资源简介

12 正余弦定理与解三角形小题 1
目录
一、热点题型归纳 1
【题型一】 解三角形基础：角与对边 1
【题型二】 判断三角形形状 3
【题型三】 最值与范围1：先判断角 5
【题型四】 最值与范围2：余弦定理 7
【题型五】 最值与范围3：辅助角 8
【题型六】 最值与范围4：均值不等式 10
【题型七】 最值与范围5：周长最值 12
【题型八】 面积最值1：消角 13
【题型九】 面积最值3：正切代换 16
【题型十】 最值与范围6：建系设点 18
【题型十一】 最值与范围7：求正切的最值范围 22
【题型十二】 图形1：中线 24
【题型十三】 图形2: 角平分线 27
【题型十四】 图形3：高 29
【题型十五】 图形4：四边形 31
二、最新模考题组练 34
【题型一】解三角形基础：角与对边
【典例分析】
的内角的对边分别为，若，且，则的面积的最大值是
A． B． C． D．4
【答案】B
【分析】由，根据三角形内角和定理，结合诱导公式可得，再由正弦定理可得，从而由余弦定理求得，再利用基本不等式可得，由三角形面积公式可得结果.
【详解】
，且，
，由正弦定理可得，
由余弦定理可得，，又，即，
，即最大面积为，故选B.
【提分秘籍】
基本规律
1.角与角所对应的边长已知
2.一般情况下，对称型多用余弦定理。
3.通法为“正弦定理与外接圆半径代换”
【变式演练】
1.在中，角，，的对边分别为，，，若，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用三角恒等变换及正弦定理将进行化简，可求出的值，再利用边化角将化成角，然后利用辅助角公式及角的范围即可得到答案.
【详解】由题知，
即由正弦定理化简得
即故选：.
2.在中，角的对边分别是，且.若，则面积的最大值为
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由已知条件，结合三角形内角性质得，进而可得角B，应用正弦定理有，根据三角形面积公式、三角恒等变换得，即可求面积的最大值.
【详解】由，得，
∴，又，∴，即，又，
∴，又，∴.
，
由，有，则，
，即面积的最大值是.故选：A.
3.设锐角的内角所对的边分别为，若，则的取值范围为（ ）
A．(1，9] B．(3，9]
C．(5，9] D．(7，9]
【答案】D
【分析】由正弦定理求出，再由余弦定理可得，化为，结合角的范围，利用正弦函数的性质可得结论.
【详解】因为，由正弦定理可得，
则有，由的内角为锐角，可得，
，
由余弦定理可得因此有
故选：D.
【题型二】 判断三角形形状
【典例分析】
已知的三条边和与之对应的三个角满足等式则此三角形的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】A
【分析】利用余弦定理将角化为边整理，即可得三角形的边之间的关系，从而可得此三角形的形状.
【详解】由余弦定理，可得，
整理，得，所以，
所以，所以，
所以，所以，
所以，所以或或，故三角形为等腰三角形.故选：A
【提分秘籍】
基本规律
1.正余弦定理恒等变形：化边或者化角
2.判断边或者角的大小。
【变式演练】
1.在△ABC中，，则△ABC的形状是（ ）
A．等腰三角形但一定不是直角三角形
B．等腰直角三角形
C．直角三角形但一定不是等腰三角形
D．等腰三角形或直角三角形
【答案】C
【解析】原式可化为，然后利用正弦定理、余弦定理进行边角互化，得出，，的关系.
解：由得：，且，
∴，且，
∴，
∴，
化简整理得：，即，
∴或，又，∴△ABC是直角三角形但一定不是等腰三角形.故选：C.
2.在中，角，，的对边分别为，，，若，则以下结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【分析】对A,由两边之和大于第三边可得，再进一步用不等式的性质即可判断；
对B，由余弦定理可知，再用正弦定理可知，进一步化简可得B,C的关系，进而可以得到a,b的关系；
对C，结合B代特值即可判断；
对D，结合B，可以得到A,B的关系，进而可以判断.
【详解】
因为，所以，故A正确；
由余弦定理得，，所以，
由正弦定理得，，所以，即，
所以，所以或，
因为，若，可得，所以，
又，所以，此时，，满足，故B正确；
当，时，，故C错误；
由B选项可知，故，即，故D错误．
故选：AB.
3.已知的三边长分别为，，，若存在角使得：则的形状为
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上都不对
【答案】A
【分析】
由三角函数的有界性得：>,
由三角形的性质可得，设，再结合余弦定理可得>0,即可得解.
【详解】
解：因为存在角使得：则>,
即三边长也可构成一个三角形，不妨假设，由两边之和大于第三边可得：，
即，在中，C最大，由余弦定理>0,
即C为锐角，即为锐角三角形，故选A.
【题型三】 最值与范围1：先判断角
【典例分析】
锐角的内角，，的对边分别为，，且，，若，变化时，存在最大值，则正数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由，可得，由正弦定理转化为角的关系可以得到，由此推出，又为锐角三角形，可求出，将都用角A表示可以得到，且，当取最大值时利用可求得的范围.
解：因为，，所以，
可得：，即，
因为为锐角三角形，则有，即，解得：.
= ，
当时，原式有最大值，此时，
则，，，即，所以.
故选：A.
【提分秘籍】
基本规律
每个角都要判断。如锐角三角形，则三个角都要转化判断。
【变式演练】
1.已知锐角三角形的内角，，的对边分别为，，.且， 则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
利用正弦定理化简已知条件，由此求得进而求得的大小.根据三角恒等变换化简，由此求得取值范围.
【详解】依题意，由正弦定理得，所以，
由于三角形是锐角三角形，所以.由.
所以，
由于，所以，所以.故选：C
2.在锐角中，，则的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据在锐角中，每个角都是锐角确定的范围，利用正弦定理以及三倍角的正弦公式，化简表达式，求出范围即可.
【详解】在锐角中，可得，，
所以由正弦定理可知，故选D.
3.锐角中，角、、所对的边分别为、、，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据正弦定理，结合可求得角B．又由三角形为锐角三角形，求得角C的取值范围，即可求解．
【详解】由正弦定理得，
又 故选B.
【题型四】 最值与范围2：余弦定理
【典例分析】
在中，内角的对边分别为，若的面积为，则的最大值为
A．2 B．4 C． D．
【答案】C
【分析】
利用余弦定理可得，结合三角形面积为可得可化为 ，从而可得结果.
【详解】由题意得，，∴，又，
∴，
∴ ，
则的最大值为，故选C
【提分秘籍】
基本规律
1.余弦定理两种基本形式：（1）；（2）
2.一般情况下，边的平方形式，可能就是余弦定理的变形。需要通过构造与问题相关的形式和条件
【变式演练】
1.在中，内角，，所对的边分别为，，，且，则取得最大值时，内角的值为
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将正弦定理平方处理，即可将恒等式转化为，再代入余弦定理，从而将转化为，再利用辅助角公式即可求出使得式子取最大值的A值.
【详解】由，根据正弦定理，，
可得，再由，得，
所以，
所以当时，取得最大值，答案为B.
2.满足条件的三角形的面积的最大值是
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【详解】
分析：设，根据三角形的面积公式和余弦定理，得出关于的面积表达式，再根据的取值范围，即可求解面积的最大值.
详解：设，则，
根据面积公式得，
根据余弦定理得，
代入上式，得，
由三角形的三边关系可得，解得，
故点时，取得最大值，故选D.
3.,则的最大面积为
A．3 B． C．2 D．无法确定
【答案】B
【详解】
分析：由利用正弦定理得,由余弦定理得到,由平方关系求出,根据面积公式化简的面积的表达式,利用配方法和二次函数的性质求出面积的最大值.
详解： ，由余弦定理及得，，
的面积，
当时，即，的面积有最大值，
的最大面积是，故选B.
【题型五】 最值与范围3：辅助角
【典例分析】
在中，角所对应的边分别为，设的面积为，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由面积公式和余弦定理，基本不等式对进行变形，得到关于的关系式，结合三角函数的有界性，列出关于t的不等式，求出最大值.
【详解】，，则设所以，即，故选：A.
【提分秘籍】
基本规律
1.正余弦齐次式（同角一次式）
2.引入变量，构造辅助角，借助正余弦有界性求解
【变式演练】
1.若面积为1的满足，则边的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】C
【分析】由已知利用三角形的面积公式可得，由余弦定理可求，利用辅助角公式和正弦函数的性质即可求解．
解：的面积，且，，，
根据余弦定理得：
，即，
可得，，则，
解得：，即边的最小值为.故选：C.
2.在中，角的对边分别为，的面积为，已知，，则的值为
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由已知结合三角形的面积公式及余弦定理可得，化简即可求解
解：，，，，
整理可得，，
则故选：．
3.已知中， ， ， 成等比数列，则的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
由已知可知，即，，即 ， ，
原式等于 ，设
即原式等于 ，函数是增函数，当时，函数等于0，当时，函数等于,所以原式的取值范围是，故选B.
【题型六】 最值与范围4：均值不等式
【典例分析】
锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的取值范围是（ ）
A．(） B．(）
C．[) D．[，1)
【答案】C
先利用基本不等式求函数的最小值，再根据三角形是锐角三角形，得到的范围，再求函数值域的上限.
【详解】
由题意得，（当且仅当时取等号），
由于三角形是锐角三角形，所以，所以，解得所以，，设，
因为函数在单调递减，在上单调递增，所以函数无限接近中的较大者，所以所以的取值范围是，故选：C．
【提分秘籍】
基本规律
1.余弦定理形式可以用均值。一般式对称构造
2.其他形式中边的关系可以用均值
【变式演练】
1.在中，角、、的对边分别为、、，已知且，则的最小值为（　　）
A． B．2 C． D．4
【答案】A
【分析】由可解得，结合基本不等式，知；经过变形化简可将原式整理为，令，则，，，结合函数的单调性即可得解．
【详解】由可知，，解得，由基本不等式得，．
，
令，则，，
，在，上单调递增，
（4），即的最小值为．故选：．
2.在锐角中，角，，的对边分别为，，，已知不等式恒成立，则当实数取得最大值时，的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
把不等式变形为，
用基本不等式可以求出，当时，实数的最大值=4，用余弦定理表示出 ，在锐角中，由，，可以求出的取值范围，利用函数的单调性，可以求出的取值范围.
【详解】
∵
当且仅当即时（此时）取得最小值4，
∴，∴，
∴，
因为，所以，代入化简得，
令，，在区间上单调递减，所以，∴，即，
∴.故选B.
3.已知的面积为，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
将原式分离常数，然后利用正弦定理进行边角互化，化简为对勾函数，利用不等式求最值即可.
【详解】
解：，又，
= =，当且仅当时，等号成立.
故选：B.
【题型七】最值与范围5：周长最值
【典例分析】
已知锐角的内角所对的边分别为，且，的面积为2，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
利用正弦定理将条件中的边化成角的关系，从而求得的值，再利用三角形的面积公式和余弦定理可求得的值，即可得答案；
【详解】
由已知可得，由正弦定理可得.；．
∵角为锐角，．
的面积为2，，．
由余弦定理可得，
即．
故选：B.
【提分秘籍】
基本规律
1.角与对边型：正弦定理
2.对称边，可以余弦定理+均值不等式
【变式演练】
1.在中，角所对的边分别为，若，，则周长的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据余弦的和角公式及辅助角公式，可求得角A的值；利用余弦定理结合基本不等式即可求得a的取值范围，进而得到周长的取值范围．
【详解】
∵，，可得，
，解得，
∵，
∴由余弦定理可得
∵由， ，得，
∴，即．
∴周长．
故选A
2.在中，角所对的边分别为，若，，则周长的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
利用三角函数恒等变换的应用化简已知可得，结合的范围可求，再由余弦定理求得 ，再由基本不等式，求得的范围，即可得到的范围，进而可求周长的范围．
【详解】
∵，，
可得：，
，解得，
∵，
∴由余弦定理可得
∵由， ，得，∴，即．
∴周长 ．故选A．
3..在锐角三角形ABC中，若，且满足关系式，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
根据已知条件求得，构造的函数，通过求三角函数的值域，即可求得结果.
【详解】因为，故可得，又，故可得.
因为，故可得
整理得，则.故可得，
因为，故可得.则
故可得.故选：C.
【题型八】 面积1:消角
【典例分析】
在锐角中，角，，的对边分别为，，，为的面积，且，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据余弦定理和的面积公式，结合题意求出、的值，再用表示，求出的取值范围，即可求出的取值范围．
解：在中，由余弦定理得，
且的面积，
由，得，化简得，
又，，联立得，
解得或（舍去），
所以，
因为为锐角三角形，所以，，所以，
所以，所以，所以，
设，其中，所以，
由对勾函数单调性知在上单调递减，在上单调递增，
当时，；当时，；当时，；
所以，即的取值范围是．
故选：C.
【提分秘籍】
基本规律
1.已知或者求出一角，则可以利用另外俩角和定值来消角
2.广义消角：已知或者求得一角（非特殊角）三角函数值，可以利用两角和的正余弦来“消角”
【变式演练】
1.设锐角的三个内角..的对边分别为..，且，，则周长的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
由锐角三角形求得，由正弦定理可得，求出，关于的函数，根据余弦函数的性质，可求得范围．
【详解】
∵为锐角三角形，且，∴，
∴，，又∵，
∴，又∵，，∴，由，
即，
∴，
令，则，又∵函数在上单调递增，
∴函数值域为，故选：C
2.在中，角，，的对边分别为，，，且，的外接圆半径为，若有最大值，则实数的取值范围是_______________________．
【答案】
【分析】
根据正弦定理、余弦定理化简得到，再利用正弦定理与三角恒等变换将化简为，再根据存在最大值，分析的范围列式即可
【详解】
由已知及正弦定理可得，整理得，由余弦定理得，又，得，由正弦定理得，
，其中，又，
若存在最大值，即有解，即，
解得，即的范围是．
3.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．角B为钝角．设△ABC的面积为S，若，则sinA+sinC的最大值是____________．
【答案】
【分析】根据已知，利用三角形面积公式、余弦定理可得，B为钝角知，由三角形内角和的性质得，即可求最大值.
【详解】
由题设，，则，
∴，又 B为钝角即为锐角，
∴，即，又，
∴且，
而，
∴当时，的最大值为.
故答案为：
【题型九】 面积2：正切代换
【典例分析】
在锐角中，角，，的对边分别为，，，为的面积，且，则的取值范围为（ ）．A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据余弦定理和的面积公式，结合题意求出、的值，再用表示，求出的取值范围，即可求出的取值范围．
解：中，由余弦定理得，，且的面积为，由，
得，化简得；又，，
所以，化简得，解得或（不合题意，舍去）；
因为所以，
所以，
由，且，，解得，
所以，所以，所以；设，其中，
所以，
又，所以时，取得最大值为，时，，时，，且，
所以，即的取值范围是．故选：．
【提分秘籍】
基本规律
1.正余弦齐次式，可以正切代换
2.万能公式形式也可以正切代换
【变式演练】
1.在中，角的对边分别为，已知，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用三角形边角关系，将转化为关于边的方程，解得边，进而由三角形的面积公式，直接求出面积即可.
【详解】
如图，过作,交的延长线于，因为，则,，，
所以
又因为
所以，即，解得：或（舍）
所以.故选：B.
2.在锐角中，角，，的对边分别为，，，为的面积，且，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据已知条件，利用余弦定理和面积公式，结合倍角公式求得,进而求得A的各个三角函数值，再利用正弦定理边化角求得关于C的函数表达式，根据锐角三角形的条件得到，利用三角函数的性质求得取值范围即可．
解：△ABC中，，由，得，∴；
即，∵，∴，∴，∴ ，
∴，∵△ABC为锐角三角形，∴,∴，
∴，∴,
∴， 故选：D．
【题型十】 最值与范围6：建系设点
【典例分析】
已知边长为的等边三角形，是平面内一点，且满足，则三角形面积的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
建立直角坐标系，设，写出的坐标，利用列式得关于的等式，可得点的轨迹为以为圆心，以为半径的圆，写出直线的方程，计算和点距离直线的最大距离，代入三角形面积公式计算.
【详解】
以的中点为原点，建立如图所示的直角坐标系，则，设，因为，所以，得，所以点的轨迹为以为圆心，以为半径的圆，当点距离直线距离最大时，面积最大，已知直线的方程为：，，点距离直线的最大距离为：，所以面积的最大值为.
故选：C
【提分秘籍】
基本规律
1.满足圆锥曲线定义，特别是“阿波罗尼斯圆”，可以适当的建系设点
2.利用正余弦平方形式可以建系设点
3.具有几何意义特征，如垂直，距离，斜率等。可以适当的建系设点
【变式演练】
1.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，若的面积为，则的周长的最小值为（ ）
A．4 B． C．6 D．
【答案】C
【分析】
应用正弦定理把中的“角”转化为“边”，利用余弦定理求出角的值，接下来有两个思路．思路一：先根据面积为求得的值，从而利用基本不等式求得，再把周长用表示出来，最后利用函数的单调性求出的周长的最小值；思路二：建立恰当的平面直角坐标系，设出点和点的坐标，根据面积为，得到两个变量之间的关系，从而用其中一个变量表示出的周长，再利用基本不等式求出的周长的最小值．
【详解】
解法一：因为，所以由正弦定理得，得，由余弦定理知，因为，所以，由，得，
由得，则，所以，
因为，所以，则，当且仅当时等号成立，的周长为，易知是关于的增函数，所以当时，的周长最小，为；
解法二：因为，所以由正弦定理得，
得，由余弦定理知，因为，所以，
建立如图所示的平面直角坐标系，因为，所以可设，则，即，所以的周长为，当且仅当时等号成立，所以的周长的最小值为6．
故选：C
2.在中，记角A，B，C所对的边分别是a，b，c，面积为S，则的最大值为______
【答案】
【分析】
利用面积公式和余弦定理，结合均值不等式以及线性规划即可求得最大值.
【详解】
（当且仅当时取等号）.令，故，因为，且，
故可得点表示的平面区域是半圆弧上的点，如下图所示：
目标函数上，表示圆弧上一点到点点的斜率，
由数形结合可知，当且仅当目标函数过点，即时，取得最小值，
故可得， 又，故可得，
当且仅当，即三角形为等边三角形时，取得最大值.故答案为：.
3.如图所示,在平面直角坐标系中,点, 分别在轴和轴非负半轴上,点在第一象限,且, ,那么, 两点间距离的
A．最大值是,最小值是 B．最大值是,最小值是
C．最大值是,最小值是 D．最大值是,最小值是
【答案】A
【分析】设BC与x轴的夹角为（），通过数形结合，分情况分析 , 两点间距离，进而得解.
【详解】设BC与x轴的夹角为（），E 为△ABC的中点，当时，如图：
易知 ；
当 时，A,O,E三点构成如图三角形，根据题意，可知 ， ，
则，
∴即 16<<32，解得；
当时，如图,四边形ABOC是正方形，
当 时，A,O,E三点构成如图三角形，
∴
同理可求得；
当时，易求得OA=4。故OA的最大值是，最小值是4
故选A
【题型十一】 最值与范围7：求正切的最值范围
【典例分析】
在锐角中，角所对的边分别为，若，则的取值范围为
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据余弦定理以及正弦定理化简条件得、关系，再根据二倍角正切公式以及函数单调性求范围．
【详解】
∵，∴所以
因此
设，∵是锐角三角形，∴，∴
∴，在上单调递增，
∴，
故选：C
【提分秘籍】
基本规律
解三角形题。对含有正切函数求最值范围，属于较难题型，一般从以下几方面分析：
1.切化弦
2.在三角形中，有
【变式演练】
1.在锐角中，三内角的对边分别为，且，则的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】D
【分析】
首先由正弦定理和三角恒等变形得到，再根据正切公式得到，最后再换元，利用基本不等式求最小值.
【详解】由正弦定理可知,
又因为，
所以，
因为是锐角三角形，所以,
上式两边同时除以，可得，①
又因为，
,
，
令，由①可知
所有，，
当且仅当时，即时，取等号，此时，
所以的最小值是8.故选：D
2.在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，则的最小值是_______．
【答案】6
【分析】
先根据正余弦定理对原式进行化简得，再利用正弦平方差定理化简可得，然后，表示出，构造函数求最值即可得出答案.
【详解】根据题意，已知，由余弦定理得 ，化简得
由正弦定理： 即 （正弦平方差）
整理可得： 即
设因为为锐角三角形，所以 此时 即 所以= 令
当，f(x)递增；当，f(x)递减；
所以 故的最小值是6。故答案为6
3.已知的三个内角的对边分别为，且满足，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
根据正弦定理的边化角公式以及两角和的正弦公式，得出，再将化简为，利用换元法以及导数，即可得出的取值范围.
【详解】由，得整理得
，又，
令，因为，所以
则令，则
；即函数在上单调递减，在上单调递增，即故选B
【题型十二】 图形1：中线
【典例分析】
以为底边的等腰三角形中，腰边上的中线长为9，当面积取最大时，腰长为（ ）
A． B．
C． D．前三个答案都不对
【答案】C
【分析】
设D为AC中点，在和分别运用余弦定理得，再表示的面积，运用二次函数的性质可得选项.
【详解】如下图所示，设D为AC中点，由余弦定理，，
在中，，∴
，
当时，S有最大值，此时，即腰长，
故选：C．
【提分秘籍】
基本规律
1.中线可分三角形得两个三角形，分别运用余弦定理
2.中线可延伸补形得平行四边形
【变式演练】
1.已知△ABC为锐角三角形，D，E分别为AB、AC的中点，且CD丄BE，则cosA的取值范围是
A． B． C．[ D．
【答案】D
【解析】设△ABC的内角所对的边分别为，设交于点，连接，延长交于，则为的中点，由直角三角形的性质可得，分别在三角形和三角形中，运用余弦定理可得，由锐角三角形可得，再由余弦定理可得关于的式子，由换元法和对勾函数的单调性，计算可得所求范围
解：设△ABC的内角所对的边分别为，设交于点，连接，延长交于，则为的中点，由CD丄BE，可得，在中，,
在中，，因为，
所以上面两式相加，得，因为△ABC为锐角三角形，可得，
可得，则，即，又，当且仅当，取等号，
设（），则在递减，在递增，
因为，则，故选：D
2.如图，在中，，，为中线，过点作于点，延长交于点，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
先求得，再由，求得，求得，过点作，求得，设，进而求得，根据，即可求解.
【详解】因为，，所以为等腰直角三角形，又因为，为中线，所以，，所以.因为，所以，所以，
即，所以.过点作交于点，所以，因为，设，则，所以，解得，
所以.故选：D
3.在中，，分别是边，的中点，与交于点，若，则面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设，由三角形中的中位线的性质和比例的性质可得出，再设，根据余弦定理得，再得出，由三角形的面积公式表示的面积，根据二次函数的最值可得选项.
【详解】
因为分别是边，的中点，所以，所以，
又，设，则，
又因为，所以，设，
所以在中，，所以，
所以，当时，面积取得最大值，
故选：C.
【题型十三】 图形2：角平分线
【典例分析】
在中，的平分线交于点，则的面积的最大值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
设，，则，结合正弦定理表示得，由余弦定理可得与的关系式，联立前式由同角三角函数和二次函数性质化简即可求解
【详解】
如图，设设，，则由正弦定理可得①，②，又，所以，①②式联立可得，则，则，
对，由余弦定理可得，
则
，
当时，有最大值，，所以，
故选：C
【提分秘籍】
基本规律
1.角平分线，可以借助面积“和”构造等量关系
2.角平分线也是两边的“对称轴”
3.三角形角平分线定理可以直接在小题中使用
【变式演练】
1.如图，中，为钝角，，，过点B向的角平分线引垂线交于点P，若，则的面积为（ ）
A．4 B． C．6 D．
【答案】B
【分析】
设,由边角关系及余弦定理可求得与.再利用二倍角公式求得.由三角形面积公式求得,则根据即可得解.
【详解】设。则在三角形中,
在三角形中,由余弦定理可知。代入可得
化简可得,解得 所以,则
由二倍角公式可得
由三角形面积公式可得
则
故选:B
2.如图所示，在，已知，角的平分线把三角形面积分为两部分，则等于
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由两个三角形的面积比，得到边，利用正弦定理求得的值.
【详解】角的平分线， ，设，
，设，在中，利用正弦定理，解得：.
3.在中，，为边上的一点，且，若为的角平分线，则 的取值范围为
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
先根据正弦定理用角A,C表示，再根据三角形内角关系化基本三角函数形状，最后根据正弦函数性质得结果.
【详解】
因为，为的角平分线，所以，
在中，，因为，所以，
在中，，因为，所以，所以，
则
,
因为，所以,
所以，则 ，
即的取值范围为.选A.
【题型十四】 图形3：高
【典例分析】
.△ABC中，BD是AC边上的高，A=，cosB=-，则=（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用三角形面积公式和正弦定理分别求出，，从而确定的比值．
解：
由正弦定理可知
，即
故选A．
【提分秘籍】
基本规律
1.一般给高，基本就与求面积联系起来
2.高也可以分开构造直角三角形，得出对应的三角函数值
【变式演练】
1.已知的面积等于1，若，则当这个三角形的三条高的乘积取最大值时，______
【答案】
【分析】设三条高分别为，根据面积计算出三条高，并将三条高的乘积的最大值问题，转化为最大来求解.
【详解】依题意可知，三条高分别为，根据三角形面积公式有，故，，而，即，所以.故当取得最大值时，三条高的乘积取得最大值.作平行于且与距离为的平行直线，作的垂直平分线，交直线于.过上一点作圆，使圆经过三个点，由于由于圆外角小于圆周角，故此时取得最大值，也即取得最大值.在三角形中，，由余弦定理得，.即三角形的三条高的乘积取最大值时.
2.在中，内角的对边分别是，且边上的高为，若，则当取最小值时，内角的大小为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据，由正弦定理得到，根据边上的高为，结合正弦定理有，再由余弦定理可得 ，即，由，再根据取最小值时求解.
【详解】因为，所以，因为边上的高为，所以，即，
由余弦定理得：，所以，即，，即，
解得，所以的最小值为，此时，又，，
所以.故选：
【题型十五】 图形4：四边形
【典例分析】
在平面四边形中，，，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】画出该平行四边形，结合图形分析讨论AB取最值时，点A、D的位置.再结合正弦定理求出AB取值范围.
【详解】延长、交于点，平移
①当、点与点重合时，最长∴，，
则；
②当点与点重合时，最短∴，，则
即：.故选：A.
【提分秘籍】
基本规律
1.四边形可以“劈成”俩三角形。
2.四边形可以“补成”三角形
【变式演练】
1.在平面四边形中，连接对角线，已知，，，，则对角线的最大值为（ ）
A．27 B．16 C．10 D．25
【答案】A
【分析】以D为坐标原点，DB,DC分别为x,y轴建立直角坐标系，求出A点轨迹方程，再根据圆的性质求最值.
【详解】
以D为坐标原点，DB,DC分别为x,y轴建立如图所示直角坐标系，则,因为，，所以由平面几何知识得A点轨迹为圆弧（因为为平面四边形，所以取图中第四象限部分的圆弧），设圆心为E,则由正弦定理可得圆半径为，
因此对角线的最大值为
故选：A
2.在平面内，四边形ABCD的与互补，，则四边形ABCD面积的最大值=（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据正弦定理，可求得，即角或，分类讨论， 由，计算三角形的面积，利用均值不等式求最值即可.
【详解】
因为与互补，，且四点共圆.
所以，在中，由正弦定理得，
在中，由正弦定理得，所以，
得，所以或.
设四边形的外接圆半径为，则，解得.
（1）设.
当，则，故，此时，且，在中，，所以，即.
所以四边形面积，当且仅当时，四边形面积取得最大值为
（2）当，则，故，所以.因为，所以，则在中由余弦定理得，
所以，即.所以，
此时，四边形面积.
综上，四边形面积的最大值等于，
故选：B.
3.凸四边形就是没有角度数大于的四边形，把四边形任何一边向两方延长，其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凸四边形，如图，在凸四边形中，，，，，当变化时，对角线的最大值为
A．3 B．4 C． D．
【答案】C
【分析】
设，，利用余弦定理与正弦定理，表示出与
，在中，由余弦定理求得的表达式，根据三角函数值的有界性即可求得最大值．
【详解】
设，
在中，由余弦定理可得
所以，即
在中，由正弦定理可得 ，则，
在中，由余弦定理可得
而由条件可知，，
所以
即
结合，代入化简可得
所以当时，取得最大值为
此时取得最大值为所以选C
模拟题
1.锐角中，内角的对边分别为，且满足，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用正弦定理对所给等式进行角化边，再利用余弦定理可求得从而求得角A，由正弦定理可得，则，利用两角和与差的正弦、余弦公式将等式化简为关于B的正弦型函数，由锐角三角形求出角B的范围即可利用正弦函数的值域求得的取值范围.
【详解】因为由正弦定理可得，即，
所以，又，所以，由正弦定理可知，所以，则
，因为为锐角三角形且，所以，解得，
当时，，，
所以.故选：B
2.( 河南省开封市五县2021-2022学年上学期期中联考数学试题)已知的三个内角所对的边分别为，满足，且，则的形状为
A．等边三角形 B．等腰直角三角形
C．顶角为的等腰三角形 D．顶角为的等腰三角形
【答案】D
【解析】
【分析】
先利用同角三角函数基本关系得，结合正余弦定理得进而得B,再利用化简得,得A值进而得C,则形状可求
【详解】
由题
即，由正弦定理及余弦定理得
即
故 整理得 ，故
故为顶角为的等腰三角形
故选D
3.△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设△ABC的面积为S，若，则的取值范围为
A．（0，+∞） B．（1，+∞） C． D．
【答案】A
【分析】
根据以及面积公式可得,可得,可得,可得,再利用正弦定理可得,转化为,根据的范围可得答案.
【详解】由,得 ,所以,
所以,所以,又,所以,
所以,
因为,所以,所以,所以,
所以的取值范围为.故选:A
4.已知的内角对的边分别为，，当内角最大时，的面积等于 (　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【详解】
分析：已知等式利用正弦定理化简，得到关系式，利用余弦定理表示出，把得出关系式整理后代入，利用基本不等式求出的最小值即可求出三角形的面积.
详解：已知等式利用正弦定理化简得：，两边平方得：，即，所以，所以，当且仅当，即时取等号，此时，则的最小值为，此时C最大，且，则的面积，故选A.
5.锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由余弦定理，求得，再结合基本不等式和函数的单调性，即可求解.
【详解】由题意，因为，所以，
又由，得，则所以，令，则，
所以函数在单调递减，在单调递增，
又，，所以.
故选：D.
6.在中，角对应的边分别是，若，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据正弦定理进行边角互化，可得，再进行边角互化，可得，再由余弦定理可求，由，利用基本不等式，即可求解最值问题.
【详解】由正弦定理，可得，即，
即，进一步由正弦定理，可得，
再由余弦定理，可得，即，所以
，当且仅当，，时取等号，
又因为，所以，所以的最大值为.故选A.
7.( 安徽省六安市第二中学2022届高三上学期第三次月考数学试题)在锐角三角形中，角 的对边分别为 ，且满足，则的取值范围为___________.
【答案】
【解析】
【分析】
由余弦定理化简已知式，再由正弦定理化边为角，由三角函数恒等变换得，由锐角三角形求得的范围，待求式切化弦，通分后利用已知条件化为，由正弦函数性质可得范围．
【详解】
因为，由余弦定理得，所以，
，
由正弦定理得，所以，
因为为锐角三角形，所以，，，
由，得，，
，
，所以．
故答案为：．
8.在锐角中，角的对边分别为，的面积为，若，则的最小值为（ ）
A． B．2 C．1 D．
【答案】A
【解析】
结合面积公式，可得出，由余弦定理得出，再用正弦定理化边为角，得出，把所求式子用角表示，并求出角范围，最后用基本不等式求最值.
【详解】
因为，即，
所以，因为，
所以，由余弦定理，
可得，
再由正弦定理得，
因为，
所以，所以或，
得或（舍去）.因为是锐角三角形，
所以，得，即，
所以，
当且仅当，取等号.故选:A
9.( 甘肃省兰州第一中学2021-2022学年上学期数学试题)在中,,,,点在边上,点关于直线的对称点分别为,则的面积的最大值为
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
解三角形，建立坐标系，设AD斜率为k，用k表示出B′纵坐标，代入面积公式得出面积关于k的函数，根据k的范围和函数单调性求出面积最大值．
【详解】由余弦定理可得AC2＝AB2+BC2﹣2AB BC cosB＝12+9﹣2×233，
∴AC，且AC2+BC2＝AB2，∴AC⊥BC，以C为原点，以CB，CA为坐标轴建立平面直角坐标系，如图所示：
设直线AD的方程为y＝kx，当D与线段AB的端点重合时，B，B'，C'在同一条直线上，不符合题意，
∴则k，设B′（m，n），显然n＜0，则，解得n，∵CC′∥BB′，
∴S△BB′C′＝S△BB′C，令f（k）（k），则f′（k），
令f′（k）＝0可得k或k（舍），∴当k时，f′（k）＞0，当k时，f′（k）＜0，
∴当k时，f（k）取得最大值f（）．故选D．
10..在中，分别是角的对边，若，则的值为（ ）
A．2018 B．1 C．0 D．2019
【答案】A
【解析】
【分析】
由余弦定理，结合题设可得，利用同角三角函数关系：，即得解.
【详解】，
故选：A
11.( 江西省万安中学2021-2022学年学期开学考试数学（理）试题)如图所示，在平面四边形中，已知，，，记的中垂线与的中垂线交于一点，恰好为的角平分线，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由题意可知四边形是以为圆心的圆内接四边形，由可得，，则，由可得，从而得，再利用结合余弦定理可得结果
【详解】
由题意可知四边形是以为圆心的圆内接四边形，因为，
所以，，
所以，
又由题目条件可知，，
所以，，
所以，
所以．故选：B
12.在中，，边上的高等于，则
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【详解】
设边上的高为，由于，故，由勾股定理计算得，由余弦定理得.
13.定义平面凸四边形为平面上没有内角度数大于的四边形，在平面凸四边形中，，，，，设，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
先利用余弦定理计算，设，将表示为的函数，再求取值范围.
【详解】如图所示：
在中，利用正弦定理：
当时，有最小值为 当时，有最大值为 （不能取等号）
的取值范围是故答案选D12 正余弦定理与解三角形小题 1
【题型一】解三角形基础：角与对边
【典例分析】
的内角的对边分别为，若，且，则的面积的最大值是
A． B． C． D．4
【提分秘籍】
基本规律
1.角与角所对应的边长已知
2.一般情况下，对称型多用余弦定理。
3.通法为“正弦定理与外接圆半径代换”
【变式演练】
1.在中，角，，的对边分别为，，，若，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2.在中，角的对边分别是，且.若，则面积的最大值为
A． B． C． D．
3.设锐角的内角所对的边分别为，若，则的取值范围为（ ）
A．(1，9] B．(3，9]
C．(5，9] D．(7，9]
【题型二】 判断三角形形状
【典例分析】
已知的三条边和与之对应的三个角满足等式则此三角形的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形
【提分秘籍】
基本规律
1.正余弦定理恒等变形：化边或者化角
2.判断边或者角的大小。
【变式演练】
1.在△ABC中，，则△ABC的形状是（ ）
A．等腰三角形但一定不是直角三角形
B．等腰直角三角形
C．直角三角形但一定不是等腰三角形
D．等腰三角形或直角三角形
2.在中，角，，的对边分别为，，，若，则以下结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
3.已知的三边长分别为，，，若存在角使得：则的形状为
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上都不对
【题型三】 最值与范围1：先判断角
【典例分析】
锐角的内角，，的对边分别为，，且，，若，变化时，存在最大值，则正数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【提分秘籍】
基本规律
每个角都要判断。如锐角三角形，则三个角都要转化判断。
【变式演练】
1.已知锐角三角形的内角，，的对边分别为，，.且， 则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2.在锐角中，，则的取值范围是
A． B．
C． D．
3.锐角中，角、、所对的边分别为、、，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【题型四】 最值与范围2：余弦定理
【典例分析】
在中，内角的对边分别为，若的面积为，则的最大值为
A．2 B．4 C． D．
【提分秘籍】
基本规律
1.余弦定理两种基本形式：（1）；（2）
2.一般情况下，边的平方形式，可能就是余弦定理的变形。需要通过构造与问题相关的形式和条件
【变式演练】
1.在中，内角，，所对的边分别为，，，且，则取得最大值时，内角的值为
A． B． C． D．
2.满足条件的三角形的面积的最大值是
A． B． C． D．
3.,则的最大面积为
A．3 B． C．2 D．无法确定
【题型五】 最值与范围3：辅助角
【典例分析】
在中，角所对应的边分别为，设的面积为，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【提分秘籍】
基本规律
1.正余弦齐次式（同角一次式）
2.引入变量，构造辅助角，借助正余弦有界性求解
【变式演练】
1.若面积为1的满足，则边的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．2
2.在中，角的对边分别为，的面积为，已知，，则的值为
A． B． C． D．
【题型六】 最值与范围4：均值不等式
【典例分析】
锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的取值范围是（ ）
A．(） B．(）
C．[) D．[，1)
【提分秘籍】
基本规律
1.余弦定理形式可以用均值。一般式对称构造
2.其他形式中边的关系可以用均值
【变式演练】
1.在中，角、、的对边分别为、、，已知且，则的最小值为（　　）
A． B．2 C． D．4
2.在锐角中，角，，的对边分别为，，，已知不等式恒成立，则当实数取得最大值时，的取值范围是
A． B． C． D．
3.已知的面积为，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【题型七】最值与范围5：周长最值
【典例分析】
已知锐角的内角所对的边分别为，且，的面积为2，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
【提分秘籍】
基本规律
1.角与对边型：正弦定理
2.对称边，可以余弦定理+均值不等式
【变式演练】
1.在中，角所对的边分别为，若，，则周长的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2.在中，角所对的边分别为，若，，则周长的取值范围是
A． B． C． D．
3..在锐角三角形ABC中，若，且满足关系式，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【题型八】 面积1:消角
【典例分析】
在锐角中，角，，的对边分别为，，，为的面积，且，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【提分秘籍】
基本规律
1.已知或者求出一角，则可以利用另外俩角和定值来消角
2.广义消角：已知或者求得一角（非特殊角）三角函数值，可以利用两角和的正余弦来“消角”
【变式演练】
1.设锐角的三个内角..的对边分别为..，且，，则周长的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2.在中，角，，的对边分别为，，，且，的外接圆半径为，若有最大值，则实数的取值范围是_______________________．
3.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．角B为钝角．设△ABC的面积为S，若，则sinA+sinC的最大值是____________．
【题型九】 面积2：正切代换
【典例分析】
在锐角中，角，，的对边分别为，，，为的面积，且，则的取值范围为（ ）．A． B． C． D．
【提分秘籍】
基本规律
1.正余弦齐次式，可以正切代换
2.万能公式形式也可以正切代换
【变式演练】
1.在中，角的对边分别为，已知，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
2.在锐角中，角，，的对边分别为，，，为的面积，且，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【题型十】 最值与范围6：建系设点
【典例分析】
已知边长为的等边三角形，是平面内一点，且满足，则三角形面积的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【提分秘籍】
基本规律
1.满足圆锥曲线定义，特别是“阿波罗尼斯圆”，可以适当的建系设点
2.利用正余弦平方形式可以建系设点
3.具有几何意义特征，如垂直，距离，斜率等。可以适当的建系设点
【变式演练】
1.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，若的面积为，则的周长的最小值为（ ）
A．4 B． C．6 D．
2.在中，记角A，B，C所对的边分别是a，b，c，面积为S，则的最大值为______
3.如图所示,在平面直角坐标系中,点, 分别在轴和轴非负半轴上,点在第一象限,且, ,那么, 两点间距离的
A．最大值是,最小值是 B．最大值是,最小值是
C．最大值是,最小值是 D．最大值是,最小值是
【题型十一】 最值与范围7：求正切的最值范围
【典例分析】
在锐角中，角所对的边分别为，若，则的取值范围为
A． B． C． D．
【提分秘籍】
基本规律
解三角形题。对含有正切函数求最值范围，属于较难题型，一般从以下几方面分析：
1.切化弦
2.在三角形中，有
【变式演练】
1.在锐角中，三内角的对边分别为，且，则的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
2.在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，则的最小值是_______．
3.已知的三个内角的对边分别为，且满足，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【题型十二】 图形1：中线
【典例分析】
以为底边的等腰三角形中，腰边上的中线长为9，当面积取最大时，腰长为（ ）
A． B．
C． D．前三个答案都不对
【提分秘籍】
基本规律
1.中线可分三角形得两个三角形，分别运用余弦定理
2.中线可延伸补形得平行四边形
【变式演练】
1.已知△ABC为锐角三角形，D，E分别为AB、AC的中点，且CD丄BE，则cosA的取值范围是
A． B． C．[ D．
2.如图，在中，，，为中线，过点作于点，延长交于点，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3.在中，，分别是边，的中点，与交于点，若，则面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【题型十三】 图形2：角平分线
【典例分析】
在中，的平分线交于点，则的面积的最大值为（　　）
A． B． C． D．
【提分秘籍】
基本规律
1.角平分线，可以借助面积“和”构造等量关系
2.角平分线也是两边的“对称轴”
3.三角形角平分线定理可以直接在小题中使用
【变式演练】
1.如图，中，为钝角，，，过点B向的角平分线引垂线交于点P，若，则的面积为（ ）
A．4 B． C．6 D．
2.如图所示，在，已知，角的平分线把三角形面积分为两部分，则等于
A． B． C． D．
3.在中，，为边上的一点，且，若为的角平分线，则 的取值范围为
A． B．
C． D．
【题型十四】 图形3：高
【典例分析】
.△ABC中，BD是AC边上的高，A=，cosB=-，则=（　　）
A． B． C． D．
【提分秘籍】
基本规律
1.一般给高，基本就与求面积联系起来
2.高也可以分开构造直角三角形，得出对应的三角函数值
【变式演练】
1.已知的面积等于1，若，则当这个三角形的三条高的乘积取最大值时，______
2.在中，内角的对边分别是，且边上的高为，若，则当取最小值时，内角的大小为（ ）
A． B．
C． D．
【题型十五】 图形4：四边形
【典例分析】
在平面四边形中，，，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【提分秘籍】
基本规律
1.四边形可以“劈成”俩三角形。
2.四边形可以“补成”三角形
【变式演练】
1.在平面四边形中，连接对角线，已知，，，，则对角线的最大值为（ ）
A．27 B．16 C．10 D．25
2.在平面内，四边形ABCD的与互补，，则四边形ABCD面积的最大值=（ ）
A． B． C． D．
3.凸四边形就是没有角度数大于的四边形，把四边形任何一边向两方延长，其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凸四边形，如图，在凸四边形中，，，，，当变化时，对角线的最大值为
A．3 B．4 C． D．
模拟题
1. 锐角中，内角的对边分别为，且满足，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2.( 河南省开封市五县2021-2022学年上学期期中联考数学试题)已知的三个内角所对的边分别为，满足，且，则的形状为
A．等边三角形 B．等腰直角三角形
C．顶角为的等腰三角形 D．顶角为的等腰三角形
3.△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设△ABC的面积为S，若，则的取值范围为
A．（0，+∞） B．（1，+∞） C． D．
4.已知的内角对的边分别为，，当内角最大时，的面积等于 (　　)
A． B． C． D．
5.锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
6.在中，角对应的边分别是，若，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
7.( 安徽省六安市第二中学2022届高三上学期第三次月考数学试题)在锐角三角形中，角 的对边分别为 ，且满足，则的取值范围为___________.
8.在锐角中，角的对边分别为，的面积为，若，则的最小值为（ ）
A． B．2 C．1 D．
9.( 甘肃省兰州第一中学2021-2022学年上学期数学试题)在中,,,,点在边上,点关于直线的对称点分别为,则的面积的最大值为
A． B． C． D．
10..在中，分别是角的对边，若，则的值为（ ）
A．2018 B．1 C．0 D．2019
11.( 江西省万安中学2021-2022学年学期开学考试数学（理）试题)如图所示，在平面四边形中，已知，，，记的中垂线与的中垂线交于一点，恰好为的角平分线，则（ ）
A． B． C． D．
12.在中，，边上的高等于，则
A． B． C． D．
13.定义平面凸四边形为平面上没有内角度数大于的四边形，在平面凸四边形中，，，，，设，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．12正余弦定理与解三角形小题归类2
目录
一、热点题型归纳 1
【题型一】 图形5：“扩展线” 1
【题型二】 向量与正余弦定理 4
【题型三】 四心1：外心 7
【题型四】 四心2：内心 9
【题型五】 四心3：重心 13
【题型六】 内心4：垂心 16
【题型七】 解三角形应用题 18
【题型八】 压轴小题1 22
【题型九】 压轴小题2 25
二、最新模考题组练 28
【题型一】图形5：“扩展线”
【典例分析】
在中，是边上的一点，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据题意，可得出，利用正弦定理可知，设，在中由正弦定理得：，进而利用诱导公式、两角和与差正弦和余弦公式、二倍角正弦公式进行化简，求出的值，从而得出.
解：如图所示，在中，，，所以，由正弦定理知，设，，，所以，
设，在中，由正弦定理得：，
则，即，所以，整理得，
即，即，所以，
又，则，所以．故选：C.
【提分秘籍】
基本规律
“扩展线”型，多选择合适的角度作为变量，构造等量或者函数关系。
【变式演练】
1.在中，，，且有，则线段长的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
在中，设角、、的对边分别为、、，利用正弦定理得出，，利用平面向量数量积的运算性质得出，利用三角恒等变换思想化简得出，利用正弦型函数的有界性可得出线段长的最大值.
【详解】
在中，设角、、的对边分别为、、，
由正弦定理可得，则，，
，即，
所以，
，
所以，，，则，当时，即当时，取最大值，
即.故选：C.
2.如图，为的边上一点，，，，当取最小值时，的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
设，，，则，，在中，运用余弦定理可得，再由，得，代入根据二次函数的最值可求得当时，有最小值，从而求得此时三角形的面积.
【详解】
设，，，则，，
在中，，，，
又，
，，
，整理得，
当时，有最小值，此时取最小值，此时，
所以.
故选：C.
3.在中，，若点P是所在平面内任意一点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
利用正弦定理和余弦定理解三角形，求得，由此求得的取值范围.
【详解】
由于，设是上一点，且，所以，.由，得，.设，在三角形中，.由正弦定理得，即，解得，所以.在三角形中，由余弦定理得，化简得，解得.表示平面内的点到两点的距离之差，所以，所以.
故选：D
【题型二】 向量
【典例分析】
在中，已知，，，为线段上的一点，且，则的最小值为
A． B． C． D．
【答案】A
在中，设，，，结合三角形的内角和及和角的正弦公式化简可求，可得，再由已知条件求得，，，考虑建立以所在的直线为轴，以所在的直线为轴建立直角坐标系，根据已知条件结合向量的坐标运算求得，然后利用基本不等式可求得的最小值.
【详解】
在中，设，，，
，即，即，，
，，，，，
，即，又，，
，则，所以，，解得，.
以所在的直线为轴，以所在的直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，
则、、，
为线段上的一点，则存在实数使得，
，
设，，则，，，
，，消去得，，
所以，，
当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为.故选：A.
【提分秘籍】
基本规律
1.适当选择“基底”进行进行线性拆分
2.利用等和线、均值不等式等知识。
3.常用的计算思维：两边平方
【变式演练】
1.在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，，，点D在边上，且，则线段长度的最小值为（ ）
A． B． C．3 D．2
【答案】A
【分析】
由已知条件和正弦定理，得，再由余弦定理得， .由向量的线性运算得，两边平方，可得，运用基本不等式可得选项.
【详解】
由及正弦定理，得，即，
由余弦定理得，，∵，∴.
由于，∴，两边平方，得
，当且仅当时取等号，即，∴线段长度的最小值为.故选：A.
2.在平行四边形ABCD中，，则cos∠ABD的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
利用可得边之间的关系，结合余弦定理可得cos∠ABD的表达式，然后可得范围.
【详解】
因为，所以；
不妨设，则，
把两边同时平方可得，即；
在中，，所以；
；
令，，则，
易知，为增函数，所以.
故选：D.
3.设O是的外心，满足，，若，则的面积是
A．4 B． C．8 D．6
【答案】B
【分析】
取AC中点D,由以及题设条件得到，计算，得到，由三角形面积公式求解即可.
【详解】
取AC中点D，因为O是的外心，所以
则 ，解得：
所以
即
故选：B
【题型三】 四心1：外心
【典例分析】
在中，分别为的对边，为的外心，且有，，若，，则
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由，利用正弦定理得到，再由，运用三角函数的和角公式和正弦定理得到，进而得到，然后利用余弦定理，求得角B，A，C，再由的两边点乘，运用平面向量数量积的定义和性质，得到x，y的方程组求解.
【详解】因为， 所以，又因为，
所以，所以，所以，即，
所以，所以，所以，
如图所示：由正弦定理得：，
因为，则，所以，
即，则，所以，
即，，.故选：A.
【提分秘籍】
基本规律
1.向量表示：在中，若或，则点是的外心
2.三角形中垂线的交点。
3.正弦定理
【变式演练】
1.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=5sin（B），c=5且O为△ABC的外心，G为△ABC的重心，则OG的最小值为
A．1 B． C．1 D．
【答案】D
首先根据条件解△ABC可得：C和△ABC外接圆的半径R，由此建立直角坐标系，可得：.A（，0），B（，0），外心O为（0，），重心G.从而求得|OG|2sinθ，即可得解.
【详解】A=5sin（B），c=5，∴acsin（B），由正弦定理可得：sinAsinC （sinB+cosB），
∴sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=sinCsinB+sinCcosB，化为：sinBcosC=sinCsinB，sinB0，
∴cosC=sinC，即tanC=1，C∈（0，π）.∴C.∴△ABC外接圆的半径R .
如图所示，建立直角坐标系.A（，0），B（，0），O（0，）.
△ABC外接圆的方程为：x2.设C（cosθ，sinθ）.θ∈（0，π）
则G.|OG|2sinθ，
∴|OG|的最小值为：.故选：D.
2.在中，，，分别为内角，，的对边，为的外心，且有，，若，，则________．
【答案】或
【分析】
由边角互化可得,所以，
即，联立解得，或.分两种情况将两边分别同乘以向量得方程组，解得结果.
【详解】由正弦定理得，所以，即，
由条件得，联立解得，或.
当时，由，得，
即，所以. ——————————————①
同理，由，得，
即，即，所以. ②
联立①②解得. 故.
当时，同理可得——③，——④
解得.故答案为：或.
3.已知是三角形的外心，若，且，则实数的最大值为
A．3 B． C． D．
【答案】D
【分析】
设，，，，由题设条件得到的关系：，
由是三角形的外心可得，，对，消去AO，利用基本不等式求得m的范围.
【详解】如图所示：
设，，，，
由
得，
化简得，
由是三角形的外心可知，是三边中垂线交点，得，，
代入上式得，∴.
根据题意知，是三角形外接圆的半径，可得，，
代入得，
∴，当且仅当“”时，等号成立.故选：D.
【题型四】 四心2：内心
【典例分析】
已知的内角分别为，，且的内切圆面积为，则的最小值为（ ）
A． B．8 C． D．
【答案】A
【分析】
利用三角恒等变换可得，由题设有内切圆半径，进而可得，由三角形面积公式、向量数量积的定义，可得，再由余弦定理及基本不等式求的范围，进而可得的最小值.
【详解】由题设，，又∴，又，故，则，又的内切圆面积为，若内切圆半径为，对应边分别为，
∴，则，易知：，∵，
∴，又，即，
∵，当且仅当时等号成立，
∴，即，可得，
∴，在时等号成立.∴的最小值为6.故选：A
【提分秘籍】
基本规律
1.角平分线的交点。
2.向量表示：在中，若，则直线通过的内心
3.角平分线定理
4.面积法
【变式演练】
1..已知△的内角所对的边分别为若，且△内切圆面积为，则△面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据已知条件及正弦定理可得，由内切圆的面积可得内切圆半径，最后根据及余弦定理，并结合基本不等式求的范围，进而求△面积的最小值.
【详解】
由题设，，而且，
∴，，则，
∴，由题设△内切圆半径，又，
∴，而，即，
∴，可得，当且仅当时等号成立.
∴.故选：D
2.设△的三边长为，，，若，，则△是（ ）．
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】B
【分析】
若三角形各边长为a、b、c且内切圆半径为r，
法一：由内切圆的性质有、，根据边角关系可得或，注意讨论所得关系验证所得关系的内在联系；
法二：由半角正切公式、正弦定理可得或，结合三角形内角的性质讨论所得关系判断三角形的形状.
【详解】
设，△的内切圆半径为r，如图所示，
法一： ∴①；②.
①÷②，得：，即．于是，
，，从而得或，
∴或．故△为等腰三角形或直角三角形，
（1）当时，内心I在等腰三角形的底边上的高上，
，从而得．
又，代入①式，得，即，
上式两边同时平方，得：，化简，即．即△直角三角形，
∴△为等腰直角三角形．
（2）当时，易得．代入②式，得，此式恒成立，
综上，△为直角三角形．
法二：利用，及正弦定理和题设条件，得①，②.
∴③；④.
由③和④得：，即，，
因为为三角形内角，∴或，即或．
（1）若，代入③得：⑤
又，将其代入⑤，得：．变形得，
即⑥，
由知A为锐角，从而知．∴由⑥，得：，即，从而，．
因此，△为等腰直角三角形．（2）若，即，此时③④恒成立，
综上，△为直角三角形．故选：B
3.已知内接于半径为2的，内角A，B，C的角平分线分别与相交于D，E，F三点，若，则
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】
分别求得、、，结合已知条件，求得的值.
【详解】连接，在三角形中，由正弦定理得，故.
同理可得、，故，故.
故选D.
【题型五】 四心3：重心
【典例分析】
在钝角中，分别是的内角所对的边，点是的重心，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
延长交于，由重心性质和直角三角形特点可求得，由，利用余弦定理可构造等量关系得到，由此确定为锐角，则可假设为钝角，得到，，，由此可构造不等式组求得的取值范围，在利用余弦定理可得，利用的范围，结合为锐角可求得的取值范围.
【详解】
延长交于，如下图所示：
为的重心，为中点且，
，，；
在中，；
在中，；
，，
即，整理可得：，为锐角；
设为钝角，则，，，
，，解得：，，，
由余弦定理得：，
又为锐角，，即的取值范围为.故选：C.
【提分秘籍】
基本规律
1.中线交点。中线段的三等分点。
2.分割成三个形状不同面积相等的三角形。
3.向量表示：在中，若，则直线过的重心
【变式演练】
1.已知的内角，，的对边分别为，，，且，，点是的重心，且，则的面积为（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】B
【详解】
分析：有正弦定理可得则 由此可得 由可得，由余弦定理可得，则的面积可求.
详解：由题根据正弦定理可得则
2.设的内角的对边分别为，点为的重心且满足向量，若，则实数
A．3 B．2 C． D．
【答案】C
【详解】
如图，连接，延长交交于，
由于为重心，故为中点，
由重心的性质得， ，即
由余弦定理得，
，可得：
，
故选C．
3.已知四边形的面积为2022，E为边上一点，，，的重心分别为，，，那么的面积为___________．
【答案】##
【分析】
以点A为原点，射线AD为x轴非负半轴建立坐标系，设出点B，C，D，E的坐标，由此表示出点，，，再借助向量探求的面积与四边形的面积的关系即可计算作答.
【详解】
以点A为原点，射线AD为x轴非负半轴建立平面直角坐标系，如图，
设，因，，的重心分别为，，，
则，，，，
面积
，同理可得四边形的面积：
，
于是得，
所以的面积为.
故答案为：
【题型六】 四心4：垂心
【典例分析】
若是垂心，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
利用垂心的性质，连接并延长交于，得到，把已知条件中的式子化简，得到，再两边同乘以，利用数量积、正弦定理进行整理化简，得到，再把化为，整理后得到值.
【详解】在中，，由，
得，连接并延长交于，因为是的垂心，所以，，
所以同乘以得，
因为，所以由正弦定理可得
又，所以有，而，
所以，所以得到，
而，所以得到，故选：D.
【提分秘籍】
基本规律
1.三角形三条高的交点
2.在中，若，则点是的垂心
3.多与面积有关。
【变式演练】
1.点P为所在平面内的动点，满足，，则点P的轨迹通过的　　
A．外心 B．重心 C．垂心 D．内心
【答案】C
【分析】
对题目的式子两边乘以，得到所在直线为高所在直线，即可．
【详解】
处理原式得到
故所在的直线与三角形的高重合，故经过垂心，故选C．
2.设是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三点， 动点P满足，，则动点P的轨迹一定通过△ABC的
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
【答案】D
【详解】
试题分析：,,
,,
3.的垂心在其内部，，，则的取值范围是_____
【答案】
【分析】
设，是高，就是、交点，得到，利用对应边成比例得到，在中，，，设由正弦定理可得：
即可．
【详解】设，是高，就是、交点，那么，，，，
所以，所以，所以，．
在中，，，设，由正弦定理可得：.
，，，.
故答案为：．
【题型七】 解三角形应用题
【典例分析】
某城市要在广场中央的圆形地面设计一块浮雕，彰显城市积极向上的活力.某公司设计方案如图，等腰的顶点P在半径为20m的大⊙O上，点M，N在半径为10m的小⊙O上，点O，点P在弦MN的同侧.设，当的面积最大时，对于其它区域中的某材料成本最省，则此时（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
用表示出的面积为，求导，令求得极值点，从而求得面积最大时对应的值.
【详解】
如图所示，等腰中，
设的面积为，
则
求导
令，即，解得：（舍去负根）
记，
当，，函数单调递增；当 ，，函数单调递减；
故当时，即， 取得极大值，即最大值.故选：C
【变式演练】
1.如图，某人在垂直于水平地面的墙面前的点处进行射击训练，已知点到墙面的距离为，某目标点沿墙面上的射线移动，此人为了准确瞄准目标点，需计算由点观察点的仰角的大小，若，则的最大值是（ ）.（仰角为直线与平面所成的角）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由题可得，，过作，交于，连接，则，设，分类讨论，若在线段上，则，可求出和，从而可得出，利用函数的单调性，可得出时，取得最大值；若在的延长线上，同理求出和，可得出，可得当时，函数取得最大值；结合两种情况的结果，即可得出结论．
解：，，由勾股定理知，，过点作交于，连结，则，设，若在线段上，则，由，得，
在直角中，，，令，则函数在，单调递减，
时，取得最大值为；
若在的延长线上，，在直角中，，
，令，则可得时，函数取得最大值.故答案为：．
2.我国古代数学家秦九韶左《数书九章》中记述了了“一斜求积术”，用现代式子表示即为：在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则的面积，根据此公式，若，且，则的面积为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简，求得，再结合已知及余弦定理，求得的值，代入已知公式，即可求解.
【详解】由题意，因为，所以，
即，
又由，所以，
由因为，所以，所以，即，
因为，
由余弦定理可得，解得，
则的面积为.故选：B.
3.如图，某景区内有一半圆形花圃，其直径为，为圆心，且，在上有一座观赏亭，其中，计划在圆弧上再建一座观赏亭，记，当越大时，游客在观赏亭处的观赏效果越佳，则观赏效果最佳时，（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设，在中，由正弦定理得，变形可得，记求导可得，由导数与函数的单调性的关系分析可得答案．
【详解】
解：设，在中，，，
由正弦定理得，即，
所以，
从而，其中，，所以，
记，则，，
令，，存在唯一使得，
当时，单调递增，当时，单调递减，
所以当时，最大，即最大，又为锐角，从而最大，此时，
故选：.
【题型八】 超难压轴小题1
【典例分析】
在中，，点在边上，且，设，则当k取最大值时，（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据，利用两角和与差的正弦公式化简得到，进而求得A，根据点在边上，且，得到，再由余弦定理结合两边平方，得到，令，得到，用基本不等式法或者导数法求得最大值时a，b，c的关系，再利用正弦定理求解.
【详解】因为，所以，即，
因为，所以，，因为，所以，
因为点在边上，且，所以，设，
则，在中，由余弦定理得，
，所以，
即，即，所以，
令，得，下面采用基本不等式和导数两种方法求解：
方法一：利用基本不等式求解：，要使最大，需最大，当取最大值时，必有，
当且仅当，即时等号成立，所以时，有最大值，
的最大值为，此时，所以，解得，
在中，由正弦定理得，解得，
即.下面采用导数的方法求解：求导得，令，解得，
当时，，当时，，所以当时，取得最大值，此时，
所以，解得，在中，由正弦定理得，
解得，即.故选：B.
【变式演练】
1.在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，的面积为S，若，则（ ）
A． B．
C．的最大值为 D．的最大值为1
【答案】C
【分析】
由三角形面积公式列出等式可得，可化简判断A错误；结合已知条件利用余弦定理可得，B错误；利用余弦定理及辅助角公式可得，根据三角函数的有界性可求得最大值，C正确；由根据角A的范围可求得的范围从而求得的范围.
【详解】
在中，，
，，故A错误；
由余弦定理知①，则，
所以，故B错误；
由①可知，即，其中，
当时，取得最大值，C正确；
，，，则，
所以的最小值为1，D错误. 故选：C
2.已知非等腰的内角，，的对边分别是，，，且，若为最大边，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
先将，转化为，即，再根据为最大边，得到，然后由余弦定理得到，再利用基本不等式得到即可.
【详解】因为，所以，即，
即即，所以，因为为最大边，
所以，由余弦定理得，
所以，即，又，所以，
所以.故选：A
3.设，，O为坐标原点，点P满足，若直线上存在点Q使得，则实数k的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
由可得，由正弦定理得出，再根据原点到直线的距离小于等于4即可求出k的范围.
【详解】设，则，整理可得，故，
在中，，
则，
设原点到直线的距离为，则需满足，
，解得或.故选：C.
【题型九】 超难压轴小题2
【典例分析】
已知的三条边，，满足，，分别以边，为一边向外作正方形，.如图，分别为两个正方形的中心（其中，，三点不共线），则当的值最大时，的面积为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【分析】
用余弦定理把，令，把变形为，看成关于的函数，用导数的观点解决最值问题即可.
解：如图，连接、，由题意可知，，.
在△中，
设，则由基本不等式，可知（当且仅当时取等号）.
，设，则
，令且，解得，
时，，单调递增；时，，单调递减.
的值最大时，，此时.
.故选：A.
【变式演练】
1.在中，是边上一点，且，，若是的中点，则______；若，则的面积的最大值为_________．
【答案】
【分析】
若是的中点，则，，在中，由余弦定理得，在中，可得，即可求得的值；若， 作， ，可求得，由余弦定理可得，利用二次函数的性质可得的最大值，进而求得的最大值.
【详解】若是的中点，则，
在中，由余弦定理可得
即，整理得，
即，所以在中，由余弦定理得
即，所以
若，，，由上述知
作于点E，由，知，作于点F，
所以在边上的高为，
所以因为，，，所以
由余弦定理得
即
当时，有最大值，即，则
所以故答案为：，
2.△内接于半径为2的圆，三个内角，，的平分线延长后分别交此圆于，，.则的值为_____________.
【答案】
【分析】
连，由正弦定理得，利用三角形内角和性质得，进而利用积化和差公式、诱导公式得，同理求、，即可求值.
【详解】
连，则，
∴，
同理可得：，.
∴，即.
3.在平面四边形ABCD中，AB=1，AD=4，BC=CD=2，则四边形ABCD面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
通过余弦定理分别表示BD，从而找到角A，C的关系，将四边形的面积用角A，C表示，从而求得面积的最大值.
【详解】由余弦定理知：在中，有，
在中，有，
则，由四边形的面积=三角形ABD的面积+三角形BCD的面积，
故，
在三角形中，易知，，
，当且仅当时等号成立，
此时，
故，故选：A.
模拟题
1.在中，，，点在边上，且，则的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
取中点，根据平面向量基本定理可将已知数量积化为，根据数量积定义得到；利用余弦定理表示出，代入化简得到；根据三角形两边之和大于第三边和临界点的情况可最终确定取值范围.
【详解】
取中点，则，
当重合时，，不合题意 三点构成
在中，由余弦定理得：
，即
当与或重合时，
综上所述：
故选：
2.若，，则的最大值为
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
设，则，利用余弦定理可求得，再利用三角形的面积公式可求得，继而可求，从而可得面积的最大值．
【详解】
依题意，设，则，又，
由余弦定理得：，
即，，
，．
，
，
当，即时，，．故选．
3.在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，b＝c，且满足＝，若点O是△ABC外一点，∠AOB＝θ(0<θ<π)，OA＝2OB＝2，则平面四边形OACB面积的最大值是(　　)
A． B． C．3 D．
【答案】A
【分析】
根据正弦和角公式化简得 是正三角形，再将平面四边形OACB面积表示成 的三角函数，利用三角函数求得最值.
【详解】由已知得： 即
所以 即 又因为
所以 所以 又因为 所以 是等边三角形.所以
在中，由余弦定理得
且因为平面四边形OACB面积为
当 时，有最大值 ，此时平面四边形OACB面积有最大值 ，故选A.
4.已知点O是锐角△ABC的外心，a，b，c分别为内角A、B、C的对边，A= ，且，则λ的值为（　　）
A． B．﹣ C． D．﹣
【答案】D
【分析】
由题意画出图形，设的外接圆半径为，根据三角形外心的性质可得：，，由向量的线性运算和向量数量积的运算，求出和，在已知的等式两边同时与进行数量积运算，代入后由正弦定理化简，由两角和的正弦公式和三角形内角和定理求出λ的值．
【详解】如图所示：O是锐角△ABC的外心，D、E分别是AB、AC的中点，且OD⊥AB，OE⊥AC，
设△ABC外接圆半径为R，则R，由图得，，则
，同理可得，，由得，
，所以，
则，①在△ABC中由正弦定理得：，
代入①得，，则，②
由正弦定理得，、，代入②得，2RsinCcosB+2RcosCsinB＝﹣λR；
所以2sin（C+B）＝﹣λ，即2sinλ，解得λ，故选D．
5..如图，已知，其内部有一点满足，命题最大值有可能超过36度；命题若三边长对应分别为，则；则正确的选项为
A．真假 B．假假 C．真真 D．假真
【答案】D
【分析】
根据正弦定理计算三边关系得到，得到命题q为真命题，根据角度关系得到内角和超过，故命题P为假命题，得到答案.
【详解】
方法1：
在中，令OA=m，根据正弦定理得，即 ①
在中，令∠OCB=α根据正弦定理得，即 ②
由①②得，即.
又，
在中，根据正弦定理得，即得，
∴. ∴为真.
∵，∴不是最长边，∴至少有一个超过，∴内角和超过，所以错误.
方法2：如图
延长交的外接圆于点，则，
∴，∴.
又∵，∴.
∴，即，即.
6.已知的周长为9，若，则的内切圆半径的最大值为（ ）
A． B．1 C．2 D．
【答案】C
【分析】
首先化简，可得：
，，再结合图形即可得解.
【详解】
法一：角靠拢，形助兴
，整理得：
，，
如图有：
由，可得，
代入，整理可得：，．
法二：，
得：．
法三：
，，，得，由正弦定理，得，．
，如图可得：，，，．
7.已知点G是的重心，且，若，则的值为________．
【答案】
【分析】
由得到，结合是的重心，得到，结合余弦定理和正弦定理，求得的值.
【详解】
依题意，所以，所以①，
因为是三角形的中心，所以②，
把②代入①并化简得，
即，
由余弦定理得，
所以，
由正弦定理得③，
已知，
所以，
所以④，
由③④得，所以.
故答案为：
8.的垂心在其内部，，，则的取值范围是________.
【答案】
【分析】
在中，设，且，得处，利用三角函数的图象与性质，即可求解.
【详解】在为锐角三角形，设，且，所以，
所以，
又由，则，
所以，即的取值范围是.
9.某制冷设备厂设计生产一种长方形薄板，如图所示，长方形的周长为4米，沿折叠使到位置，交于，研究发现，当的面积最大时最节能，则最节能时的面积为
A． B． C． D．2
【答案】C
【分析】
本题可以先通过设分别为，再通过题目所给信息以及得出之间的关系，然后通过的面积列出算式，当其最大时求出的值，最后得出结果．
【详解】
设为，为，
因为四边形是周长为4的长方形，为
所以为为，
因为为，所以为
由题意可知，
所以有即，化简得，
所以化简得
所以当时面积最大，此时，故选C．
10.已知的内角的对边分别是且，若为最大边，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由，化简得到的值，根据余弦定理和基本不等式，即可求解.
【详解】
由，可得，
可得，
通分得，
整理得，所以，
因为为三角形的最大角，所以，
又由余弦定理
，当且仅当时，等号成立，
所以，即，
又由，所以的取值范围是.
故选：C.
11.在锐角中，若，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由，可得；再结合正弦定理余弦定理，将中的角化边，化简整理后可求得；根据锐角和，可推出，，再根据可得，，于是，最后结合正弦的两角差公式、辅助角公式和正弦函数的图象与性质即可得解．
【详解】由，得，，，．
由正弦定理知，，由余弦定理知，，，
，化简整理得，，，，
由正弦定理，有，，，
锐角，且，，，解得，，
，
，，，，，，的取值范围为，．故选：．12正余弦定理与解三角形小题归类2
【题型一】图形5：“扩展线”
【典例分析】
在中，是边上的一点，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【提分秘籍】
基本规律
“扩展线”型，多选择合适的角度作为变量，构造等量或者函数关系。
【变式演练】
1.在中，，，且有，则线段长的最大值为（ ）
A． B． C． D．
2.如图，为的边上一点，，，，当取最小值时，的面积为（ ）
A． B． C． D．
3.在中，，若点P是所在平面内任意一点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【题型二】 向量
【典例分析】
在中，已知，，，为线段上的一点，且，则的最小值为
A． B． C． D．
【提分秘籍】
基本规律
1.适当选择“基底”进行进行线性拆分
2.利用等和线、均值不等式等知识。
3.常用的计算思维：两边平方
【变式演练】
1.在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，，，点D在边上，且，则线段长度的最小值为（ ）
A． B． C．3 D．2
2.在平行四边形ABCD中，，则cos∠ABD的范围是（ ）
A． B． C． D．
3.设O是的外心，满足，，若，则的面积是
A．4 B． C．8 D．6
【题型三】 四心1：外心
【典例分析】
在中，分别为的对边，为的外心，且有，，若，，则
A． B． C． D．
【提分秘籍】
基本规律
1.向量表示：在中，若或，则点是的外心
2.三角形中垂线的交点。
3.正弦定理
【变式演练】
1.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=5sin（B），c=5且O为△ABC的外心，G为△ABC的重心，则OG的最小值为
A．1 B． C．1 D．
2.在中，，，分别为内角，，的对边，为的外心，且有，，若，，则________．
3.已知是三角形的外心，若，且，则实数的最大值为
A．3 B． C． D．
【题型四】 四心2：内心
【典例分析】
已知的内角分别为，，且的内切圆面积为，则的最小值为（ ）
A． B．8 C． D．
【提分秘籍】
基本规律
1.角平分线的交点。
2.向量表示：在中，若，则直线通过的内心
3.角平分线定理
4.面积法
【变式演练】
1..已知△的内角所对的边分别为若，且△内切圆面积为，则△面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2.设△的三边长为，，，若，，则△是（ ）．
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形
3.已知内接于半径为2的，内角A，B，C的角平分线分别与相交于D，E，F三点，若，则
A．1 B．2 C．3 D．4
【题型五】 四心3：重心
【典例分析】
在钝角中，分别是的内角所对的边，点是的重心，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【提分秘籍】
基本规律
1.中线交点。中线段的三等分点。
2.分割成三个形状不同面积相等的三角形。
3.向量表示：在中，若，则直线过的重心
【变式演练】
1.已知的内角，，的对边分别为，，，且，，点是的重心，且，则的面积为（ ）
A． B． C．3 D．
2.设的内角的对边分别为，点为的重心且满足向量，若，则实数
A．3 B．2 C． D．
已知四边形的面积为2022，E为边上一点，，，的重心分别为，，，那么的面积为___________．
【题型六】 四心4：垂心
【典例分析】
若是垂心，且，则（ ）
A． B． C． D．
【提分秘籍】
基本规律
1.三角形三条高的交点
2.在中，若，则点是的垂心
3.多与面积有关。
【变式演练】
1.点P为所在平面内的动点，满足，，则点P的轨迹通过的　　
A．外心 B．重心 C．垂心 D．内心
2.设是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三点， 动点P满足，，则动点P的轨迹一定通过△ABC的
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
3.的垂心在其内部，，，则的取值范围是_____
【题型七】 解三角形应用题
【典例分析】
某城市要在广场中央的圆形地面设计一块浮雕，彰显城市积极向上的活力.某公司设计方案如图，等腰的顶点P在半径为20m的大⊙O上，点M，N在半径为10m的小⊙O上，点O，点P在弦MN的同侧.设，当的面积最大时，对于其它区域中的某材料成本最省，则此时（ ）
A． B． C． D．
【变式演练】
1.如图，某人在垂直于水平地面的墙面前的点处进行射击训练，已知点到墙面的距离为，某目标点沿墙面上的射线移动，此人为了准确瞄准目标点，需计算由点观察点的仰角的大小，若，则的最大值是（ ）.（仰角为直线与平面所成的角）
A． B． C． D．
2.我国古代数学家秦九韶左《数书九章》中记述了了“一斜求积术”，用现代式子表示即为：在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则的面积，根据此公式，若，且，则的面积为（ ）
A． B．
C． D．
3.如图，某景区内有一半圆形花圃，其直径为，为圆心，且，在上有一座观赏亭，其中，计划在圆弧上再建一座观赏亭，记，当越大时，游客在观赏亭处的观赏效果越佳，则观赏效果最佳时，（ ）
A． B． C． D．
【题型八】 超难压轴小题1
【典例分析】
在中，，点在边上，且，设，则当k取最大值时，（ ）
A． B． C． D．
【变式演练】
1.在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，的面积为S，若，则（ ）
A． B．
C．的最大值为 D．的最大值为1
2.已知非等腰的内角，，的对边分别是，，，且，若为最大边，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3.设，，O为坐标原点，点P满足，若直线上存在点Q使得，则实数k的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【题型九】 超难压轴小题2
【典例分析】
已知的三条边，，满足，，分别以边，为一边向外作正方形，.如图，分别为两个正方形的中心（其中，，三点不共线），则当的值最大时，的面积为（ ）
A． B． C．2 D．
【变式演练】
1.在中，是边上一点，且，，若是的中点，则______；若，则的面积的最大值为_________．
2.△内接于半径为2的圆，三个内角，，的平分线延长后分别交此圆于，，.则的值为_____________.
3.在平面四边形ABCD中，AB=1，AD=4，BC=CD=2，则四边形ABCD面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
模拟题
1.在中，，，点在边上，且，则的取值范围是
A． B．
C． D．
2.若，，则的最大值为
A． B． C． D．
3.在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，b＝c，且满足＝，若点O是△ABC外一点，∠AOB＝θ(0<θ<π)，OA＝2OB＝2，则平面四边形OACB面积的最大值是(　　)
A． B． C．3 D．
4.已知点O是锐角△ABC的外心，a，b，c分别为内角A、B、C的对边，A= ，且，则λ的值为（　　）
A． B．﹣ C． D．﹣
5..如图，已知，其内部有一点满足，命题最大值有可能超过36度；命题若三边长对应分别为，则；则正确的选项为
A．真假 B．假假 C．真真 D．假真
6.已知的周长为9，若，则的内切圆半径的最大值为（ ）
A． B．1 C．2 D．
7.已知点G是的重心，且，若，则的值为________．
8.的垂心在其内部，，，则的取值范围是________.
9.某制冷设备厂设计生产一种长方形薄板，如图所示，长方形的周长为4米，沿折叠使到位置，交于，研究发现，当的面积最大时最节能，则最节能时的面积为
A． B． C． D．2
10.已知的内角的对边分别是且，若为最大边，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11.在锐角中，若，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．

展开更多......

收起↑