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15 数列求和15种类型归纳
目录
一、热点题型归纳 1
【题型一】 求和思维基础：sn和an的关系 1
【题型二】 错位相消法求和的三种思维方法 2
【题型三】 分组求和 5
【题型四】 求和难点1：裂项相消基础思维 6
【题型五】 求和难点2：形如函数型裂项相消 9
【题型六】 求和难点3：指数型裂项相消求和 10
【题型七】 求和难点4：指数等差型裂项相消求和 12
【题型八】 求和难点5：奇偶正负型裂项相消求和 14
【题型九】 求和难点6：裂项为“和”型以相消求和 16
【题型十】 求和难点7：指数型裂项为“和”以相消求和 17
【题型十一】求和难点8：无理根式型裂项相消 19
【题型十二】求和难点9：三项积式裂项相消求和 21
【题型十三】求和难点10：先放缩后裂项求和 22
【题型十四】求和难点11：利用组合数公式裂项求和（理科） 24
【题型十五】求和难点12：分段数列求和 24
二、最新模考题组练 27
【题型一】 求和思维基础：由sn求an的关系
【典例分析】
已知数列{an}的前n项和．
（1）求{an}的通项公式；
（2）记，求{bn}的前n项和Tn．
【答案】（1）an＝2n；（2）Tn＝3﹣（n+3） （）n
【详解】（1）数列{an}的前n项和，可得a1＝S1＝2，an＝Sn﹣Sn﹣1＝2n，（n≥2），适合.
综上可得an＝2n；
【提分秘籍】
基本规律
对于公式
（1）当时，用替换中的得到一个新的关系，利用 便可求出当时的表达式；
（2）当时， 求出；
（3）对时的结果进行检验，看是否符合时的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分与两段来写．
【变式演练】
1.数列的前n项和为（），求
【详解】因为，
所以，
当时，，
适合上式，故，
2.已知数列的前项和为，且满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列满足，求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）.
【详解】（1）当时，，
当且时，，
当时，适合上式，所以数列的通项公式.
【题型二】 错位相消法三种思维求法
【典例分析】
（2020年新课标1理数17题）设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项．
（1）求的公比；
（2）若，求数列的前项和．
解：（1）设的公比为，由题设得 即.
所以 解得（舍去），.故的公比为.
（2）设为的前n项和.由（1）及题设可得，.所以
，
.
可得
所以.
【提分秘籍】
基本规律
以下三种思维，但还是建议练熟第一种。如果第一种都掌握不了的学生，基本上也记不住第二和第三种方法。
1.思维结构结构图示如下
2.公式型记忆：
3.可可裂项为如下
【变式演练】
1.已知数列中，，，前项和为，若（，且）.
（1）求数列的通项公式；
（2）记，求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）先求出，再求出即得解；
（2）求出，再利用错位相减法求数列的前项和.
【详解】
（1）数列中，（，且）①，
又（，且）②，
可得：，
则数列是以为首项，公差为1的等差数列，
则，则，
当时，，也符合该式，
则.
（2）由（1）的结论得，，则；则，
∴，
两式错位相减可得：
，∴.
2.（系数为负的，增加了计算难度）已知数列的前项和为，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
【答案】(1) (2)
解：（1）因为，所以当时，，.
当时，因为，所以当，所以，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，故.
（2）因为，所以，
，
，
相减得，
，
所以.
【题型三】 分组求和法
【典例分析】
已知数列的前项和，数列满足.
（1）求数列、的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据当时，可以求出数列的通项公式，再验证当时，首项是否适合；再根据，结合对数与指数互化公式进行求解即可；
（2）化简数列的通项公式，利用分组求和的方法，结合等比数列前项和、裂项相消法进行求解即可.
【详解】（1）由，当时，，
时，对上式也成立，∴；
又，，.
（2），
.
【提分秘籍】
基本规律
，其中bn和cn都是容易求和的数列
【变式演练】
1.设数列满足，；
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）用累加法求通项公式；
（2）用分组求和法求．
【详解】（1），∴；；
…
，∴，
∴，也适合此式，∴，．
（2）由（1）得，
∴.
2.已知数列的前项和为，，且-3，，成等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和.
（1）；（2）.
【分析】（1）根据可得是等比数列，且，再根据-3，，成等差数列可求出，即可写出通项公式；
（2）利用分组求和法和裂项相消法即可求出.
【详解】（1）由，得数列为等比数列，且公比，
∵-3，，成等差数列，∴，
从而有，解得，∴；
（2），
所以
.
【题型四】 求和难点1：裂项相消基础思维
【典例分析】
设数列满足：，且（），.
（1）求的通项公式：
（2）求数列的前项和.
【答案】（1）（）（2）
【分析】(1)先根据等差中项判别法判断出数列是等差数列,然后根据已知条件列式求出公差,即可得到数列的通项公式;
(2)由(1)求出数列的通项公式,然后运用裂项相消法求出前项和.
【详解】(1)由()可知数列是等差数列,设公差为,
因为,所以,解得,
所以的通项公式为:();
(2)由(1)知,所以数列的前项和:
.
【提分秘籍】
基本规律
【变式演练】
1.数列中，，，数列满足．
（1）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
【答案】（1）见解析，（2）
【分析】
（1）由条件得，代入，可得数列是等差数列，则可求出数列的通项公式，进而可得数列的通项公式；
（2）由（1）可得，利用裂项相消法可求和.
【详解】
（1）由，即.而，，
即.又，数列是首项和公差均为1的等差数列.
于是，.
（2），.
.
2.在等差数列中，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，为数列的前n项和，若，求n的值．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）利用等差数列的通项公式即可求解.
（2）利用裂项求和法即可求解.
【详解】（1）设等差数列的公差是d，由，
得：，解得，所以；
（2）由（1）知，，
所以，由，解得．
3.已知 是公差不为零的等差数列， ，且成等比数列．
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列 的前 项和.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）根据题意，用等差数列的基本量转化条件，求得首项和公差，则问题得解；
（2）根据（1）中所求，用裂项求和法即可求得结果.
【详解】
（1）设的公差为，因为， ，成等比数列
，可得，
，，所以，
又,解得，，
；
（2）
【题型五】 求和难点2：形如函数型裂项相消
【典例分析】
等差数列满足，，，成等比数列，数列满足，.
（Ⅰ）求数列，的通项公式；
（Ⅱ）数列的前项和为，证明.
【答案】（Ⅰ）；；（Ⅱ）证明见解析.
【详解】（Ⅰ）由题意得（不符）或，
所以.则当时
.当时符合，所以.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以
.
【提分秘籍】
基本规律
对于
f（n）是p、q差型；
（2）f（n）是分离常数型；
【变式演练】
1.数列满足，且.
（1）设，证明：数列是等差数列；
（2）设，求数列的前项和为.
【答案】（1）证明见详解；（2）.
【详解】（1）由得，则，即，因为，所以，
即数列是以为公差的等差数列；
（2）因为，，所以；由（1）得，，即，
则，所以，，…，，
以上各式相乘可得，，所以；
因此，
因此数列的前项和为
.
2、已知各项均为正数的数列前项和为，且 .
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列的前项和.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【详解】（Ⅰ）因为且，
所以， 即，
又因为各项均为正数的数列前项和为，所以，所以，
又由，所以，所以数列表示首项为1，公差为1的等差数列，
所以，所以，当时，，
当时也满足， 综上可得，数列的通项公式为.
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，
所以数列的前项和.
【题型六】 求和难点3：指数型裂项相消
【典例分析】
设数列的前n项和为，已知，，.
（1）求通项公式；
（2）设，数列的前n项和为，求证：.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
解：（1）因为，，，所以当时，，
以上两式做差得：，即，，由于，所以， ，
所以数列是等比数列，公比为，首项为，所以 .
（2）结合（1）得，
所以数列的前n项和为：
，
由于，所以，所以
【提分秘籍】
基本规律
形如
【变式演练】
1.已知数列的前项和为,且对一切正整数恒成立.
（1）求当为何值时,数列是等比数列,并求出它的通项公式；
（2）在（1）的条件下，记数列的前项和为，求.
【答案】（1）；（2）
试题解析：（1）由得：当时，，两式相减得：，
因为数列是等比数列，所以，又因为，所以解得：,得：
（2）
2、已知等比数列的前项和为，且，，的等差中项为10.
（1）求数列的通项公式；
（2）求.
【答案】（1）；（2）.
【详解】（1），的等差中项为10,,，
解得，,;
（2）由（1）可知，，
【题型七】 求和难点4：指数等差型裂项相消
【典例分析】
已知数列的前项和为，且，数列满足：，且．（1）求证：数列是等比数列；
【答案】（1）见解析；（2），，；（3）见解析
【详解】（1）因为，即，又，
故数列是以为首项，为公比的等比数列．
（2）因为当，当时，
，
当时，满足上式，所以，
当时，，当时，，所以．
（3）因为
所以，
综上．
【提分秘籍】
基本规律
形如，注意凑配“同构”形式以裂项达到相消的目的
【变式演练】
1.已知数列满足：，；数列是等比数列，并满足，且，，成等差数列.
（1）求数列，的通项公式；
（2）若数列的前项和是，数列满足，求证：.
【答案】（1），；（2）证明见解析.
【详解】（1）由已知，，所以是常数列，，故
设的公比是，由已知得，所以所以，故
（2）
累加得：
所以，得证.
3、设是等差数列，是等比数列，公比大于0．已知，，，．
（Ⅰ）求数列，的通项公式；（Ⅱ）设，．
（ⅰ）求；（ⅱ）证明．
【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）(ⅰ) ；(ⅱ)证明见解析.
解：（Ⅰ）设数列的首项为，公差为，数列的公比为，已知，，，
，，，．由，．解得：．，
，．
（Ⅱ）设，则：（ⅰ），，．
（ⅱ）证明：由于：，，，
故．
【题型八】 求和难点5：奇偶正负型裂项相消
【典例分析】
已知正项等差数列满足：，其中是数列的前项和.
（1）求数列的通项公式；
（2）令，证明：.
【答案】（1）；（2）证明见解析；
解：（1）因为时，；时，，
联立得：即解得，所以公差所以；
（2）
所以
.
【提分秘籍】
基本规律
形如，可类比前边规律裂项相消
【变式演练】
1.设数列的前项和为，且.（1）求、、的值；
（2）求出及数列的通项公式；
（3）设，求数列的前项和为.
【答案】（1），，；（2），；
（3）当为奇数，；当为偶数，.
【详解】(1)，时，，
时，，解得，
时，，解得，同理可得：，
（2）由（1）可得：，，化为，猜想，时，代入，左边；右边,所以左边=右边，猜想成立，时也成立，
时，，时，也成立，；
当时，，又，
数列的通项公式为.
（3），
为偶数时，数列的前项和为：
.
为奇数时，数列的前项和为：
.
综上所述，当为奇数，；当为偶数，.
2、已知数列满足，，.（1）求数列的通项公式；
（2）若，记数列的前项和，求.
【答案】（1）（2）
【详解】（1）∵，∴.
∴，则，令，，则.
∴，∴，∴.
（2）∵，
∴.
【题型九】 求和难点6：裂项为“和”型以相消
【典例分析】
已知数列中，，，前项和为，且.（1）求证：数列是等差数列；（2）设，求数列的前项和.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
解：（1）证明：①令得，
②，②①得③，
， 在③中可约去得，
即，
又，是以首项为1，公差为1的等差数列．
（2）易得，，
．
【提分秘籍】
基本规律
可通过分离常数，或者公式，裂项为“和”，借助系数的正负相间，达到裂项相消的目的
【变式演练】
1.已知正项数列的前项和为，且.（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）.
解：（1）正项数列的前项和为，且.①当时，，解得.
当时，②，①②得，由于，
所以（常数）.所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列.所以.
（2）数列满足.
所以.
2、已知递增的等差数列的前项和为，，，，成等比数列.
（1）求数列的通项公式；（2）已知，求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）.
【详解】（1）由知等差数列首项为1，所以由，，成等比数列可得所以解得或由递增的等差数列知，所以
所以
（2）因为
所以
．
【题型十】 求和难点7：指数型裂项为“和”以相消
【典例分析】
已知数列满足，且.
（1）证明：数列为等比数列；
（2）设，记数列的前项和为，若对任意的，恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）详见解析；（2）.
【详解】（1）证明：因为，所以即，则
从而数列是以6为首项，2为公比的等比数列
（2）解：由（1）知，即
所以
当为偶数时，
当为奇数时，
当为偶数时，是递减的，此时当时，取最大值，则；
当为奇数时，是递增的，此时，则.
综上，的取值范围是.
【提分秘籍】
基本规律
授课时，注意讲清楚裂项凑配的原理。如果学生接受难度大，可以逆向思维：反解代入
【变式演练】
1.已知数列满足.
（1）设，求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和；
（3）记，求数列的前项和.
【答案】（1）（2）（3）
【详解】（1）由得，得；
（2）易得，
错位相减得所以其前项和；
（3）
，
或写成.
【题型十一】求和难点8：无理根式型裂项
【典例分析】
已知数列的前项和满足，且.
（1）求证：数列是常数数列；
（2）设，为数列的前项和，求使成立的最小正整数的值.
【答案】（1）证明见解析；（2）50.
【详解】（1），（2），两式相减：，
即，.时，，
所以数列是常数数列.
（2）由（1）得，时，，所以：，，
而时，，解得满足，所以，
∴，
∴，，又，∴.所以的最小值为50
【提分秘籍】
基本规律
【变式演练】
1.如图所示，在的图像下有一系列正三角形，记的边长为，.
（1）求数列，的通项公式；
（2）若数列满足，证明：.
【答案】（1），；（2）证明见解析.
【详解】（1）解：设，则.
由题意可知：，.
两式相减：.
易知，故数列是以为首项，为公差的等差数列.故，.
（2）证明：由题意可知：
.
故.
2、在①，，成等差数列；②，，成等差数列；③中任选一个，补充在下列问题中，并解答.在各项均为正数等比数列中，前项和为，已知，且______.
（1）求数列通项公式；
（2）数列的通项公式，，求数列的前项和.
【答案】（1）答案见解析；（2）.
解：设等比数列的公比为，（1）选①：因为，，成等差数列，所以，
因为，所以，，，
所以，即.又，解得，所以.
选②：因为，，成等差数列，所以，即,化简得，所以，即，又，解得，所以.
选③：因为，所以，则，所以.
，，经验证符合.
（2）因为，
则
.
【题型十二】 求和难点9：三项积式裂项相消
【典例分析】
已知数列满足，，.（1）若.①求数列的通项公式；
②证明：对， .
【答案】（1）①；②证明见解析；（2）证明见解析
解：（1）①当时，，∵，∴，依此类推，
∴，∴，∴数列是首项为2，公差为1的等差数列，∴，即，
②证明：由①知，故对，
∴＝
＝，
【提分秘籍】
基本规律
属于比较难的题型，做复习参考。一般情况下，可如下公式裂项：
【题型十三】 求和难点10：先放缩后裂项
【典例分析】
已知数列的前n项和为，，且对任意正整数n，都有，数列满足．（1）求数列，的通项公式；（2）求证：．
【答案】（1）；；（2）证明见解析.
【详解】（1）数列的前n项和为，，且对任意正整数n，都有，
则当时，，整理得：，即（常数），当时，
则，所以．由于数列满足，所以．
（2）证明：由于，所以，
则
．故．
【提分秘籍】
基本规律
先放缩后裂项，属于2010年课改之前题型，2010新课标逐渐淘汰。2019年新高考实行后，结合2021年新课标乙卷数列大题的位置后移，难度增加，所以今年开始二轮复习备考，适当的增加这方面题型的扩展了解。授课时，要讲清楚，放缩的目的是为了“求和”，这也是凑配放缩形式的目标。
【变式演练】
1.已知数列的前n项和为，，且当时，.（1）求数列的通项公式；（2）若，证明：.
【答案】（1）.（2）证明见解析
【详解】(1),且当时,.两边同时取倒数可得:,即,且,数列是等差数列,其公差为2,首项为2,,可得,
时,,所以;
(2)时,,又时,,对于上式也成立.,
时,,
.
2、数列中，，，且.
令，将用表示，并求通项公式；
令，求证：.
【答案】；；证明见解析.
解：数列中，，，且.
.
时，.
，可得.时成立..
证明：时，.
.，时也成立.
综上可得：.
【题型十四】 求和难点11：利用组合数公式裂项求和（理科）
【典例分析】
已知为数列的前项和，，.（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前项和为，求证：.
【答案】（1）.（2）证明见解析
【详解】（1）当时，，∵，∴，又∵，
∴，∴，整理得：，
∴数列从第二项开始是公比为2的等比数列.∴∴
又∵当时，满足.∴.
（2）由（1）得，
∴，显然当时，为单调递增函数，且，∴成立.
【题型十五】 求和难点12：分段数列求和
【典例分析】
已知等差数列的前项和为，数列为正项等比数列，且，，，.
（1）求数列和的通项公式；
（2）若，设的前项和为，求.
【答案】（1），.（2）
【分析】
（1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；
（2）由a1＝3，an＝2n+1得Sn＝n（n+2）．则n为奇数，cn．“分组求和”，利用“裂项求和”、等比数列的前n项和公式即可得出．
【详解】
（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
∵，，，，∴
∴或，且是正项等比数列，
∴，，
∴，.
（2）由（1）知∴
∴
= =.
【提分秘籍】
基本规律
1.分奇偶各自新数列求和
2.要注意处理好奇偶数列对应的项：
（1）可构建新数列；（2）可“跳项”求和
【变式演练】
1.已知为等差数列，为等比数列，．
（Ⅰ）求和的通项公式；
（Ⅱ）记的前项和为，求证：；
（Ⅲ）对任意的正整数，设求数列的前项和．
【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）.
【分析】(Ⅰ)由题意分别求得数列的公差、公比，然后利用等差、等比数列的通项公式得到结果；
(Ⅱ)利用(Ⅰ)的结论首先求得数列前n项和，然后利用作差法证明即可；
(Ⅲ)分类讨论n为奇数和偶数时数列的通项公式，然后分别利用指数型裂项求和和错位相减求和计算和的值，据此进一步计算数列的前2n项和即可.
【详解】(Ⅰ)设等差数列的公差为，等比数列的公比为q.
由，，可得d=1.从而的通项公式为.由，
又q≠0，可得，解得q=2，从而的通项公式为.
(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)可得，故，，
从而，所以.
(Ⅲ)当n为奇数时，，当n为偶数时，，
对任意的正整数n，有，和 ①
由①得 ②
由①②得，
由于，
从而得：.因此，.
所以，数列的前2n项和为.
2.设是等差数列，是等比数列.已知，，，.
（1）求和的通项公式；
（2）数列满足，设数列的前项和为，求.
【答案】（1），；（2）.
【解析】
【分析】
（1）设是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，根据条件求出，，再代入通项公式即可；
（2）利用等差数列和等比数列的前项和公式求和，即可得答案；
【详解】
（1）设是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，
由，，，，
可得，，
解得，，
则，，；
（2）
.
模拟题
1.已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且b2=3，b3=9，a1=b1，a14=b4.
（1）求{an}的通项公式；
（2）设cn=an+bn，求数列{cn}的前n项和.
（1）；（2）.
【分析】（1）将已知条件转化为的形式，解方程组求得的值，由此求得数列的通项公式；
（2）利用分组求和法求的数列的前项和.
【详解】（1）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，
因为b2=3，b3=9，可得，所以bn=b2qn-2=3·3n-2=3n-1，
又由a1=b1=1，a14=b4=27，所以，
所以数列{an}的通项公式为an=a1+(n-1)×d=1+2(n-1)=2n-1；
（2）由题意知cn=an+bn=(2n-1)+3n-1，设数列{cn}的前n项和为，
则
.
2.已知等差数列中，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）记数列的前项和为，证明：.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】
（1）设数列的公差为，根据，，利用“”求解.
（2）由（1）得到，进而得到，然后利用裂项相消法求解.
【详解】（1）设数列的公差为，由题意得，
解得，，故数列的通项公式为.
（2）由（1）知，所以，
所以，
所以.
3.正项数列的前n项和Sn满足： (1)求数列的通项公式；
(2)令，数列{bn}的前n项和为Tn，证明：对于任意的n∈N*，都有Tn＜ .
【答案】（1）（2）见解析
【详解】（1）因为数列的前项和满足：，
所以当时，，即解得或，因为数列都是正项，
所以，因为，所以，解得或，
因为数列都是正项，所以，当时，有，所以，
解得，当时，，符合所以数列的通项公式，;
（2）因为，所以，
所以数列的前项和为：
，当时，有，
所以，所以对于任意，数列的前项和.
4.已知等比数列的前n项和为（），满足，，成等差数列，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和.
【答案】（1）.（2）
【详解】（1）设数列的公比为q，依题意得，所以即，因为，所以，解得或，
因为，所以， 又因为，所以即，所以；
（2）题意可得，
则 .
5.已知正项数列满足：，，其中是数列的前项和．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，证明：．
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【详解】（1）由，又有，，
两式相减得，因为，所以，又，时，，解得，满足，因此数列是等差数列，首项为1，公差为1，所以．
（2）所以．
6.已知等差数列的公差为2，前项和为，且成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前项和．
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）∵等差数列{an}的公差为2，前n项和为Sn，且S1、S2、S4成等比数列．
∴Sn＝na1+n（n﹣1）（2a1+2）2＝a1（4a1+12），a1＝1，∴an＝2n﹣1；
（2）∵由（1）可得，
当n为偶数时，Tn＝
．
当n为奇数时，
．．
7.已知是各项都为正数的数列，其前项和为，且为与的等差中项．
（1）求证：数列为等差数列；
（2）设，求的前100项和．
【答案】（1），； （2）.
解：（1）由题意知，即，①当时，由①式可得；
又时，有，代入①式得，
整理得，∴是首项为1，公差为1的等差数列．
（2）由（1）可得，∵是各项都为正数，∴，
∴，又，∴，
则，，
即：.∴的前100项和．
8.已知是公比的等比数列，且满足，，数列满足：.
（1）求数列和的通项公式；
（2）令，求证：.
【答案】（1）；；（2）证明见解析.
解：（1）因为是公比的等比数列，所以因为，，所以，，
所以当时，，
当时①②
将②乘2得到③
①－③，得，所以
因为当时，，所以
（2）因为而，
所以
因此
9.已知数列是首项为，公比为q的等比数列．
（1）求和：，；
（2）由（1）的结果归纳概括出关于正整数n的一个结论，并加以证明；
（3）设，是等比数列的前n项和，求：．
【答案】（1），；
（2）若是首项为，公比为q的等比数列，则，．证明见解析；（3）
【分析】
（1）根据等比数列公式结合组合公式计算得到答案.
（2）根据等比数列公式结合二项式定理计算得到证明.
（3），代入化简，根据和二项式定理得到答案.
【详解】
（1），
.
（2）结论为：若是首项为，公比为q的等比数列，
则，．
证明如下：.
（3）∵，∴.
10.已知正项等比数列满足，，数列的前项和为，
（Ⅰ）求与的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列的前项和．
【答案】（Ⅰ）an＝2n，n∈N*；bn＝2n﹣2，n∈N*；（Ⅱ）T2n＝ 22n+1+2n2．
【解析】
【分析】
（Ⅰ）设设正项等比数列的公比为，然后根据等比中项的性质得，结合进一步计算可得公比的值，即可得到数列的通项公式，然后利用公式可计算出数列的通项公式；
（Ⅱ）按数列求和的定义得，结合分组求和的思想，可求.
【详解】
解：（Ⅰ）由题意，设正项等比数列的公比为，由题意知，，
则，解得或（舍去），则 ；
当时， ，
当时，，所以.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当 为奇数时，，当 为偶数时，，则
.15 数列求和
【题型一】 求和思维基础：由sn求an的关系
【典例分析】
已知数列{an}的前n项和．
（1）求{an}的通项公式；
（2）记，求{bn}的前n项和Tn．
【提分秘籍】
基本规律
对于公式
（1）当时，用替换中的得到一个新的关系，利用 便可求出当时的表达式；
（2）当时， 求出；
（3）对时的结果进行检验，看是否符合时的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分与两段来写．
【变式演练】
1.数列的前n项和为（），求
2.已知数列的前项和为，且满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列满足，求数列的前项和.
【题型二】 错位相消法三种思维求法
【典例分析】
（2020年新课标1理数17题）设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项．
（1）求的公比；
（2）若，求数列的前项和．
【提分秘籍】
基本规律
以下三种思维，但还是建议练熟第一种。如果第一种都掌握不了的学生，基本上也记不住第二和第三种方法。
1.思维结构结构图示如下
2.公式型记忆：
3.可可裂项为如下
【变式演练】
1.已知数列中，，，前项和为，若（，且）.
（1）求数列的通项公式；
（2）记，求数列的前项和.
2.（系数为负的，增加了计算难度）已知数列的前项和为，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
【题型三】 分组求和法
【典例分析】
已知数列的前项和，数列满足.
（1）求数列、的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
【提分秘籍】
基本规律
，其中bn和cn都是容易求和的数列
【变式演练】
1.设数列满足，；
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前项和.
2.已知数列的前项和为，，且-3，，成等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和.
【题型四】 求和难点1：裂项相消基础思维
【典例分析】
设数列满足：，且（），.
（1）求的通项公式：
（2）求数列的前项和.
【提分秘籍】
基本规律
【变式演练】
1.数列中，，，数列满足．
（1）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
2.在等差数列中，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，为数列的前n项和，若，求n的值．
3.已知 是公差不为零的等差数列， ，且成等比数列．
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列 的前 项和.
【题型五】 求和难点2：形如函数型裂项相消
【典例分析】
等差数列满足，，，成等比数列，数列满足，.
（Ⅰ）求数列，的通项公式；
（Ⅱ）数列的前项和为，证明.
【提分秘籍】
基本规律
对于
f（n）是p、q差型；
（2）f（n）是分离常数型；
【变式演练】
1.数列满足，且.
（1）设，证明：数列是等差数列；
（2）设，求数列的前项和为.
2、已知各项均为正数的数列前项和为，且 .
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列的前项和.
【题型六】 求和难点3：指数型裂项相消
【典例分析】
设数列的前n项和为，已知，，.（1）求通项公式；
（2）设，数列的前n项和为，求证：.
【提分秘籍】
基本规律
形如
【变式演练】
1.已知数列的前项和为,且对一切正整数恒成立.
（1）求当为何值时,数列是等比数列,并求出它的通项公式；
（2）在（1）的条件下，记数列的前项和为，求.
2、已知等比数列的前项和为，且，，的等差中项为10.
（1）求数列的通项公式；
（2）求.
【题型七】 求和难点4：指数等差型裂项相消
【典例分析】
已知数列的前项和为，且，数列满足：，且．（1）求证：数列是等比数列；
【提分秘籍】
基本规律
形如，注意凑配“同构”形式以裂项达到相消的目的
【变式演练】
1.已知数列满足：，；数列是等比数列，并满足，且，，成等差数列.（1）求数列，的通项公式；
（2）若数列的前项和是，数列满足，求证：.
3、设是等差数列，是等比数列，公比大于0．已知，，，．
（Ⅰ）求数列，的通项公式；（Ⅱ）设，．
（ⅰ）求；（ⅱ）证明．
【题型八】 求和难点5：奇偶正负型裂项相消
【典例分析】
已知正项等差数列满足：，其中是数列的前项和.
（1）求数列的通项公式；
（2）令，证明：.
【提分秘籍】
基本规律
形如，可类比前边规律裂项相消
【变式演练】
1.设数列的前项和为，且.（1）求、、的值；
（2）求出及数列的通项公式；
（3）设，求数列的前项和为.
2、已知数列满足，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，记数列的前项和，求.
【题型九】 求和难点6：裂项为“和”型以相消
【典例分析】
已知数列中，，，前项和为，且.
（1）求证：数列是等差数列；
（2）设，求数列的前项和.
【提分秘籍】
基本规律
可通过分离常数，或者公式，裂项为“和”，借助系数的正负相间，达到裂项相消的目的
【变式演练】
1.已知正项数列的前项和为，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，求数列的前项和.
2、已知递增的等差数列的前项和为，，，，成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）已知，求数列的前项和.
【题型十】 求和难点7：指数型裂项为“和”以相消
【典例分析】
已知数列满足，且.
（1）证明：数列为等比数列；
（2）设，记数列的前项和为，若对任意的，恒成立，求的取值范围.
【提分秘籍】
基本规律
授课时，注意讲清楚裂项凑配的原理。如果学生接受难度大，可以逆向思维：反解代入
【变式演练】
1.已知数列满足.
（1）设，求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和；
（3）记，求数列的前项和.
【题型十一】求和难点8：无理根式型裂项
【典例分析】
已知数列的前项和满足，且.
（1）求证：数列是常数数列；
（2）设，为数列的前项和，求使成立的最小正整数的值.
【提分秘籍】
基本规律
【变式演练】
1.如图所示，在的图像下有一系列正三角形，记的边长为，.
（1）求数列，的通项公式；
（2）若数列满足，证明：.
2、在①，，成等差数列；②，，成等差数列；③中任选一个，补充在下列问题中，并解答.在各项均为正数等比数列中，前项和为，已知，且______.
（1）求数列通项公式；
（2）数列的通项公式，，求数列的前项和.
【题型十二】 求和难点9：三项积式裂项相消
【典例分析】
已知数列满足，，.
（1）若.①求数列的通项公式；
②证明：对， .
【提分秘籍】
基本规律
属于比较难的题型，做复习参考。一般情况下，可如下公式裂项：
【题型十三】 求和难点10：先放缩后裂项
【典例分析】
已知数列的前n项和为，，且对任意正整数n，都有，数列满足．
（1）求数列，的通项公式；
（2）求证：．
【提分秘籍】
基本规律
先放缩后裂项，属于2010年课改之前题型，2010新课标逐渐淘汰。2019年新高考实行后，结合2021年新课标乙卷数列大题的位置后移，难度增加，所以今年开始二轮复习备考，适当的增加这方面题型的扩展了解。授课时，要讲清楚，放缩的目的是为了“求和”，这也是凑配放缩形式的目标。
【变式演练】
1.已知数列的前n项和为，，且当时，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，证明：.
2、数列中，，，且.
令，将用表示，并求通项公式；
令，求证：.
【题型十四】 求和难点11：利用组合数公式裂项求和（理科）
【典例分析】
已知为数列的前项和，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，求证：.
【题型十五】 求和难点12：分段数列求和
【典例分析】
已知等差数列的前项和为，数列为正项等比数列，且，，，.
（1）求数列和的通项公式；
（2）若，设的前项和为，求.
【提分秘籍】
基本规律
1.分奇偶各自新数列求和
2.要注意处理好奇偶数列对应的项：
（1）可构建新数列；（2）可“跳项”求和
【变式演练】
1.已知为等差数列，为等比数列，．
（Ⅰ）求和的通项公式；
（Ⅱ）记的前项和为，求证：；
（Ⅲ）对任意的正整数，设求数列的前项和．
2.设是等差数列，是等比数列.已知，，，.
（1）求和的通项公式；
（2）数列满足，设数列的前项和为，求.
模拟题
1.已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且b2=3，b3=9，a1=b1，a14=b4.
（1）求{an}的通项公式；
（2）设cn=an+bn，求数列{cn}的前n项和.
2.已知等差数列中，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）记数列的前项和为，证明：.
3.正项数列的前n项和Sn满足： (1)求数列的通项公式；
(2)令，数列{bn}的前n项和为Tn，证明：对于任意的n∈N*，都有Tn＜ .
4.已知等比数列的前n项和为（），满足，，成等差数列，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和.
5.已知正项数列满足：，，其中是数列的前项和．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，证明：．
6.已知等差数列的公差为2，前项和为，且成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前项和．
7.已知是各项都为正数的数列，其前项和为，且为与的等差中项．
（1）求证：数列为等差数列；
（2）设，求的前100项和．
8.已知是公比的等比数列，且满足，，数列满足：.
（1）求数列和的通项公式；
（2）令，求证：.
9.已知数列是首项为，公比为q的等比数列．
（1）求和：，；
（2）由（1）的结果归纳概括出关于正整数n的一个结论，并加以证明；
（3）设，是等比数列的前n项和，求：．
10.已知正项等比数列满足，，数列的前项和为，
（Ⅰ）求与的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列的前项和．

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