资源简介

18 基本不等式归类
【题型一】基础型
【典例分析】
在下列函数中,最小值是2的是
A. B. C. D.
【提分秘籍】
基本规律
1.基本公式
2.一正二定三相等。是均值成立的前提条件。
【变式演练】
1.已知关于x的不等式的解集为，则的最小值是______．
2.若都是正数，则的最小值为( ).
A.5 B.7 C.9 D.13
3.在区间[﹣2，4]上随机地取一个数x，使 恒成立的概率是（ ）
A． B． C． D．
【题型二】 “1”的代换型
【典例分析】
已知x，y均为正实数，且，则x+3y的最小值为__________
【提分秘籍】
基本规律
“1”代换是基本型，要注意
1.一正二定三相等
2.见分子想分母，见分子想分子。
【变式演练】
1.已知，，，则的最小值为（　　）
A．20 B．24 C．25 D．28
2.已知，，，则的最小值为（ ）
A．13 B．19 C．21 D．27
3.已知正实数，b满足＋b＝1，则的最小值为_____
【题型三】 “和”与“积”互消型
【典例分析】
已知x、y都是正数，且满足，则的最大值为_________．
【提分秘籍】
基本规律
1.有“和”、“积”无常数，可以同除，化回到“1”的代换型。如变式1
2.有“和”、“积”有常数求积型，可以借助基本不等式构造不等式求解，如典例分析
3..有“和”、“积”有常数求和型，可以借助基本不等式构造不等式求解，如变式2
授课时，注意这类求和时，基本所求和与原式和系数“一致”，不一致，则可以用反解代入消参等方法
【变式演练】
1.已知，，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2.已知，且，则的最小值为___________．
3.已知，，，则（ 多选题 ）
A．的最大值为2 B．的最小值为4
C．的最小值为3 D．的最小值为
【题型四】 以分母为主元构造型
【典例分析】
已知非负数满足，则的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．10 D．16
【提分秘籍】
基本规律
构造分母型：
1.以分母为主元构造，对于普通学生，也可以直接分母换元，变化后为“1”的代换，如典例分析
2.构造过程中，分子会有分母参数的变化，可以分离常数后再构造分母，如变式2
3.变式3是三项构造，且无条件等式。
【变式演练】
1.已知，且，则的最小值为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．
2.已知正数、满足，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
3.设，则的最小值为（ ）
A． B． C．4 D．
【题型五】 构造分母：待定系数
【典例分析】
已知正实数，满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【提分秘籍】
基本规律
特征：条件等式和所求式子之间变量系数“不一致”
方法：直观凑配或者分母换元
【变式演练】
1.知正实数、满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2.已知，，，则取到最小值为 ．
【题型六】 分子含参型：分离分子型
【典例分析】
若，则的最小值为___________.
【提分秘籍】
基本规律
1.分离分子原理题，如典例分析
2.分子二次型换元分离，如变式2
3.分子二次型凑配构造分离，如变式3
【变式演练】
1.已知正实数满足，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
2.若，且，则的最小值为_________
3.若正实数x，y满足2x+y=2，则的最小值是_____．
【题型七】 反解代入型:消元法
【典例分析】
已知正数，满足，则的最大值为______．
【提分秘籍】
基本规律
条件等式和所求等式之间互化难以实现，可以借助反解代入消元，再重新构造。
【变式演练】
1.已知，，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2.若正数，满足，则的最小值是______，此时______.
3.若正实数满足，则的最小值为___________.
【题型八】 因式分解型
【典例分析】
非负实数满足，则的最小值为___________.
【提分秘籍】
基本规律
特征：条件式子复杂，一般有一次和二次（因式分解展开就是一次和二次），可能就符合因式分解原理
【变式演练】
1.已知，且，则的最小值等于_______．
2.已知，且，则的最小值是___．
3.已知，且，则的最小值等于_______．
【题型九】 均值用两次
【典例分析】
是不同时为0的实数，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【提分秘籍】
基本规律
两次均值，逐次消去，取等条件一致
【变式演练】
1.设正实数满足，不等式恒成立，则的最大值为 （ ）A． B． C． D．
2.已知，，则的最小值为___________.
3.已知正实数，，满足，则的最小值为______.
【题型十】 换元型
【典例分析】
已知实数x,y满足方程x2+y2+2x2y=0，则|x|+|y|的最大值为
A.2 B.4 C. D.
【提分秘籍】
基本规律
1.二次配方型，可以三角换元
2.和前边分母构造换元型一样，可以代数换元，如变式1
3.齐次分式同除型，可以代数换元，如变式3
【变式演练】
1.若，且，则的最小值为_____
2.已知，，则的最小值为____.
3.已知为正实数，则的最小值为_________.
【题型十一】 “和”与所求和系数不一致型
【典例分析】
1、已知，，且，则的最小值为
A． B． C．5 D．9
【提分秘籍】
基本规律
1.可以简单的反解代入消去，如典例分析
2.可以整体配凑构造（换元），如变式1
3.可以“无中生有”构造消去，如变式2
4.也可以因式分解，参考专题八
【变式演练】
1.若正实数，满足，则的最小值是__________．
2.
3.
【题型十二】 “均值裂项”凑配型
【典例分析】
已知实数，，不全为，则的最小值是___，最大值是___．
【提分秘籍】
基本规律
利用轮换和对称特征，适当的裂项构造均值。
【变式演练】
1.不等式对任意正数x，y，z恒成立，则a的最大值是__________．
2.已知实数满足，则实数的取值范围是_________．
3.已知，，，且，则的最小值为___________．
【题型十三】 整体化同乘方程型
【典例分析】
已知实数，满足，且.则的最大值为_____．
【提分秘籍】
基本规律
求谁设谁，构造方程用均值
【变式演练】
1.已知正数满足，则的最大值为________．
已知为正数，且，则的最大值为 ．
【题型十四】 三元最值型
【典例分析】
已知实数满足，则的取值范围是
A． B． C． D．
【变式演练】
1.若实数、、，且，则的最小值为
A． B． C． D．
2.已知，且，则的最大值是_______，的最大值是________．
3.若正实数满足，则的最大值为________.
【题型十五】 恒成立求参数型
【典例分析】
对任意正实数不等式恒成立，则（ ）
A．实数有最小值1 B．实数有最大值1
C．实数有最小值 D．实数有最大值
【变式演练】
1.设正实数满足，不等式恒成立，则的最大值为 （ ）
A． B． C． D．
2.正数满足若不等式对恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3.设都是正数，且使，求实数的最大值.
【题型十六】 超难压轴小题
【典例分析】
设为正实数，若则的取值范围是__________．
【变式演练】
1.若，均为正实数，则的最小值为_______.
2.已知，则的最小值为________．
3.已知，则的最小值为__________．
模拟题
1.已知正实数，满足，则的最小值为（ ）
A．4 B．6 C．9 D．10
2.已知，，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3.已知，且，则的最小值为（ ）
A．4 B．8 C．7 D．6
4.、设，且，则的最小值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5.若实数x，y满足x＞y＞0，且＋＝1，则x＋y的最小值为______．
6.已知的最小值为 。
7.已知正数满足，则的最大值是（ ）
A． B． C．1 D．
8.若实数x，y满足，且，则的最小值是_______________.
9.已知，则的 (　　)
A． 最大值为 B． 最小值为 C． 最大值为 D． 最小值为
10.知，，，则＋的最小值为____．
11.若，则的最小值为____________．
12.已知实数x,y满足，则的取值范围是__ _
13.已知，且满足，则的最小值为
14.已如，则的最小值为______.
15.若实数满足，则的最大值为________.18 基本不等式归类
目录
一、热点题型归纳 1
【题型一】 基础型 1
【题型二】 “1”的代换型 2
【题型三】 “和”与“积”互消型 3
【题型四】 以分母为主元构造型 5
【题型五】 构造分母：待定稀释型 6
【题型六】 分离分子型 8
【题型七】 反解代入型消元法 9
【题型八】 因式分解 10
【题型九】 均值用两次 11
【题型十】 换元型题 13
【题型十一】“和”与索取和系数不一致型 14
【题型十二】“均值裂项”凑配型 15
【题型十三】整体化同乘方程型 17
【题型十四】三元最值型 18
【题型十五】恒成立求参数型 19
【题型十六】超难压轴小题 20
二、最新模考题组练 22
【题型一】基础型
【典例分析】
在下列函数中,最小值是2的是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】A.,当时,不符合题意;
B.===,当时取等号,不符合题意;
C.==,∵,∴,∴,∴不符合题意;
D.,当且仅当时取等号,符合题意.故选D．
【提分秘籍】
基本规律
1.基本公式
2.一正二定三相等。是均值成立的前提条件。
【变式演练】
1.已知关于x的不等式的解集为，则的最小值是______．
【答案】
【详解】由于，故一元二次方程的判别式：，
由韦达定理有：，则：，
当且仅当时等号成立.综上可得：的最小值是.
2.若都是正数，则的最小值为( ).
A.5 B.7 C.9 D.13
【答案】C
【详解】因为都是正数，所以，（当且仅当时取等号），故本题选C.
3.在区间[﹣2，4]上随机地取一个数x，使 恒成立的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】恒成立，即，设，则，当且仅当，即时，等号成立，所以问题转化为，即，所以在区间上随机地取一个数时，使恒成立的概率是，故选择A.
【题型二】 “1”的代换型
【典例分析】
已知x，y均为正实数，且，则x+3y的最小值为__________
【详解】x，y均为正实数,, 当时等号成立.故答案为：2.
【提分秘籍】
基本规律
“1”代换是基本型，要注意
1.一正二定三相等
2.见分子想分母，见分子想分子。
【变式演练】
1.已知，，，则的最小值为（　　）
A．20 B．24 C．25 D．28
【答案】C
【分析】凑配出积为定值后用基本不等式求最小值．
【详解】由题意，当且仅当，即时等号成立．故选：C．
2.已知，，，则的最小值为（ ）
A．13 B．19 C．21 D．27
【答案】D
【分析】利用基本不等式“1”的妙用求最小值.
【详解】，当且仅当，即，b＝6时，等号成立，故的最小值为27。故选：D
3.已知正实数，b满足＋b＝1，则的最小值为_____
【详解】因为，且都是正实数.所以当且仅当时，等号成立.所以的最小值为
【题型三】 “和”与“积”互消型
【典例分析】
已知x、y都是正数，且满足，则的最大值为_________．
【答案】18.
【分析】
根据基本不等式，得到关于的不等式，解得的范围，从而得到的范围，求出答案.
【详解】因为，且，所以，（当且仅当时，取等号）
即，解得，所以得，
所以的最大值是.此时，.故答案为：18.
【提分秘籍】
基本规律
1.有“和”、“积”无常数，可以同除，化回到“1”的代换型。如变式1
2.有“和”、“积”有常数求积型，可以借助基本不等式构造不等式求解，如典例分析
3..有“和”、“积”有常数求和型，可以借助基本不等式构造不等式求解，如变式2
授课时，注意这类求和时，基本所求和与原式和系数“一致”，不一致，则可以用反解代入消参等方法
【变式演练】
1.已知，，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意得，，再根据基本不等式乘“”法即可得最小值.
【详解】由题可知，乘“”得，当且仅当时，取等号，则的最小值为.故选：A
2.已知，且，则的最小值为___________．
【答案】6
【分析】利用基本不等式有，再利用一元二次不等式的解法，由求解.【详解】
由，得，又，，
，即，解得：或，
又，，当且仅当，即时取等号．故答案为：6．
3.已知，，，则（ 多选题 ）
A．的最大值为2 B．的最小值为4
C．的最小值为3 D．的最小值为
【答案】ABD
【详解】对于A选项：由均值不等式得，则，
令，，解得，即，，
当且仅当，时，等号成立，故A正确；对于B选项：由均值不等式得，又，
∴，解得，（舍），
当且仅当，时，等号成立，故B正确；
对于C，D选项：令，，则，
则可化为，整理，
∵此方程一定有解，∴，即，解得，（舍），故C错误，D正确.
故选：ABD.
【题型四】 以分母为主元构造型
【典例分析】
已知非负数满足，则的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．10 D．16
【答案】B
【分析】根据基本不等式，结合“1”的妙用即可得解.
【详解】由，可得，
当且仅当取等号，故选：B
【提分秘籍】
基本规律
构造分母型：
1.以分母为主元构造，对于普通学生，也可以直接分母换元，变化后为“1”的代换，如典例分析
2.构造过程中，分子会有分母参数的变化，可以分离常数后再构造分母，如变式2
3.变式3是三项构造，且无条件等式。
【变式演练】
1.已知，且，则的最小值为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．
【答案】A
【详解】，，又，且，，
当且仅当，解得，时等号成立，故的最小值为9．故选：A．
2.已知正数、满足，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值.
【详解】已知正数、满足，则，
当且仅当时，等号成立，因此，的最小值是.故选：C.
3.设，则的最小值为（ ）
A． B． C．4 D．
【答案】A
【分析】原式可变形为，然后根据基本不等式即可求解
【详解】，，
，当且仅当，
即时取等号故选：A
【题型五】 构造分母：待定系数
【典例分析】
已知正实数，满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
将4x+3y=4变形为含2x+1和3y+2的等式,即2(2x+1)+(3y+2)=8,再将式子换元,由基本不等式换“1”法求解即可
【详解】
由正实数x,y满足4x+3y=4,可得2(2x+1)+(3y+2)=8.令a=2x+1,b=3y+2,可得2a+b=8.
所求
当且仅当时取等号，所以答案为.故选:A.
【提分秘籍】
基本规律
特征：条件等式和所求式子之间变量系数“不一致”
方法：直观凑配或者分母换元
【变式演练】
1.知正实数、满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
利用待定系数法可得出，与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值.
【详解】
设，可得，解得，
所以，
.当且仅当时，等号成立，
因此，的最小值为.故选：A.
2.已知，，，则取到最小值为 ．
【答案】．
【解析】试题分析：令，∴，∴
，当且仅当时，等号成立，
即的最小值是．
【题型六】 分子含参型：分离分子型
【典例分析】
若，则的最小值为___________.
【答案】
【详解】因为，则，
，
当且仅当，即当时，等号成立，
因此，的最小值为.故答案为：.
【提分秘籍】
基本规律
1.分离分子原理题，如典例分析
2.分子二次型换元分离，如变式2
3.分子二次型凑配构造分离，如变式3
【变式演练】
1.已知正实数满足，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据已知等式把代数式进行变形为，再结合已知等式，利用基本不等式进行求解即可.
【详解】，因为，
所以，因为，所以，
因此，
因为是正实数，所以，（当且仅当时取等号，即时取等号，即时取等号），故选：A
2.若，且，则的最小值为_________
【答案】
【分析】令，可得，化简可得，再结合基本不等式可求解.
【详解】令，则，则，即，
则
，当且仅当，即时等号成立，
故的最小值为.故答案为：.
3.若正实数x，y满足2x+y=2，则的最小值是_____．
【答案】
【题型七】 反解代入型:消元法
【典例分析】
已知正数，满足，则的最大值为______．
【答案】
【详解】由，得，由，得，所以
，当且仅当，即时等号成立，、
所以的最大值为.故答案为：.
【提分秘籍】
基本规律
条件等式和所求等式之间互化难以实现，可以借助反解代入消元，再重新构造。
【变式演练】
1.已知，，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由已知得，所以，记，可得，然后利用基本不等式可得答案.
【详解】因为，所以，因为，，所以，得，
所以，记，所以，
所以，且，所以
，当且仅当即等号成立，此时 ， .
2.若正数，满足，则的最小值是______，此时______.
【答案】2 2
【分析】先由求出，再根据基本不等式求解即可．
解：，，，因为、，所以，即
，
即，当且仅当，即时取等号，故答案为：2；2．
3.若正实数满足，则的最小值为___________.
【答案】
【详解】由且知：，∴当且仅当时等号成立，即时等号成立.故答案为：
【题型八】 因式分解型
【典例分析】
非负实数满足，则的最小值为___________.
【答案】
【分析】根据题意化简得,结合基本不等式求得，即可求得的最小值.
【详解】由题意，非负实数满足，可得,
又由，当且仅当，即时等号成立，
所以，即，所以或，所以，
即时，的最小值为.故答案为：.
【提分秘籍】
基本规律
特征：条件式子复杂，一般有一次和二次（因式分解展开就是一次和二次），可能就符合因式分解原理
【变式演练】
1.已知，且，则的最小值等于_______．
【答案】
【详解】，且，即有 ，
即 ，可得 ，
当且仅当 时，上式取得等号，即有的最小值为.故答案为：
2.已知，且，则的最小值是___．
【答案】
【解析】原式可变形为，两边同时乘以2，得，所以，即x+2y，当且仅当时等号成立。填
3.已知，且，则的最小值等于_______．
【答案】
【详解】，且，即有 ，
即 ，可得 ，
当且仅当 时，上式取得等号，即有的最小值为.故答案为：
【题型九】 均值用两次
【典例分析】
是不同时为0的实数，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】对原式变形，两次利用基本不等式，求解即可.
【详解】因为a，b均为正实数，则
，
当且仅当，且取等，即取等号，
即则的最大值为，故选：A．
【提分秘籍】
基本规律
两次均值，逐次消去，取等条件一致
【变式演练】
1.设正实数满足，不等式恒成立，则的最大值为 （ ）A． B． C． D．
【详解】．A
设，则
所以
当且仅当即时取等号所以的最小值是，则的最大值为.故选A
2.已知，，则的最小值为___________.
【答案】2
【分析】由可得答案.
【详解】因为，，所以，，
当且仅当时等号成立，所以最小值为2.故答案为：2.
3.已知正实数，，满足，则的最小值为______.
【答案】
【详解】因为，即，所以
，上述两个不等式均是当且仅当时取等号，所以的最小值为.故答案为：．
【题型十】 换元型
【典例分析】
已知实数x,y满足方程x2+y2+2x2y=0，则|x|+|y|的最大值为
A.2 B.4 C. D.
【答案】B详解：将化为，令，
则，
又，所以，即．
【提分秘籍】
基本规律
1.二次配方型，可以三角换元
2.和前边分母构造换元型一样，可以代数换元，如变式1
3.齐次分式同除型，可以代数换元，如变式3
【变式演练】
1.若，且，则的最小值为_____
【详解】由a2+2ab﹣3b2＝1得（a+3b）（a﹣b）＝1，令x＝a+3b，y＝a﹣b，则xy＝1且a，b，
所以a2+b2＝（）2+（）2，当且仅当x2，y2时取等．故答案为．
2.已知，，则的最小值为____.
【答案】
【详解】因为，所以令，
解得，所以
.因为，所以的最小值为.
3.已知为正实数，则的最小值为_________.
【答案】
【详解】原式，令，则上式变为，当且仅当时等号成立，故最小值为.
【题型十一】 “和”与所求和系数不一致型
【典例分析】
1、已知，，且，则的最小值为
A． B． C．5 D．9
【详解】由得，解得.所以，当且仅当，即时等号成立.故本小题选A.
【提分秘籍】
基本规律
1.可以简单的反解代入消去，如典例分析
2.可以整体配凑构造（换元），如变式1
3.可以“无中生有”构造消去，如变式2
4.也可以因式分解，参考专题八
【变式演练】
1.若正实数，满足，则的最小值是__________．
【答案】
【解析】根据题意，若，则
；又由，则有，则；当且仅当时，等号成立；
即的最小值是，故答案为.
2.
3.
【题型十二】 “均值裂项”凑配型
【典例分析】
已知实数，，不全为，则的最小值是___，最大值是___．
【答案】
【分析】根据不等式求最值.
【详解】由，当且仅当时取等号，
得，当且仅当时取等号；
又，当且仅当，时等号成立.
故答案为：，.
【提分秘籍】
基本规律
利用轮换和对称特征，适当的裂项构造均值。
【变式演练】
1.不等式对任意正数x，y，z恒成立，则a的最大值是__________．
【答案】1
【分析】由条件转化为求的最大值，再解不等式，即可求解.
【详解】因为，当时取等号，所以
的最大值是，即，
解得，所以a的最大值是1．
故答案为：
2.已知实数满足，则实数的取值范围是_________．
【答案】
【分析】由题设条件，化简得，，再利用，得到不等式，即可求解．
【详解】由题意，实数满足，可得，
由，可得，
所以，
又由，得，
即，解得．
故答案为：．
3.已知，，，且，则的最小值为___________．
【答案】
由，先将变形为，运用基本不等式可得最小值，再求的最小值，运用函数单调性即可得到所求值.
【详解】解：因为，，，且，
所以
因为，所以，
当且仅当时，取等号，
所以
。令，则，
令，则，所以函数在上单调递增，
所以所以
则所求最小值为故答案为：
【题型十三】 整体化同乘方程型
【典例分析】
已知实数，满足，且.则的最大值为_____．
【答案】9
【分析】将已知等式变形为 ，对等式两边同乘，构造关于所求式子的不等式，进行求解即可.
【详解】由，得 ，
则
，当且仅当，
即时成立，令，则有，
解得，故的最大值为.故答案为9.
【提分秘籍】
基本规律
求谁设谁，构造方程用均值
【变式演练】
1.已知正数满足，则的最大值为________．
【答案】
【详解】试题分析：由已知得，，变形为，
因为，由基本不等式得，，故，解得.
2.已知为正数，且，则的最大值为 ．
【答案】
试题分析：因为，所以，所以，即，令，则
，而，所以，即，故应填．
【题型十四】 三元最值型
【典例分析】
已知实数满足，则的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】试题分析：
即，
由，，，
所以，
即，当且仅当时取等号，
综上所述，的取值范围是.
故答案选
【变式演练】
1.若实数、、，且，则的最小值为
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为，所以 ，所以=，当且仅当时，等号成立. 故选D.
点睛：本题主要考查均值不等式的灵活应用，关键是对已知等式分解为.
2.已知，且，则的最大值是_______，的最大值是________．
【答案】 10
【分析】直接利用均值不等式得到答案；变换得到，代入数据计算得到答案.
【详解】根据均值不等式：，，，
故，当且仅当时取等号；
又因为，，
，
令，即，
故此时有，即，
当且仅当时取等号．
故答案为：10；.
3.若正实数满足，则的最大值为________.
【答案】
由题设，由结合基本不等式可得，从而可得的最大值.
【详解】因为，所以，
而，故，所以，
当且仅当等号成立，故的最大值为.
故答案为：.
【题型十五】 恒成立求参数型
【典例分析】
对任意正实数不等式恒成立，则（ ）
A．实数有最小值1 B．实数有最大值1
C．实数有最小值 D．实数有最大值
【答案】C
【分析】化简得到，考虑和两种情况得到，根据均值不等式得到最值得到答案.
【详解】，故，，
当时，不等式恒成立；
当时，，
，时等号成立，，故，故.
故选：C.
【变式演练】
1.设正实数满足，不等式恒成立，则的最大值为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设，求出的值，代入中化简，利用基本不等式求出结果.
【详解】设，则
所以
当且仅当即时取等号
所以的最小值是，则的最大值为.故选A
2.正数满足若不等式对恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
当且仅当时取等号
因此不等式对恒成立，即对恒成立，
令，则，即， 故选：C
3.设都是正数，且使，求实数的最大值.
【答案】.
【详解】由题意得．，．，，
．．∴．当且仅当时，k的最大值为.
【题型十六】 超难压轴小题
【典例分析】
设为正实数，若则的取值范围是__________．
【答案】
【分析】根据，可得，进而，有，而，令，得到，再用导数法求解，
【详解】因为，所以，
所以，所以，所以，
令，，所以，
当时，，当时，所以当时，取得最大值，
又，所以取值范围是，
故答案为：
【变式演练】
1.若，均为正实数，则的最小值为_______.
【答案】
【分析】将所求式子变为，利用基本不等式可求得，则可知当时，可求得最小值.
【详解】当，即时
取得最小值为：
本题正确结果：成立的条件.
2.已知，则的最小值为________．
【答案】
【详解】试题分析：，，
令，则，令，可得，所以在上单调递增，在上单调递增减；所以，所以得最小值为．
3.已知，则的最小值为__________．
【答案】
【详解】设，
则原式
，
以上两个等号当且仅当且，即时同时成立．
所以所求的最小值为6．答案：6
模拟题
1.已知正实数，满足，则的最小值为（ ）
A．4 B．6 C．9 D．10
【详解】∵，，，∴，当且仅当
时，即时取“”.
2.已知，，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将变形为，再用基本不等式和解不等式即可.
【详解】因为，，且，所以，所以，
所以，即当且仅当，即，时等号成立，故的最小值．
故选：B.
3.已知，且，则的最小值为（ ）
A．4 B．8 C．7 D．6
【答案】D
【分析】根据条件利用均值不等式构造不等式，解二次不等式即可求解.
【详解】,
,当且仅当，即时等号成立，
解得或（舍去），的最小值为6故选：D
4.、设，且，则的最小值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【详解】D因为，∴，又由，所以，
当且仅当，即，时等号成立，所以的最小值是，故选D.
5.若实数x，y满足x＞y＞0，且＋＝1，则x＋y的最小值为______．
【答案】25/3
6.已知的最小值为 。
【答案】3
【解析】
试题分析：根据题意，由于
则根据均值不等式可知，故可知答案为.
7.已知正数满足，则的最大值是（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【分析】已知等式把代数式进行变形为，再结合已知等式，利用基本不等式进行求解即可.
【详解】，因为，所以，
因此
，（当且仅当时取等号，即时取等号，即时取等号），所以.
故选：B.
8.若实数x，y满足，且，则的最小值是_______________.
【答案】4
解：，满足，且，则，当且仅当且，即，时取等号，此时的最小值4．故答案为：4．
9.已知，则的 (　　)
A． 最大值为 B． 最小值为 C． 最大值为 D． 最小值为
【答案】A
【详解】由题意知，则，又由，
当且仅当，即时等号成立，所以最大值为，故选A.
10.知，，，则＋的最小值为____．
【答案】
【分析】将原等式化为，从而可得，利用换元法和基本不等式可求最值.
【详解】可化为，
因为，，故，故，所以.
设，故且，故
又，
因为，故即，当且仅当时等号成立，
故的最小值为4，故的最小值为.故答案为：.
11.若，则的最小值为____________．
【答案】
【详解】，，当且仅当且，即时等号成立，所以的最小值为.故答案为：.
12.已知实数x,y满足，则的取值范围是__ _
答案：
13.已知，且满足，则的最小值为
【答案】试题分析：∵，且满足，∴，
=，
当且仅当时，的最小值为。
14.已如，则的最小值为______.
【答案】7
【分析】根据条件换元与放缩，再根据基本不等式求最值.
【详解】设，则，
所以
当且仅当时取等号，即的最小值为
15.若实数满足，则的最大值为________.
【答案】
已知条件可化为，故可设，从而目标代数式可化为，利用基本不等式可求其最大值.
【详解】由，得，设，其中.
则，从而，
记，则，不妨设，则,
当且仅当，即时取等号，即最大值为.故答案为：.

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