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圆锥曲线中的定点、定值问题（数学技巧点拨系列）——2023 届高考一轮提高讲义
圆锥曲线中的定点、定值问题
【知识点讲解】
1、几个常见的定点模型
若圆锥曲线中内接直角三角形的直角顶点与圆锥曲线的顶点重合,则斜边所在直线过定点.
x2 y2
(1)对于椭圆 2 2 1( a b 0 )上异于右顶点的两动点 A , B ,a b
2 2
以 AB为直径的圆经过右顶点 (a,0),则直线 lAB过定点 (
(a b )a
a2
,0) .
b2
AB (a
2 b2 )a
同理,当以 为直径的圆过左顶点 ( a,0)时,直线 lAB过定点 ( 2 2 ,0) .a b
x2 y2
(2)对于双曲线 2 2 1(a 0,b 0)上异于右顶点的两动点 A , B ,以 AB为直径的圆经过右a b
2 2
顶 点 (a,0) l ((a b )a, 则 直 线 AB 过 定 点 2 2 ,0) . 同 理 , 对 于 左 顶 点 ( a,0) , 则 定 点 为a b
2 2
( (a b )a
a2 b2
,0) .
(3)对于抛物线 y2 2px(p 0)上异于顶点的两动点 A , B ,

若OA OB 0 ,则弦 AB所在直线过点 (2p,0) .
2 同理,抛物线 x 2py(p 0) 上异于顶点的两动点 A , B ,若OA OB 0 ,则直线 AB 过定点
(0, 2 p) .
2、几个常见的定值模型
在圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)中,曲线上的一定点P (非顶点)与曲线上的两动点 A ,B满
足直线 PA与PB的斜率互为相反数(倾斜角互补),则直线 AB的斜率为定值.
x2 y2
（ 1 ） 在 椭 圆 中 ： 已 知 椭 圆 2 2 1(a b 0) , 定 点a b
P(x0 , y0 ) ( x0 y0 0 )在椭圆上,设 A , B是椭圆上的两个动点,直线
PA， PB的斜率分别为 kPA , kPB ,且满足 kPA kPB 0.则直线 AB的
b2x
斜率 k 0AB 2 .a y0
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圆锥曲线中的定点、定值问题（数学技巧点拨系列）——2023 届高考一轮提高讲义
C x
2 y2
（2）在双曲线 : 2 2 1(a 0,b 0)中，定点 P(x0 , y0 ) ( x0 y0 0 )a b
在双曲线上,设 A , B是双曲线上的两个动点,直线 PA , PB的斜率分别
2
为 k k
b x
PA， PB ,且满足 kPA kPB 0.则直线 AB的斜率 kAB 0 .a2 y0
（3）在抛物线C： y2 2px(p 0)，定点 P(x0 , y0 ) ( x0 y0 0 )在抛物线上,设 A ,B是抛物线上
的两个动点,直线 PA , PB的斜率分别为 kPA , kPB ,且满足 kPA kPB 0 .则直线 AB 的斜率
k pAB y .0
3、解题导语
解决定点、定值问题的关键是检测数学运算的能力，所以只
要细致、耐心的计算就可以得到答案。又因为此种问题找得分点
比较容易，所以千万不要放弃。
【例题讲解】
2 2
【例 1】已知点F x y1， F2分别为双曲线 C： 1 a 0,b 0 的左、右焦点，点 A为双曲线 Ca2 b2
的右顶点，已知 F2A 3 5，且点 F2到一条渐近线的距离为 2.
(1)求双曲线 C的方程；
(2)若直线 l： y mx n与双曲线 C交于两点M ，N，直线OM ，ON的斜率分别记为 kOM， kON ，
1 1 10
且 kOM kON m
，求证：直线 l过定点，并求出定点坐标.
听课笔记：
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【跟踪训练 1】已知圆 M： x2 y2 4x 0上动点 Q，若 N 2,0 ，线段 QN的中垂线与直线 QM
交点为 P．
(1)求交点 P的轨迹 C的方程；
(2)若 A，B分别轨 C与 x轴的两个交点，D为直线 x 2上一动点，DA，DB与曲线 C的另一
个交点分别是 E、F、证明：直线 EF过一定点
听课笔记：
x2 y2
【例 2】已知 E : 2 2 1(a 0,b 0) 的右焦点为 F2，点 F2到 E的一条渐近线的距离为 2，过点a b
F2的直线与 E相交于 A,B两点.当 AB x轴时， | AB | 2 2 .
(1)求 E的方程.
(2)若M
3
, 0 ，N是直线 x 1上一点，当 B,M ,N 三点共线时，判断直线 AN的斜率是否为定值.
2
若是定值，求出该定值；若不是定值，说明理由.
听课笔记：
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【跟踪训练 2】已知圆A：（x 2）2 y2 9，圆 B：（x 2）2 y2 1，圆C与圆A、圆 B外切，
(1)求圆心C的轨迹方程 E;
MN
(2)若过点 B且斜率 k的直线与 E交与M、N两点，线段MN的垂直平分线交 x轴与点 P，证明 PB
的值是定值.
听课笔记：
【对点训练】
一、单选题
1．数学美的表现形式多种多样，其中美丽的黄金分割线分出的又岂止身材的绝妙配置，我们
1 5 1 x 2 y 2
称 e （其中 ）的双曲线 1a 2 b2 为黄金双曲线，若 P为黄金双曲线上除实轴端 2
点外任意一点，以原点 O为圆心，实轴长为直径作 O，过 P作 O的两条切线，切点分别为
2 2
A，B，直线 AB与 x y M N b a， 轴分别交于 ， 两点，则
|OM |2
（ ）
|ON |2
1 1
A． B． C D ． ．
x22．已知直线 l： y kx k 0 与双曲线 C： y2 1交于 P，Q两点，QH⊥x轴于点 H，直线
4
PH与双曲线 C的另一个交点为 T，则 kPQ kQT （ ）
1
A． B 1．
4 2
C．1 D．2
二、填空题
x2 y2 2 23．已知A， B是椭圆C : 2 2 1
x y
和双曲线 1(a b 0)的左右顶点， P，Q分别为双曲
a b a2 b2

线和椭圆上不同于A，B的动点，且满足 PA PB (QA QB )( R,| | 1) ，设直线 PA、PB、QA、QB
的斜率分别为 k1、 k2、 k3、 k4，则 k1 k2 k3 k4 _________．
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三、解答题
M x , y 2 4．已知定点 0 0 在抛物线m：y 2 px( p 0)上，动点 A、B m且MA MB 0，求证：弦 AB必
过一定点．
x2 y25．已知椭圆: E : 2 1(a b 0)上动点 P、Q，O 为原点；a b2
1 OP 2（ ）若 OQ 2 a2 b2，求证: kOP kOQ 为定值；
（2）点B 0,b ，若 BP BQ，求证：直线 PQ过定点.
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2
6 x y
2
．椭圆 1，过点F 1,0 的直线 AB和CD相互垂直（斜率存在），M、N分别是 AB和CD
4 3
的中点．求证：直线MN过定点．
x2 y27．已知椭圆E : 2 2 1(a b 0)上动点P,Q，点O为原点.a b
（1）若 OP 2 OQ 2 a2 b2，求证： kOP kOQ 为定值；
（2）点 B 0,b ，若BP BQ，求证：直线 PQ过定点；
（3）若OP OQ，求证：直线 PQ为定圆的切线.
x2 y28．已知椭圆 C: 1的上下顶点分别为 A，B，过点 P 0，3 且斜率为 k(k<0)的直线与椭圆 C
5 4
自上而下交于M，N两点，直线 BM与 AN交于点G .
(1)设 AN，BN的斜率分别为 k1，k2，求 k1 k2的值;
(2)求证：点G在定直线上.
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2 2
9．已知椭圆C : x y 1 a b 0 3的离心率为 ，A、B分别是椭圆的右顶点和上顶点， OAB
a2 b2 2
的面积为 1．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设 P的椭圆C上一点，直线 PA与 y轴交于点M ，直线 PB与 x轴交于点N．求证： AN BM 为
定值．
10 3．已知 A( 2 2,0),B(2 2,0)，直线 PA,PB的斜率之积为 4，记动点
P的轨迹为曲线C .
(1)求C的方程;
(2) 3直线 l与曲线C交于M ,N两点，O为坐标原点，若直线OM ,ON 的斜率之积为 ， 证明:4
△MON的面积为定值.
x2 y211 2．已知椭圆E : 2 2 1(a b 0)的左 右焦点分别为 F1,F2，且焦距长为 2，过F1且斜率为a b 4
的直线与椭圆 E的一个交点在 x轴上的射影恰好为 F2 .
(1)求椭圆 E的方程；
(2)如图，下顶点为A，过点B 0,2 作一条与 y轴不重合的直线，该直线
交椭圆 E于C,D两点，直线 AD, AC分别交 x轴于H，G两点，O为坐标
原点.求证： ABG与△AOH的面积之积为定值，并求出该定值.
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x2 y2 112．已知椭圆 C： 2 2 1(a 0,b 0)的右焦点为 F 2,0 ，离心率为 , ABC2 为椭圆C的任意内a b
接三角形，点D为 ABC的外心.
(1)求C的方程；
(2)记直线 AB BC CA OD的斜率分别为 k1 k2 k3 k4 ，且斜率均存在.求证： 4k1k2k3k4 3 .
13．在平面直角坐标系 xOy中，已知点F1( 6,0)，F2( 6,0)，动点 M满足 MF1 MF2 4 3，记
点 M的轨迹为曲线 C．
(1)求 C的方程；
(2)圆 x2 y2 4的切线与 C相交于 A，B两点，P为切点，求 | PA | | PB |的值．
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2 2
14．已知椭圆C : x y 1(a b 0)经过点 A 2,1 22 2 ，且离心率 e .a b 2
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)直线 l : y kx m与椭圆C交于M ,N两点，B为椭圆上顶点，直线BM ,BN交直线 x 3于P,Q两
点，已知P,Q两点纵坐标之和为 3 .求证：直线MN过定点，并求此定点坐标.
15．在平面直角坐标系 xOy中，已知定点 F1 1,0 ,F2 1,0 ，动点M 满足 MF1 MF2 2 2 .记点M
的轨迹为C .
(1)求曲线C的方程；
AB
(2)经过F1且不垂直于坐标轴的直线 l与C交于 A,B两点， x轴上点 P满足 PA PB ，证明： F1P
为定值，并求出该值.
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2
16 x x
2 y2
．如图所示，在平面直角坐标系 xOy中，已知椭圆C : y2 1，椭圆C1 2： 2 2 1(a b 0),C4 a b 2
与C1的长轴长之比为 2 :1，离心率相同.
(1)求椭圆C2的标准方程；
(2)设点 P为椭圆C2上一点，过点 P作两条斜率分别为 k1,k2的直线 l1, l2，且直线 l1, l2与椭圆C1均有
且只有一个公共点，求证： k1 k2为定值.
2
17 x．在平面直角坐标系 xOy中，已知椭圆 y2 1的左，右顶点分别为 A，B，过点 M（ 1，
4
k
0 1）作直线 l交椭圆于 C，D两点，若直线 AD，BC的斜率分别为 k1，k2．求证： k 为定值．2
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2 2
18．在平面直角坐标系 xOy E : x y中，椭圆 2 2 1(a b 0)的右准线为直线 l，动直线a b
y kx m(k 0,m 0)交椭圆于 A,B两点，线段 AB的中点为M ，射线OM 分别交椭圆及直线 l于
点P、Q，如图，当 A B
1
、两点分别是椭圆 E的右顶点及上顶点时，点Q的纵坐标为 ee（其中 为椭
圆的离心率），且OQ 5OM．
(1)求椭圆 E的标准方程；
(2)如果OP是OM、OQ
m
的等比中项，那么 k 是否为常数？若是，求出该常数；若不是，请说明
理由．
2 2
19 x y 2．已知椭圆 : 2 2 1 a b 0 的离心率为 3 ，半焦距为c c 0 ，且a c 1．经过椭圆的a b
左焦点 F，斜率为 k1 k1 0 的直线与椭圆交于 A、B两点，O为坐标原点．
(1)求椭圆 的标准方程；(2)当 k1 1时，求 S AOB的值；
k(3)设R 1,0 ，延长 AR，BR 1分别与椭圆交于 C，D两点，直线 CD的斜率为 k2，求证： k 为定2
值．
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2 2
20．已知 A ,B y x是椭圆 2 2 1 a 0 , b 0 上关于原点对称的两个点，点 P在椭圆上．当 PA、a b
PB斜率存在时，求证： kPA kPB为定值．
x221 O C y
2
．如图，已知 为坐标原点，椭圆 ： 1(a b 0)的左、右焦点分别为F1、F2，点 P 0，1 a2 b2
是椭圆C的上顶点，△PF1F2是等腰直角三角形，点 A m，n m 0 是椭圆C上一点，直线 PA交 x
轴于点M ．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若点 B与点A关于 x轴对称，直线 PB交 x轴于点N，点Q 0，y0 ，且 OQM ONQ，求 y0的值．
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22．已知点 P在圆O : x2 y2 6上运动，点 P在 x轴上的投影为Q，动点M 满足

（1 3）OQ OP 3OM
(1)求动点M 的轨迹方程 E

(2)过点 0,1 的动直线 l与曲线 E交于 A,B两点，问：是否存在定点D，使得DA AB (DA)2的值
是定值？若存在，求出点D的坐标及该定值；若不存在，请说明理由
23 x
2 y2 3
．已知椭圆 C： 2 2 1 a b 0 的离心率 e ，且圆 x
2 y2 2过椭圆 C的上、下顶点．
a b 2
(1)求椭圆 C的方程；
(2) 1若直线 l的斜率为 2 ，且直线 l与椭圆 C相交于 P，Q两点，点 P关于原点的对称点为 E，
点 A 2,1 是椭圆 C上一点，若直线 AE与 AQ的斜率分别为 kAE， kAQ，证明： kAE kAQ 0．
2 2
24．已知F1， F2为椭圆C
x y
： 1 a b 0 的左、右焦点，过点F2 1,0 2 2 且垂直于 x轴的直线a b
被C截得的弦长为 3，过点F1的直线交C于A， B两点.
(1)求C的方程；
(2)若直线 AB的斜率不为 0，过A， B作直线 x 4的垂线，垂足分别是 E， F，设 EB与 AF交
GD
于点G，直线 x 4与 x轴交于点D，求证： GF 为定值.1
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2
25 C x y
2
．已知椭圆 ： 1 a b 0 的左、右顶点分别 A
a2 b2 1
， A2，上顶点为 B，△A1A2B的面积为
3，C的短轴长为 2.
(1)求C的方程；
(2)斜率不为 0 的直线 l交C于 P，Q两点（异于点 A1），D为 PQ的中点，且 A1D PD ，证明：
直线 l恒过定点.
x226 y
2
．已知点P 1,1 在椭圆C : 2 2 1 a b 0 上，椭圆 C的左右焦点分别为F1，F2，△PF F 的a b 1 2
6
面积为 .
2
(1)求椭圆 C的方程；
(2)设点 A，B 2 2 2在椭圆 C上，直线 PA，PB均与圆O : x y r 0 r 1 相切，记直线 PA，PB的
斜率分别为 k1， k2 .
（i）证明： k1k2 1；（ii）证明：直线 AB过定点.
16
27．在平面直角坐标系中，动点M x, y 与定点 F 5,0 的距离和M 到定直线 l : x 5 的距离的比
5
是常数 ，设动点M 的轨迹为曲线C .
4
(1)求曲线C的方程；
(2)设P 2,0 ，垂直于 x轴的直线与曲线C相交于 A,B两点，直线 AP和曲线C交于另一点D，求
证：直线 BD过定点.
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x228 y
2
．在平面直角坐标系 xOy中，已知双曲线C : 1的右顶点为A， P，Q是双曲线上除顶
4 2
点以外的任意两点，M 为 PQ的中点．
(1)设直线 PQ与直线OM 的斜率分别为 k1， k2，求 k1 k2的值．
AM 1
(2)若 PQ 2，证明：直线
PQ过定点，并求出定点的坐标．
29．在平面直角坐标系 xOy中，已知点 F1 17,0 ， F2 17,0 ，点 M满足 MF1 MF2 2 .记 M
的轨迹为 C.
(1)求 C的方程；
1
(2)设点T在直线 x 上，过T的两条直线分别交C于A，B两点和P，Q两点，且 TA TB TP TQ，
2
求直线 AB的斜率与直线 PQ的斜率之和.
2 2 2
30 C x y．已知双曲线 ： 2 1 a 0,b 0
a
的右焦点为F c,0 ，离心率为 2，直线 x 与双曲线
a b2 c
C的一条渐近线交于点 P，且 PF 3．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)设Q为双曲线右支上的一个动点，证明：在 x轴的负半轴上存在定点M ，使得 QFM 2 QMF．
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31 A ,B x
2 y2
．已知 是双曲线 2 2 1 a 0 , b 0 上关于原点对称的两个点，点 P在双曲线上．当a b
PA和 PB斜率存在时，求证： kPA kPB为定值．
2 2
32 x y．已知双曲线C : （1 a 0，b 0），F、F2分别是它的左、右焦点，A( 1,0)是其左顶点，
a2 b2 1
且双曲线的离心率为 e 2．设过右焦点 F2的直线 l与双曲线C的右支交于P、Q两点，其中点 P位
于第一象限内．
(1)求双曲线的方程；
1
(2)若直线 AP、AQ分别与直线 x 交于M、N两点，证明MF2 NF2 为定值；2
(3)是否存在常数 ，使得 PF2A PAF2 恒成立？若存在，求出 的值，若不存在，请说明理
由．
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33．已知 F1（ 6，0），F2（ 6，0）为双曲线 C的两个焦点，点 P (2, 1)在双曲线 C上．
(1)求双曲线 C的方程；
(2)已知点 A，B是双曲线 C上异于 P的两点，直线 PA，PB与 y轴分别相交于 M，N两点，若

OM ON 0，证明：直线 AB过定点
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【知识点讲解】
1、几个常见的定点模型
若圆锥曲线中内接直角三角形的直角顶点与圆锥曲线的顶点重合,则斜边所在直线过定点.
(1)对于椭圆()上异于右顶点的两动点,,
以为直径的圆经过右顶点,则直线过定点.
同理,当以为直径的圆过左顶点时,直线过定点.
(2)对于双曲线上异于右顶点的两动点,,以为直径的圆经过右顶点,则直线过定点.同理,对于左顶点,则定点为.
(3)对于抛物线上异于顶点的两动点,,
若,则弦所在直线过点.
同理,抛物线上异于顶点的两动点,,若,则直线过定点.
2、几个常见的定值模型
在圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)中,曲线上的一定点(非顶点)与曲线上的两动点,满足直线与的斜率互为相反数(倾斜角互补),则直线的斜率为定值.
（1）在椭圆中：已知椭圆,定点()在椭圆上,设,是椭圆上的两个动点,直线，的斜率分别为,,且满足.则直线的斜率.
（2）在双曲线:中，定点()在双曲线上,设,是双曲线上的两个动点,直线,的斜率分别为，,且满足.则直线的斜率.
在抛物线：，定点()在抛物线上,设,是抛物线上的两个动点,直线,的斜率分别为,,且满足.则直线的斜率.
3、解题导语
解决定点、定值问题的关键是检测数学运算的能力，所以只
要细致、耐心的计算就可以得到答案。又因为此种问题找得分点
比较容易，所以千万不要放弃。
【例题讲解】
【例1】已知点，分别为双曲线C：的左、右焦点，点A为双曲线C的右顶点，已知，且点到一条渐近线的距离为2.
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线：与双曲线C交于两点，，直线，的斜率分别记为，，且，求证：直线过定点，并求出定点坐标.
【答案】(1)(2)或
【解析】(1)由题知，，其中一条渐近线为，即，
所以，解得，所以
(2)
设，将代入，整理得：
则
由得
因为
所以，得，即，所以直线的方程为
所以当，且时，直线过定点；
所以当，且时，直线过定点.
【跟踪训练1】已知圆M：上动点Q，若，线段QN的中垂线与直线QM交点为P．
(1)求交点P的轨迹C的方程；
(2)若A，B分别轨C与x轴的两个交点，D为直线上一动点，DA，DB与曲线C的另一个交点分别是E、F、证明：直线EF过一定点
【答案】(1)(2)证明见解析
【解析】（1）由题知，所以由双曲线定义可知点P的轨迹为双曲线，其中，得曲线C的方程
（2）设点由，设直线DA与曲线另一个交点为E，直线DB与曲线另一个交点为F（其中，，若等于，此时其中一条直线与其中一条渐近线平行，与曲线C只有一个交点．）由直线DA：代入曲线C：得得由即直线DB：代入曲线C：中将，得由
即∴
∴EF：即
故直线恒过一定点
【例2】已知的右焦点为，点到的一条渐近线的距离为，过点的直线与相交于两点.当轴时，.
(1)求的方程.
(2)若，是直线上一点，当三点共线时，判断直线的斜率是否为定值.若是定值，求出该定值；若不是定值，说明理由.
【答案】(1)(2)是定值，斜率为0
【解析】（1）解：根据对称性，不妨设到直线的距离为，
则，令，则，解得，
所以当轴时，，则.故的方程为.
（2）解：设.
当直线的斜率不为0时，设直线的方程为，
联立方程组，化简得，
由，得，则
设，因为三点共线，所以，整理得.
因为，
所以，即直线AN的斜率为定值0.
当直线AB的斜率为0时，A，B，M，N都在x轴上， 则直线AN的斜率为定值.
综上所述，直线AN的斜率为定值0.
【跟踪训练2】已知圆：，圆：，圆与圆、圆外切，
(1)求圆心的轨迹方程
(2)若过点且斜率的直线与交与两点，线段的垂直平分线交轴与点，证明的值是定值.
【答案】(1)(2)证明见解析
【解析】（1）解：因为圆C与圆A、圆B外切，设C点坐标，圆C半径为，
则，，所以<4，所以点C的轨迹是双曲线的一支，
又，，，所以其轨迹方程为；
（2）设直线为，
联立，消去y得：，所以，
设MN中点坐标为G，则，
所以，，
直线GP的方程为:，，
所以，所以=1.
【对点训练】
一、单选题
1．数学美的表现形式多种多样，其中美丽的黄金分割线分出的又岂止身材的绝妙配置，我们称（其中）的双曲线为黄金双曲线，若P为黄金双曲线上除实轴端点外任意一点，以原点O为圆心，实轴长为直径作，过P作的两条切线，切点分别为A，B，直线与x，y轴分别交于M，N两点，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知直线l：与双曲线C：交于P，Q两点，QH⊥x轴于点H，直线PH与双曲线C的另一个交点为T，则（ ）
A． B． C．1 D．2
二、填空题
3．已知，是椭圆和双曲线的左右顶点，，分别为双曲线和椭圆上不同于，的动点，且满足，设直线、、、的斜率分别为、、、，则_________．
三、解答题
4．已知定点在抛物线上，动点且，求证：弦必过一定点．
5．已知椭圆:上动点P、Q，O为原点；
（1）若，求证:为定值；
（2）点，若，求证：直线过定点.
6．椭圆，过点的直线和相互垂直（斜率存在），分别是和的中点．求证：直线过定点．
7．已知椭圆上动点，点为原点.
（1）若，求证：为定值；
（2）点，若，求证：直线过定点；
（3）若，求证：直线为定圆的切线.
8．已知椭圆C:的上下顶点分别为，过点P且斜率为k(k<0)的直线与椭圆C自上而下交于两点，直线与交于点.
(1)设的斜率分别为，求的值;
(2)求证：点在定直线上.
9．已知椭圆的离心率为，、分别是椭圆的右顶点和上顶点，的面积为1．
(1)求椭圆的方程；
(2)设的椭圆上一点，直线与轴交于点，直线与轴交于点．求证：为定值．
10．已知，直线的斜率之积为，记动点的轨迹为曲线.
(1)求的方程;
(2)直线与曲线交于两点，为坐标原点，若直线的斜率之积为， 证明: 的面积为定值.
11．已知椭圆的左 右焦点分别为，且焦距长为2，过且斜率为的直线与椭圆的一个交点在轴上的射影恰好为.
(1)求椭圆的方程；
(2)如图，下顶点为，过点作一条与轴不重合的直线，该直线交椭圆于两点，直线分别交轴于，两点，为坐标原点.求证：与的面积之积为定值，并求出该定值.
12．已知椭圆C：的右焦点为，离心率为为椭圆的任意内接三角形，点为的外心.
(1)求的方程；
(2)记直线的斜率分别为，且斜率均存在.求证：.
13．在平面直角坐标系xOy中，已知点，，动点M满足，记点M的轨迹为曲线C．
(1)求C的方程；
(2)圆的切线与C相交于A，B两点，P为切点，求的值．
14．已知椭圆经过点，且离心率.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)直线与椭圆交于两点，为椭圆上顶点，直线交直线于两点，已知两点纵坐标之和为.求证：直线过定点，并求此定点坐标.
15．在平面直角坐标系中，已知定点，动点满足.记点的轨迹为.
(1)求曲线的方程；
(2)经过且不垂直于坐标轴的直线与交于两点，轴上点满足，证明：为定值，并求出该值.
16．如图所示，在平面直角坐标系中，已知椭圆，椭圆：与的长轴长之比为，离心率相同.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设点为椭圆上一点，过点作两条斜率分别为的直线，且直线与椭圆均有且只有一个公共点，求证：为定值.
17．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的左，右顶点分别为A，B，过点M（1，0）作直线l交椭圆于C，D两点，若直线AD，BC的斜率分别为k1，k2．求证：为定值．
18．在平面直角坐标系中，椭圆的右准线为直线，动直线交椭圆于两点，线段的中点为，射线分别交椭圆及直线于点，如图，当两点分别是椭圆的右顶点及上顶点时，点的纵坐标为（其中为椭圆的离心率），且．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)如果是的等比中项，那么是否为常数？若是，求出该常数；若不是，请说明理由．
19．已知椭圆的离心率为，半焦距为，且．经过椭圆的左焦点F，斜率为的直线与椭圆交于A、B两点，O为坐标原点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)当时，求的值；
(3)设，延长AR，BR分别与椭圆交于C，D两点，直线CD的斜率为，求证：为定值．
20．已知是椭圆上关于原点对称的两个点，点P在椭圆上．当PA、PB斜率存在时，求证：为定值．
21．如图，已知为坐标原点，椭圆C：的左、右焦点分别为、点是椭圆的上顶点，是等腰直角三角形，点是椭圆上一点，直线交轴于点．
(1)求椭圆的方程；
(2)若点与点关于轴对称，直线交轴于点，点且，求的值．
22．已知点在圆上运动，点在轴上的投影为，动点满足
(1)求动点的轨迹方程
(2)过点的动直线与曲线交于两点，问：是否存在定点，使得的值是定值？若存在，求出点的坐标及该定值；若不存在，请说明理由
23．已知椭圆C：的离心率，且圆过椭圆C的上、下顶点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线l的斜率为，且直线l与椭圆C相交于P，Q两点，点P关于原点的对称点为E，点是椭圆C上一点，若直线AE与AQ的斜率分别为，，证明：．
24．已知，为椭圆：的左、右焦点，过点且垂直于轴的直线被截得的弦长为3，过点的直线交于，两点.
(1)求的方程；
(2)若直线的斜率不为0，过，作直线的垂线，垂足分别是，，设与交于点，直线与轴交于点，求证：为定值.
25．已知椭圆：的左、右顶点分别，，上顶点为，的面积为3，的短轴长为2.
(1)求的方程；
(2)斜率不为0的直线交于，两点（异于点），为的中点，且，证明：直线恒过定点.
26．已知点在椭圆上，椭圆C的左右焦点分别为，，的面积为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设点A，B在椭圆C上，直线PA，PB均与圆相切，记直线PA，PB的斜率分别为，.
（i）证明：；
（ii）证明：直线AB过定点.
27．在平面直角坐标系中，动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数，设动点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)设，垂直于轴的直线与曲线相交于两点，直线和曲线交于另一点，求证：直线过定点.
28．在平面直角坐标系中，已知双曲线的右顶点为，，是双曲线上除顶点以外的任意两点，为的中点．
(1)设直线与直线的斜率分别为，，求的值．
(2)若，证明：直线过定点，并求出定点的坐标．
29．在平面直角坐标系xOy中，已知点，，点M满足.记M的轨迹为C.
(1)求C的方程；
(2)设点T在直线上，过T的两条直线分别交C于A，B两点和P，Q两点，且，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和.
30．已知双曲线：的右焦点为，离心率为2，直线与双曲线的一条渐近线交于点，且．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)设为双曲线右支上的一个动点，证明：在轴的负半轴上存在定点，使得．
31．已知是双曲线上关于原点对称的两个点，点P在双曲线上．当PA和PB斜率存在时，求证：为定值．
32．已知双曲线，、分别是它的左、右焦点，是其左顶点，且双曲线的离心率为．设过右焦点的直线与双曲线的右支交于两点，其中点位于第一象限内．
(1)求双曲线的方程；
(2)若直线分别与直线交于两点，证明为定值；
(3)是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．
33．已知F1（，0），F2（，0）为双曲线C的两个焦点，点在双曲线C上．
(1)求双曲线C的方程；
(2)已知点A，B是双曲线C上异于P的两点，直线PA，PB与y轴分别相交于M，N两点，若，证明：直线AB过定点
【参考答案】
1．B【详解】设，则，即.
因为，，所以，解得.
由题意四点共圆，圆心为的中点，半径为，
所以方程为；的方程为；
两式相减可得直线的方程，令得，即；
令得，即；，
所以.
2．B【详解】设，，，，则.
由得，，
则，.
，∴，∴.
3．0【详解】解：依题意、为椭圆和双曲线的公共顶点，
、分别为双曲线和椭圆上不同于、的动点，由，，
即，可得，则点，，三点共线．
设，，则，
同理可得，，，，
，．
4．证明见解析.
【详解】解：设所在直线方程为：，
与抛物线方程联立，消去得．
设，则，，
由已知得，即，
因为，，
所以，
化简得．
又，，故，
直线方程化为：．直线恒过点．
5．（1）证明见解析； （2）证明见解析
【详解】（1）由题意可知：设，，
由在椭圆上，则，
代入得：，整理得：，
则，
∴为定值；
（2）易知，直线的斜率存在，设其方程为，设，
，消去，整理得，
则 ，
由，且直线的斜率均存在，
，整理得，
因为，所以，
整理得，
.解得，或（舍去）.
∴直线恒过定点.
6．证明见解析
【详解】由题意可知，设AB直线为，，,则
因为分别是的中点，所以，
，因为在椭圆上，
所以，由，得，即
，于是有，所以，
，解得，∴．
（1）当时，点即是点，此时，直线MN为轴．
（2）当时，将上式点坐标中的换成，同理可得．
①当直线MN不垂直于轴时，直线MN的斜率，
其方程，化简得，
∴直线MN过定点．
②当直线MN垂直于轴时，，此时，，直线MN也过定点．
综上所述，直线MN过定点．
7．（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析
【详解】证明：（1）由题意，设，则，
由在椭圆上，则，代入得，，
整理得，，因为，所以，
则，∴为定值；
（2）易知，直线的斜率存在，设其方程为，，
联立，消去得，，
则，，由，且直线的斜率均存在，
，整理得，因为，，
所以，，
整理得，，
所以，
整理得，，
即，所以，或，
因为，所以，所以直线恒过定点；
（3）当斜率都存在时，
设方程为，，则方程为，
联立，可得，所以，
同理可得，设到直线的距离为，即为斜边上的高，
，
故当斜率都存在时，到直线的距离为定值.
当的斜率有一个不存在时，此时直线为连接长轴和短轴端点的一条直线，方程为或，点到直线的距离为.
综上，原点到直线的距离为定值，即直线为定圆的切线.
8．(1)(2)证明见解析
【解析】（1）设，，，
，所以.
（2）设 ，得到，
，，
直线，直线，
联立得:，
法一：，解得.
法二：由韦达定理得，.
解得，所以点在定直线上.
9．(1)(2)见解析
【解析】（1）依题意，
又，解得，所以椭圆的方程为.
（2）设点，而，且，，
当时，直线AP：，点，
，直线BP：，点，
，
，
当时，，，，所以，所以是定值.
10．(1)(2)证明见解析
【解析】（1）设，则直线的斜率，直线的斜率 ，由题意，
化简得 ；
（2）直线的斜率存在时，可设其方程为，
联立化简得，设，
则，
，
所以
，化简得
则，
又到的距离，
所以，为定值.
当直线的斜率不存在时，可设 ，
则，且，解得，此时，
综上，的面积为定值.
11．(1)(2)证明见解析，定值为
【解析】（1）由题意，，，故过且斜率为的直线的方程为，
令，得，由题意可得，解得，．
求椭圆的方程为；
（2）证明：由题意知，直线的斜率存在，设直线，
，，，，联立，得．
，，由，得，
，，
直线的方程为，令，解得，
则，，同理可得，，
12．(1)；(2)证明见解析.
【解析】（1）解：由椭圆的右焦点为，离心率为得. 所以.所以椭圆的方程为.
（2）证明：设A，则.
设的外接圆方程为，
得，
两式相减得，
因为，所以，
同理：.两式相减得：，于是：
所以
将代入得：
因为，所以
所以得证.
13．(1)(2)
【解析】（1）为，所以点的轨迹曲线是以，为焦点的椭圆．设其方程为，
则，，解得，，所以曲线的方程为．
（2）当直线AB的斜率不存在时，，此时，则．
当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为，
由直线AB与圆相切可得，化简得．
联立得，．
设，，则，，
所以
，
所以，所以为直角三角形．由，可得，
所以，所以．综上，．
14．(1)；(2)证明见解析，定点.
【解析】（1）因为椭圆经过点，所以，
因为离心率，所以，即，因为，所以解得
所以方程为
（2）设，则，得，
由，得，
则，直线为，则，
直线为，则，
所以，
化简得：，所以
化简得当，与点重合，不满足条件
当，代入直线方程可得：，所以过定点.
15．(1)(2)证明见解析，
【解析】（1）由椭圆的定义可知：的轨迹为以为焦点的椭圆，且，则可得，，
所以，所以的方程为
（2）设直线为：，则联立得：，
设，则，，，
则，中点坐标为，
所以的垂直平分线为，令得：，
所以，，
16．(1)；(2)证明见解析.
【解析】（1）解：设椭圆的焦距为，由题意，，解得，因此椭圆的标准方程为.
（2）证：设，所以直线的方程为，即，记，则的方程为，代入椭圆的方程，消去，得因为直线与椭圆有且只有一个公共点，所以，即将代入上式，整理得，同理可得，，所以为关于的方程的两根，从而.又点在椭圆上，所以，所以为定值.
17．证明见解析
【详解】证明：连结BD，设，，直线CD的方程为：，代入椭圆方程，整理得，，∴，
，
又，∴（定值）．
18．(1)(2)为定值
【解析】（1）解：椭圆的右准线为直线，动直线交椭圆于两点，当零点分别是椭圆的有顶点和上顶点时，则，因为线段的中点为，射线分别角椭圆及直线与两点，所以，由三点共线，可得，解得，因为，所以，可得，又由，解得，所以椭圆的标准方程为.
（2）解：把代入椭圆，可得，可得，则，所以，即,所以直线的方程为，由，可得，因为是的等比中项，所以，可得，又由，解得，所以，此时满足，所以为常数.
19．(1)(2)(3)证明见解析
【解析】（1）由题意，得解得∴，故的方程为．
（2）由（1）知，∴直线AB的方程为，由即，
设，，则，，
∴．
设O点到直线AB的距离为d，则．∴．
（3）设AB直线方程，设，，，，
由由定比分点坐标公式：，
由于A，C满足椭圆方程，故得
两式作差得③，
将①②代入③可得，和①进行联立，
即，解得：，由同理可得，
∴
，故．
20．证明见解析
【详解】设，，则，且，不同为0，
，，点A和点P在椭圆上，则有
作差得，∴，即．
故为定值.
21．(1)(2)
【解析】（1）由于点是椭圆的上顶点，且是等腰直角三角形，所以，,又，联立解得．椭圆的方程为；
（2）点与点关于轴对称，，
直线的方程为令，得同理可得．则=,=,又因为，所以，即有=,则有，是椭圆上一点，得即则．
22．(1)(2)存在定点，使得
【解析】（1）解：设点，因为，可得，所以，所以，即动点的轨迹的方程为.
（2）解：①当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立方程组，可得，则恒成立，且，因为，设，可得，，要使得上式为定值，即与无关，则满足且，所以，即点，此时；②当直线的斜率不存在时，则直线为 ，可得，所以，综上可得，存在定点，使得
23．(1)(2)证明见解析
【解析】（1）因为圆过椭圆C的上、下顶点，所以；
又因为离心率，所以，解得，
所以椭圆的方程为.
（2）由于直线l的斜率为，可设直线l的方程为；
代入椭圆方程，可得，由于直线l交椭圆C于P，Q两点，
所以整理解得,
设点，由于点P与点E关于原点对称，故,
；
因为，所以
故，结论得证.
24．(1)(2)证明见解析
【解析】
（1）解：因为过且垂直于轴的直线被截得的弦长为3，所以，①
因为的右焦点为，所以，②联立①②可得，，
所以的方程为.
（2）证明：当直线的斜率不存在时，易知，，，
所以. 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
联立与，得，设，，
则，，恒成立， 由题可知，，
则的方程为，①的方程为，②
②－①得， 因为，所以
，所以
，
所以，所以的横坐标为，
又，，所以为垂直平分线上一点，所以.综上，.
25．(1)(2)证明见解析
【解析】（1）由题意得，解得，，故的方程为.
（2）证明：由题意设直线的方程为，，，
联立，得， 所以，即，
，，因为，所以，所以，
即，则，
整理得，
所以，即
整理得，解得或，
当时，直线的方程为，恒过点，舍去；
当时，直线的方程为，恒过点，符合题意，即直线恒过定点.
26．(1)(2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析
【解析】（1）解：由题知，，的面积等于，
所以，解得，，所以，椭圆C的方程为.
（2）（i）设直线PA的方程为，
直线PB的方程为，由题知，
所以，所以，同理，，
所以，是方程的两根，所以.
（ii）设，，设直线AB的方程为，
将代入得，所以，①
，②所以，③
，④
又因为，⑤
将①②③④代入⑤，化简得，
所以，所以，
若，则直线，此时AB过点P，舍去.
若，则直线，此时AB恒过点，
所以直线AB过定点.
27．(1)(2)证明见解析
【解析】（1）解：由题设得，即，整理得；
（2）解：设，，，显然直线斜率不为，设直线方程为，
联立，消去并整理得，
由题设且，化简得且，
由韦达定理可得，，
直线的方程是，
令得
，所以直线过定点.
28．(1)(2)证明见解析，直线过定点
【解析】（1）设，，，由题意得，两式相减得，
整理得，即直线的斜率，
又为的中点，即，所以，所以；
（2）由可知是以为直角顶点的直角三角形，即，
且直线不与双曲线的渐近线平行，即，
①当直线斜率存在时，设的方程为，，
联立直线与双曲线得，
，即，且，
则，，所以，，
，
又，所以，即，解得或，
当时，直线方程为，恒过点，不成立；
当时，直线方程为，恒过点，
②当直线斜率不存在时，设直线方程为，点，，，即，，
，解得或，
当时，过点，不成立；当时，过，综上所述，直线恒过定点.
29．(1)(2)0
【解析】（1）因为，
所以点M的轨迹C是以，分别为左 右焦点的双曲线的右支.
设双曲线的方程为，半焦距为c，则，，
得，，所以点M的轨迹C的方程为.
（2）设，由题意可知直线AB，PQ的斜率均存在且不为0，
设直线AB的方程为，直线PQ的方程为.
由，得.
设，依题意可知，则，，
所以，
，
则
.
同理得.因为，
所以，所以，
即，又，所以，即.
故直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和为0.
30．(1)(2)证明见解析
【解析】（1）根据双曲线的对称性，不妨设直线与渐近线的交点为，
由，得，因为，所以，即，
又离心率为2，所以，故．所以双曲线的标准方程为．
（2）由（1）知双曲线的右焦点为．设，则．
①当时，．因为，所以，
所以，所以，符合题意．
②当时，设．，，
因为，所以（结合正切倍角公式）．
（i）当时，上式化简为，
又，所以，对任意恒成立.
所以，解得，即．
（ii）当，时，即也能满足．
综上，在轴的负半轴上存在定点，使得．
31．证明见解析
【详解】设，，则，可得，，
点和点P在双曲线上，则有，两式作差得，
可得，即．
32．(1)(2)证明见解析(3)存在，2
【解析】(1)解：由题可知：∵，∴c＝2
∵，∴，∴双曲线C的方程为：
(2)证明：设直线的方程为：，另设：，，
∴，∴，
又直线的方程为，代入,
同理，直线的方程为，代入,
∴，
∴
,
故为定值.
(3)解：当直线的方程为时，解得，
易知此时为等腰直角三角形，其中 ，
即，也即：，
下证：对直线存在斜率的情形也成立，
，
∵，∴，
∴，
∴结合正切函数在上的图像可知，，
33．(1)(2)证明见解析
【解析】（1）设双曲线C的方程为（），由题意知，因为，所以解得∴双曲线C的方程为
（2）设直线AB的方程为，，由，整理得，则，，得，直线PA方程为令，则M（0，），同理N（0，）.由，可得，∴0，0，∴，∴，∴，∴∴，∴当时，此时直线AB方程为恒过定点，显然不可能∴，直线AB方程为恒过定点圆锥曲线中的定点、定值问题
【知识点讲解】
1、几个常见的定点模型
若圆锥曲线中内接直角三角形的直角顶点与圆锥曲线的顶点重合,则斜边所在直线过定点.
(1)对于椭圆()上异于右顶点的两动点,,
以为直径的圆经过右顶点,则直线过定点.
同理,当以为直径的圆过左顶点时,直线过定点.
(2)对于双曲线上异于右顶点的两动点,,以为直径的圆经过右顶点,则直线过定点.同理,对于左顶点,则定点为.
(3)对于抛物线上异于顶点的两动点,,
若,则弦所在直线过点.
同理,抛物线上异于顶点的两动点,,若,则直线过定点.
2、几个常见的定值模型
在圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)中,曲线上的一定点(非顶点)与曲线上的两动点,满足直线与的斜率互为相反数(倾斜角互补),则直线的斜率为定值.
（1）在椭圆中：已知椭圆,定点()在椭圆上,设,是椭圆上的两个动点,直线，的斜率分别为,,且满足.则直线的斜率.
（2）在双曲线:中，定点()在双曲线上,设,是双曲线上的两个动点,直线,的斜率分别为，,且满足.则直线的斜率.
在抛物线：，定点()在抛物线上,设,是抛物线上的两个动点,直线,的斜率分别为,,且满足.则直线的斜率.
3、解题导语
解决定点、定值问题的关键是检测数学运算的能力，所以只
要细致、耐心的计算就可以得到答案。又因为此种问题找得分点
比较容易，所以千万不要放弃。
【例题讲解】
【例1】已知点，分别为双曲线C：的左、右焦点，点A为双曲线C的右顶点，已知，且点到一条渐近线的距离为2.
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线：与双曲线C交于两点，，直线，的斜率分别记为，，且，求证：直线过定点，并求出定点坐标.
听课笔记：
【跟踪训练1】已知圆M：上动点Q，若，线段QN的中垂线与直线QM交点为P．
(1)求交点P的轨迹C的方程；
(2)若A，B分别轨C与x轴的两个交点，D为直线上一动点，DA，DB与曲线C的另一个交点分别是E、F、证明：直线EF过一定点
听课笔记：
【例2】已知的右焦点为，点到的一条渐近线的距离为，过点的直线与相交于两点.当轴时，.
(1)求的方程.
(2)若，是直线上一点，当三点共线时，判断直线的斜率是否为定值.若是定值，求出该定值；若不是定值，说明理由.
听课笔记：
【跟踪训练2】已知圆：，圆：，圆与圆、圆外切，
(1)求圆心的轨迹方程
(2)若过点且斜率的直线与交与两点，线段的垂直平分线交轴与点，证明的值是定值.
听课笔记：
【对点训练】
一、单选题
1．数学美的表现形式多种多样，其中美丽的黄金分割线分出的又岂止身材的绝妙配置，我们称（其中）的双曲线为黄金双曲线，若P为黄金双曲线上除实轴端点外任意一点，以原点O为圆心，实轴长为直径作，过P作的两条切线，切点分别为A，B，直线与x，y轴分别交于M，N两点，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知直线l：与双曲线C：交于P，Q两点，QH⊥x轴于点H，直线PH与双曲线C的另一个交点为T，则（ ）
A． B． C．1 D．2
二、填空题
3．已知，是椭圆和双曲线的左右顶点，，分别为双曲线和椭圆上不同于，的动点，且满足，设直线、、、的斜率分别为、、、，则_________．
三、解答题
4．已知定点在抛物线上，动点且，求证：弦必过一定点．
5．已知椭圆:上动点P、Q，O为原点；
（1）若，求证:为定值；
（2）点，若，求证：直线过定点.
6．椭圆，过点的直线和相互垂直（斜率存在），分别是和的中点．求证：直线过定点．
7．已知椭圆上动点，点为原点.
（1）若，求证：为定值；
（2）点，若，求证：直线过定点；
（3）若，求证：直线为定圆的切线.
8．已知椭圆C:的上下顶点分别为，过点P且斜率为k(k<0)的直线与椭圆C自上而下交于两点，直线与交于点.
(1)设的斜率分别为，求的值;
(2)求证：点在定直线上.
9．已知椭圆的离心率为，、分别是椭圆的右顶点和上顶点，的面积为1．
(1)求椭圆的方程；
(2)设的椭圆上一点，直线与轴交于点，直线与轴交于点．求证：为定值．
10．已知，直线的斜率之积为，记动点的轨迹为曲线.
(1)求的方程;
(2)直线与曲线交于两点，为坐标原点，若直线的斜率之积为， 证明: 的面积为定值.
11．已知椭圆的左 右焦点分别为，且焦距长为2，过且斜率为的直线与椭圆的一个交点在轴上的射影恰好为.
(1)求椭圆的方程；
(2)如图，下顶点为，过点作一条与轴不重合的直线，该直线交椭圆于两点，直线分别交轴于，两点，为坐标原点.求证：与的面积之积为定值，并求出该定值.
12．已知椭圆C：的右焦点为，离心率为为椭圆的任意内接三角形，点为的外心.
(1)求的方程；
(2)记直线的斜率分别为，且斜率均存在.求证：.
13．在平面直角坐标系xOy中，已知点，，动点M满足，记点M的轨迹为曲线C．
(1)求C的方程；
(2)圆的切线与C相交于A，B两点，P为切点，求的值．
14．已知椭圆经过点，且离心率.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)直线与椭圆交于两点，为椭圆上顶点，直线交直线于两点，已知两点纵坐标之和为.求证：直线过定点，并求此定点坐标.
15．在平面直角坐标系中，已知定点，动点满足.记点的轨迹为.
(1)求曲线的方程；
(2)经过且不垂直于坐标轴的直线与交于两点，轴上点满足，证明：为定值，并求出该值.
16．如图所示，在平面直角坐标系中，已知椭圆，椭圆：与的长轴长之比为，离心率相同.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设点为椭圆上一点，过点作两条斜率分别为的直线，且直线与椭圆均有且只有一个公共点，求证：为定值.
17．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的左，右顶点分别为A，B，过点M（1，0）作直线l交椭圆于C，D两点，若直线AD，BC的斜率分别为k1，k2．求证：为定值．
18．在平面直角坐标系中，椭圆的右准线为直线，动直线交椭圆于两点，线段的中点为，射线分别交椭圆及直线于点，如图，当两点分别是椭圆的右顶点及上顶点时，点的纵坐标为（其中为椭圆的离心率），且．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)如果是的等比中项，那么是否为常数？若是，求出该常数；若不是，请说明理由．
19．已知椭圆的离心率为，半焦距为，且．经过椭圆的左焦点F，斜率为的直线与椭圆交于A、B两点，O为坐标原点．
(1)求椭圆的标准方程；(2)当时，求的值；
(3)设，延长AR，BR分别与椭圆交于C，D两点，直线CD的斜率为，求证：为定值．
20．已知是椭圆上关于原点对称的两个点，点P在椭圆上．当PA、PB斜率存在时，求证：为定值．
21．如图，已知为坐标原点，椭圆C：的左、右焦点分别为、点是椭圆的上顶点，是等腰直角三角形，点是椭圆上一点，直线交轴于点．
(1)求椭圆的方程；
(2)若点与点关于轴对称，直线交轴于点，点且，求的值．
22．已知点在圆上运动，点在轴上的投影为，动点满足
(1)求动点的轨迹方程
(2)过点的动直线与曲线交于两点，问：是否存在定点，使得的值是定值？若存在，求出点的坐标及该定值；若不存在，请说明理由
23．已知椭圆C：的离心率，且圆过椭圆C的上、下顶点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线l的斜率为，且直线l与椭圆C相交于P，Q两点，点P关于原点的对称点为E，点是椭圆C上一点，若直线AE与AQ的斜率分别为，，证明：．
24．已知，为椭圆：的左、右焦点，过点且垂直于轴的直线被截得的弦长为3，过点的直线交于，两点.
(1)求的方程；
(2)若直线的斜率不为0，过，作直线的垂线，垂足分别是，，设与交于点，直线与轴交于点，求证：为定值.
25．已知椭圆：的左、右顶点分别，，上顶点为，的面积为3，的短轴长为2.
(1)求的方程；
(2)斜率不为0的直线交于，两点（异于点），为的中点，且，证明：直线恒过定点.
26．已知点在椭圆上，椭圆C的左右焦点分别为，，的面积为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设点A，B在椭圆C上，直线PA，PB均与圆相切，记直线PA，PB的斜率分别为，.
（i）证明：；（ii）证明：直线AB过定点.
27．在平面直角坐标系中，动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数，设动点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)设，垂直于轴的直线与曲线相交于两点，直线和曲线交于另一点，求证：直线过定点.
28．在平面直角坐标系中，已知双曲线的右顶点为，，是双曲线上除顶点以外的任意两点，为的中点．
(1)设直线与直线的斜率分别为，，求的值．
(2)若，证明：直线过定点，并求出定点的坐标．
29．在平面直角坐标系xOy中，已知点，，点M满足.记M的轨迹为C.
(1)求C的方程；
(2)设点T在直线上，过T的两条直线分别交C于A，B两点和P，Q两点，且，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和.
30．已知双曲线：的右焦点为，离心率为2，直线与双曲线的一条渐近线交于点，且．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)设为双曲线右支上的一个动点，证明：在轴的负半轴上存在定点，使得．
31．已知是双曲线上关于原点对称的两个点，点P在双曲线上．当PA和PB斜率存在时，求证：为定值．
32．已知双曲线，、分别是它的左、右焦点，是其左顶点，且双曲线的离心率为．设过右焦点的直线与双曲线的右支交于两点，其中点位于第一象限内．
(1)求双曲线的方程；
(2)若直线分别与直线交于两点，证明为定值；
(3)是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．
33．已知F1（，0），F2（，0）为双曲线C的两个焦点，点在双曲线C上．
(1)求双曲线C的方程；
(2)已知点A，B是双曲线C上异于P的两点，直线PA，PB与y轴分别相交于M，N两点，若，证明：直线AB过定点

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