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2.3 一元二次方程根的判别式
1．（2022·湖南常德·九年级期末）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·湖南岳阳·九年级期末）若关于x的方程x2+6x-a=0无实数根，则a的值可以是下列选项中的( )
A．-10 B．-9 C．9 D．10
3．（2022·湖南湘西·九年级期末）不解方程，判断一元二次方程的根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有一个实数根
C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根
4．（2022·湖南娄底·九年级期末）不解方程，判别方程2x2﹣2x+1＝0根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
5．（2022·湖南永州·九年级期末）方程x2-3x-6＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实根 D．只有一个实根
6．（2022·湖南益阳·九年级期末）一元二次方程的根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
7．（2022·湖南岳阳·九年级期末）关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．不一定有实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
8．（2022·湖南永州·九年级期末）关于x的一元二次方程根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有一个实数根 D．没有实数根
9．（2022·湖南株洲·九年级期末）下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（ ）
A． B．x2+2x+4=0 C．x2-x+2=0 D．x2-2x=0
10．（2022·湖南株洲·九年级期末）定义运算：．例如．则方程的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．只有一个实数根
11．（2022·湖南永州·九年级期末）一元二次方程x2﹣2x+1=0的根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
12．（2022·湖南永州·九年级期末）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．且
13．（2022·湖南衡阳·九年级期末）定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“美丽”方程，已知是“美丽”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
14．（2022·湖南永州·九年级期末）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ）
A． B．且 C．且 D．
15．（2022·湖南益阳·九年级期末）若方程没有实数根，则的值可以是（ ）
A． B． C． D．
16．（2022·湖南衡阳·九年级期末）关于x的一元二次方程x2+4x+k＝0有两个相等的实数根，则k的值为（　　）
A．k＝4 B．k＝﹣4 C．k≥﹣4 D．k≥4
17．（2022·湖南永州·九年级期末）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
18．（2022·湖南湘西·九年级期末）下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（ ）
A． B．
C． D．
19．（2022·湖南邵阳·九年级期末）反比例函数与一次函数的图象的交点个数是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
20．（2022·湖南株洲·九年级期末）直线不经过第二象限，则关于的方程实数解的个数是（ ）.
A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个
21．（2022·湖南怀化·九年级期末）若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）
A． B．且
C． D．且
22．（2022·湖南邵阳·九年级期末）若关于的方程有两个相等的实数根，则的值是______．
23．（2022·湖南怀化·九年级期末）如果方程有两个相等的实数根，_________．
24．（2022·湖南·凤凰县教育科学研究所九年级期末）已知关于的一元二次方程无实数根，那么m的取值范围是____．
25．（2022·湖南长沙·九年级期末）一元二次方程2x2﹣3x﹣4＝0根的判别式的值等于_____．
26．（2022·湖南株洲·九年级期末）已知m、n、4分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长，且m、n是关于x的一元二次方程的两个根，则k的值等于______________．
27．（2022·湖南株洲·九年级期末）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的最小整数值是____．
28．（2022·湖南株洲·九年级期末）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是________．
29．（2022·湖南永州·九年级期末）已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝0有两个实数根．
(1)求k的取值范围；
(2)若方程有一个根为2，求方程的另一根．
30．（2022·湖南邵阳·九年级期末）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
(1)求k的取值范围；
(2)若x＝-1是方程的一个实数根，求实数k的值．（结果保留根号）
31．（2022·湖南益阳·九年级期末）已知关于的一元二次方程．
(1)当时，求方程的两个实数根；
(2)如果方程有两个相等的实数根，求的值．
32．（2022·湖南岳阳·九年级期末）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
（1）求 的取值范围；
（2） 取符合条件的最小整数时， 求此方程的根．
33．（2022·湖南益阳·九年级期末）已知关于的一元二次方程．
（1）若，求此方程的解；
（2）若该方程无实数根，求的取值范围．
34．（2022·湖南邵阳·九年级期末）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2mx+m﹣3＝0，求：当方程有两个不相等的实数根时m的取值范围．
35．（2022·湖南·凤凰县教育科学研究所九年级期末）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
求k的取值范围；
若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值．
36．（2022·湖南永州·九年级期末）已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．若方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由．
37．（2022·湖南株洲·九年级期末）已知关于x的一元二次方程．
(1)若方程有实数根，求k的取值范围；
(2)若方程有两个实数根为和，且，求k的值．
38．（2022·湖南岳阳·九年级期末）已知关于的一元二次方程有实数根．
(1)求的取值范围；
(2)若该方程的一个实数根为1，求的值．
39．（2022·湖南邵阳·九年级期末）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若为正整数，求此时方程的根．
参考答案：
1．D
【解析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k-2≠0且Δ=（-2）2-4（k-2）＞0，然后求出两个不等式的公共部分即可．
解：根据题意得k-2≠0且Δ=（-2）2-4（k-2）＞0，
解得：k<3且k≠2．
故选：D．
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式Δ=b2-4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．同时考查了一元二次方程的定义．
2．A
【解析】二次方程无实数根，<0, 据此列不等式，解不等式，在解集中取数即可.
解：根据题意得：=36+4a＜0，得a＜-9.
故答案为A
本题考查了一元二次方程的根，，有两个实数根，，有两个相等的实数根，，无实数根，根据的取值判断一元二次方程根的情况是解题的关键.
3．C
【解析】求出Δ＝8＞0，然后根据判别式的意义求解．
解：∵x2＋2x 1＝0，
∴Δ＝22 4×1×（ 1）＝8＞0，
∴该方程有两个不相等的实数根，
故选：C．
本题考查了根的判别式，能熟记根的判别式的内容是解此题的关键，注意：已知一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a、b、c为常数，a≠0），①当Δ＝b2 4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根，②当Δ＝b2 4ac＝0时，方程有两个相等的实数根，③当Δ＝b2 4ac＜0时，方程没有实数根．
4．B
【解析】找出方程a，b及c的值a=2，b=，c=1，计算出根的判别式的值△=b2﹣4ac=0，即可判断．
解：∵，
∴a=2，b=，c=1，
∴，
∴方程有两个相等的实数根，
故选B．
本题主要考查了根的判别式，熟练掌握当△=0时方程有两个相等的实数根是解题的关键．
5．A
【解析】根据方程的系数结合根的判别式即可得出，由此即可得出方程有两个不相等的实数根．
解：把原方程化为x2－3x－6＝0，
∴，
∴方程x2－3x－6＝0有两个不相等的实数根．
故选A．
本题考查了根的判别式，牢记“当”时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
6．B
【解析】把a=3，b=-2，c=-1代入判别式Δ=b2-4ac进行计算，然后根据计算结果判断根的情况．
解：对于方程3x2-2x-1=0，
∵a=3，b=-2，c=-1，
∴Δ=b2-4ac=（-2）2-4×3×（-1）=16＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式Δ=b2-4ac．当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．
7．D
【解析】根据一元二次方程个的判别式进行判断即可．
解：关于x的一元二次方程，
方程有两个不相等的实数根．
故选D
本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
8．B
【解析】根据一元二次方程根的判别式判断即可
解：方程整理得：
方程有两个不相等的实数根
故选：B
本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟练掌握一元二次方程的根的判别式是解题的关键
9．D
【解析】逐一分析四个选项中方程的根的判别式的符号，由此即可得出结论．
A.此方程判别式 ，方程有两个相等的实数根，不符合题意;
B.此方程判别式 方程没有实数根，不符合题意;
C.此方程判别式 ，方程没有实数根，不符合题意;
D .此方程判别式 ，方程有两个不相等的实数根，符合题意;
故答案为： D.
此题考查了一元二次方程根的判别式，根的判别式的值大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式的值等于0，方程有两个相等的实数根；根的判别式的值小于0，方程没有实数根．
10．A
【解析】先根据新定义得出方程，再根据一元二次方程的根的判别式可得答案．
解：根据定义得：
＞
原方程有两个不相等的实数根，
故选
本题考查了新定义，考查学生的学习与理解能力，同时考查了一元二次方程的根的判别式，掌握以上知识是解题的关键．
11．A
【解析】根据根的判别式即可求出答案．
由题意可知△=b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×1×1=0，
所以方程x2﹣2x+1=0有两个相等的实数根．
故选A．
12．B
【解析】根据根的判别式及一元二次方程的定义得出关于的不等式组，求出的取值范围即可．
解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
即，
解得且．
故选：B．
本题考查的是根的判别式，解题的关键是熟知一元二次方程的根与判别式的关系．
13．D
【解析】因为方程有两个相等的实数根，所以根的判别式△=b2 4ac=0，又a b+c=0，即b=a+c，代入b2 4ac=0得(a+c)2 4ac=0，化简即可得到a与c的关系．
解：∵一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根，
∴=b2 4ac=0，
又a b+c=0，即b=a+c，
代入b2 4ac=0得(a+c)2 4ac=0，
即(a+c)2 4ac=a2+2ac+c2 4ac=a2 2ac+c2=(a c)2=0，
∴a=c，
故选：D．
本题考查一元二次方程根的判别式的应用，根据方程根的情况确定方程中字母系数之间的关系是解题关键．
14．B
【解析】利用二次项系数非零及根的判别式Δ≥0，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出k的取值范围．
解：依题意得：k≠0，Δ＝22+4k≥0，
解得：k≥ 1且k≠0．
故选：B．
本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，利用二次项系数非零及根的判别式Δ≥0，找出关于k的不等式是解题的关键．
15．D
【解析】直接利用根的判别式进行判断，求出m的取值范围即可．
解：由题可知：“△＜0”，
∴,
∴,
故选：D．
本题考查了一元二次方程根的判别式，解决本题的关键是掌握当“△＜0”时，该方程无实数根，本题较基础，考查了学生对基础知识的理解与掌握．
16．A
【解析】根据方程有两个相等的实数根结合根的判别式即可得出关于k的一元一次方程，解之即可得出结论．
解：∵关于x的一元二次方程x2+4x+k＝0有两个相等的实数根，
∴△＝42﹣4k＝16﹣4k＝0，
解得：k＝4．
故选：A．
本题考查了根的判别式以及解一元一次方程，熟练掌握“当△=0时，方程有两个相等的两个实数根”是解题的关键．
17．B
【解析】根据方程有两个不等的实数根，故＞0，得不等式解答即可．
试题分析：由已知得＞0，即（﹣3）2﹣4m＞0，
解得m＜．
故选B．
本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的根的判别式，本题属于基础题型．
18．C
【解析】根据一元二次方程根的判别式判断即可．
解：A.x2+6x+9=0，则△=62-4×9=36-36=0，即该方程有两个相等实数根，故本选项不合题意；
B.，则△=(-2)2-4×3=4-12=-8<0，即该方程无实数根，故本选项不合题意；
C.，则△=(-1)2-4×(-2)=1+8=9>0，即该方程有两个不相等实数根，故本选项合题意；
D.，则△=(-４)2-4×3×2=16-24=-8<0，即该方程无实数根，故本选项不合题意．
故选C．
本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．
19．C
【解析】先把两函数的解析式组成方程组，再转化为求一元二次方程解答问题，求出的值即可判断．
解：令，整理得，
∴△=（-2）-4×1×1=0，
一元二次方程有两个相等的实数很，
反比例函数与一次函数的图象有一个交点．
故选：C．
本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，根据题意把函数的交点问题转化为求一元二次方程解的问题是解答此题的关键．
20．D
【解析】根据直线不经过第二象限，得到，再分两种情况判断方程的解的情况.
∵直线不经过第二象限，
∴，
∵方程，
当a=0时，方程为一元一次方程，故有一个解，
当a<0时，方程为一元二次方程，
∵ =，
∴4-4a>0，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选：D.
此题考查一次函数的性质：利用函数图象经过的象限判断字母的符号，方程的解的情况，注意易错点是a的取值范围，再分类讨论.
21．B
【解析】利用判别式大于零和二次项系数不为零求解即可．
∵方程有两个不相等的实数根，
∴m≠0，且△＞0，
∴m≠0，且＞0，
∴且，
故选B．
本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练运用判别式并保证二次项系数不能为零是解题的关键．
22．-1
【解析】根据方程有两个相等的实数根，判断出根的判别式为0，据此求出m的值即可．
解：∵关于x的方程x2-2x-m=0有两个相等的实数根，
∴△=0，
∴（-2）2-4×1×（-m）=0，解得m=-1．
故答案为：-1．
23．1
【解析】根据一元二次方程有两个相等的实数根，令根的判别式为0即可求求解．
解：方程有两个相等的实数根，
解得
故答案为：
本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
24．
解：∵方程无实数根，
∴△=，
解得：．
故答案为．
25．41
【解析】已知一元二次方程的根判别式为△＝b2﹣4ac，代入计算即可求解.
依题意，一元二次方程2x2﹣3x﹣4＝0，a＝2，b＝﹣3，c＝﹣4
∴根的判别式为：△＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×2×（﹣4）＝41
故答案为41
本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟知一元二次方程 ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式为△＝b2﹣4ac是解决问题的关键.
26．6或7．
【解析】当m＝4或n＝4时，即x＝4，代入方程即可得到结论，当m＝n时，即△＝（﹣6）2﹣4×（k+2）＝0，解方程即可得到结论．
解：∵m、n、4分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长，
∴当m＝4或n＝4时，即x＝4，
∴方程为42﹣6×4+k+2＝0，
解得：k＝6，
此时该方程为x2﹣6x+8＝0，
解得：x1＝4，x2＝2，
此时三角形的三边为4，4，2，符合题意；
当m＝n时，即△＝（﹣6）2﹣4×（k+2）＝0，
解得：k＝7，
此时该方程为x2﹣6x+9＝0，
解得：x1＝x2＝3，
此时三角形的三边为3，3，4，符合题意，
综上所述，k的值等于6或7，
故答案为：6或7．
本题考查了根的判别式，一元二次方程的解，等腰三角形的定义以及三角形的三边关系，正确的理解题意是解题的关键．
27．0
【解析】根据一元二次方程根的存在性，利用判别式求解即可；
一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴△=4，
∴
故答案为0
本题考查一元二次方程的根的存在性；熟练掌握利用判别式确定一元二次方程的根的存在性是解题的关键．
28．
【解析】由题意可得，△=9-4m≥0，由此求得m的范围．
∵关于x的一元二次方程x2-3x+m=0有实数根，
∴△=9-4m≥0，
求得 m≤.
故答案为
本题考核知识点：一元二次方程根判别式. 解题关键点：理解一元二次方程根判别式的意义.
29．(1)k≥﹣1；
(2)方程的另一根为﹣4．
【解析】（1）由一元二次方程x2＋2x－k＝0有两个实数根，可得：，再解不等式可得答案；
（2）由方程有一个根为2，设方程的另一根 根据根与系数的关系可得：再解方程可得答案．
(1)
解：（1）∵方程有两个实数根，
∴，即
∴ ；
(2)
解： 方程有一个根为2，设方程的另一根
所以可方程的另一根为
本题考查的是一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，掌握以上知识是解题的关键．
30．(1)
(2)，
【解析】（1）该一元二次方程有两个不相等的实数根，则，从而求k的取值范围．
（2）将x＝-1代入中，结合（1）k的取值范围，即可求k的值．
(1)
解：由题意知
解得：
(2)
解∶把代入方程
并整理得：
配方得
解得：，，满足．
本题主要考查一元二次方程根的判别，掌握一元二次方程根的判别方法是解题的关键．
31．(1)
(2)-1
【解析】（1）将代入方程中，再解方程即可；
（2）根据方程根的情况可得到方程根的判别式，即t的值.
(1)
解：把代入方程中，得：
∴ 原方程的根为.
(2)
解：∵方程有两个相等的实数根，
∴.
∴.
∴.
此题考查了根的判别式，一元二次方程的解法，解题的关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0 方程有两个不相等的实数根；（2）△=0 方程有两个相等的实数根；（3）△＜0 方程没有实数根．
32．（1）；（2），．
【解析】（1）由Δ>0得到关于k的不等式，解不等式，得到k的范围；
（2）由（1）知，代入原方程，利用因式分解法求解可得．
解：（1）由题意得：，
解得：；
（2）由（1）知，k最小整数为－2，
此时方程为：，
解得：，．
本题主要考查一元二次方程根的判别式和解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握方程的根的情况与判别式的值之间的关系．
33．（1）；（2）
【解析】（1）把代入方程得，然后求解即可；
（2）根据一元二次方程根的判别式可直接进行求解．
解：（1）把代入方程得，
∴，即，
解得：；
（2）∵该方程无实数根，
∴，
解得：．
本题主要考查一元二次方程的解法及根的判别式，熟练掌握一元二次方程的解法及根的判别式是解题的关键．
34．m＞且m≠1．
【解析】由方程根的情况，根据根的判别式可得到关于m的不等式，可求得m的取值范围．
解：∵关于x的一元二次方程（m 1）x2＋2mx＋m 3＝0有两个不相等的实数根，
∴△＞0且m 1≠0，即且m≠1，
解得m＞且m≠1，
∴当方程有两个不相等的实数根时m的取值范围为：m＞且m≠1．
本题主要考查根的判别式，掌握方程根的情况与根的判别式的关系是解题的关键．
35． ；k的值为2．
分析：（1）根据一元二次方程的根的判别式，建立关于k的不等式，求出k的取值范围；
（2）先确定k=1或2，再根据方程的根都是整数，分类讨论即可.
详解：根据题意得，
解得；
为正整数，
或，
当时，，所以该方程的根为无理数，
当是，原方程为，解得，
所有k的值为2．
点睛：考查一元二次方程根的判别式，
当时，方程有两个不相等的实数根.
当时，方程有两个相等的实数根.
当时，方程没有实数根.
36．△ABC是直角三角形．理由见试题解析
试题分析：根据方程有两个相等的实数根得出△=0，即可得出a2=b2+c2，根据勾股定理的逆定理判断即可．
试题解析：△ABC是直角三角形，
理由是：∵关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0有两个相等的实数根，
∴△=0，即（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）=0，∴a2=b2+c2，
∴△ABC是直角三角形．
【考点】根的判别式．
37．(1)
(2)k的值为1或2
【解析】（1）一元二次方程有实数根，则，求出k的取值范围即可；
（2）将因式分解后分析根的情况，将得到的结果分别代入根的判别式和原方程中即可求出k的值．
（1）
解：a=1，b=-2，c=k-1，
∵方程有实数根，
，
．
（2）
∵原方程的两实数根为和，且由得，
或，
当时，代入方程可得，解得k=1；
当时， ，
故k的值为1或2．
本题主要考查了已知根的情况判断求根公式的取值范围，熟练的掌握求根公式是解题的关键．①时，方程有两个不相等的实数根；②时，方程有两个相等的实数根；．③时，方程没有实数根．
38．(1)
(2)
【解析】（1）根据根的判别式列出不等式计算即可；
（2）把代入求解即可．
(1)
解：由题意可得：
，
解得：，即实数的取值范围是．
(2)
解：当时，方程变为：，
解得：．
本题主要考查了一元二次方程根的判别式和解方程，准确计算是解题的关键．
39．（1）；（2），
【解析】（1）根据两个不相等的实数根列不等式即可；
（2）根据m为正整数，确定m的值，解方程即可．
解：（1）∵原方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴．
（2）∵为正整数，又，
∴．
当时，原方程为，
解得．
因此，原方程的根为，．
本题考查了一元二次方程根的判别式和一元二次方程的解法，解题关键是熟记一元二次方程根的判别式与根的关系，列出不等式；熟练解一元二次方程．

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