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切线放缩与割线放缩
【知识点讲解】
1、常见的放缩
(1)对数形式:,当且仅当时,等号成立.
(2)指数形式:,当且仅当时,等号成立.
进一步可得到一组不等式链：（且）
2、泰勒展开式
；
；
截取片段：
，当且仅当时,等号成立；
进而：当且仅当时,等号成立
3、关于的放缩
①切线放缩及其变形：；
②当时，；当时，；
③当时，；当时，；
④对数平均不等式：.
4、三角函数的放缩
（1）的放缩：当时，；当时，.
（2）的放缩：当时，.
【例题讲解】
【例1】（切线放缩）已知函数，，且曲线在处的切线方程为.
（1）求，的值；
（2）求函数在上的最小值；
（3）证明：当时，.
【答案】(1) (2) （3）见解析
【详解】（1）由题设得，∴， 解得，．
（2）由（1）知，，令函数，∴，
当时，，递减；当时，，递增；∴，即
∴当时，，且仅当时，
故在上单调递增，∴；
（3）由题要证：当时，，即证：，
因为，且曲线在处的切线方程为，
故可猜测：当且时，的图象恒在切线的上方．
下面证明：当时，，证明：设，，
则，令，，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
又，，，
所以，存在，使得，当时，；当，
故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．
又，∴，当且仅当时取等号．
故．
由（2）知，，故，∴，当且仅当时取等号．
所以，．
即．所以，，
即成立，当时等号成立.故：当时，，
方法二：要证，等价于，又，可转化为证明令，，
，因此当时，，单调递增；当时，，单调递减；有最大值，即恒成立，即当时，
【跟踪训练1】已知函数，曲线在处的切线方程为.
（1）求实数的值；
（2）且时，证明：曲线的图象恒在切线的上方；
（3）证明：不等式：.
【答案】（1），；（2）证明见解析；（3）证明见解析
【详解】（1），由曲线在处的切线方程为知：
解得，.
（2）由题意只需证：当且时，；
设，则，，易知在单调递增；且，，∴必定存在，使得，则在单调递减，在单调递增，其中，
，即在单调递减，在单调递增，，即当且时，
成立；所以当且时，曲线的图象在切线的上方.
（3）要证：，只需证.
由（2）知时，.
故只需证，即证，
设，则，易知在单调递减，
在单调递增，；即不等式：成立.
【例2】（割线放缩）已知函数（e为自然对数的底数）．
（1）求函数的零点，以及曲线在处的切线方程；
（2）设方程有两个实数根，求证：．
【答案】（1），切线方程为和；（2）证明见解析．
【详解】（1）由题意，函数，令，得，所以函数的零点，
又由，可得，，
所以曲线在处的切线方程为．
又由，所以曲线在处的切线方程为．
（2）由（1）知，令，即，解得，
当时，；当时，．
所以的单调递增区间为，，单调递减区间为，
由（1）知，当或时，；当时，．
下面证明：当时，．
当时，由，即，可得，
令，可得，所以在上单调递增，
所以对任意恒成立，当时，．
由，可得，记，不妨设，则，
所以，
要证，只需证，即证，
又因为，只需证，即，
因为，所以，所以只需证，
令，则．当时，，函数为单调递减函数；
当时，，函数为单调递增函数，
所以，所以，所以.
【跟踪训练2】已知函数（为自然对数的底数）.
（1）求函数的零点，以及曲线在其零点处的切线方程；
（2）若方程有两个实数根，求证：.
【答案】（1）零点为；；；（2）见解析.
【详解】（1）由，得或，所以函数的零点为，，
因为，所以，.又因为，
所以曲线在处的切线方程为，在处的切线方程为；
（2）证明：因为函数的定义为，，
令，则，所以即单调递减，
由，，
所以存在，使得在上单调递增，在上单调递减；
不妨设，且，，令，，
记，则，
令，则，所以单调递增，且，
故在单调递减，在单调递增，所以，即；
记，则，
所以单调递增，且，故在单减，在单增.
则，即；不妨设，
因为，且为增函数，所以.
由，得；同理，；
所以.
所以，所以.
【例3】（数列放缩）已知函数，.
(1)求函数的极值；
(2)若不等式在上恒成立，求a的取值范围；
(3)证明不等式：.
【答案】(1)极小值为，无极大值(2)(3)证明见解析
【解析】（1）由可得，此时单调递增；
由可得，此时单调递减；
所以当时，有极小值，极小值为，无极大值
（2）由不等式上恒成立，得，
因为，，
所以在上恒成立
设，则，由得
所以在上递减，在上递增，所以即，
所以
（3）证明：由（2）得在上恒成立，
令，则有 ，

，.
【跟踪训练3】已知函数.
(1)当时，讨论的单调性；
(2)当时，，求实数的取值范围；
(3)设，证明：
【答案】(1)在上递减，在上递增，(2)(3)见解析
【解析】（1）当时，，则，因为，
所以当时，，当时，，所以在上递减，在上递增，
（2）令，则，
由，得，因为，且时，，
所以在上不能单调递增，否则存在使得，所以当时，，
令，则，，
①当，即时，存在满足时，，
即，与矛盾，
②当时，，令，则，
当时，，当时，，所以在上递增，在上递减，
所以，所以，所以，
所以，满足题意，
所以实数的取值范围为
（3）令，则，
所以在上递增，所以，
所以，令，则，
所以，所以，所以，
所以，因为，，所以，
所以，
即.
【对点训练】
1．已知，，，且，
（1）当时，求证：；
（2）试确定一个正整数，使得当时，都有．
2．已知数列满足：，，求证：．
3．数列满足，是的前n项的和，．
（1）求；（2）证明：．
4．已知．
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）当时，证明对于任意的成立．
5．函数.
(1)当时，求函数的极值；
(2)当，且.
①证明：有两个极值点；
②证明：对任意的.
6．已知函数.证明：
(1)当，不等式恒成立；
(2)对于任意正整数，不等式恒成立（其中为自然常数）
7．已知函数，．
(1)当时，比较与2的大小；
(2)求证：，．
8．已知函数.
（1）求在处的切线方程；
（2）已知关于的方程有两个实根，，当时，求证：.
9．设函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）若关于的方程有两个实根，设为，（），证明：．
10．已知函数.
（Ⅰ）求在点处的切线方程；
（Ⅱ）已知在上恒成立，求的值.
（Ⅲ）若方程有两个实数根，且，证明：.
11．已知函数，设曲线在点处的切线方程为.
（1）求的解析式；
（2）证明：对定义域内任意，都有；
（3）当时，关于的方程有两个不等的实数根，证明：.
12．已知函数，曲线在点处的切线方程为.
(1)求，的值；
(2)证明：；
(3)若函数有两个零点，，证明：.
13．已知函数.
（1）求曲线在原点处的切线方程；
（2）若恒成立，求实数的取值范围；
（3）若方程有两个正实数根，求证：.
14．已知函数f(x)＝lnx﹣ax+1（a∈R）．
(1)求函数f(x)在区间[]上的最大值；
(2)证明：．
15．已知函数，为的导函数．
(1)若，证明：曲线与轴相切．
(2)证明：对于任意大于1的自然数，不等式恒成立．
16．已知a>0且函数.
(1)若，讨论的单调性；
(2)当时，，求a的取值范围；
(3)设，证明：.
17．设函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)证明：.
18．已知数列和满足，且对任意都有，．
(1)求数列和的通项公式；
(2)证明：．
19．已知．
(1)令，若有两个零点，求实数k的取值范围；
(2)证明：当时，．
20．已知.
(1)求函数的单调区间；
(2)若函数有两个零点，证明：.
21．已知函数，.
（1）求的单调区间；
（2）设曲线与轴正半轴的交点为，曲线在点处的切线方程为，求证：对于任意的实数，都有；
（3）若方程为实数）有两个实数根，，且，求证：.
22．已知函数，．其中．．
(1)讨论的单调性；
(2)设曲线与轴正半轴的交点为，曲线在点处的切线方程为，求证：对于任意的正实数，都有；
(3)设，若关于的方程为实数）有两个正实根，，求证：．
23．已知函数，其中.
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）设曲线与轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为,求证：对于任意的正实数，都有；
（Ⅲ）若关于的方程有两个正实根，求证：
24．已知函数．
（Ⅰ）当时，求零点处的切线方程；
（Ⅱ）若有两个零点，求证：．
25．已知函数（为自然对数的底数）．
（1）求曲线在点处的切线方程：
（2）若方程有两个不等的实数根，而，求证：
【参考答案】
1．（1）证明见解析；（2）．
【详解】解：（1）证明：，，从而．
又当2时，有，故是上的递减函数．
．同理可得，
又易知是上的递减函数，且．
由此依次迭代可得，．
（2）因为
，
，①
又∵当时，有．
因此可得，当取时，能使得当时，都有．
2．证明见解析【详解】证明：，与同号，
又，，即，即，数列为递增数列．
，又，运用累加法得：．
令，，
错位相减得：
，由得，故得．
3．（1）；（2）证明见解析．
【详解】解：（1）当时，由，②-①得，即．
，又得，故．
（2）证明：
因此，，另一方面，易证
则．
因此，有，当时，，左边等号成立．
4．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析
【解析】（Ⅰ）的定义域为；.
当，时，，单调递增；，单调递减.
当时，.
（1），，当或时，，单调递增；
当时，，单调递减；
（2）时，，在内，，单调递增；
（3）时，，当或时，，单调递增；
当时，，单调递减.
综上所述，当时，函数在内单调递增，在内单调递减；
当时，在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增；
当时，在内单调递增；
当，在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，时，
，，
令，.则，
由可得，当且仅当时取得等号.
又，设，则在单调递减，
因为，
所以在上存在使得 时，时，，
所以函数在上单调递增；在上单调递减，
由于，因此，当且仅当取得等号，
所以，即对于任意的恒成立．
5．(1)，无极大值(2)①证明见解析；②证明见解析
【解析】(1)当时，，解得
当单调递减；当单调递增，
当时，有极小值，，无极大值；
(2)①证明：则，
所以
当时，单调递减；当单调递增；
所以，
由零点存在定理知，在上各有一个零点，
即存在，使得
所以在上，，单调递增，在，，单调递减
再在上，，单调递增，所以有两个极值点；
②证明：由①可知的最小值为0，令，则，得到
即，令，则，
所以
6．(1)证明见解析(2)证明见解析
【解析】(1)要证不等式成立，即证恒成立，
，当时，，当时，，
在上单调递增，在上单调递减，，所以恒成立.
(2)由（1）知，令则，
所以，
即
7．(1)答案见解析(2)证明见解析
【解析】（1）当时，，，
所以，所以在上单调递增，又因为，所以当时，，当时，，当时，
（2）由（1）知，当时，，即，令，，
则有，即，
所以，
即，．
8．（1）；（2）证明见解析.
【详解】（1）因为，所以，；
则在处的切线斜率为，
所以，在处的切线方程为.即；
（2）由（1）知，，
所以当时，；当时，；
则在单调递减，在单调递增；因为，.
当时，方程有两个实根，，则.
令，则.
令，则，
所以在上单调递增，所以.
所以在上单调递增，所以，所以.
所以，所以.
当时，，所以.所以.
9．（1）；（2）证明见解析.
【详解】解：（1）由于，又，故在点的切线斜率，
因此所求切线方程，即．
（2）由于，故时，，单调递减，
时，，单调递增，
由图易知，，，由（1）可知，在点的切线方程为，
设与的交点横坐标为，且，即，下证．
由于在单调递减，故只需证明即可．
设（）．
，故，，函数单调递减，
，，函数单调递增，因此，即．
又在处的切线方程为，
设与的交点横坐标为，，即，下证．
由于在单调递增，故只需证明即可，
设，
，函数在单调递减，，
即．综上易知，，
即．
10．（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）证明见解析
【详解】（Ⅰ）由题,故.且.
故在点处的切线方程为.
（Ⅱ）设恒成立,故.
设函数则,故在上单调递减且,又在上单调递增.
又,即且,故只能在处取得最小值,
当时，此时,且在上,单调递减.
在上,单调递增.故,满足题意；
当时，此时有解,且在上单调递减,与矛盾；
当时，此时有解,且在上单调递减,与矛盾；
故
（Ⅲ）.由（Ⅰ）,在上单调递减且,又在上单调递增,故最多一根.
又因为,,
故设的解为,因为,故.
所以在递减,在递增.因为方程有两个实数根,故 .
结合（Ⅰ）（Ⅱ）有,在上恒成立.
设 的解为,则；设的解为,则.
故,.故,得证.
11．（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析.
【详解】解：（1）∵∴，又，∴.
（2）令，
∴在上单调递增，且，
∴当时，单调递减，当时，单调递增，
∴恒成立，∴恒成立.
（3）当时，，则，所以 在定义域内单调递增，而，，∴存在，使.
∴当时，，单调递减；当时，，单调递增，
令解得或.由（1）（2）可知在处的切线方程为，且恒成立，又，所以在处的切线方程为，
令，
当时，，当时，，
∴恒成立.
设函数在两个零点处的切线方程与直线的交点的横坐标分别为和，不妨设，则，，令，解得，，
∴，故得证.
12．(1)，(2)证明见解析(3)证明见解析
【解析】(1)由可得，
则，所以曲线在点处的切线斜率为，
所以切线方程为：，
因为曲线在点处的切线方程为，所以.
(2)由（1）知：，，
令，
当时，，，故，
当时，，，故，
综上所述：对任意的，都有，即，
(3)不妨设，，
则，，
因为和在上单调递增，
所以在上单调递增，
因为，所以时，；时，；
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以恒成立，
不妨令，则，由（2）知：，
所以，
将代入可得，即，即.
13．(1) ;(2) ;（3）见解析.
【解析】(1),故曲线在原点处的切线方程.
(2) ①当时，；②当时，问题等价为恒成立，设，则，因为在上单调递增，且，所以在上单调递减，在上单调递增，所以上的最小值为，所以.③当时，问题等价为恒成立，设，则，所以在上单调递减，而时，所以即可.综上所述.
（3）依第（2）问，取，有，因为在处的切线方程为.
设，则，令得或.容易知道在单调递增，在单调递减，而，所以当时，单调递增.而，所以，当时，恒成立.
所以.设分别与和的两个交点的横坐标为，则，所以.
14．(1)(2)证明见解析
【解析】
(1)因为f(x)＝lnx﹣ax+1，x∈R，所以＝﹣a＝，当a＝0时，＞0，
所以f(x)在[]上单调递增，所以f(x)max＝f(2)＝ln2+1，
当a＜0时，，所以f(x)在[]上单调递增，
所以f(x)max＝f(2)＝ln2﹣2a+1，当0＜a≤时，≥2，在[]上成立，
所以f(x)在[]上单调递增，所以f(x)max＝f(2)＝ln2﹣2a+1，当＜a≤2时，，
当时，，f(x)单调递增；时，，f(x)单调递减；
所以f(x)max＝f（）＝﹣lna；当a＞2时，，在[]上成立，
所以f(x)在[]上单调递减，所以f(x)max＝f（）＝﹣ln2﹣a+1；
综上所述：f(x)max＝；
(2)先证明一个不等式：，设，在，
故在上为减函数，故即成立.
要证明，即证明，
而，
故对，
15．(1)见解析(2)见解析
【解析】(1)证明：，，解得，
故，，令，则，，
所以过点的切线方程为，所以曲线与轴相切；
(2)证明：由（1）知，当时，，令，得，令，得，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为，
所以，
则不等式对任意恒成立，当且仅当时，等号成立，
所以当时，恒成立，令，
则，当时，．
当时，
，
综上可得，故．
16．(1)在上单调递减，在上单调递增(2)(3)证明见解析
【解析】(1)代入有，则，故当时，，单调递减；当时，，单调递增.即在上单调递减，在上单调递增.
(2)因为，，，令有，，当，即时，在上单调递增，故成立. 当，即时，在上，单调递减. ，不满足.综上有
(3)由（2）可得，当时，当时，，即，当时，有，即，即，故，…，累加可得，即，即得证
17．(1)见解析(2)见解析
【解析】(1)解：的定义域为，，
令，当时，恒成立，即恒成立，
故在上单调递增，
当时，有二正根，，，
当，，
在和上单调递减，
当，，在上单调递增，
当时，恒成立，即恒成立，
故在上单调递减；
综上：当时，在上单调递增；
当时，在和上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递减；
(2)证明：由（1）知：当时，在上单调递减，
所以，
所以，当且仅当时取等号，令，
则，
所以
，
所以.
18．(1)，(2)证明见解析
【解析】（1）对任意都有，，．，即．数列是首项为，公差为1的等差数列．，且，．．，，
（2），，．所证不等式，即．①先证右边不等式：．令，则．当时，，所以函数在上单调递减．当时，，即．分别取．得．即．也即．即．②再证左边不等式：．令，则．当时，，所以函数在上单调递增．当时，，即．分别取．得．即．也即．即．．
19．(1)(2)证明见解析
【解析】（1）.有两个零点等价于有两个解.
记，则.令，解得：.
所以在上单调递增，在上单调递减.如图所示：
所以
（2）由（1）知恒成立.
所以当时：.
所以
所以当时，成立.
20．(1)递增区间为，递减区间为.(2)证明见解析
【解析】（1）解：由题意，函数的定义域为，且，
令，可得，当时，，在单调递增；
当时，，在区间单调递减.
（2）解：由（1）可得有两个零点，
即有两个实数根，令，则
由，可得；由，可得，
不妨设：，则，
函数在点处的切线方程为，
设直线与直线的交点横坐标为，，
函数在点处的切线方程为，
设直线与直线的交点横坐标为，，
令，可得，
由，即，解得，当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以，即曲线的图象在的图象上的上方，
令，可得，当时，，单调递减，
所以，所以的图象在的图象上的上方，
如图所示，可得且，
所以，即，所以.
21．（1）单调递增区间为，单调递减区间为；（2）证明见解析（3）证明见解析.
【详解】（1）解：由，可得.
当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减.
的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）证明：设点的坐标为，，则，，
曲线在点处的切线方程为，即，
令函数，即，
则，在R上单调递减.
，当时，；当，时，，
在上单调递增，在，上单调递减，
对于任意实数，，即对任意实数，都有；
（3）证明：由（2）知，，设方程的根为，可得.
在上单调递减，又由（2）知，
因此.类似地，设曲线在原点处的切线方程为，可得，
对于任意的，有，即.
设方程的根为，可得，
在上单调递增，且，
因此，由此可得.
22．(1)当为奇数时，在，上单调递减，在单调递增；当为偶数时，在单调递增，在上单调递减；(2)证明见解析(3)证明见解析
【解析】（1）由，可得，其中，且．
下面分两种情况讨论：
①当为奇数时，令，解得，或，
当变化时，，的变化情况如下表：
递减 递增 递减
所以，在，上单调递减，在单调递增；
②当为偶数时，
当，即时，函数单调递增；当，即时，函数单调递减；
所以，在单调递增，在上单调递减；
（2）证明：设点的坐标为，，则，，
曲线在点处的切线方程为，即，
令，即，则．
由于在上单调递减，故在上单调递减，
又因为，所以当时，，当时，，
所以在内单调递增，在上单调递减，
所以对应任意的正实数，都有，即对于任意的正实数，都有．
（3）证明：不妨设，由（2）知，设方程的根为，
可得，由（2）知，可得．
类似地，设曲线在原点处的切线方程为，可得，
当，，即对于任意的，，
设方程的根为，可得，因为在上单调递增，
且，因此，由此可得：，
因为，所以，故：．则，
所以当时，即有．
23．（Ⅰ） 当为奇数时，在，上单调递减，在内单调递增；当为偶数时，在上单调递增，在上单调递减. （Ⅱ）见解析； （Ⅲ）见解析.
【解析】（1）当为奇数时：令，解得或，
当变化时，的变化情况如下表：
所以，在，上单调递减，在内单调递增.
（2）当为偶数时，
当，即时，函数单调递增；当，即时，函数单调递减.
所以，在上单调递增，在上单调递减.
（Ⅱ）证明：设点的坐标为，则，，曲线在点处的切线方程为，即，令，即，则
由于在上单调递减，故在上单调递减，又因为，所以当时，，当时，，所以在内单调递增，在内单调递减，所以对任意的正实数都有，即对任意的正实数，都有.
（Ⅲ）证明：不妨设，由（Ⅱ）知，设方程的根为，可得
，当时，在上单调递减，又由（Ⅱ）知可得.类似的，设曲线在原点处的切线方程为，可得，当，
，即对任意，
设方程的根为，可得，因为在上单调递增，且，因此.
由此可得.
因为，所以，故，所以.
24．（Ⅰ）或（Ⅱ）见解析
【详解】解：（Ⅰ）由题意得：，，定义域为，
，，在上为减函数．
，
由零点存在定理可知，在上必存在一点使
当时，，即在上为增函数，
当时，，即在上为减函数，
极大值，故至多有两个零点，又，，
故，是的两个零点，由，，
易得出两切线方程为：或
（Ⅱ）由（Ⅰ）易知，设，
，，
在上为增函数，
当时，，即在上为减函数，
当时，，即在上为增函数，
，即，
设与的交点横坐标为，，
为增函数，，同理设，
，，
在上为增函数，，
当时，，即在上为增函数，
当时，，即在上为减函数，
，即，
设与的交点横坐标为，
，
为减函数，，
故：，得证．
25．（1）；（2）证明见解析.
【详解】（1），，，
所以曲线在处的切线方程为.
（2）令，得，列表如下：
单调递减 单调递增
因为有两个不等的实数根，，所以，
不妨设，
令，，令，，
单调递减 极小值 单调递增
所以对任意，，所以，
即，所以，
所以，所以．切线放缩与割线放缩
【知识点讲解】
1、常见的放缩
(1)对数形式:,当且仅当时,等号成立.
(2)指数形式:,当且仅当时,等号成立.
进一步可得到一组不等式链：（且）
2、泰勒展开式
；
；
截取片段：
，当且仅当时,等号成立；
进而：当且仅当时,等号成立
3、关于的放缩
①切线放缩及其变形：；
②当时，；当时，；
③当时，；当时，；
④对数平均不等式：.
4、三角函数的放缩
（1）的放缩：当时，；当时，.
（2）的放缩：当时，.
【例题讲解】
【例1】（切线放缩）已知函数，，且曲线在处的切线方程为.
（1）求，的值；
（2）求函数在上的最小值；
（3）证明：当时，.
课前试做：
听课笔记：
【跟踪训练1】已知函数，曲线在处的切线方程为.
（1）求实数的值；
（2）且时，证明：曲线的图象恒在切线的上方；
（3）证明：不等式：.
课前试做：
听课笔记：
【例2】（割线放缩）已知函数（e为自然对数的底数）．
（1）求函数的零点，以及曲线在处的切线方程；
（2）设方程有两个实数根，求证：．
课前试做：
听课笔记：
【跟踪训练2】已知函数（为自然对数的底数）.
（1）求函数的零点，以及曲线在其零点处的切线方程；
（2）若方程有两个实数根，求证：.
课前试做：
听课笔记：
【例3】（数列放缩）已知函数，.
(1)求函数的极值；
(2)若不等式在上恒成立，求a的取值范围；
(3)证明不等式：.
课前试做：
听课笔记：
【跟踪训练3】已知函数.
(1)当时，讨论的单调性；
(2)当时，，求实数的取值范围；
(3)设，证明：
课前试做：
听课笔记：
【对点训练】
1．已知，，，且，
（1）当时，求证：；
（2）试确定一个正整数，使得当时，都有．
2．已知数列满足：，，求证：．
3．数列满足，是的前n项的和，．
（1）求；（2）证明：．
4．已知．
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）当时，证明对于任意的成立．
5．函数.
(1)当时，求函数的极值；
(2)当，且.
①证明：有两个极值点；
②证明：对任意的.
6．已知函数.证明：
(1)当，不等式恒成立；
(2)对于任意正整数，不等式恒成立（其中为自然常数）
7．已知函数，．
(1)当时，比较与2的大小；
(2)求证：，．
8．已知函数.
（1）求在处的切线方程；
（2）已知关于的方程有两个实根，，当时，求证：.
9．设函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）若关于的方程有两个实根，设为，（），证明：．
10．已知函数.
（Ⅰ）求在点处的切线方程；
（Ⅱ）已知在上恒成立，求的值.
（Ⅲ）若方程有两个实数根，且，证明：.
11．已知函数，设曲线在点处的切线方程为.
（1）求的解析式；
（2）证明：对定义域内任意，都有；
（3）当时，关于的方程有两个不等的实数根，证明：.
12．已知函数，曲线在点处的切线方程为.
(1)求，的值；
(2)证明：；
(3)若函数有两个零点，，证明：.
13．已知函数.
（1）求曲线在原点处的切线方程；
（2）若恒成立，求实数的取值范围；
（3）若方程有两个正实数根，求证：.
14．已知函数f(x)＝lnx﹣ax+1（a∈R）．
(1)求函数f(x)在区间[]上的最大值；
(2)证明：．
15．已知函数，为的导函数．
(1)若，证明：曲线与轴相切．
(2)证明：对于任意大于1的自然数，不等式恒成立．
16．已知a>0且函数.
(1)若，讨论的单调性；
(2)当时，，求a的取值范围；
(3)设，证明：.
17．设函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)证明：.
18．已知数列和满足，且对任意都有，．
(1)求数列和的通项公式；
(2)证明：．
19．已知．
(1)令，若有两个零点，求实数k的取值范围；
(2)证明：当时，．
20．已知.
(1)求函数的单调区间；
(2)若函数有两个零点，证明：.
21．已知函数，.
（1）求的单调区间；
（2）设曲线与轴正半轴的交点为，曲线在点处的切线方程为，求证：对于任意的实数，都有；
（3）若方程为实数）有两个实数根，，且，求证：.
22．已知函数，．其中．．
(1)讨论的单调性；
(2)设曲线与轴正半轴的交点为，曲线在点处的切线方程为，求证：对于任意的正实数，都有；
(3)设，若关于的方程为实数）有两个正实根，，求证：．
23．已知函数，其中.
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）设曲线与轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为,求证：对于任意的正实数，都有；
（Ⅲ）若关于的方程有两个正实根，求证：
24．已知函数．
（Ⅰ）当时，求零点处的切线方程；
（Ⅱ）若有两个零点，求证：．
25．已知函数（为自然对数的底数）．
（1）求曲线在点处的切线方程：
（2）若方程有两个不等的实数根，而，求证：切线放缩与割线放缩（数学技巧点拨系列）——2023 届高考一轮提高讲义
切线放缩与割线放缩
【知识点讲解】
1、常见的放缩
(1)对数形式: x 1 ln x(x 0) ,当且仅当 x 1时,等号成立.
(2)指数形式: ex x 1(x R) ,当且仅当 x 0时,等号成立.
进一步可得到一组不等式链： ex x 1 x 1 ln x （ x 0且 x 1）
2、泰勒展开式
2 n x
ex 1 x x x e xn 1；
2! n! (n 1)!
2
ln(1 x) x x x
3 x n 1
( 1) n o(x n 1) ；
2 3 n 1
截取片段： ex x 1(x R)
ln(1 x) x(x 1)，当且仅当 x 0时,等号成立；
进而： ln x x 1(x 0)当且仅当 x 1时,等号成立
3、关于 ln x的放缩
1
①切线放缩及其变形：1 ln x x 1；
x
②当 x 1 2(x 1) 1时， ln x (x 1 ) 1 1 ；当0 x 1时， (x ) ln x 2( x 1) ；
x 1 2 x 2 x x 1
2 2
x 1 ln x 3(x 1) 0 x 1 ln x 3(x 1)③当 时， 2 ；当 时， x 4x 1 x2
；
4x 1
ab ln a lnb a b④对数平均不等式： .
a b 2
4、三角函数的放缩
3
（1） sin x的放缩：当 x
x
0时， x sin x x；当0 x π 时， sin x x tan x .
6 2
2 2 4
（2） cos x x的放缩：当 x 0时，1 cos x 1 x x .
2 2 24
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切线放缩与割线放缩（数学技巧点拨系列）——2023 届高考一轮提高讲义
【例题讲解】
【例 1】（切线放缩）已知函数 f (x) e x ax 2，g(x) x ln x x 2 (e 1)x 1 ，且曲线 y f (x)在 x 1
处的切线方程为 y bx 1.
（1）求 a，b的值；
（2）求函数 f (x)在[0，1]上的最小值；
（3）证明：当 x 0时， g(x) f (x) .
课前试做： 听课笔记：
【跟踪训练 1】已知函数 f (x) 4e x 1 ax 2 ，曲线 y f (x)在 x 1处的切线方程为 y bx 1.
（1）求实数a、b的值；
（2） x 0且 x 1时，证明：曲线 y f (x)的图象恒在切线 y bx 1的上方；
（3）证明：不等式：4xex 1 x3 3x 2ln x 0 .
课前试做： 听课笔记：
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切线放缩与割线放缩（数学技巧点拨系列）——2023 届高考一轮提高讲义
2 1 x
2
【例 】（割线放缩）已知函数 f (x) x （e 为自然对数的底数）．e
（1）求函数 f (x)的零点 x0，以及曲线 y f (x)在 x x0处的切线方程；
（2）设方程 f (x) m(m 0)
1
有两个实数根 x1, x2，求证： x1 x2 2 m(1 )2e ．
课前试做： 听课笔记：
【跟踪训练 2】已知函数 f x e x ln x（ e为自然对数的底数）.
（1）求函数 f x 的零点，以及曲线 y f x 在其零点处的切线方程；
（2）若方程 f x m m 0 em有两个实数根 x1, x2，求证： x1 x2 e 1 .e 1
课前试做： 听课笔记：
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切线放缩与割线放缩（数学技巧点拨系列）——2023 届高考一轮提高讲义
【例 3】（数列放缩）已知函数 f x x 2 ln x 2 ，g x x2 (3 a)x 2 1 a (a R) .
(1)求函数 f x 的极值；
(2)若不等式 f x g(x)在 x ( 2, )上恒成立，求 a的取值范围；
1 1
(3) 1+ 1+
1 1 1
证明不等式： 1+ 1+ e3 (n N
*) .
4 42 43 4n
课前试做： 听课笔记：
【跟踪训练 3】已知函数 f (x) xeax e x .
(1)当 a 1时，讨论 f x 的单调性；
(2)当 x 0时， f x 1，求实数 a的取值范围；
1 1 1
(3)设 n N*，证明： ln(n 1)
12 1 22 1 n2 1
课前试做： 听课笔记：
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切线放缩与割线放缩（数学技巧点拨系列）——2023 届高考一轮提高讲义
【对点训练】
1．已知 f (x)
1
x2 x 1， xn 1 f xn ， n N*，且1 x 22 1 ，
（1）当n
3
2时，求证：1 xn ；2
1
（2）试确定一个正整数 N N 2 ，使得当 n N 时，都有 xn 2 ．32
2．已知数列 a n n 1n 满足： a1 1， an 1 1 n a2 n (n 1,2,3 )，求证： an 1 an 3 2n 1 ．
n
3．数列 an 满足 Sn an n N* ， Sn是 an 2 的前 n项的和，a2 1．
n
1 S 3
1
（ ）求 n；（2）证明： 1 2 2a
2．
n 1
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切线放缩与割线放缩（数学技巧点拨系列）——2023 届高考一轮提高讲义
4．已知 f (x) a x ln x 2x 1
x2
,a R．
（Ⅰ）讨论 f (x)的单调性；
（Ⅱ）当 a 1时，证明 f (x)＞f ' x 3 对于任意的 x 1,2 成立．
2
5．函数 f x x a lnx b 1 x .
(1)当 a 0时，求函数 f x 的极值；
(2)当a 0，且 lna b 1.
①证明： g x f x 1 x2 有两个极值点；
1 1 1
②证明：对任意的 n N * , ln2 .n 1 n 2 2n
6．已知函数 f x lnx, g x x 1 .证明：
(1)当 x 0, ，不等式 f x g x 恒成立；
1(2)
1 1 1
对于任意正整数n，不等式 1 1 e
2 2 2
1 1 e
23 2 n
恒成立（其中 为自然常数）

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切线放缩与割线放缩（数学技巧点拨系列）——2023 届高考一轮提高讲义
7．已知函数 f (x) ln x
k
， x 0x 1 ．
(1)当 k 4时，比较 f (x)与 2的大小；
2 2 2 2
(2)求证： ln(n 1)， n N*．
3 5 7 2n 1
8．已知函数 f x xex .
（1）求 f x 在 x 2处的切线方程；
1 2
（2）已知关于 x的方程 f x a有两个实根x ，x ，当 a x x e21 2 2 时，求证： 1 2 1 a 4 .e e
9．设函数 f x x ln x．
（1）求曲线 y f x e 2在点 , f e 2 处的切线方程；
（2）若关于 x的方程 f x a有两个实根，设为x ，x1 2（ x1 x 22），证明： x2 x1 1 2a e ．
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切线放缩与割线放缩（数学技巧点拨系列）——2023 届高考一轮提高讲义
10 x．已知函数 f (x) (x 1) e 1 .
（Ⅰ）求 f (x)在点 ( 1, f ( 1))处的切线方程；
（Ⅱ）已知 f (x) ax在 R上恒成立，求 a的值.
eb
（Ⅲ）若方程 f (x) b有两个实数根 x1, x2，且 x1 x2，证明： x2 x1 b 1 .e 1
11．已知函数 f (x) (ln x 1)(ax 1)(a 0) ，设曲线 y f x 在点 (e, f (e))处的切线方程为 y g(x) .
（1）求 g(x)的解析式；
（2）证明：对定义域内任意 x，都有 f (x) g(x)；
e
（3）当 a 1时，关于 x的方程 f (x) m

有两个不等的实数根 x1, x2，证明： x2 x1 m 1 e 1
e 1 .

12．已知函数 f x x 1 ln x 1 ，曲线 y f x 在点 1,0 处的切线方程为 y kx b k,b R .
(1)求 k，b的值；
(2)证明： f x kx b；
g x f x m m R x x 1 m m(3)若函数 有两个零点x x 1， 2，证明： 2 1 .ln 2
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切线放缩与割线放缩（数学技巧点拨系列）——2023 届高考一轮提高讲义
13．已知函数 f x x2 x ex .
（1）求曲线 y f x 在原点处的切线方程；
（2）若 f x ax e 0恒成立，求实数 a的取值范围；
（3）若方程 f x m(m R) m有两个正实数根 x1, x2，求证： x1 x2 m 1 .e
14．已知函数 f(x)＝lnx﹣ax+1（a∈R）．
(1)求函数 f(x) 1在区间[ , 22 ]上的最大值；
1
(2) 证明： 1 2 1
2 n
*
n n2
1 e,n N ．
n2
15．已知函数 f x a ln x x 1， f x 为 f x 的导函数．
(1)若 f
1
1，证明：曲线 y f x 2 与
x轴相切．

1 1 1 2
(2) 证明：对于任意大于 1 的自然数n，不等式 1
1 1 3
22 32 n2
e 恒成立．

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切线放缩与割线放缩（数学技巧点拨系列）——2023 届高考一轮提高讲义
16．已知 a>0 且函数 f x ax a 1x lnx 2a 1 .
(1)若 a 1，讨论 f x 的单调性；
(2)当 x 1时， f x 0，求 a的取值范围；
(3)设 n N*，证明：1
1
2
1
n ln n 1
n
2 n 1 .
17．设函数 f x 2ln x k kx .x
(1)讨论函数 f x 的单调性；
(2) ln2 1 1 1 ln2 1 1证明： ln2

1

8 n N*2 n .
a b
18．已知数列{an}和{bn}满足a1 b
n 1 n
1，且对任意 n N*都有 an bn 1， an 1 a2 ．n
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；
a2 a a a a a a a(2)证明： 3 4 n 1 ln(1 n) 1 2 3 nb2 b3 b4 b n 1 b1 b2 b3 b ．n
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切线放缩与割线放缩（数学技巧点拨系列）——2023 届高考一轮提高讲义
19．已知 f (x) kex
1
x2
2 ．
(1)令 g(x) f (x)，若 g(x)有两个零点，求实数 k的取值范围；
1 2 3
(2)证明：当 n N 时， 2 2 2 2
n
2 n 1 12 3 e 4 e (n 1) e ．
20．已知 f x 1 ln x 1 .
x
(1)求函数 f x 的单调区间；
(2)若函数 g x m x3 f x 2有两个零点 x1, x2，证明： x1 x2 2m e 1.
21．已知函数 f (x) 4x x4， x R .
（1）求 f (x)的单调区间；
（2）设曲线 y f (x)与 x轴正半轴的交点为 P，曲线在点 P处的切线方程为 y g(x)，求证：对
于任意的实数 x，都有 f (x) g(x)；
1
（3）若方程 f (x) a(a a为实数）有两个实数根x ，x x x 31 2，且 1 2，求证： x2 x1 4 .3
第 11 页 Math tips series——2023 College Entrance Examination one-round sprint
切线放缩与割线放缩（数学技巧点拨系列）——2023 届高考一轮提高讲义
22．已知函数 f (x) nx xn， x R ．其中n N． n 2．
(1)讨论 f (x)的单调性；
(2)设曲线 y f (x)与 x轴正半轴的交点为 P，曲线在点 P处的切线方程为 y g(x)，求证：对于
任意的正实数 x，都有 f (x) g(x)；
(3) a设 n 5，若关于 x的方程 f (x) a(a为实数）有两个正实根x x | x1， 2，求证： 2 x1 | 2 4 ．
23．已知函数 f (x) nx xn , x R，其中 n N *,n 2 .
（Ⅰ）讨论 f (x)的单调性；
（Ⅱ）设曲线 y f (x)与 x轴正半轴的交点为 P，曲线在点 P 处的切线方程为 y g(x) ,求证：对
于任意的正实数 x，都有 f (x) g(x)；
（Ⅲ）若关于 x的方程 f (x)=a(a )
a
为实数 有两个正实根 x1，x2，求证： x2 -x1 21 n
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切线放缩与割线放缩（数学技巧点拨系列）——2023 届高考一轮提高讲义
24．已知函数 f (x) 2sin x x2 2 x a．
（Ⅰ）当 a 0时，求 f x 零点处的切线方程；
1 2
（Ⅱ）若 f x 有两个零点 x1, x2 (x1 x2 )，求证： (x2 x1 2 ) a ．
25．已知函数 f (x) x2 1 ex（ e为自然对数的底数）．
（1）求曲线 y f x 在点 0，f 0 处的切线方程：
（2 f）若方程 x m m 0 x x 2 m有两个不等的实数根x1，x2而，求证： 1 2
第 13 页 Math tips series——2023 College Entrance Examination one-round sprint

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