资源简介

考 前 必 背
一、集合
元素与集合 集合中元素的特性:确定性、互异性、无序性
元素与集合的关系是属于或不属于关系,分别用符号∈或 表示
集合常用的 表示方法 列举法、描述法
常用数集 及其记法 自然数集N;正整数集N+或N*;整数集Z;有理数集Q;实数集R;正实数集R+
集合的 基本关系 子集:若对任意x∈A,都有x∈B,则A B或B A
集合相等:若A B,且B A,则A=B
真子集:若A B,且A≠B,则A B或B A
结论:若有限集合A中有n(n∈N+)个元素,则A的子集有2n个,真子集有(2n-1)个
集合的 基本运算 交集:A∩B={x|x∈A,且x∈B}
并集:A∪B={x|x∈A,或x∈B}
补集: UA={x|x∈U,且x A}
二、必要条件与充分条件
命题真假 “若p,则q”是真命题 “若p,则q”是假命题
推出关系 p q p /q
条件关系 p是q的充分条件,q是p的必要条件 p不是q的充分条件,q不是p的必要条件
三、充要条件
一般地,如果p q,且q p,那么称p是q的充分且必要条件,简称p是q的充要条件,记作p q.
四、含有量词的命题的否定
命题的类型 命题的符号表示 命题否定的符号表示 命题否定的类型
全称量词命题 p: x∈M,x具有性质p(x) p: x∈M,x不具有性质p(x) 存在量词命题
存在量词命题 p: x∈M,x具有性质p(x) p: x∈M,x不具有性质p(x) 全称量词命题
五、不等式的性质
1.(传递性)a>b,b>c a>c.
2.(可加性)a>b a+c>b+c.
3.(可乘性)a>b,c>0 ac>bc;a>b,c<0 ac4.(同向可加性)a>b,c>d a+c>b+d.
5.(可乘性)a>b>0,c>d>0 ac>bd;a>b>0,c6.(可乘方性与可开方性)a>b>0 an>bn(n∈N+,n≥2);
a>b>0 >(n∈N+,n≥2).
六、基本不等式及其应用
1.基本不等式:≥(a≥0,b≥0),当且仅当a=b时,等号成立.
2.利用基本不等式求最值:
已知x>0,y>0,则
(1)若x+y=s(s为定值),则当且仅当x=y时,xy取得最大值.(简记:和定积最大)
(2)若xy=p(p为定值),则当且仅当x=y时,x+y取得最小值2.(简记:积定和最小)
七、一元二次不等式与相应函数、方程的关系
设y=ax2+bx+c(a>0),判别式Δ=b2-4ac
判别式 Δ>0 Δ=0 Δ<0
方程y= 0的解 x1,x2 (x1函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象
不 等 式 的 解 集 y>0 {x|xx2} R
y<0 {x|x1八、函数的概念与表示
1.函数的三要素
函数的三要素 意义
定义域 在函数y=f(x),x∈A中,集合A称为函数的定义域,x称为自变量
值域 集合{f(x)|x∈A}称为函数的值域,与x值对应的y值称为函数值
对应关系 某种确定的对应关系f(在定义域下求值域的运算法则)
2.函数的表示法:解析法、列表法、图象法.
九、函数的单调性
增函数 减函数
定义 设函数y=f(x)的定义域是D,如果对于任意的x1,x2∈D,当x1f(x1)f(x2),那么就称函数y=f(x)是减函数
图象 描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的
十、函数的奇偶性
奇偶性 定义 图象特点
奇函数 设函数f(x)的定义域是A,如果对任意的x∈A,有-x∈A,且f(-x)=-f(x),那么称函数f(x)为奇函数 关于原点对称
偶函数 设函数f(x)的定义域是A,如果对任意的x∈A,有-x∈A,且f(-x)=f(x),那么称函数f(x)为偶函数 关于y轴对称
十一、幂函数
定义 形如y=xα(α为常数)的函数,即底数是自变量、指数是常数的函数
常见的五种 幂函数的 图象
性质 幂函数在(0,+∞)上都有定义
当α>0时,图象都过点(1,1)和(0,0),且在(0,+∞)上单调递增
当α<0时,图象都过点(1,1),且在(0,+∞)上单调递减
十二、指数运算与指数函数
1.实数指数幂的运算性质(a>0,b>0,α,β∈R)
(1)aα·aβ=aα+β;
(2)(aα)β=aαβ;
(3)(ab)α=aαbα.
2.指数函数的图象和性质
a>1 0图象
性 质 定义域 R
值域 (0,+∞)
过定点 (0,1)
函数值 的变化 当x>0时,y>1; 当x<0时,00时,01
单调性 在R上是增函数. 当x值趋近于正无穷大时,函数值趋近于正无穷大; 当x值趋近于负无穷大时,函数值趋近于0 在R上是减函数. 当x值趋近于正无穷大时,函数值趋近于0; 当x值趋近于负无穷大时,函数值趋近于正无穷大
十三、对数运算与对数函数
1.对数的概念与运算
概念 一般地,如果a(a>0,且a≠1)的b次幂等于N,即ab=N,那么数b称为以a为底N的对数,记作logaN=b.其中a叫作对数的底数,N叫作真数
性质 对数式与指数式的互化:ax=N x=logaN(a>0,且a≠1)
loga1=0,logaa=1,=N,logaaN=N(a>0,且a≠1)
运算 性质 若a>0,且a≠1,M>0,N>0,b∈R,则 (1)loga(M·N)=logaM+logaN; (2)loga=logaM-logaN; (3)logaMb=blogaM
换底 公式 logab=(a>0,b>0,c>0,且a≠1,c≠1), 推论:loNn=logbN,logbN=(N>0,b>0,m≠0,且N≠1,b≠1)
2.对数函数的图象和性质
a>1 0图象
定义域 (0,+∞)
值域 R
过定点 图象过定点(1,0),即x=1时,y=0
单调性 在定义域(0,+∞)上是增函数. 当x值趋近于正无穷大时,函数值趋近于正无穷大;当x值趋近于0时,函数值趋近于负无穷大 在定义域(0,+∞)上是减函数. 当x值趋近于正无穷大时,函数值趋近于负无穷大;当x值趋近于0时,函数值趋近于正无穷大
函数值 特点 x∈(0,1)时,y∈(-∞,0); x∈[1,+∞)时,y∈[0,+∞) x∈(0,1)时,y∈(0,+∞); x∈[1,+∞)时,y∈(-∞,0]
对称性 函数y=logax的图象与函数y=x的图象关于x轴对称
补充性质 设y1=logax,y2=logbx,其中a>1,b>1, (1)当x>1时,“底大图低”,即若a>b,则y1b,则y1>y2
十四、函数的零点
概念 使得f(x0)=0的数x0称为方程f(x)=0的解,也称为函数f(x)的零点
方程的根与函数 零点的关系 方程f(x)=0有实数根 函数y=f(x)有零点 函数y=f(x)的图象与x轴有交点
零点存在定理 若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图象是一条连续的曲线,并且在区间端点的函数值一正一负,即f(a)·f(b)<0,则在开区间(a,b)内,函数y=f(x)至少有一个零点,即在区间(a,b)内相应的方程f(x)=0至少有一个解
十五、二分法求函数y=f(x)零点近似值的步骤
1.确定零点x0的初始区间[a,b],验证f(a)·f(b)<0,给定精确度ε.
2.求区间(a,b)的中点c.
3.计算f(c),并进一步确定零点所在的区间:
(1)若f(c)=0(此时x0=c),则c就是函数的零点;
(2)若f(a)·f(c)<0(此时x0∈(a,c)),则令b=c;
(3)若f(c)·f(b)<0(此时x0∈(c,b)),则令a=c.
4.判断是否达到精确度ε:若|a-b|<ε,则得到零点近似值(可以是[a,b]中的任意一个值);否则重复步骤2~4.
十六、抽样
简单随机抽样 一般地,从N(N为正整数)个不同个体构成的总体中,逐个不放回地抽取n(1≤n分层随机抽样 将总体按其属性特征分成互不交叉的若干类型(有时称作层),然后在每个类型中按照所占比例随机抽取一定的个体,这种抽样方法通常叫作分层随机抽样
十七、频率分布直方图
在频率分布直方图中,纵轴表示,数据落在各小组内的频率用小矩形的面积来表示,各小矩形的面积总和等于1.
十八、用样本估计总体的数字特征
1.样本的数字特征
平均数 x1,x2,…,xn的平均数是=(x1+x2+…+xn)
众数 一组数据中出现次数最多的数据
中位数 将一组数据按从小到大的顺序排列后,“中间”的那个数据
方差 s2=[(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2]
标准差 s=
2.分层随机抽样的均值与方差
(1)分层随机抽样的平均数:设样本中不同层的平均数分别为,,…,,相应权重分别为w1,w2,…,wn,则这个样本的平均数为w1+w2+…+wn.为了简化表示,引进求和符号,记作w1+w2+…+wn=wi.
(2)分层随机抽样的方差:设样本中不同层的平均数分别为,,…,,方差分别为,,…,,相应的权重分别为w1,w2,…,wn,则这个样本的方差为s2=wi[+(-)2],其中为这个样本的平均数.
3.百分位数:一般地,当总体是连续变量时,给定一个百分数p∈(0,1),总体的p分位数有这样的特点:总体数据中的任意一个数小于或等于它的可能性是p.
十九、随机事件的运算
定义 符号表示
交事件(积事件) 由事件A与事件B都发生所构成的事件,称为事件A与事件B的交事件(或积事件) A∩B(或AB)
并事件(和事件) 由事件A和事件B至少有一个发生(即A发生,或B发生,或A,B都发生)所构成的事件,称为事件A与事件B的并事件(或和事件) A∪B(或A+B)
互斥事件 不能同时发生的两个事件A与B称为互斥事件 A∩B=
对立事件 若A∩B= ,且A∪B=Ω,则称事件A与事件B互为对立事件,事件A的对立事件记作 A∪B=Ω,且A∩B=
二十、事件的概率运算
互斥事件的概率加法公式 概率乘法公式 古典概型
如果事件A和事件B是互斥事件,那么有P(A∪B)=P(A)+P(B) 若事件A与事件B相互独立,则P(AB)=P(A)P(B) P(A)=

展开更多......

收起↑