.已知函数有两个不同的极值点，，若不等式有解，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先求导得（），由于函数有两个不同的极值点，，转化为方程有两个不相等的正实数根，根据，，，求出的取值范围，而有解，通过分裂参数法和构造新函数，通过利用导数研究单调性、最值，即可得出的取值范围.
【详解】由题可得：（），因为函数有两个不同的极值点，，
所以方程有两个不相等的正实数根，于是有解得.
若不等式有解，所以
因为
.设，
，故在上单调递增，故，
所以，所以的取值范围是.故选：C.
2.已知函数（其中，），当时恒成立，则的取值范围为___________.
【答案】
【分析】将拆分为、分别研究单调性，令可得，讨论该方程、情况下参数a、b、c的关系或范围，进而利用导数求目标式的范围.
【详解】令，则，∴时，时，
∴在上递减，在上递增，故，
若，则在上递减，在上递增，令，即，，
1、即时，在上的两个零点为，同时它们恰好为的零点，
∴，即，又，则，此时，，令，则，∴递减且时，则，故.
2、，即时，在上，此时只需即即可.
此时，，令，则，即在递减，∴，而，故.综上，
【题型十】 多参型5：“二次”最值型
【典例分析】
已知函数，若时，恒有，则的最大值为
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
对函数求导并带入已知不等式中，将不等式恒成立问题由构造新函数并借助导数利用分类讨论求最小值即可求出ab的不等式关系，进而表示，再令并构造，利用导数求得最大值即可.
【详解】
因为函数，则，
由题可知，对，恒有成立，
令，则，
当时，函数在R上单调递增，且时，，不符合题意；
当时，，
当时，令，所以函数在上单调递增，且在上单调递减；
所以，
故，
令，则，且，
当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，
所以，故，
综上所述，的最大值为.故选：C
【提分秘籍】
基本规律
1.这类型题最早原型题是2012年高考新课标1卷理科压轴题。
2.解题时，要注意通过对函数讨论后转变为参数不等式时，是求最小还是最大（不是恒成立而是类似“存在”型）
【变式演练】
1.已知不等式（，且）对任意实数恒成立，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】转化条件得，求出的最小值后即可得，可得，最后求出的最大值即可得解.
【详解】由题意得恒成立，
令，则，
若，，单调递增，当时，不合题意；
若，当时，，单调递减，当时，
，单调递增，所以最小值为.
，
，
令，则，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
，即的最大值为.。故选：B.
2.已知函数，若，则ab的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
画出的图像，结合图像，根据，求得的取值范围.令，将用表示，由此求得的表达式，进而利用导数求得的最小值.
【详解】画出图像如下图所示，令，解得.所以.
令，由图可知.，所以.所以.
构造函数（稍微放大的范围）..
令，，
所以在上递减.而.
由于，所以，，，
所以. ，故存在，使.
所以在上递增，在上递减.
所以对于来说，最小值只能在区间端点取得. 当时，；
当时，.
所以的最小值为.故选：B
3.已知函数．若不等式对恒成立，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
通过将不等式变形，即需要证明在上恒成立，再通过对求导，找出求出的最大值，再证明大于等于零在上恒成立即可
【详解】
解法1：令，则，
当时，单调递增，无最大值，不合题意；
当时，令，则，时，，单调递增，
，，单调递减，
∴，即，，，，由的导数为，
当时，，且，；当时，，可得时，取得最小值，上的最小值为，故选B．
解法2，作出的图象，易知是凸函数，曲线与轴交于点，即，要满足题意，则时，用零点比大小模型，，则，故选B．
1.对于定义域为的函数，若满足① ；② 当，且时，都有；
③ 当，且时，都有，则称为“偏对称函数”．现给出四个函数：；；
则其中是“偏对称函数”的函数个数为
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【详解】
因为条件②，所以与同号，不符合②，不是“偏对称函数”；对于；，满足①②，构造函数，，在 上递增，当，且时，都有，，满足条件 ③，是“偏对称函数”；对于， ，满足条件①②，画出函数的图象以及在原点处的切线， 关于 轴对称直线，如图，由图可知满足条件③，所以知是“偏对称函数”；
函数为偶函数，，不符合③，函数不是，“偏对称函数”，故选C.
2.若实数满足，则的最小值为__________．
【答案】
【解析】
实数满足，可得，分别令
，转化为两个函数与的点之间的距离的最小值，，设与直线平行且与曲线相切的切点为，则，解得，可得切点，切点到直线的距离. 的最小值为，故答案为.
3.已知点为函数的图象上任意一点，点为圆上任意一点（为自然对数的底），则线段的长度的最小值为______．
【答案】
【详解】
圆心，先求的最小值，设，所以以点为切点的切线方程为，当垂直切线时，，此时点，函数图象上任意点到点的距离大于点到切线的距离即，所以的最小值是，故答案为.
4..已知函数，若存在，使得，则的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
先由函数的单调性结合等式，得出，由此得出关于的方程在区间上有实解，利用参变量分离法得出在有实根，转化为直线与函数在区间有交点，利用数形结合思想求解即可.
【详解】
易知函数在区间上单调递增，则存在，使得不等式成立，所以，，得.
①假设，则，不合乎题意；
②假设，则，不合乎题意；
③假设，则，合乎题意.
由上可知，关于的方程在区间上有实解，
由，得，所以，，构造函数.
则直线与函数在区间有交点.
，令，则，令，得.
当时，；当时，.
所以，函数在处取得最小值，
即，，
所以，对任意的，，则函数在区间上单调递增.
，，
所以，当时，直线与函数在区间有交点.
因此，实数的取值范围是，故选A.
5.设，（其中为自然对数的底数),若函数有个零点，则的取值范围
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
分析：问题转化为直线与函数有四个交点，利用导数研究函数的性质，作出图象（草图），观察分析.
详解：当时，，，由知在有一个零点，在上有一个零点，－1也是它的零点，且满足；
当时， ，，由知在上有一个零点，且，
都是极大值点，－1是极小值点，注意到，，，∴当时，直线与函数有四个交点，
6.直线分别与曲线和曲线交于，两点，则的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【分析】根据题意可设，，即可表示出，构造函数并求得，令求得极值点并判断函数的单调性，即可求得的最小值.
【详解】直线分别与曲线和曲线交于，两点，
设，，且，，，．
，，，令解得，（舍），
当时，则在上单调递减，
当时，，则在上单调递增．
所以，综上可知的最小值为．故选：D.
7.已知函数，若函数与的图象相交于A，B两点，且A，B两点的横坐标分别记为，，则的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】作出函数，的图象如图，不妨设，当经过点时，，
联立得，所以；因为与的图象关于直线对称，而与垂直，所以，且.
令，且，则易知为增函数，所以，
因为，所以.故选：B.
8.已知函数，若存在实数满足时，成立，则实数的最大值为
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
由，∴，令，（），则，（，），显然，在单调递减，∴（）
令，（），，∵，∴，则，∴令在单调递减，∴，∴实数a的最大值为．选B.
9.已知且对任意的恒成立，则的最小值为_____．
【答案】1
【解析】
设，则由得：，当当时，，当时，，所以当时，有唯一极值，也是最小值，所以由对任意的恒成立，得，可得，因为 ，故成立，
令（），，当时，，当时，，所以当时，，所以，故填．
10.设，，若关于的不等式在上恒成立，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据不等式在上恒成立，令，转化为在上恒成立，令，用导数法求得最大值，转化为 ，再令，得到，求其最大值即可.
【详解】因为不等式在上恒成立，
所以不等式在上恒成立，
令，则 在上恒成立，令，
所以，
若，则 ， 在递增，
当时， ，不等式不成立，
故，当时，，当时，，
所以当时，取得最大值，所以，
所以，所以，令，则，
所以，当时，当时，，所以当时，取得最小值，所以的最小值是。故选：D02导数和函数压轴小题归类（2）
【题型一】 导数中的“距离”1：利用同底指数和对数关于y=x对称关系（原函数与反函数）
【典例分析】
设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值为
A． B． C． D．
【提分秘籍】
基本规律
同底指数与对数函数，以为例
1.“双飞燕”数据：
2.对称轴不变：注意左加右减和上加下减之间的对应关系。
3.对称轴跟随变化：要注意整体平移后的对称轴变化。
【变式演练】
1.已知,为自然对数的底数，则的最小值为
A． B． C． D．
2.若直线与两曲线分别交于两点，且曲线在点处的切线为，曲线在点处的切线为，则下列结论：
①，使；②当时，取得最小值；
③的最小值为2；④．
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．① B．①②③
3.已知点为函数的图象上任意一点，点为圆上任意一点，则线段的长度的最小值为
A． B． C． D．
【题型二】 导数中的“距离”2：构造型距离
【典例分析】
已知实数满足，其中是自然对数的底数，则的最小值为
A． B． C． D．
【提分秘籍】
基本规律
适当的选取对应纵横坐标，借助距离了公式和比值转换，可以把复杂问题转化为两曲线（直线）的距离
，进而构造函数求导求解。
【变式演练】
1.若实数满足，则的最小值为（　　）
A． B．
C． D．
2.设.，则的最小值为
A． B．1 C． D．2
3.已知实数满足，其中是自然对数的底数，则的最小值为
A． B． C． D．
【题型三】 导数中的“距离”3：其他距离
【典例分析】
已知函数，，若成立，则的最小值是
A． B． C． D．
【提分秘籍】
基本规律
各种各样的“距离”：
1.水平线“距离”，如【典例分析】
2曲线点到直线距离，如练习2
3.借助函数图像对称性，如练习3
【变式演练】
1.设函数在区间上存在零点，则的最小值为（ ）
A． B． C．7 D．
2.已知函数，若存在实数，使得成立，则实数的所有可能取值构成的集合为__________.
3.已知P是曲线上的点，Q是曲线上的点，曲线与曲线关于直线对称，M为线段PQ的中点，O为坐标原点，则的最小值为________．
【题型四】 极值点偏移
【典例分析】
已知函数，若且，关于下列命题：正确的个数为
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【提分秘籍】
基本规律
1.极值点偏移小题是属于“大题”题型。
2.如果只是做小题，可以考虑画出草图，粗略的可以判断真假．
【变式演练】
1..已知方程有两个不同的实数根，（），则下列不等式不成立的是（ ）
A． B． C． D．
2.已知，若，且，则与2的关系为
A． B． C． D．大小不确定
3.设且，若，则下列结论中一定正确的个数是
①；②；③；④
A．1 B．2 C．3 D．4
【题型五】 嵌套函数求参
【典例分析】
已知函数，若曲线上存在点，使得，则实数的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【提分秘籍】
基本规律
1.嵌套函数：双坐标系换元转化
2.利用导数数形结合求解
【变式演练】
1.设函数，若曲线上存在点，使得成立，则实数的取值范围为（ ）
A．， B．， C．， D．，
2.已知函数，，记函数g(x)和h(x)的零点个数分别是M ，N，则（ ）
A．若M=1，则N≤2 B．若M=2，则N≥2
C．若M=3，则N=4 D．若N=3，则M=2
3.已知函数，若有两个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【题型六】 多参型1：复杂讨论型
【典例分析】
已知、，且，对任意均有，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【提分秘籍】
基本规律
“多参”求最值或者范围，属于综合难题，没有特别有规律的方法，大多数需要选取适当的函数，利用导数分类讨论，属于难题
【变式演练】
1.设a，b是正实数，函数，.若存在，使成立，则的取值范围为_________.
2.对任意的，不等式恒成立，则的最小值为______.
3.已知函数，若且，则的取值范围为
A． B． C． D．
【题型七】 多参型2：凸凹翻转型
【典例分析】
已知大于1的正数，满足，则正整数的最大值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．11
【提分秘籍】
基本规律
凸凹翻转型常见思路，如下图
【变式演练】
1.已知实数，满足，则的值为
A． B． C． D．
2.已知函数有两个零点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【题型八】 多参型3:比值代换等代换
【典例分析】
已知存在，若要使等式成立（e=2.71828…），则实数的可能的取值是（ ）
A． B． C． D．0
【提分秘籍】
基本规律
代换构造型，
1.比值代换，如【典例分析】
2.整体代换，如练习1和2
【变式演练】
1.对任意的正数，都存在两个不同的正数，使成立，则实数的取值范围为
A． B． C． D．
2.若正实数满足，则函数的零点的最大值为______.
若存在两个正实数x，y使等式成立，（其中）则实数m的取值范围是________.
【题型九】 多参型4：韦达定理型
【典例分析】
已知在上恰有两个极值点，，且，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【提分秘籍】
基本规律
1.一般涉及到极值点，对应导函数的零点
2.通过韦达定理寻找参数之间的代换。
【变式演练】
1.已知函数有两个不同的极值点，，若不等式有解，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2.已知函数（其中，），当时恒成立，则的取值范围为___________.
【题型十】 多参型5：“二次”最值型
【典例分析】
已知函数，若时，恒有，则的最大值为
A． B． C． D．
【提分秘籍】
基本规律
1.这类型题最早原型题是2012年高考新课标1卷理科压轴题。
2.解题时，要注意通过对函数讨论后转变为参数不等式时，是求最小还是最大（不是恒成立而是类似“存在”型）
【变式演练】
1.已知不等式（，且）对任意实数恒成立，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
2.已知函数，若，则ab的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3.已知函数．若不等式对恒成立，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
模拟练
1.对于定义域为的函数，若满足① ；② 当，且时，都有；
③ 当，且时，都有，则称为“偏对称函数”．现给出四个函数：；；
则其中是“偏对称函数”的函数个数为
A．0 B．1 C．2 D．3
2.若实数满足，则的最小值为__________．
3.已知点为函数的图象上任意一点，点为圆上任意一点（为自然对数的底），则线段的长度的最小值为______．
4..已知函数，若存在，使得，则的取值范围是
A． B．
C． D．
5.设，（其中为自然对数的底数),若函数有个零点，则的取值范围
A． B． C． D．
6.直线分别与曲线和曲线交于，两点，则的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．
7.已知函数，若函数与的图象相交于A，B两点，且A，B两点的横坐标分别记为，，则的取值范围是( )
A． B． C． D．
8.已知函数，若存在实数满足时，成立，则实数的最大值为
A． B． C． D．
9.已知且对任意的恒成立，则的最小值为_____．
10.设，，若关于的不等式在上恒成立，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．

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